Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57
Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen joukossa! Laajennetaan lukualuetta niin, että myös yhtälöllä x 2 = 1 on ratkaisu., 15. kesäkuuta 2017 2/57
Kompleksitaso Kompleksiluvut kompleksitason pisteet: (3, 3 2 ) (0, 1) ( 7, 0) ( 1, 0) (0, 0) (1, 0) ( 7, 0) ( 4, 2), 15. kesäkuuta 2017 3/57
Kompleksiluvut Määritelmä Kompleksilukujen joukko C on joukko { (a, b) a, b R } varustettuna yhteenlaskulla ja kertolaskulla, jotka määritellään seuraavasti: kompleksilukujen (a, b) ja (c, d) summa ja tulo ovat (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ja (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc)., 15. kesäkuuta 2017 4/57
Imaginaariyksikkö Yhtälölle x 2 = 1 löytyy ratkaisu kompleksilukujen joukossa: Määritelmä (0, 1) (0, 1) = (0 1, 0 + 0) = ( 1, 0). Kompleksilukua (0, 1) merkitään symbolilla i ja kutsutaan imaginaariyksiköksi. Huom. Yllä olevan laskun mukaan i 2 = 1., 15. kesäkuuta 2017 5/57
Kompleksiluvun esitys imaginaariyksikön avulla Oletetaan, että a, b R. Kompleksiluku (a, b) voidaan kirjoittaa imaginaariyksikön avulla seuraavasti: (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) (0, 1) = (a, 0) + (b, 0) i ( ) = a + bi. Kohdassa ( ) samastetaan jälleen kompleksiluvut (a, 0) ja (b, 0) reaalilukuihin a ja b. Näin ollen C = { a + bi a, b R }., 15. kesäkuuta 2017 6/57
Kompleksitaso 3 + 3 2 i i 0 7 1 1 7 4 2i, 15. kesäkuuta 2017 7/57
Kompleksilukujen summa ja tulo Summa ja tulo voidaan laskea kuten koulussa on opittu sieventämään reaalilukulausekkeita. Lisäksi pitää vain huomioida, että i 2 = 1. Esimerkki 1 Merkitään z = 4 2i ja w = 3 + 3 2i. Laske lukujen z ja w summa ja tulo. Yhdistetään samanmuotoiset termit: z + w = ( 4 2i) + (3 + 3 ) 2 i = 4 + 3 2i + 3 2 i = 1 1 2 i., 15. kesäkuuta 2017 8/57
Kerrotaan sulut auki kuten koulussa on opittu: zw = ( 4 2i) (3 + 3 ) 2 i = 4 3 4 3 3 i 2i 3 2i 2 2 i = 12 6i 6i 3i 2 = 12 12i 3 ( 1) = 12 12i + 3 = 9 12i., 15. kesäkuuta 2017 9/57
Kompleksilukuihin liittyviä käsitteitä Määritelmä Oletetaan, että a, b R. Kompleksiluvun z = (a, b) eli z = a + bi reaaliosa on Re z = a. imaginaariosa on Im z = b. HUOM! itseisarvo eli moduli on z = a 2 + b 2. liittoluku on z = (a, b) eli z = a bi. z z (Im z)i Re z z, 15. kesäkuuta 2017 10/57
Lause 2 Oletetaan, että z C. Tällöin z = z z. Todistus. Lasketaan taululle., 15. kesäkuuta 2017 11/57
Puhtaasti imaginaarinen luku ja reaaliluku Määritelmä Jos kompleksiluvun z reaaliosa Re z = 0 ja imaginaariosa Im z 0, sanotaan kompleksiluvun z olevan puhtaasti imaginaarinen luku. Jos kompleksiluvun z imaginaariosa Im z = 0, niin luku z on reaaliluku., 15. kesäkuuta 2017 12/57
Kompleksiluvun käänteisluku Nollaa lukuunottamatta jokaisella reaaliluvulla on käänteisluku. Reaaliluvun ja sen käänteisluvun tulo on tunnetusti aina yksi. Sama vaaditaan kompleksilukujen tapauksessa. Kompleksiluvun z 0 käänteisluku on z 2 > 0). 1 z (huomaa, että z 2, 15. kesäkuuta 2017 13/57
lisäksi ( 1 ) z z 2 z = z z z 2 = z z z z = 1 ja ( 1 z 2 z ) z = zz z 2 = zz z z = 1. Huom. Toinen yhtälö seuraa ensimmäisestä kompleksilukujen kertolaskun vaihdannaisuuden nojalla. Kompleksiluvun z käänteislukua merkitään z 1 tai 1/z tai 1 z., 15. kesäkuuta 2017 14/57
Kompleksilukujen osamäärä Huom. Käänteislukujen avulla saadaan osamäärä: jos z, w C ja w 0, niin z w = z w 1. Käytännössä osamäärä on mukava sieventää laventamalla nimittäjän liittoluvulla: z w = wz ww = 1 w 2 wz., 15. kesäkuuta 2017 15/57
Kompleksilukujen osamäärä Esimerkki 3 Merkitään z = 4 + 7i ja w = 2 i. Määritä luvun z käänteisluku sekä lukujen z ja w osamäärä., 15. kesäkuuta 2017 16/57
Kompleksiluvuilla laskemista Esimerkki 4 Määritä kompeksiluvun z reaaliosa ja imaginaariosa, jos z = 10 4+2i, 15. kesäkuuta 2017 17/57
Lause 5 Oletetaan, että z, w C. Tällöin zw = z w. Lause 6 Oletetaan, että z C \ {0}. Tällöin z 1 = z 1 (Todistukset taululle), 15. kesäkuuta 2017 18/57
Mitä vikaa on alla olevassa yhtälönratkaisussa? 2x 1 = x 2 ( 2x 1) 2 = (x 2) 2 2x 1 = x 2 4x + 4 0 = x 2 6x + 5 x = 6 ± ( 6) 2 4 1 5 2 1 x = 6 ± 4 2 = 3 ± 2 x = 5 x = 1, 15. kesäkuuta 2017 19/57
Johtopäätös ei ole oikein, sillä x = 1 ei ole kyseisen yhtälön ratkaisu. Nimittäin jos x = 1, niin 2x 1 = 2 1 1 = 1 = 1 mutta x 2 = 1 2 = 1. Onkohan x = 5 kyseisen yhtälön ratkaisu? Voit tarkistaa itse. Väärän johtopäätöksen lisäksi ratkaisun merkinnät ovat puutteelliset. Niistä ei käy mitenkään ilmi, miten toistensa alle kirjoitetut rivit liittyvät toisiinsa. Mikä on päättelyn suunta? Ratkaistaan yhtälö huolellisesti taululle., 15. kesäkuuta 2017 20/57
Yhtälönratkaisua Esimerkki 7 Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö iz + 3 = 5z z i + 2i., 15. kesäkuuta 2017 21/57
Trigonometriset funktiot ja yksikköympyrä Yksikköympyrän pisteiden ja trigonometristen funktioiden yhteys: yksikköympyrän kehäpisteen vaakakoordinaatti on vastaavan kulman kosini ja pystykoordinaatti on sini. Pythagoraan lauseella saadaan lisäksi cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1 (cos ϕ, sin ϕ) 1 ϕ Huomaa, että yksikköympyrän säde on yksi., 15. kesäkuuta 2017 22/57
Oletetaan, että r R ja r 0. Piste (cos ϕ, sin ϕ) saadaan siirrettyä etäisyydelle r origosta kertomalla sitä luvulla r: (r cos ϕ) 2 + (r sin ϕ) 2 = r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ = r 2 (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ) = r 2 1 = r = r (r cos ϕ, r sin ϕ) r ϕ, 15. kesäkuuta 2017 23/57
Kompleksiluvun napaesitys Kompleksiluvun napaesitys tarkoittaa kompleksiluvun esittämistä muodossa z = z (cos ϕ + i sin ϕ), missä z on luvun z itseisarvo eli moduli ja ϕ on luvun z vaihekulma eli argumentti. ϕ z cos ϕ + i z sin ϕ z, 15. kesäkuuta 2017 24/57
Radiaani kulman suuruuden yksikkönä Kompleksiluvun vaihekulman eli argumentin yksikkö on absoluuttinen kulmayksikkö eli radiaani. Kulman suuruus radiaaneina on määritelmän mukaan kulman rajoittaman ympyrän kaaren suhde ympyrän säteeseen: α = b r. α r b Kulman suuruus radiaaneina on siis reaaliluku., 15. kesäkuuta 2017 25/57
Radiaanien ja asteiden yhteys Muista, että 180 vastaa π radiaania. Joitakin kulmia: 120 135 150 90 60 45 30 5 6 π 2 3 4 π 3 π 1 2 π 1 3 π 1 4 π 1 6 π 180 0, 360 π 0, 2π 210 225 240 270 330 315 300 7 6 π 5 4 π 4 3 π 3 2 π 5 3 π 7 4 π 11 6 π, 15. kesäkuuta 2017 26/57
Kulman piirtäminen koordinaatistoon voi auttaa päättelyssä. Myös ns. muistikolmioista voi olla apua. π 6 1 π 3 1 2 3 2 2 π 4 1 1, 15. kesäkuuta 2017 27/57
Vaihekulma ei ole yksikäsitteinen Kompleksiluvun z vaihekulma ei ole yksikäsitteinen: Jos z = 0, niin vaihekulmaksi käy mikä luku tahansa: 0 = 0(cos ϕ + i sin ϕ) kaikilla ϕ R., 15. kesäkuuta 2017 28/57
Jos z 0, sen eri vaihekulmat eroavat toisistaan täysien kierroksien verran; ts. kahden eri vaihekulman erotus on n 2π, missä n Z. ϕ γ z cos ϕ + i z sin ϕ z cos θ + i z sin θ θ z cos γ + i z sin γ Esimerkiksi ϕ = θ + 2π, γ = θ + 2 2π, γ = ϕ + 2π., 15. kesäkuuta 2017 29/57
Kompleksiluvun napaesitys Esimerkki 8 Määritetään seuraavien kompleksilukujen napaesitys: z 1 = 2 + 2i z 2 = i z 3 = 1 i 3., 15. kesäkuuta 2017 30/57
Merkitään luku z 1 = 2 + 2i kompleksitasoon: z 1 8 α ϕ Itseisarvon määritelmän mukaan z 1 = ( 2) 2 + 2 2 = 8 = 2 2. Kuvaan piirretyn suorakulmaisen kolmion molempien kateettien pituus on 2, joten α = 45. Siten ϕ = 180 45 = 135. Näin z 1 = 2 2 cos(3π/4) + i2 2 sin(3π/4)., 15. kesäkuuta 2017 31/57
Merkitään luku z 2 = i kompleksitasoon: 3 2 π z 2 Itseisarvon määritelmän mukaan z 2 = 0 2 + ( 1) 2 = 1 = 1. Kuvasta nähdään, että vaihekulma on 3π/2. Näin z 2 = cos(3π/2) + i sin(3π/2)., 15. kesäkuuta 2017 32/57
Merkitään luku z 3 = 1 i 3 kompleksitasoon: 2 γ z 3 Itseisarvon määritelmän mukaan z 3 = 1 2 + 3 2 = 4 = 2. Kuvaan piirretyn suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 1 ja 3 ja hypotenuusa on 2. Saadaan ratkaistua γ = 60. Näin z 3 = 2 cos( π/3) + i2 sin( π/3)., 15. kesäkuuta 2017 33/57
Napaesityksen laskusääntöjä Tulon, liittoluvun ja käänteisluvun määrittäminen käy kätevästi napaesityksen avulla, kuten seuraavassa lauseessa osoitetaan. Potenssien laskemisessa auttaa ns. Moivrén kaava., 15. kesäkuuta 2017 34/57
Napaesityksen laskusääntöjä ja Moivrén kaava Lause 9 Oletetaan, että luvuilla z, w C on napaesitykset z = z (cos ϕ + i sin ϕ) ja w = w (cos θ + i sin θ). Tällöin (a) zw = z w (cos(ϕ + θ) + i sin(ϕ + θ)). (b) z = z (cos( ϕ) + i sin( ϕ)). (c) z 1 = z 1 (cos( ϕ) + i sin( ϕ)). (d) jos n Z, niin z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) (De Moivren)., 15. kesäkuuta 2017 35/57
Lauseen 9 todistus (osa). (a) Lasketaan ja käytetään sinin ja kosinin summakaavoja: zw = z (cos ϕ + i sin ϕ) w (cos θ + i sin θ) = z w (cos ϕ + i sin ϕ)(cos θ + i sin θ) = z w (cos ϕ cos θ + i cos ϕ sin θ + i sin ϕ cos θ + i 2 sin ϕ sin θ) = z w (cos ϕ cos θ + i(cos ϕ sin θ + sin ϕ cos θ) sin ϕ sin θ) = z w (cos ϕ cos θ sin ϕ sin θ + i(cos ϕ sin θ + sin ϕ cos θ)) = z w (cos(ϕ + θ) + i sin(ϕ + θ)) Sinin ja kosinin summakaavat löytyvät erilaisista taulukkokirjoista. Täältä löydät todistuksen alle 90 kulmien tapauksessa., 15. kesäkuuta 2017 36/57
w zw z zw = z w (cos(ϕ + θ) + i sin(ϕ + θ)). Kompleksilukujen tulon itseisarvo on tulon tekijöiden itseisarvojen tulo. Kompleksilukujen tulon vaihekulma on tulon tekijöiden vaihekulmien summa., 15. kesäkuuta 2017 37/57
Moivrén kaava Esimerkki 10 Merkitään z = 6 i 2. Laske De Moivren kaavan avulla z 10., 15. kesäkuuta 2017 38/57
Eksponenttiesitys Yksinkertaisuuden vuoksi asetetaan seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että ϕ R. Merkintä e iϕ tarkoittaa kompleksilukua cos ϕ + i sin ϕ; ts. e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. Huom. Myöhemmillä kursseilla eksponenttifunktio x e x laajennetaan funktioksi C C, jolloin yllä olevaa määritelmää ei enää tarvita., 15. kesäkuuta 2017 39/57
Määritelmä Eksponenttiesitys Kompleksiluvun eksponenttiesitys tarkoittaa kompleksiluvun esittämistä muodossa z = z e iϕ, missä z on luvun z itseisarvo ja ϕ on luvun z vaihekulma. ϕ z e iϕ z, 15. kesäkuuta 2017 40/57
Eksponenttiesitys Esimerkki 11 Määritä seuraavan kompleksiluvun eksponenttiesitys: z = 2 + 2 3i, 15. kesäkuuta 2017 41/57
Merkitään luku z = 2 + 2 3i kompleksitasoon: z 4 α ϕ Itseisarvon määritelmän mukaan z = ( 2) 2 + (2 3) 2 = 16 = 4. Kolmiosta saadaan α = π/3, joten vaihekulma on ϕ = 2π/3. Näin z = 4e 2π 3 i., 15. kesäkuuta 2017 42/57
Binomiyhtälö Määritelmä Oletetaan, että w C ja n N, n > 0. Muotoa x n = w olevaa yhtälöä kutsutaan binomiyhtälöksi. Esimerkki 12 Binomiyhtälöitä ovat esimerkiksi yhtälöt x 6 = 1 ja x 2 = 4 + 4i., 15. kesäkuuta 2017 43/57
Binomiyhtälö Binomiyhtälön ratkaiseminen helpottuu, jos käytetään eksponenttiesitystä sekä tuntemattomalle x että luvulle w. Oletetaan seuraavassa, että w 0. Menetelmä binomiyhtälön x n = w ratkaisemiseksi: 1. Merkitään x = re iϕ. 2. Etsitään luvun w eksponenttiesitys w = w e iθ. 3. Binomiyhtälö saa muodon ( re iϕ ) n = w e iθ r n e inϕ = w e iθ., 15. kesäkuuta 2017 44/57
4. Yhtälössä esiintyvät kompleksiluvut ovat samat, jos ja vain jos niillä on sama itseisarvo ja niiden vaihekulmien erotus on k 2π, missä k Z. Siten saadaan tarkasteltavan yhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälöpari { r n = w nϕ θ = 2πk, missä k Z. 5. Ratkaistaan tästä yhtälöparista r ja ϕ., 15. kesäkuuta 2017 45/57
Binomiyhtälö Esimerkki 13 Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö (a) x 5 = 1 (b) z 4 = 2 3 2i., 15. kesäkuuta 2017 46/57
Tulon nollasääntö kompleksiluvuille Lause 14 Oletetaan, että z, w C. Jos zw = 0, niin z = 0 tai w = 0., 15. kesäkuuta 2017 47/57
Toisen asteen yhtälö Lause 15 Oletetaan, että r R. Jos r > 0, niin yhtälöllä x 2 = r on kompleksilukujen joukossa tasan kaksi ratkaisua, jotka ovat r ja r. Jos r = 0, niin yhtälöllä x 2 = r on kompleksilukujen joukossa tasan yksi ratkaisu, joka on 0. jos r < 0, niin yhtälöllä x 2 = r on kompleksilukujen joukossa tasan kaksi ratkaisua, jotka ovat i r ja i r. Ratkaisut saa käyttämällä tulon nollasääntöä tai binomiyhtälöiden ratkaisumenetelmällä., 15. kesäkuuta 2017 48/57
Toisen asteen yhtälö Lause 16 Oletetaan, että a, b, c R ja a 0. Tarkastellaan yhtälöä ax 2 + bx + c = 0. Jos diskriminantti b 2 4ac 0, yhtälöllä on kompleksilukujen joukossa yksi tai kaksi juurta, jotka saadaan kaavasta x = b ± b 2 4ac 2a Jos diskriminantti b 2 4ac < 0, yhtälöllä on kompleksilukujen joukossa tasan kaksi juurta, jotka saadaan kaavasta x = b ± i b 2 4ac. 2a., 15. kesäkuuta 2017 49/57
Toisen asteen yhtälö Esimerkki 17 Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö x 2 2x + 27 = 2 10x., 15. kesäkuuta 2017 50/57
Toisen asteen yhtälö, missä kertoimet ovat kompleksilukuja. Esimerkki 18 Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö x 2 (2 + 4i)x + 8i 6 = 0., 15. kesäkuuta 2017 51/57