Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 5 / vko 4 Tuntitehtävät 4-42 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 45-46 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 43-44 tarkastetaan loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 47-49 tulee palauttaa seuraavan alkuviikon harjoituksiin paperilla tai pdf-muodossa kurssin MyCourses-sivuille tiistaihin klo 6.00 mennessä. Sama kellonaika on myös viikoittaisten verkkotehtävien dl, joskin verkkotehtävät kannattaa tehdä ennen palautettavia kotitehtäviä. Alkuviikko: modulaariaritmetiikka, permutaatiot Tuntitehtävä 4: Olkoon RSA-menetelmässä käytetyt alkuluvut p = 3 ja q = sekä koodausavain k = 7. Laske viestille x = 2 koodattu viesti, määritä purkuavain, pura koodattu viesti ja tarkista, että tuloksena on alkuperäinen viesti. Koska n = p q = 33, on julkisena salaavana avaimena (7, 33). Kun tällä salauksella halutaan lähettää viesti x = 2, saa viesti muodon r 2 7 (mod 33). Koodatuksi viestiksi saadaan siis 2 7 = 28 = 33 3 + 29 29(mod 33). Purkuavaimen määrittämiseksi meidän tulee tietää n:n tekijät, p = 3 ja q =. Nyt m = (p )(q ) = 2 0 = 20. Purkuavaimen määrittämiseksi meidän tulee laskea luvun k = 7 käänteisalkio renkaassa Z m, eli [7] 20. Koska 7 3 = 2 (mod 20), on tämä käänteisalkio ja purkuavain 3. Koko yksityinen avain on siis (3, 33). Nyt voimme purkaa salaamamme viestin samalla tavalla kun sen koodasimmekin. Puretuksi viestiksi saadaan x 29 3 29 2 29 84 29 6 29 464 2(mod 33), jossa potensseja on käyty yksi kerrallaan laskun helpottamiseksi. Huomataan, että saatiin alkuperäinen koodattu viesti.
( ) 2 3 4 Tuntitehtävä 42: Permutaatio π = on sykli, sillä toistettuna se kuvaa 3 3 4 2 ( ) 2 3 4 4 2 ; merkitään π = ( 3 4 2). Permutaatio ρ = ei ole sykli, mutta koostuu 3 4 2 ( ) 2 3 4 kahdesta erillisestä syklistä; merkitään ρ = ( 3)(2 4). Identtistä permutaatiota e = 2 3 4 merkitään vastaavasti e = ()(2)(3)(4). Näitä sanotaan permutaation sykliesityksiksi. ( ) 2 3 4 5 6 7 8 9 a) Määritä permutaation sykliesitys. 3 8 9 5 7 2 4 6 b) Määritä permutaation ( 3 7 2)(4 6)(5 9 8) S 9 matriisiesitys. a) Tutkitaan, mitä syklejä permutaatiosta löytyy. Kun lähdetään alkiosta, saadaan 3 9, eli (39). Samoin kun lähdetään alkiosta 2 liikkeelle, saadaan 2 8 6 2, eli (2, 8, 6). Alkio 4 johdattaa 4 5 7 4, eli (4, 5, 7). Nyt mikään alkio ei ole enää läpikäymätön, ja saadaan muoto π = (39)(286)(457) b) π = ( 2 3 4 5 6 7 8 ) 9 3 7 6 9 4 2 5 8 Kotitehtävä 43: Anna haluaa lähettää salatun viestin Bertalle ja pyytääkin Berttaa lähettämään hänelle julkisen RSA-algoritmiavaimensa. Cecilia kuitenkin sieppaa tämän avaimen, joka on (5, 4), ja lähettää sen sijaan Annalle oman julkisen avaimensa, joka on (7, 22). Seuraavaksi Anna lähettää viestin, joka salattuna on 9, Cecilialle luullen lähettävänsä sen Bertalle. Cecilia purkaa salauksen, lukee viestin, ja lähettää sen eteenpäin Bertalle, nyt salattuna Bertan julkisella avaimella. Mikä on alkuperäinen viesti, ja minkä viestin Cecilia lähettää Bertalle? Huom: Tässä on siis kyse Cecilian suorittamasta ns. man-in-the-middle -hyökkäyksestä. Cecilia ainoastaan lukee viestin, ei muuta sen sisältöä. Ensin meidän on määritettävä Cecilian yksityinen avain. Koska n = 22 = 2 p = 2, q =. p:n ja q:n avulla lasketaan m = (p )(q ) = 0. Koska kd = mod (, m), eli 7d = mod (, 0) d = 3. Cecilian yksityiseksi avaimeksi saadaan (3, 22). Annan lähettämä salattu viesti c voidaan purkaa laskemalla mod (c d, n) = mod (9 3, 22) = 3, eli alkuperäinen viesti s = 3. Tämän jälkeen Cecilia salaa alkuperäisen viestin Bertan julkisella avaimella (5, 4). Salatuksi viestiksi, jonka Cecilia lähettää Bertalle, tulee silloin mod (s k, n) = mod (3 5, 4) = 5. 2
Kotitehtävä 44: Viesti 4700 009 0787 4393 89 4279 2420 2379 0955 on koodattu käyttäen julkista RSA-avainta (3, 5063). Ole pahis, murra salaus ja selvitä viesti! Huom: Joudut laskemaan niin suuria potensseja, että tavallinen mod-komento ei sellaisenaan riitä. Käytä esim. PowerMod-komentoa Mathematicassa / Wolfram Alphassa tai jotakin sopivaa modulolaskuria (googlaa "power mod calculator"). Koska n = 5063 = p q p = 6, q = 83. Nyt p:n ja q:n avulla voidaan laskea m = (p )(q ) = 4920. Täytyy lisäksi löytää d siten, että kd = mod (, m) 3d = mod (, 4920). Etsitään luvulle 3 oikea kerroin Eukleideen algoritmin avulla: 4920 = 378 3 + 6 3 = 2 6 + 6 = 6 + 0 Kirjoitetaan luku lukujen 3 ja 4920 lineaarikombinaationa. Muodostetaan ensin jakojäännöksille omat lausekkeet, joita sijoittamalla saadaan muodostettua lineaarikombinaatio. = 3 + ( 2) 6 6 = 4920 + ( 378) 3 = 3 + ( 2) (4920 + ( 378) 3) = ( 2) 4920 + (757) 3 Löydettiin kerroin 757 siten, että 3 757 = mod (, 4920) d = 757. Nyt voidaan purkaa salattu viesti laskemalla mod (c d, n) = mod (c 757, 5063). mod (4700 757, 5063) = 56 mod (009 757, 5063) = 099 mod (0787 757, 5063) = 05 mod (4393 757, 5063) = 22 mod (89 757, 5063) = 54 mod (4279 757, 5063) = 30 mod (2420 757, 5063) = 0820 mod (2379 757, 5063) = 022 mod (0955 757, 5063) = 00 Nyt voidaan vielä yhdistää numeroihin kirjaimet, a = 0, b = 02 jne, jolloin saadaan viestiksi "opiskelu on mahtavaa"! 3
Loppuviikko: ryhmät ja permutaatiot Tuntitehtävä 45: Tarkastellaan ryhmän G = ( 3 5)(2 4)(6) S 6 toimintaa joukossa M = {, 2, 3, 4, 5, 6}. Mitkä ovat ryhmän G alkiot? Entä sen radat joukossa M? G on yksittäisen permutaation α generoima syklinen ryhmä. Koska siinä on yhden, kahden ja kolmen pituiset syklit, on sen generoiman ryhmän suuruus oltava p.y.j. (2, 3) = 6, koska tämä on pienin määrä toistoja, jolla jokainen sykli kulkee tasakierroksia (6 on pienin potenssi k, jolla α k on identiteettikuvaus). G:n alkiot ovat siis α : ( 3 5)(2 4) α 2 : ( 5 3) α 3 : (2 4) α 4 : ( 3 5) α 5 : ( 5 3)(2 4) α 6 : Id = α 0 Alkion x M rata G:n toiminnassa on joukko {gx : g G} M (Kaikki ne M:n alkiot, joihin x voi päätyä jollain G:n permutaatiolla). Radat ovat siten samat kuin generoivalla permutaatiolla: {, 3, 5}, {2, 4} ja {6}. 4
Tuntitehtävä 46: Montako olennaisesti erilaista tapaa on värittää säännöllinen viisikulmio viidellä värillä, jos viisikulmio liikkuu a) tasossa, b) avaruudessa? a) Koska viisikulmion kulmat ja sivut ovat samassa symmetriaryhmässä, ei ole väliä laskun kannalta kumpia tarkastellaan. Viisikulmio liikkuu tasossa, joten sitä voidaan kiertää 72, 44, 26, tai 288 astetta. Kaikki nämä ovat eri kiertosymmetrioita ja niiden lisäksi viisikulmiolla on myös identtinen kuvaus. Kiertosymmetrioita on siis yhteensä 5 eli kiertoryhmän koko G = 5. Kiertosymmetrioiden syklien avulla voidaan laskea, kuinka monta väritystä kukin kiertosymmetria kiinnittää. Jos tarkastellaan 72 asteen kiertoa, saadaan kulmille permutaatioksi (2345). Koska permutaatiossa on vain yksi sykli ja värejä on käytössä 5, saadaan sen kiinnittämien väritysten lukumääräksi 5. Huomataaan, että myös muissa kiertosymmetrioissa on vain yksi sykli, joten kaikkien kiintopistejoukkojen koko on sama. Lisäksi on muistettava myös identtinen kuvaus, joka kiinnittää kaikki väritykset, eli sen kiinnittämien väritysten määrä on 5 5. Burnsiden lemman mukaan olennaisesti erilaisia värityksiä saadaan yhteensä G X g = 5 (55 + 4 5 ) = 629 g G b) Jos viisikulmio liikkuu tason lisäksi avaruudessa, pitää huomioida myös kiertoakselit. Viisikulmiolla on 5 kiertoakselia, jokaisesta kulmasta vastakkaisen sivun keskipisteeseen. Jos kulmat on numeroitu yhdestä viiteen, saadaan permutaatioksi ensimmäiselle kiertosymmetrialle ()(25)(34). Yhden kiertoakselin permutaatiossa on siis 3 sykliä, joten sen kiinnittämiä värityksiä on 5 3. Yhteensä kiertoakseleita on 5, joten a-kohdassa laskettujen kiertosymmetrioiden lisäksi saadaan 5 uutta kiertosymmetriaa, eli kiertoryhmän alkioiden määrä on yhteensä 0. Burnsiden lemman mukaan olennaisesti erilaisia värityksiä saadaan yhteensä G X g = 0 (55 + 4 5 + 5 5 3 ) = 377 g G 5
Kotitehtävä 47: Olkoot G ja M kuten tehtävässä 45. a) Määritä kiinnittäjä G x kullekin x M. b) Määritä kiintopisteiden joukko M g kullekin g G. c) Käyttäen Burnsiden lemmaa sekä tuloksia kohdista a) ja b), laske G:n ratojen lukumäärä joukossa M. a) Kiinnittäjäaliryhmä G x koostuu kaikista niistä G:n permutaatioista, joilla x ei "vaihda paikkaa". Esimerkiksi alkio 5 ei vaihda paikkaa kuvauksissa α 3 ja α 6 = Id. Näin saadaan G : {α 3, α 6 } G 2 : {α 2, α 4, α 6 } G 3 : {α 3, α 6 } G 4 : {α 2, α 4, α 6 } G 5 : {α 3, α 6 } G 6 : {α, α 2, α 3, α 4, α 5, α 6 } b) Kiintopistejoukko M g koostuu kaikista niistä M:n alkioista, joiden arvo ei muutu permutaatiolla g. Esimerkiksi permutaatio α ei vaikuta alkioon 6. Näin saadaan M α : {6} M α 2 : {2, 4, 6} M α 3 : {, 3, 5, 6} M α 4 : {2, 4, 6} M α 5 : {6} M α 6 : {, 2, 3, 4, 5, 6} c) Burnsiden lemman mukaan ratojen lukumäärä ryhmän G toiminnassa joukossa M on G g G M g = ( + 3 + 4 + 3 + + 6) = 3 6 Ja kuten kohdasta a) huomataan, on erilaisia kiinnittäjäaliryhmiä kolme kappaletta, ja myös tehtävässä 45 saatiin ratojen lukumääräksi kolme. 6
Kotitehtävä 48: Tetraedrin kiertoryhmässä on 2 alkiota: identtisen kuvauksen lisäksi kahdeksan 20 kiertoa ja kolme 80 kiertoa. Monellako olennaisesti eri tavalla tetraedrin tahkot voidaan värittää viidellä värillä? Tetraedrillä on 4 tahkoa, käytettäviä värejä on 5. Koska identtinen kuvaus kiinnittää kaikki väritykset, saadaan sen kiinnittämien väritysten määräksi siis 5 4. 20 kierrossa kiertoakseli menee kulmasta vastakkaisen tahkon keskipisteeseen. Kierrossa akselin lävistämä tahko on aina paikallaan, ja muut tahkot vaihtavat keskenään paikkaa esimerkiksi permutaation (4)(23) mukaisesti. Tetraedriä on mahdollista kääntää jokaisen akselin ympäri kaksi kertaa, ennenkuin tetraedri on identtisessa kuvauksessa. Yhdessä 20 kierrossa on siis 2 sykliä, eli sen kiinnittämiä värityksiä on siis 5 2. 80 kierrossa akseli lävistää vastakkaiset särmät. Tällaisessa kiertosymmetriassa voidaan kiertää vain yksi kierto, ennenkuin ollaan takaisin identtisessä kuvauksessa. Yhden kierron aikana kaksi tahkoa vaihtavat aina paikkaa esimerkiksi permutaation (4)(23) mukaisesti. Permutaatiossa on kaksi sykliä, eli yksi 80 kiertosymmetria kiinnittää 5 2 väritystä. Tetraedrin kiertoryhmän koko on 2, eli G = 2. Burnsiden lemman mukaan olennaisesti erilaisia värityksiä saadaan yhteensä G X g = 2 (54 + 8 5 2 + 3 5 2 ) = 2 (54 + 5 2 ) = 75 g G 7
a) Etsi kaikki kuution erilaiset kiertosymmetriat ja laske näiden kokonais- Kotitehtävä 49: määrä. b) Tarkastele alla olevaa viivoitettua kuutiota. Mitkä kuution kierrot kuvaavat sen niin, että viivat tulevat samoihin asentoihin? Fyysiset mallikappaleet tehtäviin 48 ja 49 löytyvät Laskutuvasta, jos haluat pyöritellä niitä. a) Kuutiolla on oleellisesti kolmenlaisia kiertoakseleita: vastakkaisten tahkojen keskipisteiden läpi kulkevat, ristikkäisten särmien keskipisteiden kautta kulkevat sekä avaruuslävistäjien kärkipisteiden kautta kulkevat kiertoakselit. Tahkojen keskipisteiden läpi kulkevat kiertoakselit: tahkopareja on kolme ja kullekin tahkoparille kiertoja on identtisen lisäksi kolme, sillä pienin kierto on 90 astetta. Lähtöasennon lisäksi uusia symmetriakuvauksia saadaan 3 3 = 9 kappaletta. Särmien keskipisteiden kautta kulkevat kiertoakselit: särmäpareja on kuusi ja kiertoja kullekin tällaiselle kiertoakselille on identtisen kuvauksen lisäksi yksi kierron ollessa 80 astetta. Uusia symmetriakuvauksia saadaan 6 = 6 kappaletta. Avaruuslävistäjien kärkipisteiden kautta kulkevat kiertoakselit: kärkipareja on neljä, pienimmän kierron ollessa 20 astetta. Uusia symmetriakuvauksia muodostuu 4 2 = 8 kappaletta. Yhteensä kuutiolla on kiertosymmetriakuvauksia identtinen kuvaus mukaan lukien + 9 + 6 + 8 = 24 kappaletta. b) Karsitaan edellä läpikäydyistä kierroista ne, joilla viivat tulevat samoihin asentoihin. Tahkojen keskipisteiden läpi kulkevat kiertoakselit: 90 asteen tai 270 asteen pyöräytykset eivät enää käy, vaan identtisen kuvauksen lisäksi saadaan vain yksi kierto jokaista tahkoparia kohtaan, 80 astetta: 3 = 3 kappaletta. Särmien keskipisteiden kautta kulkevat kiertoakselit: nyt edes 80 asteen pyöräytys ei käy, joten tästä kategoriasta ei saada yhtäkään kuvausta. Avaruuslävistäjien kärkipisteiden kautta kulkevat kiertoakselit: yksikään kierto ei aiheuta ongelmia, joten kaikki 8 voidaan ottaa mukaan. Koska identtinen kuvaus toki hyväksytään, saadaan viivoitetun kuution kiertosymmetriakuvauksia yhteensä + 3 + 0 + 8 = 2 kappaletta. 8