Taloustieteen matemaattiset menetelmät 207 materiaali 3 Useamman muuttujan di erentiaalilaskenta. Lineaariset funktiot Funktio f R n! R m on lineaarinen jos. Kaikille 2 R ja kaikille x 2 R n pätee 2. Kaikille x; y 2 R n pätee f (x) = f (x) f (x + y) = f (x) + f (y) 3. Yhdistämällä. ja 2. saadaan kaikille i 2 R ja kaikille x i 2 R n Tarkastellaan aluksi funktioita Määritellään f n i= i x i = n i= i f x i f R! R a = f () Jos f on lineaarinen, saadaan kohdan. mukaan f (x) = xf () = ax Toisin sanoen kaikki lineaariset funktiot f R! R voidaan esittää reaaliluvun a ja muuttujan x tulona. Tarkastellaan seuraavaksi funktiota Määritellään f R n! R f (e i ) = a i ; missä e i on luvussa.6. määritelty yksikkövektori. Kaikki vektorit x 2 R n voidaan esittää muodossa x = n i=x i e i
Jos f on lineaarinen, saadaan kohdan 3. mukaan missä f (x) = n i=f (e i ) x i = n i=a i x i = a x; a = (a ; ; a n ) Toisin sanoen lineaariset funktiot voidaan esittää vektorin a ja muuttujan x pistetulona. Lopulta funktiot f R n! R m määritellään vektoriarvoisiksi funktioiksi 0 0 f (x) f 2 (x) f (x) = B C @. A = B @ f m (x) missä jokainen komponenttifunktio f i on muotoa f i R n! R f (x ; ; x n ) f 2 (x ; ; x n ). f m (x ; ; x n ) Jos f on lineaarinen, on sen jokaisen komponenttifunktion f i myös oltava lineaarinen. Edellisen kohdan nojalla siis tiedämme, että jokaista komponenttifunktiota f i vastaa vektori a i ; jolle pätee f i (x) = a i x Lineaarinen funktio f voidaan siis kirjoittaa (m n) matriisin A avulla muodossa 0 0 0 a > a a n x B C B C B C f (x) = @. A = @.. A @. A = Ax a m a mn x m a > m Lineaariset funktiot ovat helppoja käsitellä, koska lisäämällä x i tä x i yksiköllä kasvaa y j n arvo a ji x i verran. Toisin sanoen lisäyksen koko ei riipu alkuperäisestä x i n arvosta. Tämä seuraa suoraan lineaaristen funktioiden additiivisuudesta (siis f (x + y) = f (x) + f (y)). Lineaariset mallit eivät valitettavasti sovellu kaikkiin taloudellisiin tilanteisiin. Syitä tähän i) Eivät pysty kuvaamaan ilmiötä kuten laskevat rajatuotot. ii) Johtavat usein huonosti määriteltyihin optimointiongelmiin. (Ei optimaalista ratkaisua). iii) Hyvin määritellyissäkin tapauksissa johtavat usein tuloksiin, jotka eivät taloudellisesti järkeviä. Esimerkiksi ratkaisujen epäjatkuvuus. Tämän takia joudumme käyttämään myös malleja jotka eivät ole lineaarisia, toisin sanoen malleja, jotka ovat epälineaarisia. C A ; 2
.2 Esimerkkejä. Hyötyfunktio U (x ; ; x n ) Epälineaarisuus kuvaa laskevaa rajahyötyä, epätäydellistä substituoitavuutta, riskiasennetta jne. 2. Tuotantofunktio F (K; L) Epälineaarisuus kuvaa laskevaa rajatuotosta, laskevia tai kasvavia skaalatuottoja jne. Epälineaaristen mallien ongelma Erittäin vaikea ratkaista analyyttisesti. Vaihtoehdot i) Numeerinen ratkaiseminen. Yleensä tietokoneella käyttäen hyviä approksimointialgoritmeja. Tämän kurssin ulottumattomissa, mutta maisterivaiheessa opintoja tarjolla HSEllä ja HYllä silloin tällöin. ii) Lokaalinen (paikallinen) tarkastelu. Idea hyvin käyttäytyvät funktiot muistuttavat lokaalisti lineaarisia funktioita. Toisin sanoen lokaalissa tarkastelussa palautetaan monimutkainen epälineaarinen ongelma lineaariseksi. Idea jos muutokset ovat pieniä, ovat poikkeamat pieniä lineaarisista malleista. Analogia maapallo on pyöreä, mutta kotiaskareissa voidaan olettaa normaali lineaarinen koordinaatisto. Ongelma Mitä tarkoittaa pieniä? Miten voidaan ilmaista matemaattisen täsmällisesti ajatus siitä, että tarkastellaan pieniä muutoksia?! Etäisyyden määritelmä, Raja-arvon määritelmä. Työkalu lokaaliin analyysin on di erentiaalilaskenta eli derivointi.3 Ensiaskeleita analyysiin Kohdassa.6 määriteltiin sisätulo, kahden vektorin x; y 2 R n etäisyys q d (x; y) = kx yk = n i= (x i y i ) 2 Lokaalin analyysin tavoitteena on kuvailla funktion f käyttäytymistä jonkin pisteen x 0 2 R n lähellä. Milloin ovat pisteet x ja y lähekkäin? Jos niiden etäisyys on pieni? Kuinka pieni? (Kellosepän vai astronomin mittakaavalla?). Läheisyyttä voidaan kuvata suppenevilla lukujonoilla. Aloitetaan lukujonon käsitteestä. Lukujono voidaan ajatella funktioksi luonnollislta luvuilta R n ään f N! R n ; 3
jossa Useimmiten merkitään vain f () = x 2 R n ; f (2) = x 2 2 R n ; fx n g n= = fx n g Lukujono fx n g suppenee arvoon x mikäli kaikille " > 0 on olemassa N < siten, että kaikille n > N pätee Tällöin kirjoitamme tai d (x n ; x) < " lim n! xn = x; x n! x ja kutsumme x ää lukujonon x n raja-arvoksi. Koska " on mielivaltaisen pieni, voidaan sanoa, että lopulta lukujono x n on lähellä pistettä x kaikkien mittakaavojen mukaan. Harjoitustehtävänä voitte osoittaa, että lukujonolla voi olla korkeintaan yksi raja-arvo. Kaikilla lukujonoilla ei tietenkään ole lainkaan raja-arvoa. Esimerkiksi x n = ( ) n on jono, jolla ei raja arvoa ole. Jatkuvuus pisteessä x 0 vaatii siis sitä, etteivät pienet muutokset funktion argumentissa saa aiheuttaa suuria muutoksia sen arvossa. Funktio f R n! R m on jatkuva jos se on jatkuva kaikissa pisteissä x 0 2 R n.4 Extra hieman lisää analyysiä Pisteelle x 0 2 R n määritellään avoin " ympäristö B " (x 0 ) seuraavasti B " (x 0 ) = fy 2 R n jd (y; x 0 ) < "g Joukko A R n on avoin, jos kaikille x 0 2 A on olemassa " > 0 siten, että B " (x 0 ) A Toisin sanoen, jokaisella A n pisteellä on avoin " ympäristö, joka kuluu kokonaisuudessaan joukkoon A Joukon A komplementti A C määritellään seuraavasti x 2 A C () x =2 A 4
Joukko A on suljettu jos A C on avoin. Voidaan näyttää, että joukko A on suljettu jos ja vain jos kaikille lukujonoille fx n g; jonka alkiot kuuluvat joukkoon A pätee x n! x =) x 2 A Toisin sanoen väite on, että (fx n g 2 A; ja x n! x) =) x 2 A () A suljettu. Todistus Jos A on suljettu,a C on avoin. Jos x =2 A; silloin x 2 A C ja avoimuuden perusteella on olemassa " > 0; jolle pätee B " (x) A C Jos (fx n g 2 A; ja x n! x) pätee, tiedämme siis, että x 2 A Toisaalta jos A ei ole suljettu, A C ei ole avoin. Tällöin on olemassa piste y 2 A C siten, että kaikille " n > 0 on olemassa x n siten, että d (x n ; y) < " n ja x n =2 A C eli x n 2 A Kun valitaan jono " n siten, että " n! 0; saadaan rakennettua x n siten, että kaikille n; x n 2 A ja lim n! x n = y; mutta y =2 A Funktio f R n! R m on jatkuva pisteessä x 0 jos x n! x implikoi f (x n )! f (x) Toisin sanoen kaikille " > 0 on olemassa > 0 siten, että d (x n ; x) < =) d (f (x n ) ; f (x)) < " Funktio f (n) on aidosti kasvava jos n 0 > n =) f (n 0 ) > f (n) Lukujonon fx n g osajonolla fx n k g tarkoitetaan lukujonoa fx f(n) g; missä f (n) on aidosti kasvava funktio luonnollisten lukujen joukosta luonnollisten lukujen joukkoon. Esimerkiksi lukujonolla fx ; x 2 ; x 3 ; g on osajonoina fx ; x 3 ; x 5 ; g ja fx 2 ; x 4 ; x 6 ; g ja fx ; x 4 ; x 9 ; g jne. Osajonon raja-arvot ja suppeneminen määritellään samoin kuin alkuperäisen lukujonon tapauksessa. Lukujonolla voi olla useita suppenevia osajonoja, jotka suppenevat eri raja-arvoihin (ks. yllä ollut esimerkki). Joukko A R n on rajoitettu jos on olemassa K siten,että d (0; x) K kaikille x 2 A Yksi alkeisanalyysin tärkeimmistä tuloksista on Bolzano-Weierstrassin lause. Kaikilla rajoitetuilla jonoilla fx n g on suppeneva osajono. Tämä on helppo "todistaa". Koska fx n g on rajoitettu, kuuluvat kaikki x i kuutioon K = [ K; K] n Jaetaan kuutio kahtia ensimmäisen koordinaatin mukaan osiin K = [ K; 0] [ K; K] n ja K2 = [0; K] [ K; K] n Koska fx n g on ääretön joukko, on joko K tai K 2 ssa (tai molemmissa) ääretön määrä pisteitä. Valitaan puolisko K, jossa pisteitä on ääretön määrä ja määrätään n = minfn x n 2 K g. Jaetaan K toisen koordinaatin mukaan kuten edellä, 5
valitaan K 2 kuten edellä ja määrätään n 2 = minfn > n x n 2 K 2 g Jatketaan n koordinaattia vaihtaen ja jatketaan askelessa n + taas puolittamalla K n ensimmäisen koordinaatin mukaan. Jokaisen n puolituksen jälkeen on saatu rajattua kuutio, jonka jokainen sivu on puolet alkuperäisestä. Näin ollen nl puolituksen jälkeen sivun pituus on 2K Valitsemalla l riittävän suureksi saadaan 2 l aikaiseksi osajono, jonka kaikki alkiot ovat mielivatltaisen lähellä toisiaan. Joukolle A R määritellään pienin yläraja ja suurin alaraja seuraavasti. jos kaikille x 2 A pätee sup A inf A sup A = M x M ja kaikille M 0 < M on olemassa x 2 A siten, että jos x > M 0 inf A = m x 2 A =) x m ja m 0 > m =) 9x 0 2 A siten, että x 0 < m 0 Jos joukolle A ei ole olemassa arvoa M; jolle yllä esitetty pätee, kirjoitetaan sup A = Vastaavasti jos ei ole arvoa m; jolle yllä esitetty pätee, kirjoitetaan inf A = Weierstrassin teoreema on tärkein olemassaolon takaava tulos taloustieteelle. Sen mukaan jokaisella jatkuvalla funktiolla, joka on määritelty suljetulla ja rajoitetulla joukolla on maksimipiste. Muodollisemmin Theorem (Weierstrassin teoreema) Olkoon funktio f X! R jatkuva ja olkoon X suljettu ja rajoitettu. Tällöin on olemassa x 2 X siten, että kaikille x 2 X Todistus. f (x ) f (x) Olkoon x n 2 X jono, jolle pätee x n! sup f (X) ; missä f (X) = fy jy = f (x) jollekin x 2 X g koska X on rajoitettu joukko, on olemassa osajono fx n k g ja x siten, että x n k! x Koska X on suljettu, x 2 X Koska f on jatkuva, f (x ) = lim k! f (xn k ) = sup f (X) 6
.5 Derivointia Muistutetaan mieliin derivaatan määritelmä yhden muuttujan tapauksessa. Tarkastellaan funktiota f pisteen x 0 2 R läheisyydessä ja lasketaan sille erotusosamäärä ja tarkastellaan raja-arvoa lim h!0 f (x 0 + h) f (x 0 ) h f (x 0 + h) f (x 0 ) h Huomaa, että raja-arvo voi olla olemassa vain jatkuville funktioille. Mikäli raja-arvo on olemassa, merkitsemme sitä tai joskus Df (x 0 ) f 0 (x 0 ) ja kutsume sitä funktion f derivaataksi pisteessä x 0 Hyvin pienille h siis pätee f (x 0 + h) f (x 0 ) = Df (x 0 ) h Huomataan siis, että funktio f on kuin lineaarinen funktio pienille arvoille h Lineaarisen funktion määrää derivaatta pisteessä x 0 ; Df (x 0 ) Tämä näkökulma derivaattaan yleistyy useamman muuttjan funktioilla ja vektoriarvoisille muuttujille. Derivoimissääntöjä. Jos f(x) = a kaikille x; on Df (x 0 ) = 0 kaikille x 0 2. Jos f (x) = x; on Df (x 0 ) = kaikille x 0 3. Olkoon h(x) = f (x) + g (x) Tällöin Dh (x 0 ) = Df (x 0 ) + Dg (x 0 ) 4. Olkoon g (x) = af (x) Tällöin Dg (x 0 ) = adf (x 0 ) 5. Olkoon Tällöin (x) = f (x) g (x) D (x 0 ) = (x 0 + h) (x 0 ) Df (x) g (x) = lim h!0 h = f (x 0 + h) g (x 0 + h) f (x 0 ) g (x 0 ) lim h!0 h (f (x 0 + h) f (x 0 )) g (x 0 + h) f (x 0 ) (g (x 0 ) g (x 0 + h)) = lim h!0 h = f 0 (x 0 ) g (x 0 ) + f (x 0 ) g 0 (x 0 ) 7
6. Olkoon Tällöin (x) = g (f (x)) D (x 0 ) = (x 0 + h) (x 0 ) Dg (f (x)) = lim h!0 h = g (f (x 0 + h)) g (f (x 0 )) lim h!0 h = g (f (x 0 ) + f 0 (x 0 ) h) g (f (x 0 )) lim h!0 h = f 0 (x 0 ) (g (f (x 0 + f 0 (x 0 ) h)) g (f (x 0 ))) lim h!0 f 0 (x 0 ) h = g 0 (f (x 0 )) f 0 (x 0 ) 7. Näillä kaavoilla saamme lähes kaikki tarvitsemmme derivointisäännöt. Esim derivaatta funktiolle (x) = x 2 saadaan suoraan tulosääntöä soveltamalla, kun Saadaan siis "Induktiolla" näytetään, että kun f (x) = g (x) = x D (x) = x + x = 2x f (x) = x a ; Df (x 0 ) = ax a 8. Osamäärän derivaatta saadaan tulosäännöstä h (x) = f(x) g (x) on sama kuin ja siis ja h(x)g (x) = f (x) h 0 (x) g (x) = f 0 (x) h 0 (x) = f 0 (x) g (x) h (x) g 0 (x) f (x) g 0 (x) (g (x)) 2 8
9. Käänteisfunktion derivaattasääntö tulee yhdistetyn funktion derivaattasäännöstä Kaikille x pätee f (f (x)) = x Derivoimalla puolittain ja merkitsmällä y 0 = f (x 0 ) Df (y 0 ) Df (x 0 ) = ja siis Df (y 0 ) = Df (x 0 ) 0. Eksponenttifunktio Derivoidaan alkio alkiolta f (x) = e x = x n n=0 n! = + x + x2 2 + x3 6 x n Df (x) = 0 + + x + x2 2 = n= (n )! = ex. Logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteisfunktio g (y) = ln y; f (x) = e x ; g (f (x)) = x Yhdistetyn funktion derivaattasäännöllä Dg (y) Df 0 (x) = ; siis Siis Dg (y) = Df (x) = f (x) = y D ln y = y 2. Trigonometriset funktiot jne. saadaan esimerkiksi esittämällä ne kompleksilukukertoimisina eksponenttifunktioina... 9
.6 Ensimmäinen lähestyminen useamman muuttujan funktioihin..6. Osittaisderivaatta Tarkastellaan funktiota f (x ; x 2 ; ; x n ) x i n funktiona ja kiinnitetään muuttujien x j arvot x j = bx j Tällöin f lle voidaan määritellä derivaatta muuttujan x i suhteen pisteessä bx = (bx ; ; bx n ) kuten edellä @f (bx) @x i f (bx ; bx 2 ; ; bx i i ; bx i + h; bx i ; ; bx n ) f (bx) = lim h!0 h Nimitämme tätä osittaisderivaataksi x i n suhteen. Luonnollisesti kaikki yllä esitetyt derivointisäännöt pätevät osittaisderivaatoille.voimme myös kirjoittaa @f (bx) @x i f (bx + he i ) f (bx) = lim ; h!0 h missä e i on i 0 s yksikkövektori. Miten määritellään useamman muuttujan funktion derivaatta pisteessä bx? Df (bx) = lim x!0 f (bx + x) x f (bx)? Tämä näyttää hölynpölyltä, koska emme ole määritelleet vektorilla jakamista. Pidetään kiinni aiemmasta aikeestamme esittää epälineaariset funktion lokaalisesti lineaarisina derivaatan avulla. Tällöin funktion f derivaatta pisteen bx ympäristössä pitäisi olla lineaarinen funktio, joka esittää muutokset bx n lähellä lineaarisena funktiona. Tarkastellaan funktiota f R n! R Sanomme, että sillä on derivaatta pisteessä bx jos on olemassa lineaarinen funktio Df (bx) siten, että kaikille x 2 R n kun x on pieni, pätee f (bx + x) f (bx) = Df (bx) x Aiemmin osoitimme, että lineaariset funktiot R n stö R ään ovat pistetuloja. Toisin sanoen Df (bx) on rivivektori. Voidaan näyttää, että mikäli funktiolla on derivaatta pisteessä bx se on osittaisderivaatoista muodostettu rivivektori @f (bx) Df (bx) = ; ; @x @f (bx) @x n Samoin voidaan näyttää, että mikäli osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia, silloin funktiolla f on olemassa derivaatta. Taloudellisissa malleissa oletetaan lähes aina, että osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia x 0 n ympäristössä U(x 0 ). 0
Toisinaan on helpompi merkitä funktion f (x) osittaisderivaattoja pisteessä bx @f (bx) = f i (bx) @x i Joskus halutaan kirjoittaa osittaisderivaattoja kuvaava pystyvektori 0 @f(bx) 0 @x f (bx) rf (bx) = B C @ A = B C @ A. @f(bx) @x n. f n (bx) Tälle voidaan antaa geometrinen tulkinta funktion f nopeimpana kasvusuuntana pisteessä bx.7 Vektoriarvoisten funktioiden derivointi Vektoriarvoinen funktio voidaan kirjoittaa muodossa y = f (x) = f R n! R m 0 B @ f (x). f m (x) C A = 0 B @ y. y m C A ; missä jokainen komponenttifunktio f i (x) on reaaliarvoinen funktio f i (x) R n! R (Huomatkaa, että tässä osaluvussa f i (x) llä on eri merkitys kuin yllä esitetty osittaisderivaattatulkinta.) Muistutetaan derivaatan määritelmä f llä on derivaatta pisteessä bx mikäli on olemassa lineaarinen funktio Df(bx) siten, että f (bx + x) f (bx) = Df(bx) x Mikäli f llä on siis derivaatta pisteessä bx; saadaan edellisistä tuloksista f i (bx + x) f i (bx) = D i f(bx) x; jolloin derivaatta voidaan siis kirjoittaa muotoon 0 B Df(bx) = @ Df (bx). Df m (bx) C A
Toisin sanoen Mitä hyötyä? Df(bx) = 0 B @ @f (bx) @x. @f m(bx) @x @f (bx) @x n.... @f m(bx) @x n C A Rajoittamaton optimointi Funktiolla f (x) on maksimi pisteessä bx jos f (y) f (bx) kaikille y Koska y = bx + (y bx) ; voidaan tämä ehto kirjoittaaf (bx + (y bx)) f (bx) 0 Jos (y bx) on pieni, päteef (bx + (y bx)) f (bx) = Df (bx) (y bx) 0 Koska y on vapaasti valittavissa, saadaan tästä heti välttämätön ehto optimille Df (bx) = 0; eli @f (bx) @x i = 0 kaikille i Kurssin I osan lopussa tarkastelemme joitain esimerkkejä rajoittamattomasta optimoinnista. Komparatiivinen statiikka Endogeeniset muuttujat y 2 R n ja exksogeeniset muuttujat x 2 R k toteuttavat ehdot f (y; x) = 0; f n (y; x) = 0 Oletetaan, että ehdot toteutuvat pisteessä (by; bx) Mikä on eksogeenisten muuttujien muutoksen vaikutus endogeenisten muuttujien arvoon? Työkalu Implisiittifunktiolause. Tätä käsitellään jatkossa. Rajoitettu optimointi Olkoon B käypä joukko optimointiongelmalle.. 2
Funktiolla f (x) on maksimi pisteessä bx jos f (y) f (bx) kaikille y 2 B Huomatkaa, että nyt y ei ole vapaasti valittavissa vaan sen tulee kuulua joukkoon B Tämän seurauksena kaikki y = bx + (y bx) eivät ole käypiä edes silloin kun (y bx) on pieni. Täytyy siis määritellä suunnat x; joille pätee kun x on pieni. bx + x 2 B Kaikille näille suunnille täytyy päteä Df (bx) x 0 Kurssin II osassa käsitellään seikkaperäisesti tällaisia optimointiongelmia..8 Derivaatan laskeminen Lasketaan derivaatta pisteessa (x ; x 2 ; x 3 ) = (; 2; ) funktiolle f (x ; x 2 ; x 3 ) = x ln x 2 + p x 2 x 3 Muodostetaan osittaisderivaattojen vektori @f (x ; x 2 ; x 3 ) = ln x 2 ; x ; @f (x ; x 2 ; x 3 ) ; @f (x ; x 2 ; x 3 ) @x @x 2 @x 3 + x 2 2 x 2 2 x 2 3 ; 2 x 2 2 x 2 3 Lasketaan Df (; 2; ) = ln 2; 2 + 2 p 2 ; p! 2 2 Tarkastellaan funktiota missä f (x; y; z) = f R 3! R 2 ; f (x; y; z) f 2 (x; y; z) x = 2 y + yz y z x Lasketaan funktion derivaatta pisteessä (x; y; z) = (; ; ) 3
Muodostetaan osittaisderivaattojen matriisi! @f i(x;y;z) @f i(x;y;z) @f i(x;y;z) @x @y @z = 2xy x 2 + z y Lasketaan @f 2(x;y;z) @x @f 2(x;y;z) @y @f 2(x;y;z) @z Df (; ; ) = 2 2 0 y z x 2 x x Tarkastellan funktiota u (x ; x 2 ; x 3 ) = (x + x 2 + x 3 ) Muodostetaan funktiolle gradientti pisteessä bx = (bx ; bx 2 ; bx 3 ) @u @x i (bx ; bx 2 ; bx 3 ) = (x + x 2 + x 3 ) x i = x i (x + x 2 + x 3 ) Gradientti on siis ru (bx ; bx 2 ; bx 3 ) = 0 B @ Extraa Kuluttajan teoriaa Hyötyfunktio x (x + x 2 + x 3 ) x 2 (x + x 2 + x 3 ) x 3 (x + x 2 + x 3 ) u R n! R C A kuvaa preferenssejä % ainoastaan ordinaalisessa mielessä. Toisin sanoen hyötyfunktio u kuvaa preferenssit jos u (x) u (y) tarkoittaa on sama kuin väittämäx % y Funktio v R! R on aidosti kasvava jos x > y ) v (x) > v (y) Jos u kuvaa kuluttajan preferenssejä % niin myös yhdistetty funktio v (u (x)) kuvaa kuluttajan preferenssejä. Tämän valossa yllä esitetty hyötyfunktio u (x ; x 2 ; x 3 ) = (x + x 2 + x 3 ) kuvaa samoja preferenssejä kuin u (x ; x 2 ; x 3 ) = x + x 2 + x 3 mikäli > 0 (Harjoitus osoita tämä). 4
Jälkimmäinen on selvästi helpompi käsitellä, mutta silti nämä preferenssit (ns. CES -hyötyfunktio) esitetään lähes aina ylemmässä muodossa. Mikä voisi olla syynä tähän? Huomatkaa, että u (x ; x 2 ; x 3 ) = (x + x 2 + x 3 ) on lineaarisesti homogeeninen funktio, koska. u (x ; x 2 ; x 3 ) = ((x ) + (x 2 ) + (x 3 ) ) = ( (x + x 2 + x 3 )) = (x + x 2 + x 3 ) Preferenssejä, jotka voidaan kuvata lineaarisesti homogeenisella hyötyfunktiolla kutsutaan homoteettisiksi ja näillä on erityinen asema kuluttajan teoriassa. Homoteettisten preferenssien tapauksessa eri hyödykkeiden suhteelliset kulutusosuudet eivät riipu tulotasosta ja näin seimerkiksi kaikki hyödykkeet ovat normaalihyödykkeitä. Yrityksen teoriaa Yrityksen voitto on (k; l) = pf (k; l) rk wl; missä p on lopputuotoksen hinta, f on yrityksen tuotantofunktio, k on pääoman kysyntä, l on työvoiman kysyntä, r on pääoman vuokrakustannus, w on palkka per yksikkö työpanosta. Lasketaan gradientti r (k; l) = p @f(k;l) @k p @f(k;l) @l! r w Tuotantofunktion osittaisderivaattaa kn suhteen kutsutaan pääoman rajatuotokseksi MP k ja osittaisderivaattaa l n suhteen kutsutaan työpanoksen rajatuotokseksi MP l Gradientti voidaan siis kirjoittaa pmpk r r (k; l) = pmp l w Rajoittamattomassa optimissa pätee 0 r (k; l) = 0 Toisin sanoen MP k = r p ; MP l = w p 5
Toisin sanoen kunkin tuotannontekijän rajatuotos on sen lopputuotteen suhteen mitattu suhteellinen hinta. Spesi oidaan edelliseen esimerkkiin Tällöin Nyt Siis Sijoitetaan kaavaan ja saadaan Tästä ratkaistaan l = w r Pääoman kysyntä f (k; l) = k l MP k = k l ; MP l = k l MP k MP l = l k = r w k = w r l MP l = k l w l + r p w k = w r l = w r = w r p = w p = w p = w r p w r p Onko tämä välttämättä optimaalinen ratkaisu? Jos ei, niin silloin ongelmalla ei ole lainkaan ratkaisua. Noin viikon päästä pystymme selvittämää, mille parametrien ; arvoille ratkaisu on optimaalinen. 6