Taloustieteen matemaattiset menetelmät 27 materiaali 4 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause. Johdanto Jo opiskeltu antaa nyt valmiu tutkia taloudellisia malleja Kiinnostava malli voi olla epälineaarinen Lisäksi saattaa hyvin käydä niin että emme kykene ratkaisemaan mallia kiinnostavan muuttujan suhteen, tai se on hankalaa Ratkaisuna ovat implisiittifunktion eli ratkaisemattoman funktion käsittely ja paikallinen linearisointi..2 Implisiittifunktiolause Lineaarinen maailma eksplisiittifunktiolause Lineaarisissa malleissa näimme, että mikäli yhtälöryhmällä on täysi rangi, sillä on vaakarivioperaatioita käyttäen laskettavissa oleva ratkaisu. Tarkastellaan yhtälöryhmiä, joissa n yhtälöä, n endogeenista muuttujaa (y ; ; y n ) ja m eksogeenista muuttujaa (x ; ; x m ) Yksinkertaisin tapaus n m f (y; x) ay + bx Miten x n muutos vaikuttaa y n arvoon? Ratkaistaan y b a x; kun a 6 Toisin sanoen muutos x aiheuttaa muutoksen y b a x Voidaan laskea y x b a Kun x on pieni, merkitään sitä usein dx llä. Saadaan siis Siis dy dx b a dy dx @f(y;x) @f(y;x)
Tavoite on yleistää tämä kaava epälineaarisiin funktioihin ja sitten useamman yhtälöhn lineaarisiin ja epälineaarisiin yhtälöryhmiin. Yhden muuttujan lineaarisessa tapauksessa eksplisiittinen ratkaisu oli helppoa. Jokaiselle x n arvolle voitiin ratkaista yksikäsitteinen y; joka toteuttaa alkuperäisen yhtälön. Epälineaarisessa maailmasssa tämä ei onnistu. Implisiittifunktiolause kun n m f (y; x) xy + ln (xy + x) Huomataan, että (by; bx) (; ) toteuttaa yhtälön. Tarkastellaan eksogeenisen muuttujan x pienen muutoksen dx vaikutusta endogeenisen muuttujan y arvoon. Olemme siis kiinnostuneita kaikista pisteistä (y; x) ; jotka toteuttavat yllä olevan yhtälön. Oletetaan, että pisteen (; ) lähellä jokaista x vastaa yksikäsitteinen y (x) siten, että y () Oletetaan lisäksi, että y voidaan derivoida x n suhteen. Tällöin g (x) f (y (x) ; x) xy (x) + ln (xy (x) + x) kaikille x pisteen x lähellä. Huomataan, että alkuperäinen yhtälö on supistunut pelkästään xstä riippuvaksi. Koska funktion arvo on vakio () kaikille x; on funktion derivaatta pisteen x lähellä. Yhdistetyn funktion derivaattasäännö avulla saadaan g (x) x + @f (y; x) y @f (y; x) (x)+ x xy + x Asettamalla derivaatta nollaksi pisteessä (; ) saadaan y (x)+y+ y + xy + x y () @f(;) @f(;) 2 Huomatkaa, että tämä on mahdollista vain jos @f(;) 6 Alla oleva teoreema yleistää tämän esimerkin sanoman. Theorem (Teoreema Implisiittifunktiolause R ssä) Olkoon funktio f (y; x) jatkuvasti di erentioituva pisteen (by; bx) ympäristössä B " (by; bx) ; jollakin " > ja lisäksi f (by; bx) @f(by;bx) Mikäli 6 ; tällöin on olemassa > ja jatkuvasti di erentioituva funktio y (x) pisteen bx ympäristössä B (bx) ; jolle pätee 2
. f (y (x) ; x) kaikille x 2 B (bx) ; 2. y (bx) by; 3. Funktion y derivaatta toteuttaa y (bx) @f(by;bx) @f(by;bx) Vaihtoehtoisesti @f (; ) Df (; ) ; @f (; ) Pienelle muutokselle (dy; dx) pätee derivaatan määritelmän mukaan @f (; ) @f (; ) dy f ( + dy; + dx) f (; ) ; dx Jotta yhtälö pätisi myös pisteessä ( + dy; + dx),pitää muutoksen olla nolla @f (; ) @f (; ) dy + dx Ratkaisemalla dy saadaan dy @f(;) @f(;) dx Tämä viimeinen tapa tarkastella asiaa yleistyy helpoimmin monen muuttujan tapaukseen. Lineaarinen implisiittifunktiolause, kun n > Tarkastellaan yhtälöryhmää a y + + a n y n + b x + + b m x m ; a n y + + a nn y n + b n x + + b nm x m Kirjoitetaan matriisimuotoon Ay + Bx ; jossa A on n n matriisi ja B on n m matriisi, y (y ; ; y n ) ; x (x ; ; x m ). 3
Tulkitaan yhtälönä Oletetaan, että f (y; x) f (by; bx) eli Aby + Bbx ; ja tarkastellaan pienen muutoksen (dy; dx) (dy ; ; dy n ; dx ; ; dx m ) vaikutusta funktion arvoon f (by + dy; bx + dx) f (by; bx) Ady+Bdx D y f (by; bx) dy+d x f (by; bx) dx; missä D y f on funktion f osittaisderivaatoista endogeenisten muuttujien suhteen muodostettu matriisi ja D x f on eksogeenisten muuttujien suhteen otetuista osittaisderivaatoista muodostettu matriisi. Jotta yhtälö f (y; x) pätisi pisteessä (by + dy; bx + dx) ; on muutoksen oltava nolla Ady + Bdx Toisin sanoen dy A Bdx Jos vain yksi eksogeeninen muuttuja muuttuu kerrallaan, on Bdx rivivektori ja dy voidaan ratkaista Cramerin säännöllä. Tällä yhtälöllä on ratkaisu vain jos ja vain jos A on olemassa eli endogeenisten muuttujien kerroinmatriisilla on täysi rangi. Käyttämällä derivaattamerkitää, saadaan dy (D y f (by; bx)) D x f (by; bx) dx; mikäli (D y f (by; bx)) on olemassa. Tämä tulos yleistyy täysin epälineaarisille funktioille pisteen (by; bx) ympäristössä. Esimerkki 2y + y 2 + 3x ; y y 2 x Matriisimuodossa 2 y y 2 3 + x ; eli 2 y y 2 3 x 4
Cramerin säännöllä saadaan 3 x y 2 2 3 x y 2 2 2 3 x; 5 3 x Toisin sanoen jos dx on eksogeenisen muuttujan muutos, niin Jos dy 2 3 dx; dy 2 5 3 dx f R n+m R n ; ja f (by; bx) ; kirjoitetaan lineaarinen approksimaatio pienelle muutokselle (dy; dx) f (by + dy; bx + dx) ja vaaditaan f (by; bx) Df (by; bx) D y f (by; bx) dy + D x f (by; bx) dx; D y f (by; bx) dy + D x f (by; bx) dx Koska D y f (by; bx) ja D x f (by; bx) ovat tavallisia matriiseja, on jatko tästä eteenpäin täysin identtinen lineaarisen tapauksen kanssa. Esimerkki f (y; x) f (y ; y 2 ; x ; x 2 ) f 2 (y ; y 2 ; x ; x 2 ) f (y ; y 2 ; x ; x 2 ) y y 2 2 x x 2 + x 2 + 2 ; f 2 (y ; y 2 ; x ; x 2 ) y x y 2 + x 2 Tarkastellaan yhtälöryhmää pisteen (by ; by 2 ; bx ; bx 2 ) (; ; 2; 2) ympäristössä. Muodostetaan matriisit D y f (by; bx) @f ((by;bx)) @f ((by;bx)) 2 2 by 2 2 2by by 2 bx by 2 2 2 2 ; 5
D x f (by; bx) @f ((by;bx)) @f ((by;bx)) 2 2 Huomataan, että (D y f (by; bx)) 6 bx2 bx 2 by 2 Tarkastellaan x n muutoksen vaikutusta endogeenisiin muuttujiin @f ((by;bx)) @f ((by;bx)) 2 dy + dx dy 2 2 @f ((by;bx)) 2 eli pisteen (by ; by 2 ; bx ; bx 2 ) (; ; 2; 2) ympäristössä 2 dy 2 + dx 2 dy 2 Ratkaistaan Cramerin säännöllä 2 2 dx 2 dy 3 2 2 dx ; dy 2 2 2 2 2 4 dx Theorem 2 (Teoreema Implisiittifunktiolause R n ssä) Olkoon funktio f R n+m R n jatkuvasti di erentioituva pisteen (by; bx) ympäristössä B " (by; bx) ; jollakin " > ja lisäksi f (by; bx) Mikäli (D y f (by; bx)) 6 ; tällöin on olemassa > ja jatkuvasti di erentioituva funktio y (x) pisteen bx ympäristössä B (bx) ; jolle pätee. f (y (x) ; x) kaikille x 2 B (bx) ; 2. y (bx) by; 3. Funktion y derivaatta toteuttaa Dy (bx) (D y f (by; bx)) D x f (by; bx).3 Implisiittifunktiolause ja IS-LM analyysi Perinteisessä keynesiläisessä makrotaloustieteessä, talouden tasapainoa kuvataan seuraavalla yhtälöryhmällä Y C + I + G; C C(Y T ); I I (r) ; M s M (Y; r) 6
Y on kansantuote tai BKT. C on yksityinen kulutus,i on investoinnit, G on julkisen vallan menot, T on verokertymä,m s on rahan tarjonta. (Epälineaarinen) funktio C (Y T ) on kulutusfunktio, joka kertoo kullekin käytettävissä olevan tulon määrälle yksityisen kysynnän määrän. I (r) kuvaa investointien määrää koron r funktiona, ja rahan kysyntä M (Y; r) riippuu tuloista (rahan kvantiteettiteoria) ja korosta (vaihtoehtoiskustannus). Jaottelu endogeenisiin ja eksogeenisiin muuttujiin Eksogeeniset M s ; T; G Endogeeniset Y; C; I; M; Y; r Oletetaan < C (Y T ) < ; I (r) < ; > ; < Sijoittamalla saadaan yhtälöryhmä muotoon Y C (Y T ) I (r) G ; M (Y; r) M s Endogeeniset muuttujat Y ja r pyritään siis määräämään eksogeenisten muuttujien (G; M s ; T ) funktioina implisiittisesti pisteen (Y ; r ; G ; T ; M s ) ympäristössä, missä yhtälöt siis toteutuvat. Analysoidaan eksogeenista muutosta (dg; dt; dm s ) ja vastaavaa endogeenisten muuttujien sopeutumista (dy; dr) Saadaan C (Y T ) I (r ) dy C + (Y T dg ) @ dt A dr dm s Lasketaan endogeenisten muuttujien kerroinmatriisin erminantti C (Y T ) I (r ) ( C (Y T )) ( I (r )) < Toisin sanoen erminantti poikkeaa nollasta ja implisiittifunktiolausetta voidaan soveltaa. Oletetaan, että rahan määrä piään muuttumattomana ja sekä verotusta että valtion menoja nostetaan yhtä paljon (budjetti pysyy tasapainossa). Tällöin C (Y T ) I (r ) dy dr dg C (Y T ) dt dg ( C (Y T )) 7
Cramerin säännöllä ( C (Y T )) I (r ) dy dg C (Y T ) I (r ) > ; C (Y T ) ( C (Y T )) dr dg C (Y T ) I (r ) > Huomatkaa siis, että tasapainotetullakin budjetilla valtion menojen kasvattaminen lisää BKTta..4 Indi erenssikäyrän ja Isokvantin piirtäminen Tarkastellaan kuluttajan valintatilannetta kahden muuttujan suhteen siten, että max U (x; y) x;y p x x + p y y w Graa nen tarkastelu alkaa piirtämällä indi erenssikäyriä kuluttajalle eli etsitään (x ; y ) siten, että U (x ; y ) U jollekin hyötytasolle U Kuinka y n pitää muuttua jos x muuttuu dx n verran? Kirjoitetaan lineaarinen approksimaatio U (x + dx; y + dy) U (x ; y ) @U (x ; y ) dx + @U (x ; y ) dy Jotta saadaan jolloin U (x + dx; y + dy) U ; @U (x ; y ) dx + @U (x ; y ) dy ; dy dx @U (x ; y ) @U (x ; y ) Indi erenssikäyrä on siis laskeva ja sen kulmakertoimen itseisarvo on rajahyötyjen suhde eli MRS x;y
Vastaava ongelma yrityksen teoriassa koskee panostasojen (k; l) määrittämistä site, että tuotannon taso pysyy vakiona f (k; l) y Toistamalla edellisen kohdan askelet, saamme pisteen (k ; l ) ympäristössä dk dl @f @l (k ; l ) @f @k (k ; l ) Siis isokvantti on myös laskeva ja sen kulmakertoimen itseisarvo on teknisen rajasubstituution aste MRT S l;k @f @l @f @k MP l MP k Miltä näyttävät isokvantit ja indi erenssikäyrät tarkemmin? Mihin suuntiin kaareutuvat? Miten kaareutumista voidaan mitata?.5 Komparatiivinen statiikka Cournot-mallissa Tarkastellaan mallia, jossa kaksi tuottajaa i 2 f; 2g myyvät homogeenista hyödykettä suurelle joukolle kuluttajia. Markkinakysyntä p (Q; ) p (q + q 2 ; ) (q + q 2 ) 2 ; missä q i on tuottajan i markkinoille tuoma määrä. Tuottajan i kustannusfunktio on Tuottajan i voitto on tällöin c i (q i ; i ) i q 2 i i (q ; q 2 ; ; ; 2 ) q i p (q + q 2 ; ) c i (q i ; i ) q i q i (q i + q j ) 2 i q 2 i Cournot tasapainossa, kumpikin tuottaja i maksimoi voittoaan valitsemalla optimaalisen q i ottaen q j n annettuna. Toisin sanoen täytyy päteä kummallekin i 2 f; 2g @ i (q ; q 2 ; ; ; 2 ) @q i 9
Eli (q i + q j ) 2 (q i + q j ) 2 Kirjoitetaan tämä yhtälöryhmä muodossa 2 q i (q i + q j ) 2 2 i q i ; 2 q j (q i + q j ) 2 2 j q j f (q ; q 2 ; ; ; 2 ) ; f (q ; q 2 ; ; ; 2 ) Tämä yhtälöryhmä toteutuu pisteessä q q 2 2 ; 9 4 ; 2 Tarkastellaan endogeenisten muuttujien suhteen muodostettua derivaattaa D q f (q ; q 2 ; ; ; 2 ) tämän pisteen ympäristössä D q f (q ; q 2 ; ; ; 2 ) @f @q (q ; q 2 ; ; ; 2 ) @f 2 @q (q ; q 2 ; ; ; 2 ) @f @q 2 (q ; q 2 ; ; ; 2 ) @f 2 @q 2 (q ; q 2 ; ; ; 2 ) (q + q 2 ) 2 + 4 q (q + q 2 ) 3 2 2 2 (q + q 2 ) 2 + 4 q (q + q 2 ) 3 2 2 (q + q 2 ) 2 + 4 q 2 (q + q 2 ) 3 2 (q + q 2 ) 2 + 4 q 2 (q + q 2 ) 3 2 2 2 Lasketaan derivaatan arvo pisteessä q q 2 2 ; 9 4 ; 2 D q f 2 ; 2 ; 9 + 4 ; ; 2 2 + 2 + + 2 Derivaattamatriisin erminantti D q f 2 ; 2 ; 9 4 ; ; 23 2 2 3 > Voimme siis käyttää implisiittifunktioteoreemaa arvioimaan, miten pienet muutokset eksogeenisissa muuttujissa vaikuttavat endogeenisiin muuttujiin. Komparatiivinen statiikka (eli tasapainotuotosten muutokset) voidaan ratkaista vaikkapa Cramerin säännöllä, kun laskemme D f 2 ; 2 ; 9 4 ; ; D f 2 ; 2 ; 9 2 4 ; ; ; D 2 f 2 ; 2 ; 9 4 ; ; 2