Reaalianalyysin kehittyminen Pro Gradu Miika Polso Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 14. toukokuuta 2009
Sisällysluettelo 1 Johdanto 3 2 Varhaisen ajan analyysi 4 2.1 Eudoksos Knidoslainen ja ekshaustiomenetelmä........ 5 2.2 Arkhimedes Syrakusalainen................... 7 3 Kehityksen taantuminen 12 4 Analyysin uusi nousu 1600-luvulla 13 4.1 Bonaventura Cavalieri...................... 13 4.2 Pierre de Fermat......................... 15 4.3 Isaac Newton........................... 20 4.4 Gottfried Leibniz......................... 23 5 Valistusajan matematiikka 28 1
5.1 Leonhard Euler.......................... 30 6 Analyysistä tulee täsmällistä 1800-luvulla 33 6.1 Carl Friedrich Gauss....................... 34 6.2 Fourier-sarja............................ 35 6.3 Augustin-Louis Cauchy...................... 37 6.4 Bernhard Bolzano......................... 39 6.5 Riemannin integraali....................... 42 6.6 Karl Weierstrass.......................... 44 7 Moderni reaalianalyysi 48 7.1 Mitta- ja integraaliteoria..................... 49 2
Luku 1 Johdanto Reaalianalyysin tutkimuskohteita ovat esimerkiksi reaaliarvoisten funktioiden derivaatat ja integraalit, raja-arvo, potenssisarjat ja mittateoria. Tässä matematiikan historiaa tutkivassa työssä käydään läpi keskeisiä ajanjaksoja, henkilöitä ja heidän saavutuksiaan, jotka liittyvät reaalianalyysin kehittymiseen kohti nykyistä formaalia muotoa. Useassa kohtaa tutkielmassa on historiallista aineistoa lähestytty modernein merkinnöin. Ei ole syitä palata aiemmin käytössä olleisiin merkintätapoihin, ja onkin tehokkaampaa esittää asiasisältö paremmin ymmärretyssä kieliasussa. Yleisesti ottaen taustatietojen ja yleisen juonen seuraamista on tutkittu lähteestä [1], ja tarkennuksia tehty tarvittaessa lähteestä [2]. Lauseiden todistuksissa on hyödynnetty molempien lähteiden [1] ja [2] tietoja, joskin nyt ensisijainen lähde on yleisesti ollut lähde [2]. Muut viittaukset löytyvät tekstin lomasta. 3
Luku 2 Varhaisen ajan analyysi Taustatilanne Kreikkalainen matematiikka syntyi joonialaisen ja pythagoralaisen koulukuntien ympärille. Näiden koulukuntien tärkeimmät edustajat, Thales ja Pythagoras vaikuttivat kuudennella vuosisadalla ennen ajanlaskumme alkua. Historiallisesti he ovat kiistanalaisia henkilöitä, legendoihin kiedottuja salaperäisiä hahmoja. Thales oli käytännön mies, mutta Pythagoras oli mystikon maineessa. Pythagoralaisten pidetäänkin käynnistäneen uudenlaiseen matematiikkaan painottavan kulttuurin. Heille matematiikka liittyi läheisemmin viisauden rakkauteen kuin käytännön elämän tarpeisiin. Tämä asenne on jatkunut muodossa tai toisessa aina nykyaikaamme asti. Vuonna 427 ekr syntyi filosofi Platon. Matemaattisia lähteitä ja asiakirjoja ei ole juuri säilynyt Platonia edeltävältä ajalta, ei siis Pythagoraankaan ajalta. Asiakirjojen sijaan pythagoralaisten ansiot ovat välittyneet perimätietona. Platon oli Sokrateen kuuluisin oppilas ja Aristoteleen opettaja. Vaikka Sokrateen vaikutus matematiikan kehittymiseen oli olematon, Platonista tuli 4
300-luvun ekr matematiikan innoittaja. Platon ei itse yltänyt suuriin matemaattisiin tuloksiin, mutta hänen työnsä merkitys tuli Ateenaan perustamansa akatemian kautta. 2.1 Eudoksos Knidoslainen ja ekshaustiomenetelmä Akatemian suurin matemaatikko Eudoksos Knidoslainen todisti lemman, joka tunnetaan nykyään myös jatkuvuusaksiooman nimellä, ja joka on kreikkalaisten integraalilaskennan vastineen, ekshaustiomenetelmän perusta. Määritelmä 2.1. (Jatkuvuusaksiooma). Kun kahdella annetulla suureella on suhde (eli molemmat ovat nollasta eriäviä), toisella on monikerta, joka on toista suurempi. Määritelmä 2.2. (Ekshaustio-ominaisuus). Jos annetusta suureesta vähennetään vähintään sen puolikas ja jäljelle jääneestä osasta vähennetään taas vähintään sen puolikas ja jos tätä vähennysprosessia jatketaan, päädytään lopulta suureeseen, joka on pienempi kuin mikä tahansa annettu samankaltainen suure. Modernisti määritelmä 2.2 voidaan esittää määritelmän 2.3 muodossa. Määritelmä 2.3. Olkoon M annettu suure, ɛ samanlainen ennalta määrätty luku ja suhteelle r on voimassa 1 r 1. Tällöin on olemassa sellainen 2 positiivinen kokonaisluku N, että M(1 r) n < ɛ kaikille positiivisille kokonaisluvuille n > N. Siis lim M(1 n r)n = 0. Kreikkalaiset käyttivät tätä ominaisuutta käyräviivaisten kuvioiden aloja ja tilavuuksia koskevien teoreemojen todistamiseen. Vaikka Eudoksoksen kaikki 5
työt ovat hävinneet aikojen saatossa, on olemassa viitteitä siitä, että juuri hän kehitti ekshaustiomenetelmän. Sen ansiosta Eudoksosta voidaan pitää integraalilaskennan käynnistäjänä. Lause 2.4. Ympyröiden alat suhtautuvat toisiinsa kuin niiden halkaisijoiden neliöt. Todistus. Olkoot ympyrät c ja C, niiden halkaisijat d ja D ja alat a ja A. On siis todistettava, että a = d2. Käytetään epäsuoraa todistusta ja osoitetaan, A D 2 että vaihtoehdot a < d2 ja a > d2 eivät ole tosia. A D 2 A D 2 Oletetaan aluksi, että a > d2. On olemassa sellainen luku a < a, että A D 2 a = d2. Olkoon a a ennalta annettu luku ɛ > 0. Ympyröiden c ja C sisään A D 2 piirretään säännölliset monikulmiot, joiden aloista käytetään merkintöjä p n ja P n, ja joiden sivujen lukumäärä n on yhtä suuri. Tutkitaan monikulmioiden ja ympyröiden väliin jääviä aloja (kuva 2.1). Kuva 2.1: Ympyrän sisällä olevat monikulmiot Jos sivujen lukumäärä kaksinkertaistetaan, on ilmeistä, että näistä näistä kuvioiden väliin jäävistä aloista on vähennettävä yli puolet. Tästä seuraa ekshaustio-ominaisuuden mukaan, että kuvioiden väliin jääviä aloja voidaan pienentää toistuvilla monikulmioiden sivujen lukumäärän kaksinkertaistuksilla (eli antamalla luvun n kasvaa) kunnes a p n < ɛ. Koska a a = ɛ, saadaan p n > a. Eudoksos tunsi tuloksen pn P n 6 = d2 D 2, joten oletuksestamme
a A = d2 D 2 saadaan, että pn P n = a. Koska olemme osoittaneet, että p A n > a, niin täytyy olla P n > A. Monikulmio P n on kuitenkin ympyrän sisällä, joten edellinen päätelmä ei voi päteä. Ristiriidasta seuraa, että mahdollisuus a > d2 ei A D 2 ole tosi. Vastaavalla tavalla nähdään, että mahdollisuus a < d2 ei myöskään A D 2 voi olla tosi. Ainoaksi mahdollisuudeksi jää siis a = d2. A D 2 Huomautus. Lauseen 2.4 väite voidaan esittää myös muodossa 4a d = 4A 2 D. (2.1) 2 Kaavassa (2.1) yhtälön molemmat puolet antavat lukuarvoksi luvun π, ja nykyään tiedämme ympyröitä koskevan tuloksen A = πr 2 = π( d 2 )2 = 1 4 πd2. Kreikkalaiset eivät kuitenkaan kyenneet tekemään tätä päätelmää, koska heille yhtälö (2.1) oli alojen suhde eikä numeerinen yhtälö. Siksi luku π ei esiinny tässä yhteydessä kreikkalaisessa matematiikassa. 2.2 Arkhimedes Syrakusalainen Vaikka Aleksandria oli hellenistisen kauden matemaattisen toiminnan keskus, Arkhimedes ei asunut siellä vaan Syrakusassa. Syrakusan joutuessa Rooman ja Karthagon valtataistelun kohteeksi ja vuosina 214-212 ekr Rooman piirittämäksi, Arkhimedeen kerrotaan keksineen jatkuvasti nerokkaita laitteita vihollisen kukistamiseksi: katapultteja, väkipyöriä ja koukkuja roomalaisten laivojen merestä kohottamiseksi ja murskaamiseksi. Tämä kertoo Arkhimedeen luovasta ja soveltavasta toiminnasta, ja häntä pidetäänkin matemaattisen fysiikan perustajana. Arkhimedes ei kuitenkaan arvostanut mekaanisia laitteita yhtä paljoa kuin ajattelunsa tuotteita. Hän oli kiinnostuneempi yleisistä periaatteista kuin käytännön sovelluksista. Arkhimedeen kuuluisiin töihin kuuluu lukuisia geometrisiä tuloksia, vipulaki 7
ja lause hydrostaattisesta nosteperiaatteesta. Jälkimmäisen keksiessään hänen kerrotaan huudahtaneen Heureka (olen keksinyt sen) ja juosseen kylvystä kotiinsa. Seuraavassa käsitellään kuitenkin niitä tuloksia, jotka selkeästi johtavat differentiaali- ja integraalilaskennan piiriin. Määritelmä 2.5 (Arkhimedeen spiraali, käyrän tangentin määrääminen). Arkhimedeen spiraali on sellaisen tasopisteen ura, joka lähtee tasaisella nopeudella liikkeelle puolisuoran päätepisteestä, kun puolisuora pyörii päätepisteensä ympäri tasaisella kulmanopeudella. Liikkuvan pisteen napakoordinaatit ajan hetkellä t ovat r = vt ja θ = ωt, joten spiraalin yhtälö on napakoordinaatistossa r = aθ, missä a = v. ω Kuva 2.2: Arkhimedeen spiraali Ajattelemalla että spiraalilla r = aθ oleva piste on kahdessa samanaikaisessa liikkeessä, koordinaatiston origosta loittonevassa tasaisessa suoraviivaisessa liikkeessä ja tasaisessa origoa kiertävässä ympyräliikkeessä, Arkhimedes näyttää löytäneen liikkeen suunnan (joka on käyrän tangentti) siten, että hän piirsi liikkeen komponenttien resultantin. Tässä ensimmäistä kertaa määritettiin käyrälle tangentti. Määritelmä 2.6. Termi konoidi tarkoittaa paraabelin pyörähdyskappaleesta, paraboloidista, leikattua segmenttiä. Lauseessa 2.7 esitetään Arkhimedeen todistus, joka on menetelmältään erittäin lähellä nykyistä integraalilaskentaa. 8
Lause 2.7. Konoidin ympärille asetettu lieriö on tilavuudeltaan kaksi kertaa niin suuri kuin konoidin tilavuus. Todistus. Olkoon ABC paraboloidin segmentti ja CD sen akseli (poikkileikkaus segmentistä on esitetty kuvassa 2.3). Kappaleen ympäri piirretään ympyräpohjainen lieriö (johon kuuluu poikkileikkauskuvan pisteet A, B, F ja E), jonka akseli on myös CD. Akseli jaetaan yhtäsuuriin osiin siten, että osien lukumäärä on n ja pituus h. Jakopisteiden kautta piirretään kannan suuntaiset tasot. Tasojen paraboloidista leikkaamien ympyräpohjaisten osien sisään ja ympäri piirretään kuvassa näytetyllä tavalla lieriöt. Sisään mahtuu lieriöitä (n 1) kappaletta ja ympärillä olevien lieriöiden lukumäärä on n. Olkoot lieriöiden pohjan säteet r 1, r 2, r 3,..., r n, missä r n = R. Kuva 2.3: Poikkileikkaus segmentistä Verrataan sisään ja ympäri piirrettyjen kappaleiden tilavuuksia (joista käytetään merkintöjä V (S) ja V (Y )) ison lieriön ABF E tilavuuteen (josta käytetään merkintää V (L)). V (S) V (L) = hπr2 1 + hπr 2 2 + hπr 2 3 +... + hπr 2 n 1 nhπr 2 = n 1 i=1 r2 i nr 2. (2.2) Paraabelin yhtälöstä seuraa, että r2 i = ih = i. Siksi yhtälö (2.2) saadaan R 2 nh n aritmeettista summaa hyväksi käyttäen muotoon n 1 i=1 r2 i nr 2 = 1 + 2 + 3 +... + (n 1) n 2 = (n 1) 1+(n 1) 2 n 2 = n(n 1) 2 n 2 = 1 2 1 2n 2 < 1 2. 9
Vastaavasti voidaan arvioida ympäri piirretyn kappaleen tilavuutta lieriön tilavuuteen: sillä n i=1 r2 i V (Y ) V (L) = hπ nhπr 2 1 2 < 1 2 + 1 n2 2n = + n 2 2 = n 2 = 1 + 2 + 3 +... + n n 2 > 1 2, n(n + 1) 2 n 2 = 1 + 2 + 3 +... + n n 2. Ulko- ja sisäpuolelle piirrettyjen kappaleiden tilavuuksien erotus on yhtä suuri kuin kuvion ympäri piirretyn sylinterin alimman viipaleen tilavuus: πh n n 1 ri 2 πh ri 2 = πhrn 2 = πhr 2. i=1 i=1 Tästä syystä voidaan päätellä, että jakotiheyttä n kasvatettaessa, eli viipaleiden ohentuessa, ympäri ja sisään piirrettyjen kappaleiden tilavuuksien erotus saadaan annettua lukua pienemmäksi. Tällöin epäyhtälöt todistavat väitteen. V (S) < 1 V (L) 2 V (Y ) > 1 V (L) 2 Huomautus. Lauseen 2.7 todistuksessa esitetty menetelmä eroaa modernista integroinnista siinä, että se ei käytä raja-arvon käsitettä. Antiikin matemaatikot olivat hyvin lähellä sitä, mutta kukaan heistä ei määritellyt raja-arvoa. Raja-arvon määritelmän puuttumisen lisäksi puuttuivat myös yleiset laskennalliset algoritmit, joilla olisi voitu laskea pinta-aloja ja tilavuuksia. Arkhimedes aloitti uudet laskut yleensä kokonaan alusta käyttämättä aikaisemmista ja vastaavista ongelmista saatuja ratkaisuja hyväkseen. 10
Varhaisen kreikkalaisen analyysin puutteisiin voidaan lukea myös tangettisuorien ajatteleminen pelkästään käyrää koskettavana suorana. Tämä oli riittämätön näkemys todistamaan muutosnopeus-esityksiä. Arkhimedeen työt antoivat sysäyksen vasta 1600-luvulla kehittyneelle differentiaali- ja integraalilaskennalle. Hänen edistymisensä matemaattisten työkalujen hyödyntämisessä teki hänestä suuren maamerkin matematiikan historiaan. 11
Luku 3 Kehityksen taantuminen Kreikkalaisen matematiikan kulta-ajan päättymisen jälkeen reaalianalyysin kehittymisessä tulee huomattavan pitkä tauko. Suuret teoriat tulevat esiin seuraavaksi lähinnä keskiajan loppuvaihella. Keskiajalla matematiikassa loistaneet kirjoittivat arabiaksi ja elivät islamilaisessa Afrikassa ja Aasiassa, kun taas uuden ajan johtavat matemaatikot kirjoittivat latinaksi ja asuivat kristillisessä Euroopassa. Voidaan tarkentaa, että viisi suurta kulttuuria keskiajalla olivat Kiina, Intia, Arabia, Itäinen valtakunta eli Bysantti ja Läntinen valtakunta eli Rooma. Useimmat kiinnostuksen kohteet liittyivät tuolloin algebraan ja lukuteoriaan. Modernimman matematiikan alkusoittoa oli, kun käytännön miehet Simon Stevinius, Johannes Kepler ja Galileo Galilei tarvitsivat Arkhimedeen menetelmiä 1500 ja 1600-lukujen taitteessa. He kuitenkin halusivat kiertää ekshaustiomenetelmän loogiset hienoudet, josta seurasi antiikin infinitesimaalisten menetelmien muuntautuminen differentiaali- ja integraalilaskentaan. Sata vuotta ennen Newtonin ja Leibnizin julkaisuja ilmestynyt Stevinuksen Statiikka vuodelta 1586 todistaa, että kolmion painopiste on sen mediaanilla. 12
Luku 4 Analyysin uusi nousu 1600-luvulla 4.1 Bonaventura Cavalieri Galilein oppilaasta Cavalieristä tuli Bolognan yliopiston matematiikan professori vuonna 1629. Hän tutki ajalleen tyypillisesti geometriaa, trigonometriaa, tähtitiedettä ja optiikkaa. Cavalieri keskittyi geometrian teemaan, joka vastaa nykyisin differentiaalija integraalilaskennan lausetta a 0 x n dx = an+1 n + 1. Lauseen ilmaiseminen poikkeaa kuitenkin olennaisesti nykyisestä muodostaan. Cavalieri vertasi suunnikkaan kanssa samansuuntaisten janojen pituuksien potensseja vastaaviin janojen pituuksien potensseihin jommassa kummassa kolmiossa, jotka suunnikkaan lävistäjä muodostaa. Jakakoon lävistäjä CF suunnikkaan AF DC kahdeksi kolmioksi ja jakakoon jana HE kolmion CDF siten, että se on samansuuntainen kuin kanta CD (Kuva 4.1). 13
Kuva 4.1: Cavalierin suunnikas Asetetaan piste B janalle AC siten, että janat BC ja F E ovat yhtä pitkiä. Piirtämällä jana BM samansuuntaiseksi kuin jana CD, voidaan todistaa, että jana BM on yhtä pitkä kuin jana HE. Niinpä kolmioon CDF piirretyt janat, jotka ovat kannan CD suuntaisia, voidaan asettaa pareittain yhteyteen kolmion ACF vastaavien janojen kanssa. Tästä seuraa, että kolmiot ovat yhtä suuret. Koska suunnikas on kahden kolmion kannan suuntaisten janojen summa summa, on selvää, että yhden kolmion janojen pituuksien ensimmäisten potenssien summa on puolet suunnikkaan janojen pituuksien ensimmäisten potenssien summasta. Toisin sanoen a 0 x dx = a2 2. Myöhemmin Cavalieri osoitti todistukset korkeammille potensseille ja esitti vuonna 1647 yleistyksen, jonka mukaan potenssille n suhde saa muodon 1. Vaikka Ranskassa matemaatikot tunsivat myöskin tämän tuloksen, avasi n+1 Cavalierin teoreema tien moniin differentiaali- ja integraalilaskennan algoritmeihin. 14
4.2 Pierre de Fermat Italialaiset matemaatikot Cavalieri ja Evangelista Torricelli kuolivat molemmat vuonna 1647. Matematiikan keskukseksi muodostui selkeästi Ranska 1600-luvun toisella kolmanneksella. Johtavat matemaatikot olivat René Descartes (1596-1650) ja Pierre de Fermat (1601-1665), mutta merkittäviin saavutuksiin ylsivät myös Gilles Persone de Roberval (1602-1675), Girard Desargues (1591-1661) sekä Blaise Pascal (1623-1662). Tästä ajanjaksosta lähtien matematiikka alkoi kehittyä ennemminkin sisäisen logiikkansa kuin taloudellisten, sosiaalisten tai teknisten paineiden alaisena. Descartes oli luultavasti matemaattisilla taidoilla mitaten aikansa kyvykkäin ajattelija, mutta sydämeltään hän ei ollut matemaatikko. Hänen työnsä geometrian ja analyyttisen geometrian parissa oli ikään kuin vain elämän erään vaiheen tulos, jonka hän tieteelle omisti. Fermat oli Descartesin ainoa kilpailija matemaattisten taitojen suhteen, mutta hänkään ei ollut ammattimatemaatikko. Analyysin puolella Fermat kehitti muotoa y = f(x) oleville käyrille menetelmän, jolla löydetään pisteet, joissa funktio saavuttaa maksimi- tai minimiarvon. Päättelyn taustalla on geometriset oivallukset, ja formaalimpi määrittely sai odottaa vielä 1600-luvun loppupuolta. Myös Fermat n tangentteja koskeva tarkastelu vastaa oleellisesti sitä, että f(a + e) f(a) lim e 0 e on käyrän kaltevuus pisteessä x = a. Tätä menetelmäänsä Fermat ei kuitenkaan selittänyt tyydyttävästi, ja se saikin kritiikkiä etenkin Descartesilta. Fermat n saavutukset analyyttisessä geometriassa ja infinitesimaalisessa analyysissä olivat vain kaksi hänen tutkimustensa suuntausta, ja merkittävää työtä Fermat teki etenkin lukuteorian saralla. Tästä esimerkkinä olkoon kiehtova ja kuuluisaksi tullut Fermat n suuri lause, jonka todistuksen esitti eng- 15
lantilainen Andrew Wiles vasta vuonna 1995 [3]. Fermat n kuoltua löytyi hänen sivun marginaaliin kirjoittamansa toteamus, että hänellä on nerokas todistus teoreemaan. Todistusta ei ole kuitenkaan löydetty, ja monet uskovat sen olevan virheellinen. Fermat n maksimien ja minimien löytämisen menetelmä Verrataan tietyssä pisteessä olevaa funktion arvoa f(x) sen läheisessä pisteessä saamaan arvoon f(x + e). Tavallisesti nämä arvot poikkeavat toisistaan selvästi, mutta sileän käyrän laaksoissa ja huipuissa arvojen muutosta tuskin huomaa (kuvan 4.2 vasen puoli). Kun luku e pienenee, funktioiden arvot tulevat lähemmäksi todellista yhtäsuuruutta, toisin sanoen f(x+e) f(x) 0. Jos f(x) on polynomifunktio, voidaan suorittaa jakolasku f(x + e) f(x) e 0. Kuva 4.2: Fermat n maksimien ja minimien löytämisen menetelmä Fermat ei vaatinut, että luku e olisi pieni, eikä sanonut mitään raja-arvosta luvun e lähestyessä nollaa. Hän ajatteli termit x ja x + e algebrallisesti yhtälön f(x) = c juurina (kuvan 4.2 oikea puoli). Kirjoittamalla f(x + e) = f(x), jakamalla luvulla e ja vasta sen jälkeen merkitsemällä luvun e nollaksi, Fer- 16
mat sai ratkaisuksi, että kaksi juurta ovat yhtä suuret, kun c = f(x) on funktion f maksimiarvo. Fermat n ajatus antaa muuttujalla hieman toisistaan poikkeavat arvot on hänen ajoistaan lähtien ollut infinitesimaalisen analyysin olennaisin osa. Myöhemmin Laplacen mielestä Fermat oli differentiaalilaskennan todellinen keksijä. Fermat keksi myös menetelmän käyrän tangentin määräämiseksi. Määritelmä 4.1. Alitangentiksi sanotaan tangentin projektiota x-akselilla. Lause 4.2. Käyrän y = f(x) alitangentti s saadaan yhtälöstä s e f(x) f(x + e) f(x). Todistus. Fermat n menetelmässä approksimoidaan, että tangentin käyrän sivuamispisteen läheisyydessä käyrällä y = f(x) oleva piste on sekä käyrällä että tangentilla. Kuva 4.3: Käyrän tangentti Niin saadaan yhdenmuotoiset kolmiot (kuva 4.3), joista saadaan suhde s + e s = k f(x). (4.1) 17
Ratkaisemalla alitangentti s yhtälöstä (4.1) saadaan s = e f(x) k f(x), johon sijoittamalla k f(x + e) saadaan väite. Lause 4.3. Käyrän y = f(x) tangentti f (x) saadaan yhtälöstä missä s on alitangentti. f (x) = f(x) s, Todistus. Lausetta 4.2 muokkaamalla saadaan yhtälö s f(x) f(x+e) f(x) e Kun nyt otetaan nykymerkinnöin raja-arvo e 0, saadaan s = f(x) f (x), josta f (x) = f(x) s.. Esimerkki. Olkoon f(x) = x 2. Tällöin Siis s ex 2 (x + e) 2 x 2 = x2 2x + e x2 2x = x 2, kun e 0. f (x) = f(x) s = x2 x/2 = 2x. Fermat n integraalilaskenta Fermat lla ei ollut vain menetelmää muotoa y = x m olevien käyrien tangenttien määrittämiseksi, vaan vuoden 1629 jälkeen hän keksi myös käyrien rajoittamia aloja koskevan teoreeman, saman, jonka Cavalieri julkaisi vuosina 1635 ja 1647. 18
Lause 4.4. Pisteiden x = 0 ja x = a välissä oleva käyrä y = x n ja x-akseli rajoittavat pinta-alan an+1, missä n Z, n 1 ja n 1. n+1 Todistus. Jaetaan väli [0, a] äärettömän moneen osaan siten, että jakopisteinä ovat a, ae, ae 2, ae 3,..., missä 0 < e < 1. Piirretään näistä pisteistä käyrälle kuvan 4.4 mukaiset suorakulmiot ja lasketaan niiden avulla likiarvo pintaalalle. Kuva 4.4: Fermat n integrointi Suorakulmioiden alat suurimmasta lähtien ovat a n (a ae), a n e n (ae ae 2 ), a n e 2n (ae 2 ae 3 ),..., ja ne muodostavat geometrisen sarjan a n+1 [(1 e) + (e e 2 )e n + (e 2 e 3 )e 2n...]. Järjestelemällä hakasuluissa olevia termejä, saadaan a n+1 [1 + e n+1 + e 2(n+1) +... + ( e (1 + e n+1 + e 2(n+1) +...))] = a n+1 [(1 e) (1 + e n+1 + e 2(n+1) +...)]. Geometrisen summan kaavalla sievennettynä lauseke tulee muotoon a n+1 (1 e) 1 (en+1 ) n 1 e n+1 = a n+1 1 e 1 e n+1 (1 (en+1 ) n ). 19
Kun n kasvaa rajatta, termi (1 (e n+1 ) n )) lähestyy arvoa 1. Olemme siis tilanteessa a n+1 (1 e) a n+1 eli 1 e n+1 1 + e + e 2 +... + e. n Kun suure e lähestyy arvoa 1, eli kun suorakulmiot kapenevat, niiden alojen summa lähestyy käyrän rajoittamaa alaa. Merkitsemällä suorakulmioiden alojen summaan e = 1 saadaan an+1 n+1. Huomautus. Jos modernein merkinnöin halutaan laskea integraalin b a arvo, riittää, että huomaamme tämän lausekkeen vastaavan integraaleja b 0 x n dx a 0 x n dx. xn dx Huomautus. Fermat n vanhempi aikalainen Gregorius St. Vincentläinen selvitti lauseessa 4.4 olevan ongelmatapauksen n = 1. Hän osoitti, että jos x-akselilla merkitään arvosta x = a lähtien pisteet, joiden välit kasvavat jatkuvassa geometrisessä suhteessa ja jos näistä pisteistä piirretään y-akselin suuntaiset suorat hyperbelille xy = 1, käyrän peräkkäisten y-akselin suuntaisten suorien ja x-akselin väliin jäävät alat ovat yhtäsuuret. Kun siis x- akselilla jakopisteiden arvot kasvavat geometrisesti, käyrän rajoittama ala kasvaa aritmeettisesti. Niinpä Gregorius tunsi kaavan b a x 1 dx = ln b ln a vastineen. 4.3 Isaac Newton Isaac Newton syntyi joulupäivänä 1642. Lahjakkaan pojan varttuessa hänen enonsa taivutteli Isaacin Cambridgeen 1661. Aluksi kemia näytti olevan Newtonin suurin mielenkiinnon kohde, mutta hän luki myös matemaattista kirjallisuutta ja kuunteli professori Lucas Barrownin luentoja, jotka ennakoivat uutta analyyttistä struktuuria. 20
1660-luvun puolivälin koittaessa Newton oli saavuttanut aikansa matemaattisen tietämyksen huipun. Tästä lähtien hän kehitti itsenäisesti analyysiä, ensimmäisinä keksintöinään funktioiden ilmoittaminen päättymättöminä sarjoina. Newtonin kiinnostuksen kohteena olivat erityisesti jatkuvasti muuttuvat suureet eli fluentit ja niiden muutosnopeudet eli fluksit. Trinity College Cambridgessä oli ruton takia suurimmaksi osaksi suljettuna vuosina 1665-1666. Tällä välin Newton teki kotonaan ajatustyötään, mistä seurasi matematiikan historian hedelmällisimpänä tunnettu kausi. Newtonin neljä suurinta keksintöä näkivät päivänvalon ensikertaa: 1. binomilause 2. differentiaali- ja integraalilaskenta 3. gravitaatiolaki ja 4. värien luonne. Newtonin ensimmäinen painettu diffrentiaali- ja integraalilaskennan esitys Philosophiae naturalis principia mathematica ilmestyi vuonna 1687. Sen alussa määritellään raja-arvo seuraavalla tavalla. Määritelmä 4.5. Suureet, ja suureiden suhteet, jotka äärellisessä ajassa konvergoivat jatkuvasti toisiaan kohti, ja jotka ennen tämän ajan loppumista ovat lähempänä toisiaan kuin yksikään annettu ero, tulevat lopulta yhtä suuriksi. Newtonin menetelmä yhtälöiden likimääräiseksi ratkaisemiseksi Newtonin teoksista De analysi ja Methodus fluxionum et serierum infitorum löytyy tehokas algoritmi funktion nollakohtien likimääräiseen ratkaisuun. 21
Lause 4.6 (Newtonin menetelmä). Olkoon f(x) = 0 ratkaistava yhtälö ja f : [a, b] R C n -funktio. Jos tunnetaan arvo x n väliltä (a, b), saadaan ratkaisulle tarkempi likiarvo x n+1 = x n f(x n) f (x n ). Kuva 4.5: Newtonin menetelmä Todistus. Derivaatan määritelmän mukaan funktion derivaatta pisteessä x n on sama kuin funktiolle kohtaan x n piirretyn tangentin kulmakerroin. Siispä kuvan 4.5 mukaisesti kulmakertoimeksi tulee f (x n ) = 0 f(x n) x n+1 x n eli x n+1 = x n f(x n) f (x n ). Huomautus (1). Menetelmää voidaan käyttää toistuvasti, kunnes approksimaatio saavuttaa halutun tarkkuuden. Huomautus (2). Jos f(x) on polynomi, Newtonin menetelmä on olennaisesti sama kuin kiinalais-arabialainen approksimaatio, joka tunnetaan Hornerin nimellä. Newtonin menetelmän etu on siinä, että se soveltuu myös transsendenttifunktioita sisältäviin yhtälöihin. 22
Newtonin ja Leibnizin tulokset Newton ei derivoinut tai integroinut ensimmäisenä, mutta hän vakiinnutti kyseisen teorian yhdeksi algoritmiksi. Samoihin aikoihin Saksassa Gottfried Leibniz kehitti vastaavasti differentiaali- ja integraalilaskentaa, ja muodostui epäselvyys siitä, kenelle kuuluu kunnia teorian muodostamisessa. Leibnizilla on julkaisemisen prioriteetti, sillä hänen tuloksensa ilmestyivät kolme vuotta ennen Principiaa. Kuitenkin pidetään melko selvänä, että Newtonin keksinnöt tapahtuivat jo 10 vuotta aiemmin - ja toisaalta Leibniz teki keksintönsä Newtonista riippumatta. Epäselvyys asiasta johti kuitenkin avoimeen riitaan. Prioriteettikiista vieraannutti brittiläiset matematiikot manner-euroopan kehityksestä 1700-luvulla. Näin Englantilainen matematiikka jäi muusta eurooppalaisesta matematiikasta jälkeen. 4.4 Gottfried Leibniz Saksalainen Lebniz (1646-1716) kirjoittautui Leipzigin yliopistoon ollessaan 15 vuotias. Hänen laajat opintonsa olivat poikkitieteellisiä ja hän onkin yksi viimeisimmistä henkilöistä, joka on yltänyt universaaliin tietämykseen. Leibnizistä tuli vaikutusvaltainen diplomaatti, joka matkusteli paljon. Differentiaalilaskenta Leibniz ymmärsi hyvien merkintätapojen tärkeyden ajattelun apuvälineenä, ja erityisesti differentiaali- ja integraalilaskennassa hän teki erittäin onnistuneita valintoja. Esimerkiksi merkintä y dx on jäänyt meidänkin käyttöömme Leibnizin perintönä. 23
Vuonna 1684 Leibniz julkaisi uuden menetelmänsä maksimien ja minimien sekä tangenttien määrittämiseksi. Siinä hän esitti esimerkiksi kaavat osamäärän ja potenssien derivaatoille: d x y = y dx x dy y 2 ja dx n = nx n 1. Tulon derivointikaavan hän perustelee lauseen 4.7 mukaisesti. Lause 4.7. Tarkastellaan muuttujia x ja y. Tällöin dxy = x dy + y dx. Todistus. Muuttujien x ja y pienimmät muutokset dx ja dy ovat äärettömän pieniä. Siksi tulo dx dy voidaan jättää huomiotta ja voidaan kirjoittaa tulon xy pienimmäksi muutokseksi dxy = (x + dx)(y + dy) xy = x dy + y dx. Leibnizin muunnoskaava Kuvassa 4.6 pisteet P (x, y) ja Q(x + dx, y + dy) ovat käyrällä y = f(x), x [a, b]. Leibniz määritteli kuvasta infinitesimaalisen kolmion OP Q. Infinitesimaalinen kaari ds kulkee käyrällä pisteiden P ja Q välillä ja määrittää tangenttisuoran, joka leikkaa y-akselin pisteessä T (0, z). Jana OS on tangentille piirretyllä origon kautta kulkevalla normaalilla ja sen pituus on p. Lause 4.8 (Leibnizin muunnoskaava). Välillä [a, b] määritellyille jatkuville funktioille y = f(x) ja z = g(x) on voimassa yhtälö b y dx = 1 ( b ) [xy] b a + z dx. (4.2) 2 a a Todistus. Kuvan 4.6 tangenttisuoralle pätee yhtälö y = x dy + z eli z = y xdy dx dx. (4.3) 24
Kuva 4.6: Infinitesimaalinen kolmio OP Q. Yhdenmuotoisten kolmioiden OST ja P RQ vastinsivujen suhteista saadaan verranto dx p = ds z p ds = z dx. Täten kolmion OP Q alaksi saadaan a(op Q) = 1p ds = 1 z dx. Jos lasketaan 2 2 yhteen kaikki ne alat, jotka muodostuvat vastaavalla tavalla määritetyistä infinitesimaalisista kolmioista käyrän pisteiden P ja Q välillä, saadaan integraali a(oab) = 1 2 b a z dx, (4.4) missä funktio z = g(x) on määritelty yhtälön 4.3 mukaisesti. Määritetään sitten integraali b y dx. Olkoon piste C = (a, 0) ja piste a 25
D = (b, 0). Kysytty integraali saadaan laskemalla yhteen kolmion OBD ja sektorin OAB alat ja vähentämällä tästä kolmion OBC ala. b a y dx = 1 2 bf(b) 1 2 af(a) + a(oab) = 1 2 [xy]b a + a(aob), johon sijoittamalla tulos 4.4 päädytään väitteeseen. Huomautus. Sijoittamalla muunnoskaavaan yhtälö 4.3 saadaan osittaisintegroinnin kaava b a y dx = [xy] b a f(b) f(a) x dy. Leibniz määritteli muunnoskaavan avulla päättymättömiä sarjoja. Seuraava kuuluisa esimerkki kantaa hänen nimeään. Esimerkki. Kuvan 4.7 a-kohdan yksikköympyrän y-akselin yläpuolinen osa noudattaa funktiota y = 2x x 2. Derivointi muuttujan x suhteen antaa tulokseksi joten nyt dy dx = z = y x 1 x y 1 x = 1 x, 2x x 2 y x = 2 x eli x = 2z2 1 + z 2. Nyt neljännesympyrän pinta-ala voidaan laskea muunnoskaavan avulla. 26
Kuva 4.7: Esimerkkitehtävä. 1 π 4 = y dx Käytetään muunnoskaavaa 0 = 1 ( [x 1 ) 2x x 2 2 ] 1 0 + z dx 0 = 1 [ ( 1 )] 1 + 1 x dz (Kuva 4.7 b-kohta.) 2 = 1 = 1 = 1 1 0 1 0 z 2 dz 1 + z 2 0 z 2 (1 z 2 + z 4...) dz [ 1 3 z3 1 5 z5 + 1 7 z7... = 1 1 3 + 1 5 1 7.... ] 1 0 27
Luku 5 Valistusajan matematiikka 1700-luvulla oli syytä selkeyttää differentiaali- ja integraalilaskennan teoriaa. Esimerkiksi ranskalainen matemaatikko Michel Rolle kuului Acadèmie des Sciencesin ryhmään, joka kritisoi differentiaali- ja integraalilaskennan teoriaa. Hän kuvasi differentiaali- ja integraalilaskennan nerokkaiden virheiden kokoelmaksi. Pierre Varignon oli Leibnizin kanssa kirjeenvaihdossa ja antoi vastauksen Rollelle. Keskeisimpiä ongelmakohtia oli differenssin ymmärtäminen hyvin pieneksi mutta kaikesta huolimatta vakiosuureeksi. Varignon selitti että differentiaali muuttuu eikä se ole vakio, ja että uuden analyysin perusta on oleellisesti aukoton. Vastustuksen romahdettua analyysi kehittyi nopeasti Manner-Euroopassa. Valistusajalla Bernoullien suvusta nousi esiin runsaasti lahjakkaita matemaatikkoja. Leibnizin seuraajiksi tulivat sveitsiläiset veljekset Jakob ja Johann Bernoulli. Heistä vanhempi, Jakob, ehdotti integraali -sanan käyttöä Leibnizille ja hän huomautti muun muassa, että derivaatta ei välttämättä häviä funktion maksimi- tai minimipisteessä, vaan se voi saada myös äärettömän arvon tai olla määrittämätöntä muotoa. 28
Johann Bernoulli opetti ranskalaiselle G. F. A. L Hospitalille Leibnizin kehittämän analyysin salaisuuksia. Markiisi L Hospital teki sopimuksen Bernoullin kanssa, jonka mukaan Johann Bernoulli lähettäisi hänelle säännöllistä palkkaa vastaan matemaattiset keksintönsä. Tästä johtuen eräs Bernoullin keskeisimmistä keksinnöistä kantaa nimeä L Hospitalin sääntö. Lause 5.1 (L Hospitalin sääntö). Olkoot funktiot f(x) ja g(x) differentioi- f tuvia pisteessä x = a. Jos f(a) = g(a) = 0 ja lim (x) x a g (x) niin f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x). on olemassa, Todistus. Kun x a ja x on riittävän lähellä pistettä a, niin Cauchyn väliarvolauseen nojalla pisteiden a ja x välistä löytyy sellainen t x, että (g(x) g(a))f (t x ) = (f(x) f(a))g (t x ). f Koska lim (x) x a on määritelty, niin g (x) 0, kun x a ja x a on g (x) riittävän pieni. Erityisesti g (t x ) 0, kun erotus x a on riittävän pieni. Koska f(a) = g(a) = 0 ja g(x) 0, saadaan Kun x a, niin myös t x a ja siten f(x) g(x) = f (t x ) g (t x ). f(x) lim x a g(x) = lim f (t x ) x a g (t x ). Huomautus. L Hospitalin verbaalisen argumentoinnin seurauksena saadaan väite kun f(a) = g(a) = 0. [4] f(a + dx) g(a + dx) = f(a) + f (a)dx g(a) + g (a)dx = f (a)dx g (a)dx = f (a) g (a), 29