: Epälokaali epälineaarinen potentiaaliteoria ja fraktionaaliset integraalioperaattorit Janne Korvenpää Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu
Lokaali ja lineaarinen: Laplacen yhtälö 2/34
Lokaali ja lineaarinen: Laplacen yhtälö Yksi tyypillisimpiä osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. Tavoitteena etsiä n:n muuttujan funktio u siten, että u = 2 u x 2 1 + 2 u x 2 2 + + 2 u x 2 n on nimeltään Laplacen operaattori. = 0 joukossa Ω R n. 3/34
Lokaali ja lineaarinen: Laplacen yhtälö Yksi tyypillisimpiä osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. Tavoitteena etsiä n:n muuttujan funktio u siten, että u = 2 u x 2 1 + 2 u x 2 2 + + 2 u x 2 n on nimeltään Laplacen operaattori. = 0 joukossa Ω R n. Fysiikassa Ω on usein 2- tai 3-ulotteinen kappale. Mallintaa useita fysiikan ilmiöitä kappaleessa Ω: lämpötilan jakautumista tasapainotilassa, sähköpotentiaalia tasapainotilassa, aaltoliikkeen tasapainotilaa. 4/34
Laplacen yhtälön reuna-arvo-ongelma Yksi tyypillisimmistä tilanteista on, että funktion u arvo tunnetaan joukon Ω reunalla Ω. Esim. kappaleen sähköpotentiaali on mitattu sen reunalla ja halutaan selvittää sähköpotentiaalijakauma kappaleen sisällä. Funktio u ratkaistavissa yksikäsitteisesti, kunhan reunakäyttäytyminen ei tavattoman monimutkaista. u = 0 Ω:ssa u =? Ω:lla u 5/34
1-ulotteinen Laplacen yhtälö Differentiaaliyhtälö u (x) = 0. 6/34
1-ulotteinen Laplacen yhtälö Differentiaaliyhtälö u (x) = 0. u (x) = a u(x) = ax + b joillakin vakioilla a ja b. u u x x 7/34
v 1-ulotteinen reuna-arvo-ongelma Ω = ( 1, 1), Ω = { 1, 1}. u( 1) = 1, u(1) = 1; v( 1) = 0.5, v(1) = 2. u = 0 joukossa Ω; v = 0 joukossa Ω. 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 u 0 0-0.5-0.5-1 -1-1.5-1.5-2 -1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x -2-1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x u:n reuna-arvot v:n reuna-arvot 8/34
v 1-ulotteinen reuna-arvo-ongelma Ω = ( 1, 1), Ω = { 1, 1}. u( 1) = 1, u(1) = 1; v( 1) = 0.5, v(1) = 2. u = 0 joukossa Ω; v = 0 joukossa Ω. 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 u 0 0-0.5-0.5-1 -1-1.5-1.5-2 -1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x -2-1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x u:n kuvaaja v:n kuvaaja 9/34
Epälokaali: fraktionaalinen Laplacen yhtälö Fraktionaalinen derivointien kertaluku ei kokonaisluku. 10/34
Epälokaali: fraktionaalinen Laplacen yhtälö Fraktionaalinen derivointien kertaluku ei kokonaisluku. Voidaan määritellä Fourierin muunnoksen F avulla, joka muuntaa derivoinnin kertolaskuksi taajuuspuolelle; F ( u) = ξ 2 F u, ξ R n on taajuuspuolen muuttuja. Fraktionaalinen Laplacen yhtälö kertaluvulla s (0, 1): ( ) s u = F 1 ( ξ 2s F u) = 0. 11/34
Epälokaali: fraktionaalinen Laplacen yhtälö Fraktionaalinen derivointien kertaluku ei kokonaisluku. Voidaan määritellä Fourierin muunnoksen F avulla, joka muuntaa derivoinnin kertolaskuksi taajuuspuolelle; F ( u) = ξ 2 F u, ξ R n on taajuuspuolen muuttuja. Fraktionaalinen Laplacen yhtälö kertaluvulla s (0, 1): ( ) s u = F 1 ( ξ 2s F u) = 0. Esiintyy useiden pitkäkantamaisten ilmiöiden mallinnuksessa mm. fysiikassa, materiaalitieteissä ja finanssimatematiikassa: Qvasigeostrofiset virtausmallit, Huokoisen aineen diffuusiomallit, Amerikkalaisten optioiden hinnoittelumallit. 12/34
Epälokaali: fraktionaalinen Laplacen yhtälö Fraktionaalinen Laplacen yhtälö voidaan esittää myös integraalidifferentiaaliyhtälönä ( ) s u(x) u(y) u(x) = dy = 0. R n x y n+2s 13/34
Epälokaali: fraktionaalinen Laplacen yhtälö Fraktionaalinen Laplacen yhtälö voidaan esittää myös integraalidifferentiaaliyhtälönä ( ) s u(x) u(y) u(x) = dy = 0. R n x y n+2s Epälokaalisuus integraalin vuoksi ( ) s u(x) riippuu funktion u arvoista myös kaukana pisteestä x, ei ainoastaan x:n lähiympäristössä kuten derivaatoista koostuva u(x). 14/34
Epälokaali satunnaiskävely 15/34
Epälokaali satunnaiskävely Jos u(x) kuvaa satunnaiskävelyn todennäköisyysjakaumaa olla pisteessä x, niin Lokaalille satunnaiskävelylle (Brownin liike) u = 0, Eräälle epälokaalille satunnaiskävelylle ( ) s u = 0. 16/34
Epälokaali reuna-arvo-ongelma 17/34
Epälokaali reuna-arvo-ongelma Fraktionaaliselle Laplacen yhtälölle "reuna-arvot" on tunnettava koko joukon Ω ulkopuolisessa osassa R n \ Ω, jotta ratkaisun voi määrittää yksikäsitteisesti. ( ) s u = 0 u =? Ω:ssa (R n \ Ω):lla u 18/34
v 1-ulotteinen epälokaali reuna-arvo-ongelma Ω = ( 1, 1), R \ Ω = (, 1] [1, ). u(x) = x (R \ Ω):lla; v(x) = max{x, 1} (R \ Ω):lla. ( ) 2/3 u = 0 joukossa Ω; ( ) 2/3 v = 0 joukossa Ω. 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 u 0 0-0.5-0.5-1 -1-1.5-1.5-2 -2-1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x -2-2 -1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x u:n reuna-arvot v:n reuna-arvot 19/34
v 1-ulotteinen epälokaali reuna-arvo-ongelma Ω = ( 1, 1), R \ Ω = (, 1] [1, ). u(x) = x (R \ Ω):lla; v(x) = max{x, 1} (R \ Ω):lla. ( ) 2/3 u = 0 joukossa Ω; ( ) 2/3 v = 0 joukossa Ω. 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 u 0 0-0.5-0.5-1 -1-1.5-1.5-2 -2-1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x -2-2 -1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x u:n kuvaaja v:n kuvaaja 20/34
Vertailuperiaate 21/34
Vertailuperiaate Jos u ja v Laplacen yhtälön ratkaisuja joukossa Ω ja u v reunalla Ω, niin u v myös joukossa Ω. v Pätee paljon yleisemmillekin lokaaleille yhtälöille. 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 u 0 0-0.5-0.5-1 -1-1.5-1.5-2 -1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x -2-1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 x u:n kuvaaja v:n kuvaaja 22/34
Epälokaali vertailuperiaate Jos u ja v fraktionaalisen Laplacen yhtälön ratkaisuja joukossa Ω ja u v joukon Ω ulkopuolella, niin u v myös joukossa Ω. Pätee paljon yleisemmillekin epälokaaleille yhtälöille. v 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 u 0 0-0.5-0.5-1 -1-1.5-1.5-2 -2-1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x -2-2 -1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x u:n kuvaaja v:n kuvaaja 23/34
Yleisempi epälokaali yhtälö u(x) u(y) dy = 0 R n x y n+2s R n ( u(x) u(y) ) K (x, y) dy = 0, mikä vastaa epälokaalin satunnaiskävelyn siirtymätodennäköisyysjakauman muuttamista. 24/34
Yleisempi epälokaali yhtälö u(x) u(y) dy = 0 R n x y n+2s R n ( u(x) u(y) ) K (x, y) dy = 0, mikä vastaa epälokaalin satunnaiskävelyn siirtymätodennäköisyysjakauman muuttamista. u(x) u(y) p 2( u(x) u(y) ) K (x, y) dy = 0, 1 < p <, R n mikä muuttaa yhtälön epälineaariseksi; Fraktionaalinen Laplacen yhtälö on lineaarinen: ( ) s (u + v) = ( ) s u + ( ) s v, mutta yllä olevalle vastaava ei päde, kun p 2. 25/34
Epälokaali epälineaarinen potentiaaliteoria Väitöskirjassa kehitetään potentiaaliteoriaa yhtälöille Lu(x) = u(x) u(y) p 2( u(x) u(y) ) K (x, y) dy = 0. R n 26/34
Epälokaali epälineaarinen potentiaaliteoria Väitöskirjassa kehitetään potentiaaliteoriaa yhtälöille Lu(x) = u(x) u(y) p 2( u(x) u(y) ) K (x, y) dy = 0. R n Yksi keskeisistä kysymyksistä: miten u:n "reuna-arvot" Ω:n ulkopuolella sekä joukon Ω R n muoto vaikuttavat järkevän ratkaisun olemassaoloon. 27/34
Epälokaali epälineaarinen potentiaaliteoria Väitöskirjassa kehitetään potentiaaliteoriaa yhtälöille Lu(x) = u(x) u(y) p 2( u(x) u(y) ) K (x, y) dy = 0. R n Yksi keskeisistä kysymyksistä: miten u:n "reuna-arvot" Ω:n ulkopuolella sekä joukon Ω R n muoto vaikuttavat järkevän ratkaisun olemassaoloon. Haasteita aiheuttavat sekä yhtälön epälokaali käyttäytyminen että sen epälineaarisuus. 28/34
Epälokaali epälineaarinen potentiaaliteoria Vertailuperiaatteet keskeisessä osassa; voimassa yhtälölle Lu = 0. 29/34
Epälokaali epälineaarinen potentiaaliteoria Vertailuperiaatteet keskeisessä osassa; voimassa yhtälölle Lu = 0. Ratkaisujen sijaan tarkastellaan super- ja subratkaisuja: Lu 0 ja Lu 0. Erilaiset heikommat ratkaisun käsitteet: Heikot (super/sub)ratkaisut, (s, p)-(super/sub)harmoniset funktiot, (s, p)-viskositeetti(super/sub)ratkaisut. 30/34
Julkaisu III 31/34
Julkaisu III Tutkitaan yhtälöön Lu = 0 liittyvää ns. esteongelmaa. Esteongelma keskeinen työkalu potentiaaliteoriassa. Johdetaan olemassaolo- ja säännöllisyystuloksia esteongelman ratkaisulle. 4 4 3 3 2 2 u 1 u 1 0 0-1 -1-2 -2-1 0 1 2 3 4 x u:n reuna-arvot ja este -2-2 -1 0 1 2 3 4 x u:n kuvaaja 32/34
Julkaisu IV Tutkitaan heikkoja superratkaisuja ja johdetaan niille keskeisiä ominaisuuksia. Määritellään (s, p)-superharmonisten funktioiden käsite ja johdetaan niille keskeisiä tuloksia. Kehitetään epälokaali versio ns. Perronin menetelmästä. Saadaan yhtälölle Lu = 0 teoreettinen ratkaisu, ns. Perronin ratkaisu, hyvin yleisillä oletuksilla reuna-arvoista. Näytetään Perronin ratkaisun olevan tyypillisen ratkaisun käsitteen yleistys. 33/34
Julkaisu V Tutkitaan eri ratkaisun käsitteiden yhtenevyyttä yhtälölle Lu = 0. Määritellään (s, p)-viskositeettisuperratkaisujen käsite ja johdetaan keskeisiä ominaisuuksia. Näytetään, että (s, p)-superharmonisten funktioiden ja (s, p)-viskositeettisuperratkaisujen luokat ovat hyvin yleisillä oletuksilla samat. Kun tarkastellaan vain rajoitettuja ratkaisuja, niin myös heikkojen superratkaisujen luokka yhtälölle Lu = 0 on sama kuin kaksi yllä olevaa. 34/34