Liikemäärä ja voima 1
Tällä luennolla tavoitteena Kinematiikan ongelma ja sen ratkaisu: Miten radan ja nopeuden saa selville, jos kappaleen kiihtyvyys tunnetaan? Analyyttinen ratkaisu Liikemäärän, voiman ja impulssin määritelmät ja yhteydet Newtonin lait
KERTAUS Kiihtyvyys Keskikiihtyvyys: Ԧa avg = v t Hetkellinen kiihtyvyys: Ԧa = dv dt = d dt d Ԧr dt = d2 Ԧr dt 2 VERTAA Keskinopeus: Ԧv avg = Ԧr t Hetkellinen nopeus: Ԧv = d Ԧr dt
KERTAUS Tasainen liike ja tasaisesti kiihtyvä liike Tasainen liike Kun Ԧv(t) = VAKIO eli Ԧa t = 0 Tasaisesti kiihtyvä liike Kun dv dt = VAKIO eli Ԧa t = VAKIO
Kinematiikka Kappaleiden liikkeiden tarkastelu Geometrinen tarkastelu Ei huomioi syitä Dynamiikka Syy liikkeen muutokseen: vuorovaikutus ympäristön kanssa VOIMA Miten systeemi kehittyy ajan myötä?
Kinematiikan ongelmia ja niiden ratkaisuja
Miten saadaan kuljettu matka nopeudesta? Jos jollain aikavälillä kappaleen nopeus on vakio, on kuljettu matka: x = v t Graafisesti x vastaa (aika, nopeus)-kuvaajassa pinta-alaa! v x t t
Entä jos nopeus ei ole ajan funktiona vakio?? v v x 5 v v v 4 3 2 1 x x 4 3 x 2 x 1 t Tarkasteltava aikaväli voidaan jakaa useaan osaan ja jokaisella osavälillä lasketaan paikan muutos x x 1 + x 2 + + x N = v 1 t + v 2 t + + v N t t = σ N n=1 v n t Mitä useampaan osaväliin tarkasteltavana oleva aikaväli jaetaan, sen pienempi virhe!
Entä jos aikavälin jakoa tihennetään ja tihennetään?? Kun aikavälin jako tehdään infinitesimaalisen pieneksi jolloin osavälien lukumäärä lähestyy ääretöntä, niin summa lähestyy (Riemannin) integraalin määritelmää! x = lim t 0 N σ N n=1 v n t = t1 t 2 v t dt
DERIVOINTI Ԧr t Ԧv t Ԧa t INTEGROINTI
Integrointia! Paikka hetkellä t saadaan integroimalla nopeuden lauseketta: x t = x t 0 + t0 t v t dt Nopeus hetkellä t saadaan samoin integroimalla kiihtyvyyden lauseketta: v t = v t 0 + t0 t a t dt Huom. Integroimismuuttuja on pilkutettu jotta sekaannusta integroimisrajojen kanssa ei tulisi (nyt siis t on rajana!)
Integrointia! Sama pätee vektoreille (komponenteittain ajateltuna): Paikkavektori: Ԧr t = Ԧr t 0 + t0 t Ԧv t dt Nopeusvektori: Ԧv t = Ԧv t 0 + t0 t Ԧa t dt
[1] Muuri (kts. kuva) on yli 700 jalkaa (210 m) korkea[2]. Tormund tiputtaa muurilta järkäleen, jonka massa on 50 kg. Mikä järkäleen nopeus maan pinnalla? [1] http://gameofthrones.wikia.com/wiki/beyond_the_wall [2] Martin, George R.R.: A Game of Thrones, Random House, USA, 1997 (Oletetaan, että Westerosissa y- suuntainen kiihtyvyys on 9 m/s.)
1) Analyyttinen ratkaisu tunnetun kiihtyvyyden avulla Valitaan koordinaatisto, തa(t) = (0,-9,0) m/s 2 Oletukset: ilmanvastus on mitättömän pieni ja järkäle on pistemäinen kappale Tällöin kappaleen kiihtyvyydelle pätee: തa(t) = vakio
ҧ Analyyttinen ratkaisu Nopeus saadaan selville integroimalla kiihtyvyyttä: തa t = d തv dt dv ҧ = തa t dt v(t) t v0 dv ҧ = t0 തa(t )dt v(t) t v0 dv ҧ = t0 (0, a, 0)dt v(t) v0 v = t t0 (0, a, 0)t vҧ t vҧ 0 = (0, a, 0)(t t 0 ) integroidaan molemmat puolet
Muista nämä integraaleista: Määrätyissä integraaleissa rajat määräytyvät alku- ja lopputilanteista Nyt siis kun aika kuluu alkuhetkestä tarkasteluhetkeen, eli t 0 -> t, muuttuu nopeus alkunopeudesta tarkasteluhetken nopeuteen, eli v 0 -> v(t) Huom: Integraalissa muuttujina on käytetty tarkoituksella pilkullisia suureita, jotteivat nämä muuttujat menisi sekaisin integroimisrajojen kanssa!
Analyyttinen ratkaisu Eli integraalista saatiin: vҧ t vҧ 0 = (0, a, 0)(t t 0 ) Sovitaan, että järkäleen alkunopeus vҧ 0 = (0,0,0) ja että ajanlasku alkoi järkäleen irroitushetkestä eli t 0 = 0 -> Tällöin nopeus alkuhetkestä laskettuna on siis: vҧ t = (0, a, 0)t vҧ t = 0, 9,0 m s t 2
Analyyttinen ratkaisu Huom: toinen, yhtä hyvä tapa integraalin ratkaisemiseksi: ilman ala- ja ylärajoja (eli määrättyä integraalia), käyttäen sen sijaan integroimisvakiota (C) ja alkuehtoa! തa t dt = ҧ dv a, 0)dt, 0 ) = ҧ dv v ҧ = (0, a, 0)t + C Integroimisvakio määräytyy nyt alkuehdosta v(0) ҧ = (0,0,0).
ҧ Analyyttinen ratkaisu Järkäleen paikka saadaan nyt selville integroimalla nopeutta v t = dxҧ dt x(t) t x0 dx ҧ = 0 dx ҧ = vҧ t dt x(t) t x0 dx ҧ = 0 (0, a, 0)t dt x(t) x0 x ҧ = t 0 1 2 xҧ t = xҧ 0 1 2 (0, a, 0)t 2 (0, a, 0)t2 vҧ t dt
Analyyttinen ratkaisu pähkinänkuoressa DERIVOINTI Ԧr t Ԧv t Ԧa t INTEGROINTI
Kappaleen kiihtyvyys on തa t = A, sin α, e ct. Mikä on sen paikkavektori? 1. rҧ t = 1 2 At2, 1 cos α 2 t2, 1 c 2 e ct 2. rҧ t = At, sin α t, 1 c e ct 3. rҧ t = 1 2 At2, 1 sin α 2 t2, 1 4. rҧ t = c 2 e ct 1 2 At2, 1 2 sin α t2, c 2 e ct 5. rҧ t = 0, sin α, ce ct 6. Jokin muu
Avaruusalus kulkee nopeudella v ҧ = A sin ωt, Be bt, C cos γ. Mikä on sen a) Kiihtyvyys b) Siirtymä ajassa t?
Entä jos nopeuden (tai voiman) lauseketta ei tunneta? Esim: voima ja nopeus riippuvat toisistaan Ei analyyttistä ratkaisua (tai sitä ei osata/viitsitä laskea) voidaan kuitenkin usein ratkaista numeerisesti Huomisen luennon toisena aiheena on dynaamisen ongelman numeerinen ratkaisu!
Voimat "Well, the Force is what gives a Jedi his power. It's an energy field created by all living things. It surrounds us and penetrates us; it binds the galaxy together. Obi-Wan Kenobi
Palloon vaikuttaa kaksi vastakkaissuuntaista voimaa, jotka molemmat ovat suuruudeltaan 4 N. Mikä on palloon vaikuttava nettovoima? a) 4 N b) 0 N c) 8 N d) Ei mikään näistä e) Ei voi tietää 4 N 4 N
Kaksi joukkuetoveriasi rutistaa sinua vastakkaisista suunnista voimilla, jotka ovat suuruudeltaan 40 N. Mikä on sinuun vaikuttava kokonaisvoima? a) 80 N b) 40 N c) 0 N d) Ei mikään näistä e) Ei voi tietää 40 N 40 N Picture credit: Jayne Kamin-Oncea-USA TODAY Sports
Jatkavuuden laki eli Newtonin I laki Kappale jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä vakionopeudella tai pysyy levossa, jos siihen ei vaikuta ulkoisia voimia tai vaikuttavien ulkoisten voimien summa on nolla.
Minkälaisia voimia on olemassa?
Mikä vaikuttaa kappaleen liikkeen muutokseen? Massa (höyhenen nostaminen vaatii vähemmän voimaa kuin lyijytiilen) Aika (auton nopeus on 10s kiihdytyksen jälkeen pienempi kuin 20s) Voiman suuruus (kovemmalla lyönnillä golfpallo lentää pidemmälle)
Voima ja liikemäärän muutos eli impulssi Kesto ja voimakkuus vaikuttavat siihen, kuinka paljon kappaleen liiketila muuttuu vuorovaikutuksessa Olkoon aikavälillä t vaikuttava voima ԦF Liikemäärän muutos on tällöin: Ԧp = ԦF t Tämä suure on impulssi!
Voimien yhdistäminen Voimien yhdistämislaki: Voimat ԦF 1, ԦF 2, ԦF 3, voidaan kaikki summata yhteen joten pätee: Ԧp = ( ԦF 1 + ԦF 2 + ԦF 3 + ) t
Kysymys Pallo liikkuu aluksi suuntaan A. Palloa lyödään mailalla, jolloin palloon vaikuttaa voima suuntaan C. Mikä nuolista kuvaa parhaiten pallon liikemäärän muutosta? G F H E A D C B
Liikemäärän muuttumisnopeus: keskimääräinen voima Edellisestä saadaan ratkaistua kappaleeseen vaikuttanut keskimääräinen voima: ԦF avg = Ԧp t Vrt. keskikiihtyvyys (ja keskinopeus)! Miksi lätkäkaukalot on vaihdettu ns. turvakaukaloiksi?
Liikemäärän muuttumisnopeus: hetkellinen voima Kun tarkasteltava aikaväli kutistetaan infinitesimaalisen pieneksi, päädytään hetkelliseen voimaan: Ԧp ԦF = lim t 0 t = d Ԧp dt Liikemääräperiaate eli Newtonin II laki! ԦF = d Ԧp dt Tunnetaan myös dynamiikan peruslakina
Kysymys Kuvaaja esittää erään kappaleen liikemäärää ajan funktiona. Millä aikavälillä kappaleeseen vaikuttava voima on vakio? A) t 1 t 2 B) t 2 t 3 C) t 1 t 3 D) Jokin muu E) En tiedä Huom! Voima välillä t 1 t 2 on vakio, ja välillä t 1 t 3 on nolla, eli vakio mutta eri t 1 t 2 t 3 t 4
Voiman ja vastavoiman laki (Newton III)
Miten mikään pääsee ikinä liikkeelle?
Liikemäärä voima kiihtyvyys Vuorovaikutuksessa voima aiheuttaa liikemäärän muutoksen Tämä pätee aina ja kaikkialla! Epärelativistinen tarkastelu: p F Pienillä nopeuksilla kiihtyvyys on verrannollinen voimaan Lähellä valon nopeutta olevilla nopeuksilla liikemäärä voi kasvaa ilman, että kappale oleellisesti enää kiihtyisi
Muistutus oikeasta liikemäärän määritelmästä Suhteellisuusteorian mukaan liikemäärä on: Ԧp = γm Ԧv, missä γ = 1 ja c = valon nopeus 1 v2 c 2 Käytännössä huomioidaan jos v > 0.1c
Huomenna Gravitaatio Heittoliike