Luento 14: Periodinen liike, osa 2

Luento 14: Periodinen liike, osa 2 Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi F ~ µ ~F t F ~ d ~F r m~g

Ajankohtaista

Poimintoja palautekyselystä Oli mukava luento. Mukavaa että luennoitsija mahdollisti tämän, voisi olla useammin toisin ymmärrän että kurssilla on paljon käsiteltävää ja aikaa on suht vähän. Ei ollut kauhean hyödyllistä, kun ei ollut kerennyt perehtyä tehtäviin yhtään. Keskiviikon luennon jälkeen sattaisi olla herännyt enemmän kysymyksiä. En ollut ehtinyt tutustua tehtäviin ja ainakin itsellä niiden ratkaisu vaatii aika paljon aikaa ja pureskelua. Ehkä olisi järkevämpää antaa ko. mahdollisuus aina keskiviikon luennolla kun asiat ja tehtävät ovat jo edes hieman tuttuja. Hankalampaa kuin laskareissa avun pyytäminen. Mutta oli kiva muuten miettiä yhdessä kavereiden kanssa tehtäviä. Ei olisi luennolla tarvetta tätä tehdä. Tulos sama jos olisi kavereiden kanssa mietitty jossain muualla. Hyödyllisempää olisi käydä mallitehtäviä enemmän yhdessä luennolla läpi. Idea hyvä, mutta toteutus oli huono. Ei ehkä toimi noin isolla ryhmällä Itse olisi pitänyt ruveta laskemaan tehtäviä ennen kuin olisin osannut esittää niistä kysymyksiä eikä luennon lopuksi jäänyt aika vaikuttanut riittävältä ajalta aloittaa tehtävien tekoa. Itsellä ollut laskareissa ongelmia juurikin laskujen käyntiin saamisessa joten rauhassa porukalla miettiminen tuntui juuri sopivalta.

Poimintoja palautekyselystä Jotta kyselytuokiosta olisi hyötyä, pitäisi sen olla vasta keskiviikkona. Silloin olisi jo laskettu hieman tehtäviä ja kaikki asiat olisi luennoilla käyty läpi. Laskuharjoitusten aloittelu oli hyödyllistä, mutta luentosali on vähän hankala ympäristö kysellä. Lopussa oli helpompaa, kun väki oli vähentynyt lounaalle. Laskutehtävät oppii yleisesti parhaiten itseopiskeluna. Loppuviikon luentoon se olisi sopinut paremmin, koska siihen mennessä oltaisiin käsitelty koko viikon laskarien sisältö. Mielestäni laskaritehtäviä voi tehdä laskuharjoituksissa ihan tarpeeksi. Jos niitä ei saa yhdellä kerralla tehtyä niin voi aina mennä toiseen ryhmään seuraavana päivänä. Mielestäni luentojen parasta antia on itse luennot, haluaisin kuulla selitystä asiasta tai vaikka esimerkkejä sen sijaan että aloitettaisiin laskareita. Mielummin useampia laskareita kuin luennon käyttämistä laskareina. Olisi parempi, jos luennoitsija avaisi tehtäviä ja antaisi opiskelijoille ns. punaisen langan tehtäviin ja yhdessä hahmoteltaisiin tehtävää. Luennolla kysely mahdollisuus ei tunnu luonnolliselta. Tehtävistä voi kysellä laskareissa. Itse haluaisin nähdä että lasketaan esimerkkejä ilman että hypätään vaiheiden yli jotta sitten laskareiden laskeminen olisi helpompaa(tavallaan kun edes tietäisi mitä tekee...)

Luennon sisältö Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi

Vaimennettu värähtely Jos kappaleeseen vaikuttaa palauttavan voiman lisäksi häviöllinen voima, värähdysliikkeen energia pienenee ajan funktiona Matemaattisesti helpointa analysoida tapausta, jossa kitkavoima suoraan verrannollinen kappaleen nopeuteen F k = bv Kappaleen liikeyhtälö X F = kx bv = ma =) m d 2 x dt 2 + b dx dt + kx = 0 Merkitään = b/2m ja! 2 = k/m d 2 x dt 2 + 2 dx dt +!2 x = 0

Ratkaisu Lisätietoa MyCoursesin lisälapussa DY:ssä funktio ja sen 1. ja 2. derivaatta lineaaritermeinä, joten ratkaisussa eksponenttifunktio Käytetään yritettä x = e t Sijoitetaan tämä derivaattoineen liikeyhtälöön, jolloin saadaan karakteristinen yhtälö 2 + 2 +! 2 = 0, josta edelleen 1,2 = ± p 2! 2

Kolme ratkaisuvaihtoehtoa Termin ( 2! 2 ) etumerkistä riippuen yhtälöllä on kolme erityyppistä ratkaisua Alivaimennus!> : harmonisen värähtelijän liikeyhtälö x = e t = A cos(! 0 t)+b sin(! 0 t) e = A cos(! 0 t + ) e t, missä! 0 2 =! 2 2 Kriittinen vaimennus =! : x =(A + Bt) e t Ylivaimennus >!: x = A e!0t +B e!0 t t

Vaimennustyypit

Alivaimennetun värähtelyn kulmataajuus A cos(! 0 t + ) e t, missä! 0 2 =! 2 2 kuvaa värähtelijää, jolla kulmataajuus! 0 ja joka vaimenee eksponentiaalisesti aikavakiolla Vaimentamattomalla systeemillä ominais- tai luonnollinen kulmataajuus! Vaimennetun värähtelijän kulmataajuus siis pienempi kuin vaimentamattoman

Pakkovärähtely Vaimennettu värähtelijä pysähtyy ajan kuluessa Jos värähtelijään kohdistetaan pakkovoima (driving force), se pysyy liikkeessä Liikettä kutsutaan pakkovärähtelyksi (forced/driven oscillation) Yksinkertaisimmassa tilanteessa pakkovoima sinimuotoinen F = F 0 cos! d t Pakkovoiman taajuus ei tarvitse olla sama kuin systeemin ominaiskulmataajuus Mielivaltainen voima voidaan Fourier-analyysin avulla esittää eritaajuisten ja -amplitudisten sinimuotoisten värähtelyjen summana

Pakkovärähtelijän DY Liikeyhtälö d 2 x dt 2 + 2 dx dt +!2 x = F 0 m cos! Dt = Epähomogeeninen DY (edelleen lineaarinen DY) Yhtälön ratkaisu on homogeenisen yhtälön d 2 x dt 2 + 2 dx dt +!2 x = 0 yleinen ratkaisu + epähomogeenisen yhtälön erityisratkaisu Erityisratkaisun yrite: ratkaisulla sama kulmataajuus kuin pakkovoimalla x = A 0 cos! D t + B 0 sin! D t

Ratkaisuyrite Sijoitetaan yritteen derivaatat pakkovärähtelyn DY:öön Kertoimet A 0 ja B 0 saadaan ratkaistua, koska sinin ja kosinin kertoimet täytyy hävitä erikseen Saadaan yhtälöpari! d 2 A0 + 2! d B 0 +! 2 A 0 = F ) 0 m! d 2 B0 2! d A 0 +! 2 B 0 = 0 =) B 0 = 2! d! 2! d 2 A 0 A 0 = h m F o (! 2! d 2) i! 2! d 2 2 2 + 2!d

Vaihe-ero Tutkitaan edelleen DY:ön erityisratkaisua Esitetään erityisratkaisu x = A 0 cos! d t + B 0 sin! d t muodossa x = A cos(! d t ) = A cos( ) cos(! d t)+asin( ) sin(! d t) Tästä saadaan yhtälöt amplitudille A ja vaiheelle A 0 = A cos B 0 = A sin =) tan A 2 = A 0 2 + B 0 2 = B0 A 0

Erityisratkaisun yhteenveto Pakkovärähtelyn erityisratkaisun amplitudi A = r h! 2! 2 d F 0 /m 2 + 2!d 2 i Pakkovärähtelyn erityisratkaisun vaihe = arctan 2! d! 2! 2 d Pakkovärähtelyn kokonaislauseke siis vaimennetun värähtelyn yleinen lauseke + tämä erityisratkaisu Erityisratkaisu kuvaa systeemiä homogeenisen yhtälön sisältämien vaimenevien, ns. transienttiratkaisujen sammuttua

Erityisratkaisun käyttäytyminen Pieni taajuus Pienillä pakkovoiman kulmataajuuksilla (! d!) amplitudi ja vaihe supistuvat A = F 0/m! = arctan = F 0 k! 2! d /! 2 2 1!d!! 0 kun! d!! 0 Systeemi värähtelee vaimennusvakion suuruudesta riippumatta vakioamplitudilla samassa vaiheessa pakkovoiman kanssa

Erityisratkaisun käyttäytyminen Suuri taajuus Suurilla pakkovoiman taajuuksilla (! d!) A = F 0/m! 2 d = arctan 2 /! d 2 1!!d!! kun!! d! 0 Systeemi värähtelee pakkovoimaan nähden vastakkaisessa vaiheessa ja amplitudi pienenee pakkotaajuuden kasvaessa Systeemi ei ehdi seurata pakkovoimaa

Erityisratkaisun käyttäytyminen Resonanssi Kun pakkovoiman kulmataajuus lähellä luonnollista kulmataajuutta (! d!!) A = F 0/m 2! d = arctan 2! d! 2! 2 d! 2 kun! d!! Systeemi resonanssissa kun värähtelijän amplitudi maksimissaan Pakkovoimalla kulmataajuus resonanssikulmataajuus Resonanssissa energian siirto pakkovoimasta värähtelijään tehokkainta

Resonanssista Pakkovärähtelijän amplitudi A ja värähtelyn vaihe (vrt. pakkovärähtelyn vaiheeseen) riippuvat voimakkaasti kulmataajuuksista! ja! d Amplitudin resonanssi tarkalleen ottaen kun (vrt laskuharjoitus) Jos vaimennus Resonanssin leveys määräytyy! 2 d =! 2 2 2 pieni, värähtelyn amplitudi suuri :n arvosta Tehonsiirron puoliarvon leveys (FWHM full width at half maximum)! = 2 joten vaimennustermi tunnetaan myös nimellä resonanssin puoliarvon leveys Värähtelijän hyvyysarvo eli Q-arvo (quality) on resonanssikulmataajuuden ja kaistanleveyden osamäärä Q =! 2

Tehon siirto Q-arvo kertoo värähtelijään tuodun ja kitkahäviöihin kuluneen energian suhteen (laskuharjoitus) Suuri Q-arvo kertoo resonanssin kapeudesta ja toisaalta pienistä häviöistä Suuri Q-arvo tarkoittaa että värähtelijä on hyvin herkkä pakkovoiman taajuudelle =) resonanssissa pieni pakkovoiman amplitudi riittää ajamaan systeemin värähtelyyn korkean amplitudin (vrt. keinu), mutta systeemi ei juuri reagoi resonanssitaajuuden ulkopuolella olevaan pakkovoimaan Pieni Q-arvo tarkoittaa että systeemi on verrattain epäherkkä pakkovoiman taajuudelle, mutta resonanssissa häviöt ovat toisaalta suuret joten tehonsiirto on pientä Erityisesti tämä tulee vastaan RLC-piirien yhteydessä ja antenniteoriassa ja siltojen rakentamisessa

Resonanssista Galloping Gertie https://en.wikipedia.org/wiki/tacoma_narrows_bridge Salfordin yliopiston animaatioita värähdysliikkeestä http://www.acoustics.salford.ac.uk/feschools/waves/shm4.php