Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40 Alkuviikolla harjoitustehtäviä lasketaan harjoitustilaisuudessa. Loppuviikolla näiden harjoitustehtävien tulee olla ratkaistuina harjoituksiin mennessä. Harjoitustilaisuudessa opiskelijat merkitsevät ratkaisemansa tehtävät listaan ja assistentti valitsee satunnaisesti yhden opiskelijan kunkin tehtävän ratkaisseiden opiskelijoiden joukosta esittämään ratkaisunsa taululla. Lisäksi MyCoursesissa on STACK-tehtäviä laskettaviksi. Tehtävä 1: Etsi jokin lokaali minimi funktiolle f(x, y) = 2x 2 xy + y 2. Ratkaisu 1: Funktion f(x, y) = 2x 2 xy +y 2 lokaali minimi a on piste, jonka ympäristössä (eli riittävän lähellä pistettä a) f(x) f(a) kaikilla x. Funktion f(x, y) ääriarvoja voi esiintyä sen kriittisissä pisteissä eli pisteissä joissa f(x, y) = 0. Tehtävän ratkaisu voidaan aloittaa laskemalla gradientin nollakohdat. f(x, y) = x (2x2 xy + y 2 ) i + y (2x2 xy + y 2 ) j = (4x y + 0) i + (0 x + 2y) j = (4x y) i + (2y x) j Kriittiset pisteet saadaan yhtälöryhmästä { 4x y = 0 2y x = 0 Ylemmästä yhtälöstä voidaan ratkaista y = 4x, mikä voidaan sijoittaa alempaan yhtälöön ja saadaan 2y x = 2 4x x = 8x x = 7x = 0 x = 0 Takaisinsijoittamalla saadaan y = 4 0 = 0. Näin ainoaksi kriittiseksi pisteeksi saadaan piste (x, y) = (0, 0). 1
Pisteen laatu voidaan määrittää laskemalla funktion toiset derivaatat ja määrittämällä Hessen matriisi. [ ] [ ] 2 f(0, 0) 2 f(0, 0) x H f (0, 0) = 2 yx 4 1 2 f(0, 0) = 2 f(0, 0) 1 2 xy y 2 Jotta piste (0,0) olisi lokaali minimi, tulee Hessenin matriisin olla positiividefiniitti. Käyttämällä Sylvesterin kriteeriota 4 > 0, det(h f (0, 0)) = 4 1 1 2 = 4 2 ( 1 ( 1)) = 8 1 = 7 > 0. Koska determinantit ovat positiivisia, on piste (0,0) lokaali minimi. Tulos: Funktiolla f(x, y) = 2x 2 xy + y 2 on lokaali minimi pisteessä (0,0). Tehtävä 2: Etsi Lagrangen kertojia käyttämällä funktion f(x, y, z) = xy + z + y 2 z 2 suurin ja pienin arvo pallopinnalla x 2 + y 2 + z 2 = 9. Ratkaisu 2: Funktiolle f(x, y, z) = xy +z +y 2 z 2 tulee etsiä maksimi ja minimi ehdolla g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 9 = 0. Muodostetaan Lagrangen funktio L(x, y, z, λ) = f(x, y, z) + λg(x, y, z) = xy + z + y 2 z 2 + λ(x 2 + y 2 + z 2 9) Mahdollinen maksimi ja minimi löytyvät kriittisistä pisteistä eli Lagrangen funktion gradientin nollakohdista. L(x, y, z, λ) = (y + 2λx) i + (x + 2yz 2 + 2λy) j + (1 + 2zy 2 + 2λz) k Muodostetaan yhtälöryhmä y + 2λx = 0 x + 2yz 2 + 2λy = 0 1 + 2zy 2 + 2λz = 0 x 2 + y 2 + z 2 9 = 0 Yhtälöryhmä on käsin laskettavaksi erittäin haastava. Voimme esimerkiksi ensimmäisestä yhtälöstä saadaan y = 2λx, mikä voidaan sijoittaa yhtälöön 3 1 + 2zy 2 + 2λz = 0 1 + 2z( 2λx) 2 + 2λz = 0 2z(( 2λx) 2 + λ) = 1 1 z = 2λ(4λx 2 + 1) 2
Tämän jälkeen muuttujan x ratkaiseminen yhtälöstä 2 1 x = 2 ( 2λx) ( 2λ(4λx 2 + 1) )2 2λ ( 2λx) 4λx x = 4λ 2 (4λx 2 + 1) + 2 4λ2 x x x = λ(4λx 2 + 1) + 2 4λ2 x on jo varsin haastavaa, puhumattakaan λ ratkaisemisesta sen jälkeen. Yhtälöryhmä voidaan ratkaista numeerisesti (laskin, vain reaalilukuratkaisut) (x, y, z, λ) = ( 0.24155, 2.18204, 2.0446, 4.51673) (x, y, z, λ) = (0.228942, 2.07211, 2.1573, 4.52541) (x, y, z, λ) = ( 1.90779, 2.31372, 0.0838968, 0.60639) (x, y, z, λ) = (2.35545, 1.85331, 0.13061, 0.393409) (x, y, z, λ) = (0., 0., 3., 0.166667) (x, y, z, λ) = (0., 0., 3., 0.166667) (x, y, z, λ) = ( 0.553974, 0.268619, 2.93615, 0.242447) (x, y, z, λ) = ( 1.85652, 2.35435, 0.101856, 0.634078) (x, y, z, λ) = (1.92069, 0.622378, 2.21892, 0.162019) (x, y, z, λ) = (2.41943, 1.76444, 0.18191, 0.364639) Nämä ovat funktion kriittiset pisteet, missä funktion f(x, y, z) = xy + z + y 2 z 2 suurin tai pienin arvo voi olla olemassa. Lasketaan funktion arvot kyseisissä pisteissä. f( 0.24155, 2.18204, 2.0446) = 18.3866 f(0.228942, 2.07211, 2.1573) = 22.614 f( 1.90779, 2.31372, 0.0838968) = 4.46031 f(2.35545, 1.85331, 0.13061) = 4.4374 f(0., 0., 3.) = 3 f(0., 0., 3.) = 3 f( 0.553974, 0.268619, 2.93615) = 3.70701 f( 1.85652, 2.35435, 0.101856) = 4.32655 f(1.92069, 0.622378, 2.21892) = 0.883656 f(2.41943, 1.76444, 0.18191) = 4.19005 3
Näistä suurin arvo on funktion suurin ja pienin funktion pienin arvo. Tulos: Suurin arvo on f(0.228942, 2.07211, 2.1573) = 22.614 ja pienin arvo f( 1.90779, 2.31372, 0.0838968) = 4.46031 Tehtävä 3: Eräällä lentoyhtiöllä matkustettaessa yksittäisen kirjattavan matkatavaran ulkomitat (pituus+leveys+korkeus) saavat olla korkeintaan 155 cm. Laske suurimman mahdollisen kirjattavan matkatavaran tilavuus. Ratkaisu 3: Matkatavaran tilavuus halutaan maksimoida ulkomittojen perusteella. Koska tilavuutta voi kasvattaa lisäämällä matkatavaran mittoja, on järkevää optimoida matkatavaraa, joiden ulkomittojen summa on tasan 155 cm. Merkitään x = pituus, y = leveys ja z = korkeus senttimetreinä. Optimoitavaksi funktioksi saadaan f(x, y, z) = xyz ja ehtofunktioksi g(x, y, z) = x + y + z 155. Muodostetaan Lagrangen funktio L(x, y, z, λ) = f(x, y, z) + λg(x, y, z) = xyz + λ(x + y + z 155) Mahdollinen maksimi löytyy gradientin nollakohdista. Muodostetaan yhtälöryhmä L(x, y, z, λ) = (yz + λ) i + (xz + λ) j + (xy + λ) k yz + λ = 0 xz + λ = 0 xy + λ = 0 x + y + z 155 = 0 Yhtälöistä 1-3 voidaan huomata, että λ = yz = xz = xy. Jos näistä muodostaa uuden yhtälöryhmän. yz = xz yz = xy xz = xy Yhtälöryhmälle löytyy useita ratkaisuja. Ensinnäkin jakamalla jokaisesta yhtälöstä yhteisen tekijän pois saadaan x = y = z. Sijoittamalla alkuperäisen yhtälöryhmän neljänteen yhtälöön saadaan x + x + x 155 = 0 4 3x = 155 x = 155 3
Näin ollen x = y = z = 155 ja λ = 155 155 = 24095. Toinen vaihtoehto on valita kaksi 3 3 3 9 muuttujista (x,y,z) ja asettaa ne nollaksi, jolloin uuden yhtälöryhmän kaikki yhtälöt saavat arvon nolla molemmin puolin riippumatta jäljellejääneestä arvosta. Tällöin alkuperäisen yhtälöryhmän neljäs yhtälö saa muodon (valitaan x = 0, y = 0) x + y + z 155 = 0 0 + 0 + z = 155 z = 155 Ja sijoittamalla esimerkiksi ensimmäiseen yhtälöön saadaan 0 155 + λ = 0 λ = 0. Näin ollen kriittisiä pisteitä ovat myös pisteet (155,0,0), (0,155,0) ja (0,0,155) ehdolla λ = 0. Nyt voidaan laskea alkuperäisen yhtälön f(x, y, z) = xyz arvot kriittisissä pisteissä. 155 3 155 3 155 3 137920 (cm3 ) 155 0 0 = 0 0 155 0 = 0 0 0 155 = 0 Pisteessä ( 155, 155, 155 ) on selvästi suurin tilavuus ja se on yhtälön ratkaisu. Vastaus 3 3 3 on myös varsin järkeenkäypä: kuutionmuotoinen kappale on varmasti varsin iso tilavuudeltansa ja muiden kriittisten pisteiden tapauksessa voidaan huomata, että kokonaistilavuus lähestyy nollaa yhdenkin laatikon mitan lähestyessä nollaa. ), jolloin koko- Tulos: Matkatavaran tilavuus maksimoituu, kun (x, y, z) = ( 155 naistilavuus 137920(cm 3 ), 155, 155 3 3 3 Tehtävä 4: Tutkittaessa erään sähkölaitteen energiankulutusta tehtiin kaikkiaan kymmenen mittausta puolen tunnin välein ja saatiin seuraavat tulokset, jossa E on kulunut energia ja t kulunut aika. E (kwh) 23.1 31.2 74.2 82.7 101.1 132.7 155.1 173.0 202.9 217.4 t (h) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 Sovita dataan PNS-menetelmällä suora ja estimoi sähkölaitteen energiankulutus kokonaisen vuorokauden aikana. Ratkaisu 4: Tarkoituksena on muodostaa tuloksia parhaiten vastaava suora PNSmenetelmän avulla. PNS-menetelmän ratkaisu on suora y = β 1 x + β 0 5
missä β 0 = ȳ β 1 x (xi x) (y i ȳ) β 1 = (xi x) 2 ja x, ȳ ovat suureiden x, y aritmeettisia keskiarvoja. Valitaan muuttujaksi x kulunut aika ja kulunut energia muuttujaksi y. Aloitetaan ratkaisemalla aritmeettiset keskiarvot x = 1 10 x i = 1 (0.5 + 1.0 + 1.5 + 2.0 + 2.5 + 3.0 + 3.5 + 4.0 + 4.5 + 5.0) = 2.75 10 ȳ = 1 10 y i = 119.4 Nyt on mahdollista ratkaista β 1 β 1 = (xi x) (y i ȳ) (xi x) 2 = 923.35 20.625 = 44.768484848485 44.77 Tämän jälkeen voidaan ratkaista β 0 PNS-menetelmällä saatu suora on siis β 0 = ȳ β 1 x 119.4 44.77 2.75 = 3.7175 y = β 1 x + β 0 44.71 x 3.7175 Arvioidaan sähkölaitteen kulutusta kokonaisen vuorokauden aikana. Koska aika t on merkitty tunteina h, vastaa kokonainen päivä ajanhetkeä t = 24. Energiankulutus vuorokauden aikana on suoran perusteella 44.71 24 3.7175 = 1069.3225 1070 (kw h) Tulos: PNS-menetelmällä dataan sovitettu suora on y = β 1 x + β 0 44.71 x 3.7175 ja sillä arvioitu kokonaisenergiakustannus vuorokauden aikana noin 1070 kwh. 6