Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 K. Koska vaa an lukema on kääntäen verrannollinen Maan keskipisteestä mitatun etäisyyden neliöön, saadaan yhtälö l k. Ratkaistaan k, kun r tiedetään, että vaa an lukema on 55,7 kg, kun etäisyys keskipisteestä on 680 km. 55,7 k 680 k 55, 7 680 675080 Pohjoisnavalla r = 660 km. Ratkaistaan vaa an lukema l. l 675080 56,05... 56, 660 Vaa an lukema on pohjoisnavalla 56, kg. K4. Olkoon verrannollisuuskerroin k. Sisälämpötilan ollessa C, lämmityskustannukset ovat k ( ( )) = 4k. Sisälämpötilan ollessa C, lämmityskustannukset ovat k ( ( )) = k. Lämmityskustannukset pienenevät 4 k k 0,046... 4, %. 4k 4
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 K5. a) Funktio f ( ) 5 on määritelty, kun 5 0, eli 5. f( ) D(5 ) (5 ) ( ) 5 f () 5 4 4 b) Funktio f ( ) 6 on määritelty, kun + 6 0, eli. f( ) D(6) (6) 6 f () 6 9 6
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 K6. a) 5 5 4 : ( ) 6 b) 000 Yhtälön vasen puoli on määritelty, kun 0. Tällöin yhtälön molemmat puolet ovat ei-negatiivisia ja yhtälö voidaan korottaa puolittain toiseen potenssiin. 000 000000 00 Ratkaisu toteuttaa määrittelyehdon. c) Yhtälön vasen puoli on määritelty ja ei-negatiivinen, kun. Myös yhtälön oikean puolen tulee olla ei-negatiivinen, eli. Molemmat ehdot toteutuvat, kun. Korotetaan yhtälö puolittain toiseen potenssiin. ( ) 0 ( ) 0 0tai Ratkaisuista ehdot toteuttaa vain =.
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 d) 4 0 4 Yhtälön vasen puoli on määritelty, kun. Tällöin myös oikea puoli saa ei-negatiivisia arvoja. Korotetaan yhtälö puolittain toiseen potenssiin. 6( ) 648 0 4tai Molemmat ratkaisut toteuttavat ehdot. e) f ( ) Funktio f on määritelty, kun juurrettava + 0. + = 0 ( + ) = 0 = 0 tai = Kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joten + 0, kun tai 0. f( ) D( ) ( ) (), < ja < 0 0, kun 0 Ratkaisu ei kuulu määrittelyjoukkoon, joten yhtälöllä ei ole ratkaisuja.
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 K7. Funktion f kuvaajan ja suoran leikkauspisteet ratkaistaan yhtälöstä 5 0. Yhtälön vasen puoli on määritelty ja ei-negatiivinen, kun 5 0, eli 5. Yhtälön oikean puolen tulee myös olla ei-negatiivinen: 0 0, eli 5. Molemmat ehdot toteutuvat, kun 5. Korotetaan yhtälö puolittain toiseen potenssiin. 5 (0) 54 4000 4 4050 5 tai 7 4 Ratkaisuista ehdon täyttää vain = 7. Leikkauspisteen y-koordinaatti on y = 7 0 = 4. Leikkauspiste on (7, 4)
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 K8. Vaakasuoran tangentin kulmakerroin on 0. Funktion kuvaajalla on vaakasuora tangentti, jos jollakin muuttujan arvolla f () = 0. f( ) D( ) Ratkaistaan derivaatan nollakohdat, kun > 0. 0 Koska > 0, ei yhtälön vasen puoli voi olla negatiivinen millään :n arvolla, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua. Opiskelijan väite on siis tosi.
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 K9. Laaditaan funktion f( ), 0, kulkukaavio. Määritetään funktion f derivaatta. f( ) D D ( ) ( ) ) ( ) ( ) Lasketaan derivaatan nollakohdat. 0, kun 0 Kun > 0, on derivaatan lausekkeen nimittäjä aina positiivinen. Derivaatan merkki määräytyy osoittajan merkin perusteella. > 0, kun > ja < 0, kun 0 < <. 0 f () + f() Funktion f pienin arvo on f (). Suurinta arvoa ei ole.
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 K0. Funktio f ( ) 4 4 on määritelty, kun + 4 0, eli ja 4 0, eli 4. Funktio f on siis määritelty välillä 4. Tutkitaan funktion kulkua derivaatan avulla. f( ) D( 4 4 ) D((4) (4 ) ) (4) (4 ) ( ), 4 4 4 Ratkaistaan derivaatan nollakohdat. 0 4 4 4 4 4 4 (), 4 4(4 ) 4 6 44 6 : ( 6) Derivaatan nollakohta = kuuluu funktion määrittelyvälille. Lasketaan derivaatan merkki nollakohdan kummallakin puolella testikohtien avulla. f (0) = 0 4 f () = 0 0 Funktio f on kasvava, kun ja vähenevä, kun 4. Jatkuva funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa suljetulla välillä välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdissa. f( ) = 0 + 6 = 6 f(4) = 0 4 f() = 8 (suurin). Funktion suurin arvo on.
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 K. a) b) f ( ) e D( ) e ( ) e f ( ) e D( ) e 6e f 0 (0) 6e 6 6 K. Määritetään derivaattafunktio. f e e ( ) 8 8 Lasketaan derivaattafunktion nollakohdat. e 80 e 8 : e 9 ln9 : ln 9 ln9 ln9 ln 9 ln
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 K. Pinta-alan funktio on f( ) 400 000 0,995. Vuodesta 970 on kulunut vuoteen 00 mennessä 60 vuotta. 60 f (60) 400 000 0,995 400 000 0,740... Pinta-ala on pienentynyt vuoteen 00 mennessä 6 %. Pinta-ala on puolittunut, kun kerroin 0,995 on 0,5. 0,995 = 0,5 ln 0,995 = ln 0,5 ln 0,995 = ln 0,5 : ln 0,995 ln 0,5 = 8,8... ln 0,995 Pinta-ala on puolittunut, kun on kulunut 8, vuotta vuodesta 970, eli vuoden 08 aikana. K4. Tarkastellaan funktion f( ) kulkua derivaatan avulla. e ( ) e f e e ( ) ( e ) e e e Derivaattafunktion lausekkeessa nimittäjä e on positiivinen kaikilla muuttujan arvoilla. Derivaatan merkkiin vaikuttaa vain osoittajan merkki. Funktio f on kasvava, kun 0, eli ja vähenevä, kun.
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 K5. Laaditaan funktion ( ) ( ) e f ( ) kulkukaavio. f e Derivaatan lausekkeessa tekijä e on aina positiivinen. Derivaatan merkkiin vaikuttaa vain tekijä. Lasketaan derivaatan nollakohdat. = 0 = = tai f () + f() Funktion f paikallinen minimiarvo on ( ) f ( ) e e e. Funktion f paikallinen maksimiarvo on ( ) f ( ) e e e. Lasketaan funktion arvo suljetun välin [, ] päätepisteissä. ( ) f ( ) e e e 6 f() e e 6 e Funktion suurin arvo välillä [, ] on e ja pienin arvo 6 e.
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 K6. Tutkitaan funktion f() = ( 5)e kulkua derivaatan avulla, kun 0. f e e e ( ) ( ) ( 5) ( ) ( 4) Derivaatan lausekkeessa tekijä e on aina positiivinen, joten derivaatan merkkiin vaikuttaa vain tekijän + + 4 merkki. Lasketaan derivaatan nollakohta. + + 4 = 0 = tai = 4 Laaditaan kulkukaavio. 0 4 f () + f() Funktion suurin arvo on f(4) = (4 4 5)e 4 = 7e 4 = 7 4. e Funktion arvo kohdassa = 0 on f(0) = 5. Kun muuttujan arvot kasvavat kohdan = 4 jälkeen, funktio arvot pienenevät. Funktion lausekkeessa tekijän 5 nollakohdat ovat,8 ja,8. Tekijällä 5 ei ole nollakohtia kohdan = 4 oikealla puolella ja koska sen kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, on tekijä aina positiivinen, kun > 4. Myös tekijä e on aina positiivinen. Funktio f saa siis vain positiivisia arvoja kohdan = 4 oikealla puolella. Tällöin funktion f pienin arvo on 5.
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 K7. a) log 6 = 4, koska 4 = 6. b) Yhtälön = 0 ratkaisu on = log 0,7 c) log 9 =, koska = 9 log, koska log = 0, koska 0 = d) log 5 = = 5 = 5 5 e) ln 7 7 e K8. a) b) c) d) log log log64 log69 log64 9 log66 log66 ln 7 ln ln 7 ln 7 0,5 ln 0,5ln6 ln ln6 ln ln 6 ln ln 4 ln 4 ln ln ln
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 K9. Lasketaan kuvaajien leikkauspiste yhtälöstä g() = h(). lg = lg( ) = = = y = g( ) = lg = lg Leikkauspiste on (, lg ).
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 K0. a) 7 b) + ln = ln = = e = e tai = e c) log log ( 8), 0 log log ( 8) log ( 8) ( 8) 890 9tai Määrittelyehdon täyttää vain =. d) 55 0, 5 5 0 5 5 5 5
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 K. Funktio f() = ln ( ) on määritelty, kun > 0, eli kun <. Funktion f arvo kohdassa nolla: f(0) = ln ( 0) = ln. Funktion f nollakohdat: ln ( ) = 0 = e 0 = = K. a) f ( ) ln ln, > 0 f( ) b)
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 K. Tutkitaan funktion f() = ln, > 0 kulkua derivaatan avulla. f ( ) ln ln, > 0 Lasketaan derivaatan nollakohdat. ln + = 0 (ln + ) = 0 = 0 tai ln + = 0 ln = ln = e 0,6 e toteuttaa määrittelyehdon. Vain nollakohta = e Laaditaan funktion kulkukaavio. Kun > 0, derivaatan lausekkeessa tekijä on positiivinen, joten derivaatan merkkiin vaikuttaa vain tekijä ln +. Lasketaan derivaatan merkki testipisteissä. f () merkki 0,5 0,9 + 0 e f () + f() Funktion pienin arvo on f ( ) ( ) ln ln e ( ). e e e e e e
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 K4. Epäyhtälö ln voidaan kirjoittaa muodossa ln 0. Tarkastellaan funktiota f() = ln. Funktio f on määritelty, kun > 0. Tutkitaan funktion f kulkua derivaatan avulla. f( ), > 0 Lasketaan derivaatan nollakohdat. 0 Laaditaan funktion kulkukaavio. Lasketaan derivaatan merkki testipisteissä. f () merkki 0,5 + 0 f () + f() Funktion f pienin arvo on f() = ln = 0. Tällöin epäyhtälö ln 0 pätee aina, joten myös epäyhtälö ln on tosi.
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) epätosi Ilmakehän hiilidioksidipitoisuus kasvaa joka vuosi yhtä monta prosenttia. b) epätosi Ilmakehän hiilidioksidipitoisuus kasvaa. (koska kerroin,007 > ). c) epätosi Ilmakehän hiilidioksidipitoisuus kasvaa joka vuosi 0,7 %. d) tosi. a) 4 6 b) = 4 = tai = c) = = 5 d) ln = 0 = = tai = e) ( ) 0 ( ) 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 f) 8 9 tai. Ratkaistaan e ehdosta e = 9. e 9 ( e ) 9 e (taie ) e e e ( e ) 7 7 4. a) ln( ) ln ln ln ln ln ln ln ln 0 b) ln ln ln ln( ) ln e e e, > 0 c) a a a a aa a a aa a a
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 5. Tutkitaan funktion f() = kulkua derivaatan avulla. e ( ) e f e e e e ( ) ( e ) e e e e e Lasketaan derivaatan nollakohta. 0 e 0 Laaditaan funktion kulkukaavio. Derivaatan lausekkeessa nimittäjä e saa vain positiivisia arvoja. Derivaatan merkkiin vaikuttaa vain osoittajan merkki. 0, kun ja 0, kun. f () + f() Funktion suurin arvo on f() = e. Funktiolla ei ole pienintä arvoa. e
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 6. a) Jos tangentti on yhdensuuntainen suoran y 5 = 0 eli y = 5 kanssa, sen kulmakerroin on 5. Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo tangentin sivuamispisteessä. f () = e Ratkaistaan kohta, jossa derivaatan arvo on 5. e = 5 = ln 5 Kun = ln 5, y = f(ln 5) = e ln 5 = 5. Tangentin sivuamispiste on (ln 5, 5). Tangentin yhtälö on y 5 = 5( ln 5) y = 5 5 ln 5 + 5.
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 b) f( ) D D( ) ( ), > 0 5 Yhtälön vasen puoli on määritelty, kun > 0. Tällöin molemmat puolet ovat ei-negatiivisia, joten yhtälö voidaan korottaa puolittain toiseen potenssiin. 5 50 :50 50 y f( ) 50 50 5 5 Tangentin sivuamispiste on Tangentin yhtälö on y 5( ) 5 50 y 5 5 0 y 5. 0 (, ) 50 5.
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 7. a) II, A, C, D, E Funktio f on kasvava, koska eksponenttifunktion kantaluku >. Funktion f kuvaajalla on pisteet (0, 0 )= (0, ) ja (, ) = (, ). Nämä ehdot sopivat kuvaajaan II. Eksponenttifunktio on määritelty kaikilla reaaliluvuilla ja se saa vain positiivisia arvoja. Kun muuttujan arvo kasvaa yhdellä saadaan f( + ) = + = = f(), eli funktion arvo kaksinkertaistuu. b) IV, A, B, C Funktio f on vähenevä, koska eksponenttifunktion kantaluku 0,5 <. Funktion f kuvaajalla on pisteet (0, 0,5 0 )= (0, ) ja (; 0,5 ) = (; 0,5). Nämä ehdot sopivat kuvaajaan IV. Eksponenttifunktio on määritelty kaikilla reaaliluvuilla ja se saa vain positiivisia arvoja. Kun muuttujan arvo kasvaa yhdellä saadaan f( + ) = 0,5 + = 0,5 0,5 = 0,5f(), eli funktion arvo puolittuu. c) I, D, F Funktio f on kasvava, koska logaritmifunktion kantaluku e >. Funktio on määritelty, kun > 0. Funktion f kuvaajalla on piste (, ln ) = (, 0). Nämä ehdot sopivat kuvaajaan I. Kun muuttujan arvo kaksinkertaistuu, saadaan f() = ln () = ln + ln = f() +. eli funktion arvo kasvaa vakioluvulla ln. d) III, D Parillinen juurifunktio on kasvava. Funktion f määrittelyehto on 0. Funktion f kuvaajalla on pisteet (0, 0), (, ) ja (4, ). Nämä ehdot sopivat kuvaajaan III.
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 8. Jos funktion f() = kuvaaja kulkee funktion g() = ln kuvaajan yläpuolella, tulee epäyhtälön f() > g() olla voimassa, kun > 0. ln ln 0 Tarkastellaan funktion h() = h( ) ln saamia arvoja. Lasketaan derivaatan nollakohdat. 0, 0 4 40 ( 4) 0 0tai 4 Vain ratkaisu = 4 toteuttaa määrittelyehdon. Laaditaan funktion h kulkukaavio. h () merkki 5 5 + 0 0 4 h () + h() Funktion h pienin arvo on h(4) = 4 ln4ln 0,64. Koska pienin arvo on positiivinen, saa funktio h vain positiivisia arvoja. Tällöin epäyhtälö ln 0 toteutuu kun > 0 ja funktion f kuvaaja kulkee funktion g kuvaajan yläpuolella.
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 9. Kun 0, on yhtälön molemmat puolet määritelty ja einegatiivisia, joten yhtälö voidaan korottaa puolittain toiseen potenssiin. 6 6 0 Tutkitaan funktion 6 f ( ), 0 kulkua. 5 ( ) 6, > 0 f Ratkaistaan derivaatan nollakohdat. 5 6 0 5 6 0,7 5 6 Laaditaan funktion kulkukaavio. f () merkki 0,5 6 5 + 0 5 6 f () + f() 6 f ( ) ( ),58 5 5 5 6 6 6 f(0) = Funktio on vähenevä välillä [0, 5 6 ] ja se saa välin päätepisteissä negatiivisen arvon, joten välillä ] 0, 5 [ ei voi olla nollakohtia. 6
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Välillä [ 5 6, [ funktio f on kasvava, joten sillä on tällä välillä korkeintaan yksi nollakohta. f() = 6 = f() = 6 = 6 Koska f() on positiivinen ja f() negatiivinen, on välillä ], [ Bolzanon lauseen mukaan ainakin yksi nollakohta. Funktiolla on siis täsmälleen yksi nollakohta välillä. 5 6 Funktion f ainut nollakohta on siis välillä ], [. 0. Määritetään vektori c t. ct ta ( t) b ti ( j k) ( t)(i5 k) ti tj tk i 5k ti 5tk ( t) i tj ( t5) k Lasketaan vektorin c t pituus. ct ( t) ( t) ( t5) t 4t4 4t 4t 0t5 9t 4t9 Vektorin pituus on pienin, kun juurrettava 9t 4t + 9 on pienin. Juurrettavan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, jonka pienin arvo on sen huipussa. Huippu löytyy derivaatan nollakohdasta. D(9t 4t + 9) = 8t 4 8t 4 = 0 t = 4 4 8 Vektorin pituus on mahdollisimman pienin parametrin arvolla t = 4.
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 APUVÄLINEET SALLITTU. a) A ja C b) B c) ei mikään. Opiskelija korotti yhtälön molemmat puolet toiseen potenssiin. Kun yhtälö korotetaan parilliseen potenssiin, on varmistettava, että yhtälön molemmat puolet ovat määriteltyjä ja ei-negatiivisia. Opiskelija ei tehnyt tätä tarkistusta. Saaduista ratkaisuista = ei toteuta alkuperäistä yhtälöä. Yhtälön oikea ratkaisu olisi: Vasen puoli on määritelty ja ei negatiivinen, kun 0, eli. Koska oikea puoli on neliöjuuren tulos, on sen oltava ei-negatiivinen, eli 0, eli. Tällöin molemmat puolet voidaan korottaa toiseen potenssiin, kun. ( ) tai Vain = toteuttaa määrittelyehdon.
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07. a) Merkitään tiikerien määrää vuonna 006 kirjaimella a ja vuosia vuodesta 006 kirjaimella. Vuotuinen kasvukerroin on p. Tiedetään, että vuonna 0 tiikereitä on kaksi kertaa niin paljon kuin vuonna 006, eli a. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan p. a p 6 = a p 6 = p = 6,044... Tiikerien määrää kuvaava funktio on f() = a,044, missä a on tiikerien määrä vuonna 006 ja aika vuosina vuodesta 006. b) Lasketaan, kuinka monta tiikeriä mallin mukaan vuonna 04 pitäisi olla. f(8) = a,044 8 = a,4 Vuonna 06 tiikereitä oli 60 % enemmän kuin vuonna 006, eli a,6. Tämä on enemmän kuin tavoitteen mukainen lukema, eli tavoite ollaan saavuttamassa. c) Kun tiikerien määrä on nelinkertaistunut vuoteen 006 verrattuna, on määrä 4a. Ratkaistaan yhtälö f() = 4a. a,044 = 4a,044 = 4 ln,044 = ln4 ln,044 = ln 4 : ln,044 = Tiikerien määrä on nelinkertaistunut vuoteen 006 verrattuna vuonna 08.
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 4. Piirretään kuva tilanteesta. Suorakulmion kanta on ja korkeus kuvaava funktio on A ( ) e, 0. Määritetään funktion A suurin arvo. Laaditaan funktion A kulkukaavio. e. Suorakulmion pinta-alaa A( ) e e ( ) ( ) e e Derivaatan lausekkeessa tekijä on aina positiivinen, joten derivaatan merkki riippuu vain tekijästä +. Lasketaan derivaatan nollakohta. + = 0 = tai = Tekijän + kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. 0 A () + A() 0 Funktion A suurin arvo on A() = e e.
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 5. Yhtälö ( + ) = voidaan kirjoittaa muodossa ( + ) = 0. Yhtälöllä on täsmälleen yksi reaalijuuri, jos funktiolla f() = ( + ) on täsmälleen yksi nollakohta. Tutkitaan funktion f kulkua derivaatan avulla. f () = ( + ) = + 6 + Lasketaan derivaatan nollakohdat. + 6 + = 0 tai f () + + f() f ( ),8 f ( ) 0,6 Koska funktion arvo on positiivinen kohdissa ja ja funktio f on välillä [, ] monotoninen, ei tällä välillä voi olla nollakohtaa. Välillä on kasvava, joten se ei voi vaihtaa merkkiään positiivisesta negatiiviseksi, joten funktiolla f ei voi olla nollakohtaa tälläkään välillä. Funktiolla voi olla nollakohta vain välillä <. f( ) = 5
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Koska f( ) on negatiivinen ja f( ) positiivinen, on välillä ], [ ainakin yksi nollakohta. Koska funktio f on tällä välillä kasvava, on nollakohtia korkeintaan yksi. Funktiolla f on siis tarkalleen yksi nollakohta. Yhtälöllä ( + ) = on täsmälleen yksi reaalijuuri. 6. Käyrä y e on käyrän toteutuu. y e alapuolella, kun epäyhtälö Ratkaistaan ensin käyrien leikkauspisteet yhtälöstä e e. e e Yhtälön vasen puoli on määritelty, kun 0. Tällöin molemmat puolet ovat ei-negatiivisia, joten yhtälö voidaan korottaa puolittain toiseen potenssiin. 4 4 0 ( ) 0 0tai Kun = 0, y = e 0 = ja kun =, y = e = e. Käyrien leikkauspisteet ovat (0, ) ja (, e ). Ratkaistaan epäyhtälö e epäyhtälö toteutuu, kun : ( ). e. Eksponenttifunktio e on kasvava, joten
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kun 0, on yhtälön molemmat puolet määritelty ja ei-negatiivisia, joten epäyhtälö voidaan korottaa toiseen potenssiin. > 4 4 > 0 ( ) > 0 Kun = 0, epäyhtälö ei toteudu. Kun > 0, riippuu lausekkeen merkki vain tekijän merkistä. > 0 > : ( ) < < Epäyhtälön ratkaisu on 0 < <.
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 7. Merkitään kuvan mukaisesti suuremman neliön sivun pituutta kirjaimella ja pienemmän kirjaimella y, > 0 ja y > 0. Kuvion piiri on + y + ( y) = 4 + y. Kuvion pinta-ala on + y. Koska pinta-ala on 0 cm, saadaan yhtälö, josta ratkaistaan y. + y = 0 y = 0 (0 > 0 eli 0 < < 5) Kuvion piiri voidaan ilmoittaa funktiona p() = 4 + 0, 0 < < 5. Määritetään funktion p suurin arvo. p( ) 4 0 Derivaatan nollakohdat: 4 0 0 4 Kulkukaavio: p () > 0, kun 0 < < 4 ja p () < 0, kun 4 < < 5 0 4 5 p () + p() Funktion p suurin arvo on p(4) = 0. Suuremman neliön sivun pituuden tulee olla 4 cm ja pienemmän cm.
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 8. Koska sairastuneiden lukumäärä on kääntäen verrannollinen t lausekkeeseen e, on funktio f muotoa f () t k. Koska aluksi t e sairastuneita oli 50, voidaan verrannollisuuskerroin k ratkaista yhtälöstä f(0) = 50. k 50 0 e k 50 k 00 Funktio f on f () t 00, t 0. t e a) t f() t 50 e t ( e ) Derivaatan lausekkeessa nimittäjä saa positiivisen luvun neliönä ja osoittaja positiivisen luvun neliöjuurena vain positiivisia arvoja. Kun positiivinen lauseke kerrotaan luvulla, voidaan päätellä, että derivaatan arvo aina negatiivinen. Tällöin muutosnopeus on negatiivinen ja siten sairastuneiden määrä vähenee. b) Ratkaistaan yhtälö f(t) = 0. 00 0 t e t ln 9 4,9... Koska sairastuneiden määrä vähenee, on sairastuneita alle 0, kun on kulunut 5 viikkoa alkuhetkestä. c) Sairastuneita ei enää ole, kun sairastuneiden lukumäärä on alle. Ratkaistaan epäyhtälö f(t) <. 00 t e t ln 99 9,... Sairastuneita ei enää ole, kun on kulunut 0 viikkoa alkuhetkestä.
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 9. Piirretään kuva, joka havainnollistaa tilannetta. Merkitään kulkijan etäisyyttä Dracosta kirjaimella. Tulisuihkun vaikutus on suoraan verrannollinen lohikäärmeen kokoon ja kääntäen verrannollinen lohikäärmeestä mitatun etäisyyden kolmanteen potenssiin. Merkitään lohikäärmeen kokoa kirjaimella M ja etäisyyttä kulkijasta kirjaimella s. Tulisuihkun vaikutus on k M. s Jos Nidin koko on m, on Dracon koko m. Tulisuihkujen yhteisvaikutus on k m k m km( ) (00 ) (00 ). Yhteisvaikutus on suurin, kun lauseke (00 ) arvonsa. saa suurimman Merkitään f( ) (00 ), 0 < < 00. Määritetään funktion f suurin arvo. Derivaatta: f( ) 6. 4 4 (00 ) Derivaatan nollakohdat: 6 0 4 4 (00 ) 08,6... tai 57,0... Näistä välillä 0 < < 00 on vain = 08,6
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 f () < 0, kun 0 < < 08,6 ja f () > 0, kun 08,6 < < 00. 0 08,6 00 f () + f() Funktion f pienin arvo on kohdassa = 08,6 Kulkijan tulee kulkea kohdassa, joka on 09 kyynärää Dracosta. 0. ln ln f ( ) e e, 0 Funktio f saa suurimman arvonsa, kun eksponentti ln Merkitään g( ) ln, 0. on suurin. Tutkitaan funktion g kulkua derivaatan avulla. g( ) ln Derivaatan nollakohdat: ln 0 ln 0 e g () > 0, kun 0 < < e ja g () < 0, kun > e Kulkukaavio: 0 e g () + g() Funktion g suurin arvo on kohdassa = e. Myös funktion f suurin arvo on kohdassa e. Suurin arvo on f(e) = e e.