998 Yhtälö on määritelty, kun x 0, joten on oltava x. Yhtälö voidaan kirjoittaa yhtäpitävään muotoon x x x x x x 0, ja edelleen x x 0. x Tästä saadaan (määrittelyehdon täyttävät) yhtälön ratkaisut x tai x. 999 Tehtävän ensimmäinen kysymys: Päättely : Kukansiemenen löytymistodennäköisyys on 0,05 0,95. Siementen itämistodennäköisyys on 0,95. Se, että puutarhuri saa itävän kukansiemenen edellyttää, että kyseessä on kukansiemen ja että se itää. Tämän todennäköisyys on edellisten todennäköisyyksien tulo eli 0,950,95 0,95. Binomitodennäköisyyskaavan avulla saadaan: P "Vähintään 9 kukantainta" P"9 tainta tai 0 tainta" 0 9 0 0 P"9 tainta" P"0 tainta" 0,95 0,95 0,95 0,4 9 0. Päättely : Puutarhuri voi saada vähintään 9 kukantainta joko niin, että pussissa on 9 kukansiementä ja nämä kaikki itävät tai, että pussissa on 0 kukansiementä ja nämä kaikki itävät tai näistä itää 9. Lasketaan eo. (erillisten) tapahtumien todennäköisyydet yhteen. Kukin tapahtuma voidaan tulkita toistokokeena ja todennäköisyydet laskea binomitodennäköisyyden kaavan avulla. Todennäköisyys, että pussissa on 0 kukansiementä ja kaikki itävät on 0 0 40 0,95 0,95 0,95. kaikki kukansiemeniä kukin itää Todennäköisyys, että pussissa on 0 kukansiementä, joista 9 itää on 0 0 9 9 0,95 0,95 0,05 0,95 9. kaikki kukansiemeniä 9 kukansiementä itää yksi ei idä
Todennäköisyys, että pussissa on 9 kukansiementä, joista 9 itää on 0 9 9 8 0,95 0,95 0,05 0,95 9. kaikki kukan- yksi rikkasiemenet itävät ruohon siemen 9 kukansiementä itää Todennäköisyys, että puutarhuri saa vähintään 9 kukantainta on siten 40 9 8 0,95 0,95 0,95 0,4 Tehtävän jälkimmäinen kysymys: Todennäköisyys, että puutarhuri kylvää yhden rikkaruohonsiemenen on komplementti sille, että kaikki siemenet olisivat kukansiemeniä (tässä osassa tehtävää ei itämistodennäköisyyttä tarvita lainkaan): P "Vähintään yksi rikkaruohonsiemen" 0 0 P"Ei yhtään rikkaruohonsiementä" 0,95 0,64 0. 000 Kun pallo asetetaan tehtävän ehtojen mukaisesti astiaan niin, että se sivuaa kartion vaippaa, voidaan erottaa kaksi tapausta. Alla näistä poikkileikkauskuvat. ) pallo uppoaa kokonaan astiaan (kuva ), ) pallo uppoaa vain osittain (kuva ja kuva ). kuva kuva kuva
Kun pallo on kokonaan astiassa, on selvää, että se syrjäyttää eniten vettä, kun pallo on mahdollisimman suuri. Tätä tapausta esittää kuvan punainen ympyrä. Tältä osalta tarkastelu voidaan siis rajoittaa koskemaan tapausta, jossa pallo sivuaa kartion pohjaympyrää (astiassa olevan veden pintaa). Kun pallo on vain osittain astiassa, se syrjäyttää aina jonkin pallosegmentin tilavuuden verran vettä. Kuvassa punainen ympyrä kuvaa tilannetta, jossa pallo vielä juuri ja juuri sivuaa kartion pohjaa (kyseessä on sama pallo kuin kuvan punaisella ympyräviivalla merkitty pallo). Kun pallon koko tästä kasvaa, päädytään jossain vaiheessa tilanteeseen, jossa pallo sivuaa kartion vaippaa pohjaympyrällä kohtisuorasti (sininen ympyrä) (kuva ja ). Kun pallon koko tästä kasvaa (edelleen sivuten kartion pohjaympyrää), se ei voi enää syrjäyttää vettä enempää kuin se pallo, jota kuvaa sininen ympyrä kuvassa (ja kuvassa ), koska jokainen tällainen pallo uppoaa astiaan vähemmän. Tarkasteltaviksi jäävät siis kuvan tilanteet, joiden joukosta haetaan upoksissa olevan suurimman pallosegmentin tilavuus, jota verrataan kuvan (tai kuvan ) punaisen pallon tilavuuteen ja kuvan (tai kuvan ) sinisen pallon upoksissa olevan segmentin tilavuuteen. Kyseessä on ääriarvotehtävä. Olkoon kartion pohjan keskipiste A, kärki C, pallon keskipiste P, piste B pallon piste, joka on lähinnä kartion kärkeä, D pallon ja kartion vaipan sivuamispiste sekä E kartion poikkileikkauskuviossa kartion pohjaympyrän ja sivujanan leikkauspiste. P voi sijaita joko niin kuin kuvassa tai se voi olla myös janan CA jatkeella (A:sta ylöspäin). Laskut ovat kuitenkin samat molemmissa tapauksissa. Janan CA pituus saadaan Pythagoraan lauseella: CA,0 6,6 8,8. Jätetään yksiköt tässä vaiheessa pois. Yhdenmuotoisista kolmioista CAE ja CDP saadaan CP r,0 5, josta CP r r.,0 6,6 6,6 Pallosta kartion sisällä olevan pallosegmentin korkeus h BA CA CP PB 5 8,8 r r 8,8 r. Kartiosta pois valuva vesimäärä on suurin, kun segmentin tilavuus on suurin. Sijoitetaan pallosegmentin tilavuuden kaavaan V h r h yo. kaavasta
h 8,8 r ratkaistu r h 8,8, jolloin maksimoitava funktioksi saadaan V h,h h 6. sievennysten jälkeen Etsitään seuraavaksi tarkasteltavana olevan funktion määrittelyjoukko eli haetaan h:n vaihteluväli. Nyt riittää rajoittaa h niiden arvojen väliin, jotka vastaavat alussa esitettyjä rajatilanteita (punainen ja sininen ympyrä kuvissa ). Jos pallo on kokonaan astian sisällä, se syrjäyttää vettä eniten, kun pallo on mahdollisimman suuri. Tämä tilanne vallitsee oheisen kuvion tilanteessa, ja riittää siis laskea tätä tilannetta vastaava h:n arvo, joka on tietysti sama kuin pallon halkaisija. Esim. kulmanpuolittajalauseella (kolmion ABC kulman ABC puolittaja BP jakaa vastaisen sivun viereisten suhteessa), saadaan yhtälö r 6,6 8,8 r,0, josta r,. (Myös yhdenmuotoisten kolmioiden avulla saadaan sama verranto.) Tällöin segmenttinä on siis koko pallo ja h 6,6. Kun pallon koko kasvaa ja osa pallosta on astian ulkopuolella, on ääritilanne esitetty oheisessa kuviossa. Tällöin saadaan yhdenmuotoisista kolmioista yhtälö PD DA ja siis CD CA r 6,6, josta r 8,5. Tällöin,0 8,8 h PB PA r PA r PC AC r PC AC 8,5 8,5 8,8,. 6,6 (Tai suoraan aiemmin lasketusta kaavasta h 8,8 r 8,8 8,5,.) Funktion V määrittelyjoukoksi voidaan näin ollen valita,;6,6. Muodostetaan V:n derivaatta ja määritetään (jatkuvan) funktion V suurin arvo tarkasteluvälillä. V ' h 6,4h 5,5h 0, kun h 0 tai h 4,8. Näistä arvoista vain jälkimmäinen sijoittuu tarkasteluvälille.
V ' h 0, kun 0;4,8 V ' h 0, kun h 4,8;6,6. Funktio V saa siis maksimiarvonsa välillä,;6,6 Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten kohdassa 4,8 V 4,8, 4,8 4,8 8,4. 6 h, ja Muissa tarkasteltavissa tapauksissa syrjäytyvän veden tilavuus: Kun pallo on kokonaan upoksissa: V 4 4 r, 50,5. V,,,, 44,6. 6 Toinen ääritilanne: Suurin tilavuus saadaan arvolla h 4,8, jota vastaava pallon säteen arvo on r 8,8 4,8 6. Astiasta valuva vesimäärä on siten suurin, kun pallon säde on 6,0 cm. 00 Kuvatkoon funktio Tällöin derivaatta h ja E E t, missä t 0, yhteiskunnan elintasoa ajan t funktiona. E ' t kuvaa elintason muutosta. Elintason kasvu on kääntäen verrannollinen jo saavutettuun elintasoon, joten E ' t k E t E ' t 0, koska kyseessä on elintason kasvu. Tällöin myös k 0., missä k on vakio ja Kysytty differentiaaliyhtälömalli voidaan nyt esittää esimerkiksi muodossa de dt missä k 0. Yhtälön ratkaisu saadaan separoimalla muuttujat. Aluksi saadaan E de k dt, josta puolittain integroimalla, josta E kt C, missä C D 0. E kt D Koska vain positiivinen juuri kelpaa, saadaan ratkaisuksi E t kt C. k, E k Tässä E ' t 0 ja Et on määritelty kaikilla t 0, joten elintason kasvu kt C on jatkuvaa. Muutoksen luonnetta voidaan tutkia elintason kasvun eli E ' t :n derivaatan avulla.
k k k E '' t D k Dkt C kt C k 0 kt C kt C Tämä nähdään myös suoraan muodosta t k E ' E '' t 0. E Koska kasvun derivaatta on negatiivinen, on kasvu hidastuvaa. lim E t lim kt C, joten elintaso ei lähesty mitään vakiotasoa. t 00 t Olkoon muropaketin paino (oik. massa) ennen kokomuutosta m (jotain yksikköä, esim. kg) ja hinta h (jotain yksikköä, esim. euroa). Olkoon lisäksi myyntimäärä tällöin v kpl. Kokomuutoksen jälkeen uudet arvot ovat,0m ;,h ja 0,90v. a) Verrataan myyntejä:,0 m 0,9 v 0,99. mv b) Verrataan myyntejä:, h 0,9 v,008. hv Vastaukset: a) Myynti väheni painona prosentin, b) rahana myynti lisääntyi 0,8 prosenttia. 00 Koska mainitut kulmat ovat kolmion kulmia, pätee yhteys 80. Tästä saadaan esim. 80 ja sijoittamalla tämä annettuun yhtälöön, saadaan sinsin cos 80 cos 80 cos = cos cos sin sin. Tästä seuraa cos cos 0, mikä pätee, jos cos 0 tai cos 0. Siis joko 90 tai 90 ja siis kolmiossa on välttämättä 90 kulma ja kolmio on siis suorakulmainen. 004 Fermat n pieni lause: p Jos p on alkuluku ja a ei ole jaollinen p:llä, niin a mod p. Tämä voidaan luonnehtia myös seuraavasti: Jos p on alkuluku ja a ei ole p jaollinen p:llä, niin on olemassa k siten, että a kp..
Jaetaan tarkastelu kahteen tapaukseen. Tarkastellaan aluksi tapausta, jossa luku 00 ei ole luvun n tekijä ja sitten tapausta, jossa 00 on luvun n tekijä. Havaitaan, että luku 00 on alkuluku. Jos luku 00 ei ole luvun n tekijä, niin Fermat n pienen lauseen mukaan 00 00 n n 00k jollakin k. Tällöin n 00 n nn 00 n k nk 00 Siis n n mod 00 00 00.. Jos sitten luku 00 on luvun n tekijä ts. n k 00, k, niin 00 00 00 00 00, missä 00 00 00 n n k k k k l 00 l k k 00 ja l. 00 Tällöinkin siis n n mod 00. Näin väite on todistettu kaikille n. 005 Pisteen O sijainti on laskujen kannalta epäoleellista. Tilanteen hahmottamiseksi piirretään kuva, jossa pisteeksi O on valittu origo. Kuvan perusteella huomataan, että vaadittuja vektoreita voi olla kaksi. OA AB, jolloin OA AB 0. Merkitään AB xi y j 7i 9 j xi y j 0 ja siis 7x 9y 0, josta Pituusehto AB, jolloin 9 x y. 7 OA, johtaa yhtälöön 7 9 65 x y, josta saadaan yhtäpitävästi x y. Sijoitetaan tähän 9 8 65 x y, ja ratkaistaan saatava yhtälö y y. 7 49 Ratkaisuina ovat Vektori OB on nyt joko 7 y ja näitä vastaavat x:n arvot ovat 9 x.
9 7 5 5 OB OA AB 7i 9 j i j i j tai 9 7 OB OA AB 7i 9 j i j i j. 006 n Jono x n on geometrinen, joten sen yleinen termi on xn aq, n,,... n Vastaavasti jonon y yleinen termi on y bp, n,,... Tulojonon n n n n n n z yleinen termi on näin ollen z x y aq bp abqp. n n n z ab pq n Jonon z n peräkkäisten termien suhde on ab, joka on jonon zn ab pq indeksistä n riippumaton vakio. Näin ollen tulojono z on geometrinen. Jos geometrinen lukujono x n suppenee ja y n hajaantuu, niin ei ole välttämättä niin, että tulojono hajaantuu. Tähän riittää vastaesimerkki: Olkoon x n 4 n ja x suppenee ja n n y n n n n. Selvästi nämä ovat geometrisia lukujonoja, joista y hajaantuu. Kuitenkin on z n n n n x y 4 n n n on suppeneva geometrinen lukujono, koska suhdeluku kuin., joka on itseisarvoltaan pienempi 007 a) 0 7 x dx / x x 0 0 b) f ' x x x x, josta ' c) x f. x x 0 e x e x x x x ln x ln