24. marraskuuta 2016
Jaksolliset funktiot, trigonometriset sarjat, parilliset ja p
Jaksolliset funktiot Funktio f : R R on jaksollinen, jos on olemassa p > 0 siten, että f (x + p) = f (x) kaikilla x R Vakiota p kutsutaan funktion jaksoksi Funktion pienintä jaksoa kutsutaan perusjaksoksi ESIMERKKI Funktioiden sin x ja cos perusjakso on 2π, kun taas funktioiden tan x, sin 2x, cos 2x perusjakso on π
Jaksollisten funktioiden ominaisuuksia p-jaksoinen funktio on myös np-jaksoinen jokaisella n N: f (x + np) = f (x) kaikilla x R Jos funktioiden f (x) ja g(x) jakso on p, niin funktion h(x) = af (x) + bg(x) a, b vakioita jakso on myös p Jos f (x) on p-jaksoinen, niin a+p a f (x)dx ei riipu pisteen a valinnasta. Eli jos jaksollinen funktio integroidaan yli jaksovälinsä, niin integroinnin aloituspisteen voi vapaasti valita
Trigonometriset sarjat Trigonometristen funktioiden sarjaa a 0 + (a n cos nx + b n sin nx) n=1 kutsutaan trigonometriseksi sarjaksi Trigonometriset funktiot sin nx ja cos nx ovat 2π/n-jaksoisia ja täten myös 2π-jaksoisia Jos sarja suppenee, niin sen summa on myös 2π-jaksollinen
Pariton ja parillinen funktion Määritelmä Funktio f : R R on parillinen, jos f ( x) = f (x) kaikilla x R ja pariton, jos f ( x) = f (x) kaikilla x R ESIMERKKI Funktiot x 2, cos x ja cosh x ovat parillisia funktioita, kun taas funktiot x 3, sin x, tan x, sinh x ovat parittomia funktioita
Parillisten ja parittomien funktioiden ominaisuuksia Jos f (x) on parillinen ja g(x) on parillinen, niin f (x)g(x) on parillinen Jos f (x) on pariton ja g(x) on pariton, niin f (x)g(x) on parillinen Jos f (x) on parillinen ja g(x) on pariton, niin f (x)g(x) on pariton ESIMERKKI Todistetaan viimeinen kohta. Merkitään h(x) = f (x)g(x) missä f on parillinen ja g pariton. Nyt h( x) = f ( x)g( x) = f (x)( g(x)) = f (x)g(x) = h(x) joten h(x) on pariton
Parillisten ja parittomien funktioiden ominaisuuksia Tutkitaan integraalia c c f (x)dx, c > 0 kun f (x) on joko parillinen tai pariton funktio Nyt jos f (x) on parillinen funktio, niin c c c f (x)dx = 2 f (x)dx 0 Jos taas f (x) on pariton funktion, niin c c f (x)dx = 0
Fourier-sarjat
Funktioiden orthogonaalisuus Funktioavaruudessa voimme määritellä sisätulon integraalina < f, g >= b a f (x)g(x)dx Sanomme funktioavaruuden vektoreita f ja g orthogonaalisiksi välillä [a, b] jos < f, g >= 0 Trigonometriset funktiot 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,... cos nx, sin nx ovat orthogonaalisia välillä [, π].
Trigonometristen funktioiden orthogonaalisuus Orthogonaalisuuden takia π cos mx cos nxdx = 0 (m n) π π sin mx sin nxdx = 0 (m n) cos mx sin nxdx = 0 missä n, m = 0, 1, 2,...
Trigonometristen funktioiden orthogonaalisuus Osoitetaan, että kun m n π cos mx cos nxdx = 0 Trigonometristen yhteenlaskukaavojen avulla saadaan cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β cos α cos β = 1 (cos(α + β) + cos(α β)) 2
Trigonometristen funktioiden orthogonaalisuus Jatkoa Täten π cos mx cos nxdx = 1 2 = 1 2 + 1 2 = 0 π (cos((n + m)x) + cos((n m)x))dx 1 sin((n + m)x) n + m 1 sin((n m)x) n m π π
Eulerin kaavat Fourier-kertoimille Olkoon funktio f (x) 2π-jaksollinen ja integoituva välillä [, π]. Oletetaan lisäksi, että sille voidaan muodostaa suppeneva trigonometrinen sarjaesitys: f (x) = a 0 + (a n cos nx + b n sin nx) n=1 Tehtävänä on nyt johtaa sarjan kertoimet a 0, a n ja b n
Kertoimen a 0 määritys Integoidamalla sarjaesitys molemmilta puolilta, saadaan π π ( π ) f (x)dx = a 0 dx + (a n cos nx + b n sin nx) dx n=1 π π = 2πa 0 + a n cos nxdx + b n sin nxdx n=1 } {{ } =0 Täten saamme kertoimen a 0 arvoksi a 0 = 1 π f (x)dx 2π n=1 } {{ } =0
Kertoimen a n määritys Kertomalla sarjaesitys puolittain termillä cos mx ja integroimalla, saadaan π ( ) π f (x) cos mxdx = a 0 + (a n cos nx + b n sin nx) cos mxdx n=1 π π = a 0 cos mxdx + a n cos nx cos mxdx }{{} n=1 }{{} =0 =0 kun n m π + b n sin nx cos mxdx n=1 }{{} =0 π = a m cos mx cos mxdx
Kertoimen a n määritys Koska cos 2 α = (1 + cos 2α)/2, saamme Täten π f (x) cos mxdx = a m π a m = 1 π π = 1 2 a m π = 1 2 a m (x + 1 2m cos mx cos mxdx (1 + cos 2mx)dx sin 2mx) f (x) cos mxdx, m = 1, 2,... π = a m π
Kertoimen b n määritys Kertomalla sarjaesitys puolittain termillä sin mx ja integroimalla, saadaan π ( ) π f (x) sin mxdx = a 0 + (a n cos nx + b n sin nx) sin mxdx n=1 π π = a 0 sin mxdx + a n cos nx sin mxdx }{{} n=1 }{{} =0 =0 π + b n sin nx sin mxdx n=1 }{{} =0 kun n m π = b m sin mx sin mxdx
Kertoimen b n määritys Koska sin 2 α = (1 cos 2α)/2, saamme Täten π f (x) sin mxdx = b m π b m = 1 π π = 1 2 b m π = 1 2 b m (x 1 2m sin mx sin mxdx (1 cos 2mx)dx sin 2mx) f (x) sin mxdx, m = 1, 2,... π = b m π
Funktion Fourier-sarja Olemme nyt johtaneet Eulerin kaavat Fourier-kertoimille: a 0 = 1 2π a n = 1 π b n = 1 π π π π Trigonometrista sarjaa f (x)dx f (x) cos nxdx, n = 1, 2,... f (x) sin nxdx, n = 1, 2,... a 0 + (a n cos nx + b n sin nx), n=1 jonka kertoimet on määritelty Eulerin kaavojen avulla, kutsutaan funktion f Fourier-sarjaksi.
Suorakaideaallon Fourier-sarja Lasketaan 2π-jaksollisen funktion Fourier-sarja f (x) = Eulerin kaavojen perusteella: { k kun π < x < 0 k kun 0 < x < π a 0 = 1 π f (x)dx = 1 0 kdx + 1 π kdx 2π 2π 2π 0 = 1 k( + π) = 0 2π
Suorakaideaallon Fourier-sarja Jatkoa π 0 a n = 1 f (x) cos nxdx = 1 π π = 1 [ sin nx 0 k sin nx π n + k n ] π 0 k cos nxdx + 1 2π = 0 π 0 k cos nxdx π b n = 1 π [ = 1 π k f (x) sin nxdx = 1 π cos nx 0 cos nx n k n = 2k nπ (1 ( 1)n ) 0 ] π 0 k sin nxdx + 1 2π = 2k (1 cos nπ) nπ π 0 k sin nxdx
Suorakaideaallon Fourier-sarja Jatkoa Fourier-sarja on siis muotoa 2k π 1 ( 1) n sin nx = 4k n π n=1 sin nx n n=1,3,5,... (sin x + 1 3 sin 3x + 1 ) 5 sin 5x +... = 4k π Olettaen, että sarja suppenee pisteessä x = π/2 kohtia arvoa f (π/2) = k, saamme ( ) π k = f = 4k (1 1 2 π 3 + 1 ) 5 +... josta seuraa 1 1 3 + 1 5 1 7 +... = π 4
Suorakaideaallon Fourier-sarja Jatkoa Kuvassa on esitetty Fourier-sarjan osasumma 2k π N 1 ( 1) n sin nx n n=1 N = 15 N = 5 N = 1 k k
Huomioita esimerkistä Koska f (x), cos nx ja sin nx ovat 2π-jaksollisia, niin integroinnin olisi voinut myös suorittaa esimerkiksi välillä [0, 2π] Esimerkissä a 0 = 0 ja a n = 0. Tämän olisi voinut päätellä suoraan funktion f (x) parittomuudesta f (x) on epäjatkuva pisteissä x = 0. Epäjatkuvuuskohdassa sarjan summa suppenee kohti nollaa. Tarkastelemalla funktion toispuoleisia raja-arvoja epäjatkuvuuskohdassa nähdään, että nolla on myös funktion toispuoleisten raja-arvojen aritmeettinen keskiarvo: f (0) = 1 [f (0 ) + f (0+)] 2
Fourier-sarjan suppeneminen Fourier-kertoimet ja Fourier-sarja voidaan muodostaa, jos 2π-jaksollinen funktio f on integoituva välillä [, π]. Tämä pätee esimerkiksi silloin kun funktio on jatkuva tai paloittain jatkuva. Fourier-sarja ei aina välttämättä suppene (edes jatkuvan funktion tapauksessa), ja vaikka se suppenisi, ei sen summa välttämättä yhdy alkuperäiseen funktioon Jos Fourier-sarja yhtyy alkuperäiseen funktioon niin silloin muulloin kirjoitamme f (x) = a 0 + (a n cos nx + b n sin nx) n=1 f (x) a 0 + (a n cos nx + b n sin nx) n=1
Fourier-sarjan suppenemislause Lause Olkoon funktio f (x) 2π-jaksollinen ja paloittain jatkuva funktio välillä [, π], jolla on vasemman- ja oikeanpuoleiset derivaatat kaikissa välin pisteissä. Tällöin f :n Fourier-sarja suppenee jokaisessa pisteessä x kohti arvoa 1 (f (x+) + f (x )) 2 Erityisesti sarja suppenee kohti arvoa f (x) kaikissa pisteissä x, joissa f on jatkuva.
Suppeneminen Suorakaideaallon suppeneminen 2π-jaksollisen suorakaideaallon f (x) = { k kun π < x < 0 k kun 0 < x < π Fourier-sarja suppenee kohti funktiota f (x) lukuun ottamatta epäjatkuvuuspisteitä x = mπ, m Z, joissa sarja suppenee kohti arvoa 1 2 (f (mπ+) + f (mπ )) = 1 (k k) = 0 2
Mielivaltainen jakso Olemme tähän mennessä käsitelleet vain 2π-jaksollisia funktioita Fourier-sarjojen yleisen soveltamisen kannalta haluamme kuitenkin käsitellä myös muitakin jaksoja Siirtyminen mielivaltaiseen jaksoon p = 2L tapahtuu yksinkertaisesti muuttujan skaalauksella
Fourier sarja ja mielivaltainen jakso Kun funktio f (x) on 2L-jaksollinen, niin silloin sen Fourier sarja on missä f (x) a 0 + (a n cos nπ L x + b n sin nπ L x) n=1 a 0 = 1 2L a n = 1 L b n = 1 L L L L L L L f (x)dx f (x) cos nπ xdx, n = 1, 2,... L f (x) sin nπ xdx, n = 1, 2,... L
2L-jaksollisen funktion Fourier-sarja Lasketaan funktion 0 kun 2 < x < 1 f (x) = k kun 1 < x < 1 p = 2L = 4 0 kun 1 < x < 2 Fourier-sarja Kertoimiksi saadaan: a 0 = 1 4 a n = 1 2 b n = 1 2 2 2 2 2 2 2 f (x)dx = 1 4 1 1 f (x) cos nπ 2 xdx = 1 2 f (x) sin nπ 2 xdx = 1 2 kdx = 1 2 k 1 1 1 1 k cos nπ 2 k sin nπ 2 xdx = 0 xdx = 2k nπ sin nπ 2
2L-jaksollisen funktion Fourier-sarja Jatkoa Kun n on parillinen a n = 0 ja kun n on pariton a n = 2k nπ, n = 1, 5, 9,..., a n = 2k, n = 3, 7, 11,.... nπ Täten saamme (cos π 2 x 1 3 cos 3π 2 x + 1 5 cos 5π 2 x +... ) f (x) = k 2 + 2k π k 2 2 k k 2 + 2k π k 2 + 2k π cos π 2 x ( cos π 2 x 1 3 cos 3π 2 x+ 1 5 cos 5π 2 x)
Fourier-sarja. Parilliset ja parittomat funktiot Lause Olkoon f (x) 2L-jaksollinen funktio. Jos funktio f on parillinen funktio, niin b n = 0 kun n = 1, 2, 3,.... Jos funktio f on pariton funktio, niin a n = 0 kun n = 0, 1, 2,.... Todistus. Jos f on parillinen, niin f (x) sin nπ L x on pariton. Täten, b n = L L f (x) sin nπ L xdx = 0 Jos f on pariton, niin f (x) cos nπ L x on pariton ja siten a n = 0
Parilliset ja parittomat funktiot. Seurauksia Jos f on parillinen, niin saamme kosini-sarjan f (x) a 0 + a n cos nπ L x n=1 missä a 0 = 1 L L 0 f (x)dx, a n = 2 L L Jos f on pariton, niin saamme sini-sarjan f (x) b n sin nπ L x n=1 0 f (x) cos nπ L xdx missä b n = 2 L L 0 f (x) sin nπ L xdx
Puolen jakson laajennukset Fourier-sarjoja voidaan soveltaa myös funktioille, jotka eivät ole jaksollisia alkuperäisessä määrittelyvälissään Olkoon funktio f määritelty välillä [0, L]. Tällöin voimme jatkaa funktion parilliseksi määrittelemällä f (x) = f ( x) kun x < 0. Jatkamalla funktio 2L-jaksoisena koko reaaliakselille, saamme parillisen jaksollisen funktion, jonka Fourier-sarja on kosini-sarja Voimme myös jatkaa funktion parittomaksi määrittelemällä f (x) = f ( x) kun x < 0. Nyt funktion Fourier-sarja on sini-sarja Tapoja jatkamiseen on mielivaltainen määrä
Puolen jakson laajennus Jatketaan funktio f (x) = { 2k L 2k L x kun 0 < x < L/2 (L x) kun L/2 < x < L parittomaksi ja lasketaan funktion Fourier-sarja parillinen jatko L L pariton jatko
Puolen jakson laajennus Jatkoa Kun f jatketaan parittomaksi niin a 0 = 0 ja a n = 0. Lasketaan kertoimet b n : Tällöin b n = 2 L = 2 L L 0 L/2 0 = 8k n 2 π 2 sin nπ 2 f (x) = 8k π 2 f (x) sin nπ L xdx 2k L x sin nπ L xdx + 2 L 2k L L/2 L (L x) sin nπ L xdx ( 1 1 2 sin π L x 1 3 2 sin 3π L x + 1 5 2 sin 5π L x +... )
Kompleksinen Fourier-sarja Eulerin kaavan perusteella cos nx = 1 2 (einx + e inx ), sin nx = 1 2i (einx e inx ) Esitetään 2π-jaksollisen funktion Fourier sarja eksponenttifunktioiden avulla f a 0 + (a n cos nx + b n sin nx) = a 0 + = a 0 + = a 0 + n=1 n=1 n=1 1 n= 1 ( ) a n (e inx + e inx ) ib n (e inx e inx ) 2 a n + ib n 2 e inx + a n + ib n 2 n=1 e inx + a n ib n e inx 2 n=1 a n ib n e inx 2
Kompleksinen Fourier-sarja missä 1 2 (a n ib n ) = 1 2π π f (x)(cos nx i sin nx)dx = 1 π f (x)e inx dx 2π 1 2 (a n+ib n ) = 1 π f (x)(cos nx i sin nx)dx = 1 π f (x)e inx dx 2π 2π Merkitsemällä c n = (a n ib n )/2 ja huomioimalla, että a n ib n = a n + ib n ja c 0 = a 0, saadaan kompleksiseksi Fourier-sarjaksi: f (x) n= c n e inx, c n = 1 π f (x)e inx dx 2π
Kompleksinen Fourier-sarja 2L-jaksolliselle funktiolle 2L-jaksollisen funktion kompleksinen Fourier-sarja on: f (x) n= c n e i nπ L x, c n = 1 L f (x)e i nπ L x dx 2L L
Kompleksinen Fourier-sarja Etsitään jaksollisen funktion { 1 kun 0 < x < 1 f (x) = 0 kun 1 < x < 2 p = 2L = 2 kompleksinen Fourier-sarja Lasketaan kerroin c n (integroidaan yli välin [0, 2L]) 2 1 c n = 1 f (x)e inπx dx = 1 e inπx dx 2 0 2 0 = i 2nπ (e inπ 1) = i 2nπ (( 1)n 1) (n 0) { 0 kun n parillinen = i nπ kun n pariton
Kompleksinen Fourier-sarja Jatkoa Kun n = 0 c 0 = 1 2 2 0 f (x)dx = 1 2 / 1 Täten funktion kompleksinen Fourier-sarja on f (x) = 1 2 i π n pariton 0 x = 1 2 1 n einπx Hajottamalla summa kahteen osaan, saadaan f (x) = 1 2 i π = 1 2 + i π 1 n= n=1 1 n 1 n einπx i π n=1 (e inπx e inπx) 1 n einπx missä n on pariton kokonaisluku.
Kompleksinen Fourier-sarja Jatkoa missä n on pariton kokonaisluku. Käyttämällä Eulerin kaavaa, saadaan Fourier-sarjaksi f (x) = 1 2 + 2 π n=1,3,... 1 n sin(nπx)
Fourier-sarjan sovelluksia Muodostetaan lineaarisen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön y (t) + ω 2 y(t) = f (t) yksittäisratkaisu kun f (t) = { 1 kun 0 < t < 1 0 kun 1 < t < 2 p = 2L = 2 Edellisen esimerkin perusteella tiedetään, että funktion f (t) Fourier-sarja on muotoa f (t) = 1 2 + 2 π n=1,3,... 1 n sin(nπt) Etsitään differentiaaliyhtälölle ratkaisua yritteellä y(t) = a 0 + n=1,3,... (a n cos nπt + b n sin nπt)
Fourier-sarjan sovelluksia Jatkoa Sijoittamalla yrite differentiaaliyhtälöön saadaan ω 2 a 0 + = 1 2 + 2 π josta saadaan n=1,3,... n=1,3,... ([ω 2 n 2 π 2 ]a n cos nπt + [ω 2 n 2 π 2 ]b n sin nπt) 1 n sin(nπt) a 0 = 1 2ω 2, a n = 0, b n = 2 1 π n(ω 2 n 2 π 2 )
Fourier-sarjan sovelluksia Jatkoa Yksittäisratkaisu on siten y 1 (t) = 1 2ω 2 + 2 π Olkoon nyt ω = 10. Tällöin n=1,3,... 1 n(ω 2 n 2 π 2 sin nπt ) y 1 (t) = 0.0050 + 0.0071 sin πt + 0.0190 sin 3πt 0.0009 sin 5πt 0.0002 sin 7πt... Nähdään, että taajuudella 3π värähtelevä komponentti dominoi, sillä sen amplitudi on merkittävästi suurin.
Fourier-muunnos
Fourier-integraali Tarkastellaan 2L-jaksoisen funktion Fourier-sarjaa f (x) = a 0 + (a n cos ω n x + b n sin ω n x), ω n = nπ L n=1 kun L. Lisäämällä yhtälöön Fourier-kertoimien kaavat, saadaan L f (x) = 1 f (t)dt 2L L + 1 ( cos ω n x L n=1 L L f (t) cos ω n tdt + sin ω n x Koska ω = ω n+1 ω n = π/l niin L = π/ ω. L L f (t) sin ω n tdt )
Fourier-integraali Voimme nyt kirjoittaa sarjan muotoon f (x) = 1 L f (t)dt + 1 ( [cos ω n x] ω 2L L π n=1 ) +[sin ω n x] ω L L f (t) sin ω n tdt L L f (t) cos ω n tdt Olettaen, että f on integroituva, niin ensimmäinen termi yhtälön oikealta puolelta häviää kun L. Lisäksi ω 0 kun L. Täten voimme formaalisti korvata summan integraalilla. Saamme f (x) = 1 ( ) cos ωx f (t) cos ωtdt + sin ωx f (t) sin ωtdt dω π 0
Fourier-integraali Merkitsemällä A(ω) = 1 π f (t) cos ωtdt, B(ω) = 1 π f (t) sin ωtdt voimme kirjoittaa yhtälön muotoon f (x) = 0 (A(ω) cos ωx + B(ω) sin ωx) dω Yhtälö kutsutaan funktion f (x) Fourier-integraaliksi.
Fourier-integraali Lause Jos funktio f (x) on paloittain jatkuva jokaisella äärellisellä osavälillä ja funktiolla on vasemman- ja oikeanpuoleiset derivaatat kaikkialla ja jos f on integroituva, niin silloin funktio voidaan kuvata Fourier-integraalin avulla. Jos f on epäjatkuva pisteessä x 0, niin kyseisessä pisteessä Fourier-integraalin arvo on 1 2 (f (x 0+) + f (x 0 ))
Fourier-integraali Muodostetaan funktion Fourier-integraali f (x) = { 1 kun x < 1 0 kun x > 1 Funktio on parillinen, joten B(ω) = 0. Lasketaan A(ω): A(ω) = 1 π f (t) cos ωtdt = 1 π Täten funktion Fourier-integraali on 1 1 2 sin ω cos ωxdω π 0 ω f (t) cos ωtdt = 2 sin ω πω
Fourier-integraali Jatkoa Funktion on jatkuva muualla paitsi pisteissä x = ±1. Epäjatkuvuuskohdissa toispuoleisten raja-arvojen keskiarvo 1/2. Täten 2 sin ω cos ωxdω = π 0 ω 1 kun x < 1 1 2 kun x = ±1 0 kun x > 1 Vaihtamalla integraalin ylärajan luvulla a, voimme approksimoida Fourier-interaalia ja siten funktiota f (x). Approksimaatio tarkentuu kun a:n arvo kasvaa.
Kompleksinen Fourier-integraali Koska cos ω(x t) = cos ωx cos ωt + sin ωx sin ωt Voimme esittää Fourier-integraalin muodossa f (x) = 1 ( ) f (t) cos ω(x t)dt dω π 0 Koska cos ω(x t) parillinen funktio (muuttujan ω suhteen), niin f (x) = 1 ( ) f (t) cos ω(x t)dt dω 2π Toisaalta, koska sin ω(x t) on pariton, niin 1 ( ) f (t) sin ω(x t)dt dω = 0 2π
Kompleksinen Fourier-integraali Yhdistämällä yhtälöt (jälkimmäinen yhtälö kerrotaan i:llä) ja käyttämällä Eulerin kaavaa: e iω(x t) = cos ω(x t) + i sin ω(x t) saamme kompleksisen esityksen Fourier-integraalille: f (x) = 1 f (t)e iω(x t) dtdω 2π
Fourier-muunnoksen määritelmä Voimme ilmaista Fourier-integraalin muodossa f (x) = 1 2π ( 1 2π ) f (t)e iωt dt e iωx dω Määrittelemme nyt Fourier-muunnoksen kaavalla: ˆf (ω) = 1 2π ja käänteismuunnoksen kaavalla f (t) = 1 2π f (t)e iωt dt ˆf (ω)e iωt dω
Fourier-muunnos Fourier muunnos on kuvaus ˆf : R C, joten sen arvot ovat yleensä kompleksilukuja Muunnoksesta käytetään myös merkintää F(f ) ja käänteismuunnoksesta F 1 (ˆf ) Riittävät ehdot muunnoksen olemassaololle: f (t) on paloittain jatkuva jokaisella äärellisellä osavälillä f (t) on integoituva t-akselilla, ts: f (t) dt < Kaavojen edessä on kerroin 1/ 2π. Kirjallisuudessa käytetään myös usein muunnoksille esitystä, jossa Fourier-integraalin kerroin 1/2π on kokonaisuudessaan kiinnitetty joko muunnoksen tai käänteismuunnoksen eteen
Fourier-muunnos Lasketaan funktion: f (t) = k kun 0 < t < a ja f (t) = 0 muulloin, Fourier-muunnos Muunnoksen määritelmän mukaan ˆf (ω) = 1 2π f (t)e iωt dt = 1 a ke iωt dt 2π 0 = k(1 e iωa ) iω 2π = k 2π sin ωa i(1 cos ωa) ω
Kosinimuunnos Kirjoittamalla Fourier-muunnos trigonometrisessä muodossa, saamme ˆf (ω) = 1 2π f (t)(cos ωt i sin ωt)dt Jos f (t) on parillinen, niin päädymme kosinimuunnokseen: ˆf c (ω) = 2 f (t) cos ωtdt π 0 Koska nyt ˆf c (ω) on parillinen funktio, niin käänteismuunnoksen kaavaksi saamme f (t) = 2 π 0 ˆf c (ω) cos ωtdω
Sinimuunnos Jos f (t) on pariton, niin päädymme sinimuunnokseen: ˆf s (ω) = jonka käänteismuunnos on f (t) = 2 f (t) sin ωtdt 1 π 0 2 π 0 ˆf s (ω) sin ωtdω Johdimme muunnoksien kaavat pariteetin avulla Määritettyämme muunnoksien kaavat, funktion f (t) käyttäyminen negatiivisella t-akselilla on merkityksetöntä 1 Kerroin i on nyt sisällytetty muunnokseen
Sini- ja kosinimuunnos Lasketaan funktion: f (t) = k kun 0 < t < a ja f (t) = 0 muulloin, kosini- ja sinimuunnos Muunnoksien määritelmien mukaan ˆf c (ω) = ˆf s (ω) = 2 a k cos ωtdt = π 0 ( ) 2 sin ωa π k ω 2 a ( ) 2 1 cos ωa k sin ωtdt = π 0 π k ω
Fourier-muunnoksen ominaisuuksia Olkoon funktioiden f (t), g(t) Fourier-muunnokset F(f ) = ˆf (ω), F(g) = ĝ(ω) määriteltyjä ja a ja b vakioita. Tällöin: Lineaarisuus F(af (t) + bg(t)) = af(f (t)) + bf(g(t)) Skaalaus F(f (at)) = 1 a ˆf ( ω a ), a > 0 Siirto Taajuussiirto F(f (t t 0 )) = e iωt 0 F(f (t)) F ( f (t)e iω 0t ) = ˆf (ω ω 0 )
Fourier-muunnoksen ominaisuuksia Todistetaan siirto Todistus. F(f (t t 0 )) = 1 2π = 1 2π = e iωt 0 1 2π f (t t 0 )e iωt dt f (λ)e iω(λ+t 0) dλ = e iωt 0 1 2π f (λ)e iωλ dλ f (t)e iωt dt = e iωt 0 F(f (t))
Derivaatan Fourier-muunnos Lause Olkoon funktio f (t) jatkuva ja f (t) 0 kun t. Olkoon lisäksi f (t) integroituva yli R. Tällöin Todistus. F(f (t)) = 1 2π F(f (t)) = iωf(f (t)) f (t)e iωt dt = 1 2π / f (t)e iωt 1 2π = 0 + iω 1 2π = iωf(f (t)) f (t)e iωt dt f (t)( iω)e iωt dt
Fourier-muunnos derivaatan avulla Lasketaan funktion f (t) = te t2 Fourier-muunnos kun tiedetään, että F(e t2 ) = e 1 4 ω2 / 2 Nyt Täten d ( 1 ) dt 2 e t2 = te t2 = f (t) ( d F(f (t)) = F ( 1 )) dt 2 e t2 = iwf ( 1 ) 2 e t2 = 1 ( 2 iωf e t2) = iω 2 2 e 1 4 ω2
Toisen derivaatan Fourier-muunnos Koska F(f (t)) = iωf(f (t)) = (iω) 2 F(f (t)) saamme toisella derivaatalle F(f (t)) = ω 2 F(f (t)) Yleisemmin F(f (n) (t)) = (iω) n F(f (t))
Konvoluutioteoreema Olkoon funktiot f (t), g(t) määritelty koko R:ssä. Tällöin funktioiden f, g konvoluutio on määritelty seuraavasti (f g)(t) = f (s)g(t s)ds Lause Olkoon funktiot f (t), g(t) paloittain jatkuvia, rajoitettuja, ja integroituvia yli koko R:n. Tällöin F(f g) = 2πF(f )F(g)
Konvoluutioteoreema Todistus. Nyt F(f g) = 1 2π f (s)g(t s)e iωt dsdt Vaihtamalla integrointijärjestys ja tekemällä muuttujanvaihdon q = t s, saamme F(f g) = 1 2π = 1 2π = 2πF(f )F(g) f (s)g(q)e iω(s+q) dqds f (s)e iωs ds g(q)e iωq dq
Fourier-muunnoksen sovelluksia Muodostetaan differentiaaliyhtälön yksittäisratkaisu y (t) + a 2 y(t) = δ(t), a > 0 Ottamalla yhtälöstä Fourier-muunnos puolittain, saadaan ω 2 F(y(t)) + a 2 F(y(t)) = F(δ(t)) Ratkaisemalla funktion y(t) Fourier-muunnos: F(y(t)) = 1 ω 2 + a 2 F(δ(t)) = F ( ) 2π 2a e a t F(δ(t))
Fourier-muunnoksen sovelluksia Jatkoa Konvoluutioteoreeman perusteella y(t) = 1 2π 2π 2a e a t δ(t) = 1 e a t s δ(s)ds 2a = 1 2a e a t