MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi ARMA esimerkkejä

MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi ARMA esimerkkejä Tehtävä 4.1. Ncss-ohjelmiston avulla on generoitu AR(1)-, AR(2)-, MA(1)- ja MA(2)-malleja vastaavia aikasarjoja erilaisilla parametrien arvoilla. Tehtävänä on tutkia seuraavia asioita: (i) (ii) Miten parametrien valinta vaikuttaa mallien teoreettisiin autokorrelaatio- ja osittaisautokorrelaatiofunktioihin sekä spektriin? Miten parametrien valinta vaikuttaa generoitujen aikasarjojen ilmeeseen? (iii) Miten paljon estimoidut autokorrelaatio- ja osittaisautokorrelaatiofunktiot sekä spektri eroavat vastaavista teoreettisista funktioista? Tarkastelemme erityisesti seuraavia seikkoja: Miten mallin viivepolynomien asteluvut ja parametrien arvot vaikuttavat mallin teoreettisiin autokorrelaatio- ja osittaisautokorrelaatiofunktioihin sekä spektriin? Miten mallin viivepolynomien asteluvut ja parametrien arvot vaikuttavat mallista generoidun aikasarjan rytmiikkaan? Miten generoidun aikasarjan rytmiikka sekä estimoidut autokorrelaatio- ja osittaisautokorrelaatiofunktiot sekä spektri liittyvät toisiinsa? Miten estimoidut autokorrelaatio- ja osittaisautokorrelaatiofunktiot sekä spektri kuvastavat vastaavien teoreettisten suureiden ominaisuuksia? Generoidut ARMA-mallit (käytetyt parametrien arvot on annettu mallin tyypin jälkeen): (1) xt = at, at i.i.d.(0, 2 ) (2) AR(1): 0.9 (3) AR(1): 0.9 (4) MA(1): 0.9 (5) MA(1): 0.9 (6) AR(2): 0.6, 0.3 (7) AR(2): 0.6, 0.3 (8) AR(2): 1, 0.5 (9) AR(2): 1, 0.5 (10) MA(2): 0.5, 0.3 (11) MA(2): 0.5, 0.3 (12) MA(2): 1, 0.5 (13) MA(2): 1, 0.5

Huomaa, että Ncss parametroi ARMA-mallit seuraavalla tavalla: AR(1): xt 1xt 1 = at, at i.i.d.(0, 2 ) MA(1): xt = at 1at 1, at i.i.d.(0, 2 ) AR(2): xt 1xt 1 2xt 2 = at, at i.i.d.(0, 2 ) MA(2): xt = at 1at 1 2at 2, at i.i.d.(0, 2 ) Siten AR-mallit on parametroitu kuten luentokalvoilla, mutta MA-mallin parametreille pätee: Huomautuksia: Ncss = Kalvot (1) Esimerkkien (1) (13) ARMA-mallien parametrit on valittu sellaisella tavalla, että puhtaiden AR- ja MA-prosessien, joiden asteluku 2, teoreettisten korrelaatiofunktioiden ja spektrien kaikki mahdolliset tyypit tulevat esiin. Ideana on näyttää millaisia muotoja puhtaiden AR- ja MA-prosessien teoreettiset korrelaatiofunktiot ja spektri voivat saada sekä näyttää se, millaisilta näyttävät ko. malleista generoitujen aikasarjojen estimoidut korrelaatiofunktiot ja spektrit. Vertaamalla teoreettisia ja estimoituja korrelaatiofunktioita ja spektrejä toisiinsa voi saada käsityksen siitä, miten hyvin (tai huonosti) aikasarjasta estimoidut korrelaatiofunktiot ja estimoitu spektri vastaavat sen puhtaan AR- tai MA-prosessin teoreettisia korrelaatiofunktioita ja spektrejä, josta ko. aikasarja on generoitu. Huomaa, että todellisissa tutkimustilanteissa ARMA-mallin tunnistamisessa on käytettävissä vain havaittu aikasarja sekä siitä estimoidut korrelaatiofunktiot ja spektri. (2) Esimerkkien (1) (13) puhtaat AR- ja MA-prosessit on helppo tunnistaa niiden teoreettisten korrelaatiofunktioiden perusteella Koska esimerkkien (1) (13) ARMA-malleista generoiduista aikasarjoista (ko. ARMA-prosessien realisaatioista) estimoidut korrelaatiofunktiot ja spektrit jäljittelevät vähintäänkin kohtuullisesti vastaavien teoreettisten korrelaatiofunktioiden ja spektrien ominaisuuksia, ko. aikasarjan generoineen ARMA-prosessin tunnistaminen onnistuu suhteellisen helposti. Tämä johtuu (ainakin osittain) siitä, että parametrien arvot on valittu sellaisella tavalla, että ko. aikasarjan generoinut ARMA-prosessi olisi helppo löytää. Todellisissa tutkimustilanteissa tunnistaminen ei ole (ainakaan aina) näin helppoa. (3) Huomaa, että NCSS muuttuja Frequency on laskettu: F = λ stokastisen prosessin syklinen komponentti näkyy kuvaajissa F = λ s on syklisen komponentin periodi. 2π. Tällöin stationaarisen 2π = 1 s, missä s

(1) xt = at, at i.i.d.(0, 2 ) Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0;0;0;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) 0 1.000000 Theta(MA) 0 1.000000 Model is stationary and model is invertible.

Autocorrelation Report Variable WN (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable WN (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section

(2) AR(1): 0.9 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0.9;0;0;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) 0 1.000000 1.111111 0.000000 Phi(AR) 1 0.900000 Theta(MA) 0 1.000000 Model is stationary and model is invertible.

Autocorrelation Report Variable AR11 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable AR11 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section

(3) AR(1): 0.9 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(-0.9;0;0;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) 0 1.000000-1.111111 0.000000 Phi(AR) 1-0.900000 Theta(MA) 0 1.000000 Model is stationary and model is invertible.

(4) MA(1): 0.9 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0;0;0.9;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Name Lag Value Root Imaginary Root Phi(AR) 0 1.000000 Theta(MA) 0 1.000000 1.111111 0.000000 Theta(MA) 1 0.900000 Model is stationary and model is invertible.

Autocorrelation Report Variable MA11 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable MA11 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section

(5) MA(1): 0.9 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0;0;-0.9;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Name Lag Value Root Imaginary Root Phi(AR) 0 1.000000 Theta(MA) 0 1.000000-1.111111 0.000000 Theta(MA) 1-0.900000 Model is stationary and model is invertible.

(6) AR(2): 0.6, 0.3 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0.6,0.3;0;0;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) 0 1.000000-3.081666 0.000000 Phi(AR) 1 0.600000 1.081666 0.000000 Phi(AR) 2 0.300000 Theta(MA) 0 1.000000 Model is stationary and model is invertible.

(7) AR(2): 0.6, 0.3 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(-0.6,0.3;0;0;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) 0 1.000000-1.081666 0.000000 Phi(AR) 1-0.600000 3.081666 0.000000 Phi(AR) 2 0.300000 Theta(MA) 0 1.000000 Model is stationary and model is invertible.

(8) AR(2): 1, 0.5 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(1,-0.5;0;0;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) 0 1.000000 1.000000-1.000000 Phi(AR) 1 1.000000 1.000000 1.000000 Phi(AR) 2-0.500000 Theta(MA) 0 1.000000 Model is stationary and model is invertible.

Autocorrelation Report Page/Date/Time 1 22.11.2005 08:54:43 Database C:\Documents and Settings\Il... \AsDatatiedostot\GENARMA1.S0 Variable AR23 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable AR23 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section

(9) AR(2): 1, 0.5 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(-1,-0.5;0;0;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) 0 1.000000-1.000000 1.000000 Phi(AR) 1-1.000000-1.000000-1.000000 Phi(AR) 2-0.500000 Theta(MA) 0 1.000000 Model is stationary and model is invertible.

(10) MA(2): 0.5, 0.3 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0;0;-0.5,0.3;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) 0 1.000000 Theta(MA) 0 1.000000-1.173599 0.000000 Theta(MA) 1-0.500000 2.840266 0.000000 Theta(MA) 2 0.300000 Model is stationary and model is invertible.

(11) MA(2): 0.5, 0.3 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0;0;0.5,0.3;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) 0 1.000000 Theta(MA) 0 1.000000-2.840266 0.000000 Theta(MA) 1 0.500000 1.173599 0.000000 Theta(MA) 2 0.300000 Model is stationary and model is invertible.

(12) MA(2): 1, 0.5 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0;0;1,-0.5;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) 0 1.000000 Theta(MA) 0 1.000000 1.000000-1.000000 Theta(MA) 1 1.000000 1.000000 1.000000 Theta(MA) 2-0.500000 Model is stationary and model is invertible.

(13) MA(2): 1, 0.5 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0;0;-1,-0.5;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) 0 1.000000 Theta(MA) 0 1.000000-1.000000 1.000000 Theta(MA) 1-1.000000-1.000000-1.000000 Theta(MA) 2-0.500000 Model is stationary and model is invertible.

Tehtävä 4.2. Ncss-ohjelmiston avulla on generoitu ARMA(1,1)-, SAR(1)-, SMA(1)- ja SARMA(1,1,1,1)- malleja vastaavia aikasarjoja erilaisilla parametrien arvoilla. Tehtävänä on tutkia seuraavia asioita: (i) (ii) Miten parametrien valinta vaikuttaa mallien teoreettisiin autokorrelaatio- ja osittaisautokorrelaatiofunktioihin sekä spektriin? Miten parametrien valinta vaikuttaa generoitujen aikasarjojen ilmeeseen? (iii) Miten paljon estimoidut autokorrelaatio- ja osittaisautokorrelaatiofunktiot sekä spektri eroavat vastaavista teoreettisista funktioista? Tarkastelemme erityisesti seuraavia seikkoja: Miten mallin viivepolynomien asteluvut ja parametrien arvot vaikuttavat mallin teoreettisiin autokorrelaatio- ja osittaisautokorrelaatiofunktioihin sekä spektriin? Miten mallin viivepolynomien asteluvut ja parametrien arvot vaikuttavat mallista generoidun aikasarjan rytmiikkaan? Miten generoidun aikasarjan rytmiikka sekä estimoidut autokorrelaatio- ja osittaisautokorrelaatiofunktiot sekä spektri liittyvät toisiinsa? Miten estimoidut autokorrelaatio- ja osittaisautokorrelaatiofunktiot sekä spektri kuvastavat vastaavien teoreettisten suureiden ominaisuuksia? Generoidut mallit (parametrit on annettu mallin tyypin jälkeen): (1) ARMA(1,1): 0.7; 0.4 (2) ARMA(1,1): 0.7; 0.4 (3) ARMA(1,1): 0.5; 0.5 (4) ARMA(1,2): 0.5; 0.5 (5) SAR(1): 0.8 (6) SAR(1): 0.8 (7) SMA(1): 0.8 (8) SMA(1): 0.8 (9) SARMA(1,1,1,1): 0.8; 0.7; 0.7; 0.5 (10) SARMA(1,1,1,1): 0.5; 0.7; 0.7; 0.5 Kauden pituutena on käytetty arvoa s = 12. Huomaa, että Ncss parametroi ARMA-mallit seuraavalla tavalla: ARMA(1,1): xt 1xt 1 = at 1at 1, at i.i.d.(0, 2 ) SAR(1): xt 1xt s = at, at i.i.d.(0, 2 ) SMA(1): xt = at 1at s, at i.i.d.(0, 2 ) SARMA(1,1,1,1): (1 1L)(1 1L s )xt = (1 1L)(1 1L s )at, at i.i.d.(0, 2 ) Siten AR-mallit on parametroitu kuten luentokalvoilla, mutta MA-mallin parametreille pätee: Ncss = Kalvot

Huomautuksia: (1) Esimerkkien (1) (10) ARMA-mallien parametrit on valittu sellaisella tavalla, että ARMA(1,1), SAR(1)- ja SMA(1)-prosessien teoreettisten korrelaatiofunktioiden ja spektrien kaikki mahdolliset tyypit tulevat esiin. SARMA(1,1,1,1)-mallien erilaista parametroinneista tarkastellaan vain kahta tyyppiesimerkkiä. Ideana on näyttää millaisia muotoja ym. ARMA-prosessien teoreettiset korrelaatiofunktiot ja spektri voivat saada sekä näyttää se, millaisilta näyttävät ko. malleista generoitujen aikasarjojen estimoidut korrelaatiofunktiot ja spektrit. Vertaamalla teoreettisia ja estimoituja korrelaatiofunktioita ja spektrejä toisiinsa voi saada käsityksen siitä, miten hyvin (tai huonosti) aikasarjasta estimoidut korrelaatiofunktiot ja estimoitu spektri vastaavat sen puhtaan AR- tai MA-prosessin teoreettisia korrelaatiofunktioita ja spektrejä, josta ko. aikasarja on generoitu. Huomaa, että todellisissa tutkimustilanteissa ARMA-mallin tunnistamisessa on käytettävissä vain havaittu aikasarja sekä siitä estimoidut korrelaatiofunktiot ja spektri. (2) Esimerkkien (1) (10) puhtaat SAR- tai SMA-prosessit on helppo tunnistaa niiden teoreettisten korrelaatiofunktioiden perusteella. Sen sijaan ARMA(1,1)-mallien ja etenkään SARMA(1,1,1,1)-mallien tunnistaminen ei ole (aivan) yhtä helppoa. Koska esimerkkien (1) (10) ARMA-malleista generoiduista aikasarjoista (ko. ARMA-prosessien realisaatioista) estimoidut korrelaatiofunktiot ja spektrit jäljittelevät kohtuullisen hyvin vastaavien teoreettisten korrelaatiofunktioiden ja spektrien ominaisuuksia, ko. aikasarjan generoineen ARMA-prosessin tunnistaminen onnistuu kuitenkin melko helposti. Tämä johtuu (ainakin osittain) siitä, että parametrien arvot on valittu sellaisella tavalla, että ko. aikasarjan generoinut ARMA-prosessi olisi kohtuullisen helppo löytää. Todellisissa tutkimustilanteissa tunnistaminen ei ole (ainakaan aina) näin helppoa.

(1) ARMA(1,1): 0.7; 0.4 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0.7;0;0.4;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) 0 1.000000 1.428571 0.000000 Phi(AR) 1 0.700000 Theta(MA) 0 1.000000 2.500000 0.000000 Theta(MA) 1 0.400000 Model is stationary and model is invertible.

Autocorrelation Report Variable ARMA111 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable ARMA111 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section

(2) ARMA(1,1): 0.7; 0.4 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(-0.7;0;-0.4;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) 0 1.000000-1.428571 0.000000 Phi(AR) 1-0.700000 Theta(MA) 0 1.000000-2.500000 0.000000 Theta(MA) 1-0.400000 Model is stationary and model is invertible.

(3) ARMA(1,1): 0.5; 0.5 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0.5;0;-0.5;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) 0 1.000000 2.000000 0.000000 Phi(AR) 1 0.500000 Theta(MA) 0 1.000000-2.000000 0.000000 Theta(MA) 1-0.500000 Model is stationary and model is invertible.

(4) ARMA(1,1): 0.5; 0.5 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(-0.5;0;0.5;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Phi(AR) 0 1.000000-2.000000 0.000000 Phi(AR) 1-0.500000 Theta(MA) 0 1.000000 2.000000 0.000000 Theta(MA) 1 0.500000 Model is stationary and model is invertible.

(5) SAR(1): 0.8 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0;0.8;0;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Polynomial too large or numerically instable.

Autocorrelation Report Variable SAR11 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable SAR11 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section

(6) SAR(1): 0.8 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0;-0.8;0;0) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Polynomial too large or numerically instable.

Autocorrelation Report Variable SAR12 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable SAR12 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section

(7) SMA(1): 0.8 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0;0;0;0.8) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Polynomial too large or numerically instable.

Autocorrelation Report Variable SMA11 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable SMA11 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section

(8) SMA(1): 0.8 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0;0;0;-0.8) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Polynomial too large or numerically instable.

Autocorrelation Report Variable SMA12 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable SMA12 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section

(9) SARMA(1,1,1,1): 0.8; 0.7; 0.7; 0.5. Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(0.8;-0.7;0.7;0.5) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Polynomial too large or numerically instable.

Autocorrelation Report Variable SARMA11111 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable SARMA11111 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section

(10) SARMA(1,1,1,1): 0.5; 0.7; 0.7; 0.5 Theoretical ARMA Report Model ArmaRoutine(-0.5;-0.7;0.7;0.5) Plot Section Coefficient Analysis Section Coefficient Coefficient Real Imaginary Name Lag Value Root Root Polynomial too large or numerically instable.

Autocorrelation Report Variable SARMA11112 (0,0,12,1,0) Autocorrelation Plot Section Spectral Analysis Report Variable SARMA11112 (0,0,12,1,0) Fourier Plot Section