Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/88 Käänteismuunnokset AM1: Kahden vaakarivin vaihto Käänteismuunnos: Vaihdetaan vaakarivit takaisin AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 Käänteismuunnos: Kerrotaan vaakarivi skalaarilla 1/c AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna Käänteismuunnos: Lisätään vaakarivi toiseen skalaarilla c kerrottuna
Lineaarialgebra (muut ko) p. 3/88 Riviekvivalenssi ( 1 2 3 6 5 4 ) ( 1 2 3 5 3 1 ) ( 5 3 1 1 2 3 ) ( 10 6 2 1 2 3 )
Lineaarialgebra (muut ko) p. 4/88 Riviekvivalenssi ( 1 2 3 6 5 4 ) ( 1 2 3 5 3 1 ) ( 5 3 1 1 2 3 ) ( 10 6 2 1 2 3 ) vastaavat alkeismatriisit E 1 = ( 1 0 1 1 ), E 2 = ( 0 1 1 0 ), E 3 = ( 2 0 0 1 ) eli E 3 E 2 E 1 ( 1 2 3 6 5 4 ) = ( 10 6 2 1 2 3 ).
Lineaarialgebra (muut ko) p. 5/88 Redusoitu porrasmuoto Matriisin redusoitu porrasmuoto 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0... 0 0 0 0 0 0 1... 0........................... 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Lineaarialgebra (muut ko) p. 6/88 Redusoitu porrasmuoto Matriisin redusoitu porrasmuoto 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0... 0 0 0 0 0 0 1... 0........................... 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 aste r(a) =porrasluku ja V(A):n kanta on portaiden vaakarivit.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 7/88 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden V(A) kanta {(1,1,0,2),(0,0,1,1)}.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 8/88 Redusoitu porrasmuoto Myös I on redusoitu porrasmuoto Lause 5.4.8. A on säännöllinen A I
Lineaarialgebra (muut ko) p. 9/88 Käänteismatriisi alkeismuunnoksilla Alkeismuunnoksilla (A I) (I A 1 )
Lineaarialgebra (muut ko) p. 10/88 Ratkaisuavaruuden dimensio Yhtälöryhmän (n tuntematonta) Ax = 0 ratkaisuavaruuden dimensio n r(a)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 11/88 Koordinaattivektori Kanta B = {b 1,...,b n } avaruudelle R n. Vektorin x R n koordinaattivektori X B = r 1 r 2. r n missä kantaesitys x = r 1 b 1 + +r n b n.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 12/88 Kannanvaihdon matriisi Toinen kanta C = {c 1,...,c n }. Kannanvaihdon B C matriisi: c 1 = p 11 b 1 + +p n1 b n. c n = p 1n b 1 + +p nn b n. P B C = p 11 p 1n..... p n1 p nn Muista transponointi!
Lineaarialgebra (muut ko) p. 13/88 Kannanvaihdon matriisi X C = P C B X B P B C = (P C B ) 1
Lineaarialgebra (muut ko) p. 14/88 Kannanvaihdon matriisi Yhtälön x 2 2 3xy 2 3x+3y 2 2y = 0 ratkaisujoukko on mukavammassa muodossa, kun luonnollista kantaa kierretään π/3 astetta myötäpäivään: eli paraabeli w = z 2
Lineaarialgebra (muut ko) p. 15/88 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f x y A = määrittelyjoukko B = maalijoukko Yleensä A = R n ja B = R m
Lineaarialgebra (muut ko) p. 16/88 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f x u z y Ei ole kuvaus!
Lineaarialgebra (muut ko) p. 17/88 Kuvauksista Kuvaus f : A B A f B Im(f) = {f(a) a A} kuvajoukko
Lineaarialgebra (muut ko) p. 18/88 Kuvauksista Kuvaus f : A B A f B B B 0 f 1 (B 0 ) = {a A f(a) B 0 } alkukuva
Lineaarialgebra (muut ko) p. 19/88 Kuvauksista Kuvaus f : A B A f B f on surjektio, jos Im(f) = B
Lineaarialgebra (muut ko) p. 20/88 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f a y b Kuvauksessa voi olla
Lineaarialgebra (muut ko) p. 21/88 Kuvauksista Kuvaus f : A B A B f a y b z f on injektio, jos a b f(a) f(b) a,b A Bijektio, jos surjektio ja injektio
Lineaarialgebra (muut ko) p. 22/88 Kuvauksista Kuvaus f : A B ja kuvaus g : A B ovat yhtäsuuret, jos f(a) = g(a) a A Merkitään f = g
Lineaarialgebra (muut ko) p. 23/88 Kuvauksista Kuvaus f : A B ja g : B C A B C f g x g(f(x)) f(x) Yhdistetty kuvaus g f : A C, (g f)(x) = g(f(x))
Lineaarialgebra (muut ko) p. 24/88 Kuvauksista Kuvaus f : A B ja g : B A A B f x y g Käänteiskuvauksia, jos f g = id B ja g f = id A. f 1 olemassa f on bijektio
Lineaarialgebra (muut ko) p. 25/88 Lineaarikuvaus Kuvaus f : R n R m on lineaarinen, jos L1: f(x 1 +x 2 ) = f(x 1 )+f(x 2 ) x 1,x 2 R n L2: f(ax) = af(x) x R n,a R. Muista f(0) = 0.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 26/88 Lineaarikuvaus Kuvaus f : R n R m on lineaarinen, jos L1: f(x 1 +x 2 ) = f(x 1 )+f(x 2 ) x 1,x 2 R n L2: f(ax) = af(x) x R n,a R. Muista f(0) = 0. Kantavektorien kuvien avulla f(b i ) = y i määräytyy koko f(x) yksikäsitteisesti.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 27/88 Lineaarikuvaus Kuvaus f : R 2 R 2,f(x,y) = (x y,x+y) on lineaarinen.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 28/88 Lineaarikuvaus Matriisi A M m n indusoi lineaarikuvauksen f : R n R m,f(x) = Ax.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 29/88 Lineaarikuvaus Matriisi A M m n indusoi lineaarikuvauksen f : R n R m,f(x) = Ax. Lineaarikuvauksen f : R n R m matriisi M B,C (f) B = {b 1,...,b n } kanta R n :ssä C = {c 1,...,c m } kanta R m :ssä
Lineaarialgebra (muut ko) p. 30/88 Lineaarikuvauksen matriisi kuvien kantaesitykset f(b 1 ) = a 11 c 1 + +a m1 c m.. f(b n ) = a 1n c 1 + +a mn c m M B,C (f) = a 11. a 1n.... a m1 a mn Muista transponointi!
Lineaarialgebra (muut ko) p. 31/88 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B
Lineaarialgebra (muut ko) p. 32/88 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B Jos B = E ja C = E, niin y = f(x) y = M E,E (f) x
Lineaarialgebra (muut ko) p. 33/88 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B Jos B = E ja C = E, niin y = f(x) y = M(f) x
Lineaarialgebra (muut ko) p. 34/88 Lineaarikuvaus y = f(x) Y C = M B,C (f) X B Jos B = E ja C = E, niin y = f(x) y = M E,E (f) x Jos sama lähtö- ja maaliavaruus f : R n R n, niin yleensä sama kanta molemmilla puolilla ja merkitään M B (f) = M B,B (f).
Lineaarialgebra (muut ko) p. 35/88 Lineaarikuvaus Lause 2.4.8: Jos f : R n R m ja g : R m R k ovat lineaarisia, niin g f on lineaarinen ja sen matriisi saadaan M B,D (g f) = M C,D (g)m B,C (f).
Lineaarialgebra (muut ko) p. 36/88 Lineaarikuvaus Lause 2.4.8: Jos f : R n R m ja g : R m R k ovat lineaarisia, niin g f on lineaarinen ja sen matriisi saadaan M B,D (g f) = M C,D (g)m B,C (f). Matriisien kertolasku
Lineaarialgebra (muut ko) p. 37/88 Lineaarikuvaus ja kannanvaihto Lineaarikuvauksen matriisin muuttuminen kannanvaihdossa B B ja C C : R n m R f M
Lineaarialgebra (muut ko) p. 38/88 Lineaarikuvaus ja kannanvaihto Lineaarikuvauksen matriisin muuttuminen kannanvaihdossa B B ja C C : R n m R f M M B,C (f) = P C CM B,C (f)p B B
Lineaarialgebra (muut ko) p. 39/88 Miksi kannanvaihto? Lineaarikuvauksen matriisi 1.44088 0.0177014 0.973778 0.337595 0.272206 0.136903 2.19247 0.109421 0.0817478 0.0498431 M E (f) = 1.50593 1.98696 3.34275 0.231624 0.581743 1.13376 1.0272 1.30593 3.46071 0.187646 2.16263 1.26332 3.60276 1.25974 1.56319
Lineaarialgebra (muut ko) p. 40/88 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 M B (f) = 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 5
Lineaarialgebra (muut ko) p. 41/88 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 M B (f) = 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 5 Onnistuuko? Mistä kanta B? Mitkä luvut diagonaalilla?
Lineaarialgebra (muut ko) p. 42/88 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 M B (f) = 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 5 Onnistuuko? Mistä kanta B? Mitkä luvut diagonaalilla? Näihin vastaaminen on loppukurssin tavoite!
Lineaarialgebra (muut ko) p. 43/88 Ydin ja kuva Lineaarikuvauksen ydin ja kuva-avaruus f 0 0 Ker(f) Im(f) Ker(f) = {x R n f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x R n }
Lineaarialgebra (muut ko) p. 44/88 Dimensioyhtälö Lineaarikuvauksen f : R n R m dimensioyhtälö n = dim Ker(f)+dim Im(f)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 45/88 Matriisin avulla Jos niin A = M E,E (f) Im(f) = V(A T ). Alkeismuunnoksilla V(A T ):lle eli Im(f):lle kanta porrasmatriisin portaista.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 46/88 Helppoa Lineaarikuvaus f : R n R m on injektio Ker(f) = {0}.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 47/88 Helppoa Lineaarikuvaus f : R n R n on injektio surjektio bijektio
Lineaarialgebra (muut ko) p. 48/88 Aliavaruuksien summa Aliavaruuksien summa U 1 +U 2 U+ U 1 2 U 1 U 2 0 U 1 +U 2 = {u 1 +u 2 u 1 U 1,u 2 U 2 }.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 49/88 Kertausta Suora summa U 1 U 2 jos yksikäsitteinen esitys x = u }{{} 1 + u }{{} 2 U 1 U 2,
Lineaarialgebra (muut ko) p. 50/88 Aliavaruuksien summa Suora summa U 1 U 2 Ehto 1: jos U 1 U 2 = {0}.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 51/88 Aliavaruuksien summa Suora summa U 1 U 2 Ehto 1: jos U 1 U 2 = {0}. Ehto 2: jos u 1 +u 2 = 0, missä u 1 U 1 ja u 2 U 2, niin u 1 = u 2 = 0.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 52/88 Aliavaruuksien summa Kahden aliavaruuden leikkaus on myös aliavaruus. U 1 U 2
Lineaarialgebra (muut ko) p. 53/88 Kannat aliavaruuksien summassa Suoran summan kannat u k u 2 u y 1 1 y 2 y m U+ U 1 2
Lineaarialgebra (muut ko) p. 54/88 Kannat aliavaruuksien summassa Suoran summan kannat u k u u 2 1 y y 1 2 U+ U y 1 2 m dim(u 1 U 2 ) = dimu 1 +dimu 2.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 55/88 Usean aliavaruuden summa Usean aliavaruuden summa U 1 + +U m on suora summa eli U 1 U m jos ja vain jos Tällöin u }{{} 1 + + u m = 0 u }{{} 1 = = u m = 0 U 1 U m dim(u 1 U m ) = dimu 1 + +dimu m.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 56/88 Usean aliavaruuden summa Usean aliavaruuden summa U 1 + +U m on suora summa eli U 1 U m jos ja vain jos Tällöin u }{{} 1 + + u m = 0 u }{{} 1 = = u m = 0 U 1 U m dim(u 1 U m ) = dimu 1 + +dimu m. Ehto U i U j = {0} ei enää toimi, kts. monisteen huomautus 3.3.3. sivulla 26.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 57/88 Miksi kannanvaihto? Lineaarikuvauksen matriisi 1.44088 0.0177014 0.973778 0.337595 0.272206 0.136903 2.19247 0.109421 0.0817478 0.0498431 M E (f) = 1.50593 1.98696 3.34275 0.231624 0.581743 1.13376 1.0272 1.30593 3.46071 0.187646 2.16263 1.26332 3.60276 1.25974 1.56319
Lineaarialgebra (muut ko) p. 58/88 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 M B (f) = 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 5
Lineaarialgebra (muut ko) p. 59/88 Miksi kannanvaihto? Vaihtamalla E B matriisiksi 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 M B (f) = 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 5 Onnistuuko? Mistä kanta B? Mitkä luvut diagonaalilla?
Lineaarialgebra (muut ko) p. 60/88 Johdanto Meillä oli esimerkki M E (f) = ( 20/7 3/7 2/7 15/7 ) saatiin sopivalla kannanvaihdolla M B (f) = ( 2 0 0 3 )
Lineaarialgebra (muut ko) p. 61/88 Johdanto Yleisestikin pyritään M B (f) = λ 1 0... 0 0 λ 2... 0..... 0 0... λ n Onnistuuko aina? Miten löydetään kanta?
Lineaarialgebra (muut ko) p. 62/88 Ominaisarvot Jos Ax = λx missä x 0, niin λ on ominaisarvo ja x siihen kuuluva ominaisvektori.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 63/88 Ominaisarvot Ominaisarvot löydetään ominaisarvopolynomin nollakohtina. det(a λi) = 0 Ominaisarvoon λ kuuluvat ominaisvektorit löydetään yhtälöryhmästä (A λi)x = 0.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 64/88 Ominaisarvot Ominaisarvot löydetään ominaisarvopolynomin nollakohtina. det(a λi) = 0 Ominaisarvoon λ kuuluvat ominaisvektorit löydetään yhtälöryhmästä (A λi)x = 0. Huom. x C n ja x 0.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 65/88 Ominaisarvot Ominaisarvot löydetään ominaisarvopolynomin nollakohtina. det(a λi) = 0 Ominaisarvoon λ kuuluvat ominaisvektorit löydetään yhtälöryhmästä (A λi)x = 0. Huom. x C n ja x 0. Ominaisarvon algebrallinen kertaluku det(a ti) = ( 1) n (t λ 1 ) k 1...(t λ s ) k s.
Lineaarialgebra (muut ko) p. 66/88 Kertausta Matriisin muuttuminen kannanvaihdossa (Lause 2.5.2): missä M B (f) = P 1 M B (f)p P = P B B
Lineaarialgebra (muut ko) p. 67/88 Kertausta Matriisin muuttuminen kannanvaihdossa (Lause 2.5.2): missä M B (f) = P 1 M B (f)p P = P B B Meillä oli esimerkki ( 2 0 0 3 ) = ( 1/7 3/7 2/7 1/7 )( 20/7 3/7 2/7 15/7 )( 1 3 2 1 )
Lineaarialgebra (muut ko) p. 68/88 Diagonalisoituvuus Matriisi A on diagonalisoituva, jos P 1 AP = D Tällöin D = λ 1 0 0 0 λ 2 0..... 0 0... λ n missä λ i on A:n ominaisarvo
Lineaarialgebra (muut ko) p. 69/88 Diagonalisoituvuus Matriisi A on diagonalisoituva, jos P 1 AP = D Tällöin D = λ 1 0 0 0 λ 2 0..... 0 0... λ n missä λ i on A:n ominaisarvo Matriisi on diagonalisoituva ominaisvektoreista voidaan muodostaa kanta C n :lle
Lineaarialgebra (muut ko) p. 70/88 Diagonalisoituvuus Olkoot λ 1,...,λ s erisuuret ominaisarvot ja k 1,...,k s niiden algebralliset kertaluvut. Jos A on diagonalisoituva, niin D = λ 1 0... λ 1... λ s... 0 λ s k 1 kpl k s kpl
Lineaarialgebra (muut ko) p. 71/88 Diagonalisoituvuus Olkoot λ 1,...,λ s erisuuret ominaisarvot ja k 1,...,k s niiden algebralliset kertaluvut. Jos A on diagonalisoituva, niin P = λ 1 :n... λ s :n ominaisvektoreita ominaisvektoreita k 1 kpl k s kpl
Lineaarialgebra (muut ko) p. 72/88 Diagonalisoituvuus Olkoot λ 1,...,λ s erisuuret ominaisarvot ja k 1,...,k s niiden algebralliset kertaluvut. Jos A on diagonalisoituva, niin P = λ 1 :n... λ s :n ominaisvektoreita ominaisvektoreita } {{ } lineaarisesti riippumattomia! k 1 kpl k s kpl
Lineaarialgebra (muut ko) p. 73/88 Ominaisavaruus Ominaisavaruus V λ = {x C n (A λi)x = 0} Erisuurille ominaisarvoille λ 1,...,λ s V λ1 V λs
Lineaarialgebra (muut ko) p. 74/88 Diagonalisoituvuus Olkoot λ 1,...,λ s erisuuret ominaisarvot ja k 1,...k s niiden algebralliset kertaluvut. Jos A on diagonalisoituva, niin P = λ 1 :n... λ s :n ominaisvektoreita ominaisvektoreita k 1 kpl }{{} lin.riippumattomia k s kpl }{{} lin.riippumattomia
Lineaarialgebra (muut ko) p. 75/88 Geometrinen kertaluku Ominaisarvon λ geometrinen kertaluku dimv λ Erisuurille ominaisarvoille λ 1,...,λ s V λ1 V λs Ominaisarvon algebrallinen kertaluku det(a ti) = ( 1) n (t λ 1 ) k 1...(t λ s ) k s. k 1 + +k s = n
Lineaarialgebra (muut ko) p. 76/88 Kertausta Vektoreiden x,y R n sisätulo (x,y) = x 1 y 1 + +x n y n ortogonaalisuus x y (x, y) = 0 (u,u) = u 2 au = a u Vektorin u ortogonaaliprojektio vektorilla v p = (u,v) v 2 v = (u,v) (v,v) v
Lineaarialgebra (muut ko) p. 77/88 Ortonormaalisuus Vektorijoukko {x 1,...,x m } on ortogonaalinen, jos (x i,x j ) = 0 i j ortonormaali, jos ortogonaalinen ja pituudet = 1 eli (x i,x j ) = δ ij
Lineaarialgebra (muut ko) p. 78/88 Ortonormaalisuus Vektorijoukko {x 1,...,x m } on ortogonaalinen, jos (x i,x j ) = 0 i j ortonormaali, jos ortogonaalinen ja pituudet = 1 eli pituus ykköseksi, x 0, (x i,x j ) = δ ij 1 x x
Lineaarialgebra (muut ko) p. 79/88 Ortonormaalikanta Aliavaruudelle U R n ortonormaalikanta? Jos u 1,...,u m on ortonormaalikanta, niin kantaesitys helposti m x = r i u i i=1
Lineaarialgebra (muut ko) p. 80/88 Ortonormaalikanta Aliavaruudelle U R n ortonormaalikanta? Jos u 1,...,u m on ortonormaalikanta, niin kantaesitys helposti m x = (x,u i )u i (5.2) i=1
Lineaarialgebra (muut ko) p. 81/88 Kertausta Aliavaruudelle U R n ortonormaalikanta? Jos u 1,...,u m on ortonormaalikanta, niin kantaesitys helposti m x = (x,u i )u i (5.2) i=1 Vektorin u ortogonaaliprojektio vektorilla v p = (u,v) v 2 v = (u,v) (v,v) v
Lineaarialgebra (muut ko) p. 82/88 Kannasta ortonormaalikanta Aliavaruudella U R n on aina ortonormaalikanta: 1) Gramin-Schmidtin menetelmällä saadaan kannasta {x 1,...,x m } ortogonaalinen: 2) pituudet ykköseksi y 1 = x 1 y j = x j j 1 i=1 { 1 y 1 y 1,..., (x j,y i ) (y i,y i ) y i. 1 y m y m}
Lineaarialgebra (muut ko) p. 83/88 Ortogonaalikomplementti Ortogonaalikomplementti U = {x R n x u u U} R n = U U (U ) = U
Lineaarialgebra (muut ko) p. 84/88 Ortogonaalimatriisi P on ortogonaalinen, jos P 1 = P T Neliömatriisi P on ortogonaalinen sen vaaka- ja pystyrivit muodostavat ortonormaalin joukon
Lineaarialgebra (muut ko) p. 85/88 Ortogonaalimatriisi Lause 5.4.7: Jos P on ortogonaalinen, niin lineaarikuvaus f : R n R n,f(x) = Px säilyttää pituudet ja sisätulot eli f(x) = x ja kaikille x,y R n (f(x),f(y)) = (x,y)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 86/88 Symmetrinen ja reaalinen matriisi Yleisesti matriisin ominaisarvot λ C eri ominaisarvojen ominaisvektorit lineaarisesti riippumattomat
Lineaarialgebra (muut ko) p. 87/88 Symmetrinen ja reaalinen matriisi Yleisesti matriisin ominaisarvot λ C eri ominaisarvojen ominaisvektorit lineaarisesti riippumattomat Symmetrisen ja reaalisen matriisi ominaisarvot aina R:ssä eri ominaisarvojen ominaisvektorit ortogonaalisia
Lineaarialgebra (muut ko) p. 88/88 Välikoe 2 Tärkeitä perusasioita: 1. Matriisin redusoitu porrasmuoto 2. Käänteismatriisi alkeismuunnoksilla (A I)... 3. Kannanvaihdon matriisi 4. Lineaarikuvauksen matriisi 5. Diagonalisointi 6. Gramin-Schmidtin menetelmä Käy läpi demotehtävät (demokerrat 7 11)! Monisteesta Osa 1: sivut 57 63 ja Osa 2: sivut 1 51 Tärkeät lauseet ja todistukset: 2.3.3, 2.6.5, 2.7.1, 3.1.6, 4.6.2, 5.3.4, 6.1.2, 6.1.3