7.lk matematiikka Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen
2
Sisällys 15. Kolmio... 4 16. Nelikulmiot... 8 17. Monikulmiot... 12 18. Pituuksien ja pinta-alojen muutokset... 16 19. Pinta aloja ja piiri... 18 20. Yhtenevyys... 24 21. Symmetria suoran ja pisteen suhteen... 26 22. Kierto ja siirto (jousto)... 28 23. Kertaus 3... 28 Vastauksia... 28 3
15. Kolmio Kolmiossa on kolme suoraa sivua ja kolme kulmaa. Kolmion merkitsemiseen on käytössä oma symboli C γ Kolmio nimetään sen kulmapisteiden avulla, esim. Viereinen kolmion on: Kolmio ABC = ABC Kolmion kulmien summa on aina 180. + β + γ = 180 A β B Esimerkki 1 Määritä kolmiosta kulma. 79 58 Koska kolmion kulmien summa on aina 180, saadaan kolmas kulma laskettua laskulla: = 180 79 58 = 43 Joskus sama lasku on kätevämpi laskea toisella pidemmällä tavalla, joka tuottaa kuitenkin saman tuloksen. = 180 (79 + 58 ) = 180 137 = 43 Esimerkki 2 Määritä kulmat ja β γ 70 β 147 β saadaan laskettua vieruskulman avulla. β = 180 147 = 33 Kuvaan on merkitty kulma γ (harmaall, jotta voidaan laskea. γ = 180 70 33 = 77 = 77 ristikulma 4
Tasakylkinen kolmio: Tasasivuinen kolmio: - Kaksi yhtä pitkää sivua, kyljet - Kaikki kolme sivua yhtä pitkiä - Kaksi yhtä suurta kulmaa, kantakulmat - Kaikki kolme kulmaa yhtä suuria - Kolmas kulma on huippu, huippukulma - On myös tasakylkinen, erikoistapaus huippu 60 kylki kantakulmat kanta kylki 60 60 Yllä olevissa kuvissa on koristeltu sivuja ja kulmia väkäsin. - Sivut, joissa on yhtä monta väkästä, ovat keskenään yhtä suuria. - Vastaavasti kulmat, joissa on yhtä monta väkästä, ovat keskenään yhtä suuria. Kolmioiden yleinen luokittelu Teräväkulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio - Kaikki kolme kulmaa ovat teräviä - Yksi kulma on suorakulma - Kaksi muuta kulmaa ovat aina teräviä - Tärkein tunnistaa Tylppäkulmainen kolmio - Yksi kolmion kulmista on tylppä - Kaksi muuta kulmaa ovat aina teräviä 5
Tehtäviä c) Määritä kulma 70 35 50 79 d) 75 47 47 c) 122 Määritä kulma 25 31 d) 33 50 100 73 Määritä kulma c) 160 86 40 46 d) 52 48 2,7 cm 6
Mitkä kolmioista ovat: teräväkulmaisia tylppäkulmaisia c) suorakulmaisia d) tasakylkisiä Ratkaise kulma 37 e) tasasivuisia f) ei mitään edellisistä A B C Ratkaise kulma. F G 34 D 33 E H I 27 Kuinka monta tylppää kulmaa kolmiossa voi olla? Perustele. 35 Ratkaise kulma 35 35 Kuinka monta suoraa kulmaa kolmiossa voi olla? Perustele. Todista vihkoosi, että kolmion kulmien summa on 180 Todistaminen tarkoittaa sitä, että sinun pitää vanhojen tietojen avulla perustella aukottomasti, miksi jokaisen kolmion kulmien summa on 180. Käytä apuna tietoja: vieruskulma, ristikulma ja samankohtaisten kulmien yhtäsuuruus (kun suorat ovat yhdensuuntaisi. Piirroksella kannattaa havainnollistaa asiaa. 7
16. Nelikulmiot Nelikulmiossa on neljä suoraa sivua ja neljä kulmaa. Nelikulmion kulmien summa on 360 Erilaisia nelikulmioita Esimerkki 1. Ratkaise kuviosta. Kulmien summa on 360, joten saadaan laskulla 79 71 112 = 360 (112 + 79 + 71 ) = 360 262 = 98 Simppeliä Esimerkki 2. Ratkaise suunnikkaasta kulma. 56 Suunnikkaasta kerrotaan seuraavalla sivulla. Tiedämme siksi, että kaksi merkitsemätöntä kulmaa ovat yhtä suuret kuin niiden vastakkaisetkin kulmat. Ratkaisutapoja on useita, alla näytetään kaksi esimerkkiä. Tapa 1. Muodostetaan yhtälö 2 + 2 56 = 360 2 + 112 = 360 2 = 360 112 2 = 248 : 2 2 2 = 258 2 = 124 Tapa 2 Suunnikkaassa kaksi kappaletta kumpaakin kulmaa. Tällöin vierekkäisten kulmien summa on puolet koko suunnikkaan kulmien summasta eli 180. saadaan siis vähennyslaskulla = 180 56 = 124 8
Nelikulmioiden luokittelu (kirjoita itse nuolen viereen, mitä lisäominaisuuksia milloinkin tulee) nelikulmio Nelikulmio: neljä kulmaa neljä suoraa sivua Kaikki seuraavat ovat nelikulmioita, vaikkei sitä erikseen enää sanota. puolisuunnikas Puolisuunnikas: kaksi sivua samansuuntaisia suunnikas Suunnikas: vastakkaiset sivut samansuuntaisia vastakkaiset sivut yhtä pitkiä vastakkaiset kulmat yhtä suuria * Kun yksi toteutuu, toteutuvat muutkin suorakulmio neljäkäs Suorakulmio: vastakkaiset sivut samansuuntaisia vastakkaiset sivut yhtä pitkiä kaikki kulmat suorakulmia * Jos viimeinen toteutuu, toteutuvat kaksi ensimmäistäkin kohtaa Neljäkäs: vastakkaiset sivut samansuuntaisia kaikki sivut yhtä pitkiä vastakkaiset kulmat yhtä suuria neliö Neliö: vastakkaiset sivut samansuuntaisia kaikki sivut yhtä pitkiä kaikki kulmat suorakulmia 9
Tehtäviä Mitkä seuraavista kuvioista ovat suunnikkaita neliöitä Ratkaise kuviosta ja β. Perustele. β 124 c) suorakulmioita d) puolisuunnikkaita 56 A B C β D E 72 108 F G Tee seuraavat selitystehtävät vihkoosi. Perustele huolellisesti. Pelkkä vastaus kyllä tai ei ei ole riittävä vastaus. Onko suunnikas aina myös suorakulmio? Onko neliö aina myös suunnikas. c) Voiko puolisuunnikas olla myös suunnikas. d) Voiko neliö olla myös nelikulmio. H I Ratkaise kuviosta ja β. Perustele. β 135 Ratkaise kuviosta 84 88 β 143 50 56 26 10
Tee seuraavat selitystehtävät vihkoosi. Kannattaa piirtää myös havainnollistava kuva. Jos suunnikkaan yksi kulma on 30, kuinka suuria ovat muut kulmat. Jos suunnikkaan yksi kulma on 50, kuinka suuria ovat muut kulmat. c) Jos suunnikkaan yksi kulma on 90, kuinka suuria ovat muut kulmat. Piirrä vihkoosi nelikulmio, jossa on tasan yksi tylppä kulma tasan kaksi tylppää kulmaa c) tasan kolme tylppää kulmaa d) tasan neljä tylppää kulmaa. Piirrä vihkoosi nelikulmio, jossa on yksi kupera kulma ja yksi tylppä kulma yksi kupera kulma, mutta ei yhtään tylppää kulmaa. Todista vihkoosi, että nelikulmion kulmien summa on 360 astetta. Todistaminen tarkoittaa sitä, että sinun pitää vanhojen tietojen avulla perustella aukottomasti, miksi jokaisen nelikulmion kulmien summa on 360. Käytä apuna tietoa siitä, että kolmion kulmien summa on 180. Piirroksilla kannattaa havainnollistaa asiaa. Tehtävä ei ole helppo. 11
17. Monikulmiot Monikulmio muodostuu suljetusta murtoviivasta, joka ei leikkaa itseään. Murtoviiva on janojen ketju, joista seuraava alkaa siitä pisteestä, mihin edellinen loppuu. Suljettu tarkoittaa sitä, että murtoviiva loppuu samaan paikkaan, mistä alkoi. Monikulmioita Ei-monikulmioita Monikulmioiden nimeäminen Monikulmiot nimetään sen mukaan, kuinka monta kulmaa siinä on. Esimerkiksi kuusikulmainen monikulmio on kuusikulmio ja 35-kulmainen on 35-kulmio. Kolme erikoistapausta: Kolmio (3 kulma Nelikulmio (4 kulma Seitsenkulmio (7 kulma Monikulmion kulmien (astelukujen) summa Monikulmion kulmien summa saadaan laskettua kaavalla (n 2) 180, missä n on kulmien määrä. Käytännössä, kun monikulmioon tulee yksi kulma lisää, kasvaa sen kulmien summa aina 180 :lla. Kolmion kulmien summa on 180. Nelikulmion kulmien summa on 180 + 180 = 360. Viisikulmion kulmien summa on 360 + 180 = 540 Kun tämän tajuaa, ei ensimmäisille kulmille kaavaa tarvitse muistaa, mutta isommille kulmioille kyllä. 12
Monikulmion lävistäjät Lävistäjä on jana, joka kulkee monikulmion kulmasta ei-viereiseen kulmaan. Alla esimerkkeinä lävistäjiä (katkoviivoill. Huomaa, että joskus lävistäjä voi kulkea myös monikulmion ulkopuolella, jos monikulmiossa on kuperia kulmia. Huom! Kolmiolla ei ole yhtään lävistäjää. Miksi? Säännölliset monikulmiot Monikulmion on säännöllinen, jos sen kaikki sivut ovat yhtä pitkiä ja kaikki kulmat yhtä suuria. Alla kuusi ensimmäistä säännöllistä monikulmiota. Esimerkki 1. Laske kulma. 107 129 254 99 62 Kuusikulmion kulmien summa (6 2) 180 = 4 180 = 720 Sen avulla saadaan = 720 (107 + 129 + 99 + 62 + 254 ) = 720 651 = 69 Esimerkki 2. Laske kulmat ja β kuvan säännöllisestä seitsenkulmiosta yhden desimaalin tarkkuudella. β Seitsenkulmion kulmien summa (7 2) 180 = 5 180 = 900 Koska kaikki seitsemän kulmaa ovat yhtä suuria kuin, saadaan se laskulla = 900 = 128,5714 128,6 7 Vastaavasti β on seitsemäsosa täydestä ympyrästä ja se saadaan laskulla β = 360 = 51,42857 51,4 7 13
Tehtäviä Nimeä monikulmiot Ratkaiset säännöllisistä monikulmioista kulmat ja β. A B C β E D F G β A B C D E F G Laske kulma 122 125 118 129 131 Ratkaise vihkoosi säännöllisen monikulmion yhden kulman suuruus kahdeksankulmiosta, 12 kulmiosta ja c) 20 kulmiosta. Seuraava ei ole perustehtävä. Saa hypätä yli ja palata tekemään myöhemmin. Kuvassa on säännöllinen 36-kulmio (näyttää jo melkein ympyrältä). Kulmat ja β ovat vastaavia, mitä tehtävän 3 tapauksissa. Ratkaise kulmat ja β. 45 135 243 Vinkki. Ratkaise ensin. β:n ratkaisemisessa käyttää apuna kahta kuvaan merkittyä ylimääräistä kulmaa. Tehtävä kannattaa tehdä vihkoon. Saa tehdä havainnollistavia apupiirroksia. β ps. Älä välitä siitä, että kuvassa oikeasti on 32- kulmio. Laske siten kuin olisi 36-kulmio. 14
Piirrä kuvioon kaikki lävistäjät, jotka lähtevät pisteestä A A B B Todistustehtävä todellisille huipuille. Todista, että n-kulmion kulmien astelukujen summa on oikeasti (n 2)180. Tässä käytetään niin kutsuttua induktiotodistusta. Vaiheessa 1. todista, että kaava pätee pienimmälle mahdolliselle monikulmiolle. (Helppo) Vaiheessa 2. todista, että kun kaava on totta (n 1)-kulmiolle, on se totta myös n-kulmiolle. Tämä vaihe vaatii selittelyä ja esimerkkipiirroksetkaan eivät ole pahasta. Kuvien monikulmiot ovat säännöllisiä. Ratkaise merkityt kulmat. β γ δ 15
18. Pituuksien ja pinta-alojen muutokset Yksikkömuunnoksissa käytetään apuna suhdelukua, jolla muutettava luku kerrotaan tai jaetaan. Pituuden muunnoksissa suhdeluku on 10 Pinta-alojen muunnoksissa suhdeluku on 100. Viereisessä kuviossa havainnollistetaan sitä, milloin suhdeluvulla kerrotaan ja milloin jaetaan Pituuden yksiköt km hm dam Pinta-alojen yksiköt km 2 ha m m 2 10 :10 100 :100 dm dm 2 a cm mm cm 2 mm 2 Esimerkki 1 Pituuden muutoksia: 2,1 m = 21 dm (pilkku 1 oikealle) 2,1 m = 210 cm (pilkku 2 oikealle) 2,1 m = 2100 mm (pilkku 3 oikealle) 2,1 m = 0,21 dm (pilkku 1 vasemmalle) 2,1 m = 0,021 hm (pilkku 2 vasemmalle) 2,1 m = 0,0021 km (pilkku 3 vasemmalle) Pinta-alamuutoksia: 2,1 m 2 = 210 dm 2 (pilkku 2 oikealle) 2,1 m 2 = 21000 cm 2 (pilkku 4 oikealle) 2,1 m 2 = 2100000 mm 2 (pilkku 6 oikealle) 2,1 m 2 = 0,021 a (pilkku 2 vasemmalle) 2,1 m 2 = 0,00021 ha (pilkku 4 vasemmalle) 2,1 m 2 = 0,0000021 km 2 (pilkku 6 vasemmalle) Kuten edeltä huomaat, eivät numerot itsessään muutu, ainoastaan pilkkua siirretään. 16
Tehtäviä: Muunna metreihin 3,5 dm = 4,75 cm = c) 2,5 mm = d) 5,6 dam = e) 3,8 hm = f) 7,2 km = Muunna neliömetreihin 4,5 dm 2 = 2,5 cm 2 = c) 7,25 mm 2 = d) 6,9 a = e) 2,88 ha = f) 5,2 km 2 = Muunna senttimetreihin 6,5 dm = 75 mm = c) 1,35 m = d) 56 dm = Muunna neliösenttimetreihin 3,5 dm 2 = 715 mm 2 = c) 0,35 m 2 = d) 5,6 m 2 = Muunna annettuun yksikköön 12,5 m = km 3,5 cm = m c) 12,5 cm 2 = mm 2 d) 32 m 2 = a e) 3,2 km 2 = ha f) 5,4 km = m Muunna annettuun yksikköön 118,5 cm 2 = m 2 0,0043 m 2 = cm 2 c) 12500 cm 2 = m 2 d) 0,0028 m 2 = cm 2 Muunna annettuun yksikköön 1,5 m 2 = cm 2 430000 mm 2 = m 2 c) 12500 cm 2 = m 2 d) 28 ha = km 2 Muunna annettuun yksikköön 65,87 cm 2 = mm 2 4300 m 2 = ha c) 1200 cm 2 = m 2 d) 0,00003723 km 2 = m 2 Mitä pinta-alan yksikköä kannattaa käyttää kuvaamaan seuraavia asioita? Pellon pinta-ala Asunnon/talon pinta-ala c) Suomen pinta-ala d) Kynsien pinta-ala e) Huoneen seinän pinta-ala f) Tontin pinta-ala g) Maatilan metsien pinta-ala h) pienen pellon pinta-ala Tee vihkoon. Selvitä seuraavien maiden pinta-ala ja asukasmäärä. Kuinka paljon jokaisella maan asukkaalla on tilaa neliömetreinä. Suomessa Intiassa c) Italiassa d) Venäjällä 17
19. Pinta aloja ja piiri Pinta-alaa merkitään isolla A-kirjaimella. Seuraavassa tärkeimmät/helpoimmat pinta-alakaavat. Suorakulmion pinta-ala Neliön pinta-ala A = kanta korkeus = ab A = a a = aa = a 2 korkeus b a kanta a Kolmion pinta-ala A = kanta korkeus 2 = ah 2 a h h h a a a Piiriä merkitään pienellä p-kirjaimella. Monikulmion piiri Monikulmion piiri saadaan laskemalla siihen kuuluvien janojen pituudet yhteen. Tätä ajatusta sovelletaan kaikkiin monikulmioihin. Erikoistapauksina voidaan pitää suorakulmiota ja neliötä. Suorakulmion piiri Neliön piiri p = 2a + 2b p = 4a b a a a 18
6,0 cm 6,0 cm Esimerkki 1 Laske kuvioiden pinta-alat ja piirit 5,0 cm 5,0 cm 7,0 cm Pinta-ala A = 7,0 cm 5,0 cm = 35 cm 2 Piiri p = 2 7,0 cm + 2 5,0 cm = 24,0 cm 5,0 cm Pinta-ala A = 5,0 cm 5,0 cm = 25 cm 2 Piiri p = 4 5,0 cm = 20 cm Jos kolmiossa ei ole suoraa kulmaa, ei korkeusjanaa käytetä kuin pinta-alalaskuissa. Kannattaa siis olla tarkkana, mitä annetuista luvusta tarvitaan. Tästä seuraava esimerkki. Esimerkki 2. Laske kolmion pinta-ala ja piiri. 9,2 cm 6,0 cm 6,5 cm Pinta-ala 8,0 cm 6,0 cm A = 2 = 24 cm 2 Piiri p = 8,0 cm + 6,5 cm + 9,2 cm = 23,7 cm 8,0 cm Esimerkki 3. Laske väritetyn alueen pinta-ala 5,0 cm 4,0 cm Suorakulmio A 1 = 4,0 cm 6,0 cm = 24 cm 2 Kolmio A 2 = 6,0 cm 5,0 cm 2 = 15 cm 2 Koko kuvio A = A 1 + A 2 = 24 cm 2 + 15 cm 2 = 39cm 2 5,0 cm 10,0 cm Suorakulmio A 1 = 10,0 cm 6,0 cm = 60 cm 2 Kolmio A 2 = 5,0 cm 6,0 cm 2 = 15 cm 2 Koko kuvio A = A 1 A 2 = 60 cm 2 15 cm 2 = 45cm 2 19
Tehtäviä Laske kuvion piiri ja pinta-ala. Ilmoita pintaala senttimetreinä tai neliösenttimetreinä. 8,0 cm 2,0 cm 5,0 cm Laske kolmioiden pinta-ala. Vastaus neliösenttimetreinä 4,0 cm 6,0 cm 70 mm 30 mm c) 2,5 cm c) 12 m 8,0 mm 15 m 3,5 mm d) Laske kolmioiden piirit 4,5 cm 5,0 cm Laske neliön piiri ja pinta-ala, ilmoita vastausmetreinä tai neliömetreinä. 9,4 cm 6,0 cm 3,5 cm 7,0 m c) 7,2 cm 7,2 cm 4,7 cm 120 cm 3,5 cm 20
3,0 cm 4,0 cm 7,0 cm 4,0 m 4,0 cm Seuraavien tehtävien kuviin pitää merkitä alueet esim A1 ja A2 ja kirjoittaa lyhyet selitetekstit (katso esim. 3.) Laske väritetyn kuvion pinta-ala. Vastaus neliönetreinä. Laske väritetyn alueen pinta-ala 2,0 cm 4,0 cm 6,0 cm 8,0 m 8,0 m 6,0 m 3,0 cm 11,0 cm 3,0 cm 10,0 cm 2,0 cm c) 13,0 cm 8,0 cm 8,0 cm c) 2,0 cm d) 8,0 cm 9,0 cm 6,0 cm 12,0 cm 21
Ratkaise yhtälön avulla x A = 42 cm 2 6,0 cm x x A = 72 cm 2 8,0 cm Ratkaise yhtälön avulla vihkoon Mikä on kolmion kanta, jos sen korkeus on 5,0 cm ja pinta-ala 15 cm 2 Mikä on kolmion korkeus, jos sen kanta on 12 cm ja pinta-ala 60 cm 2 22
23
20. Yhtenevyys Yhtenevyys Jos kaksi kuviota ovat saman muotoisia ja kokoisia, sanotaan niiden olevan yhteneviä. Yhtenevyyteen hyväksytään myös peilikuvat. D C H Yhtenevyyttä merkitään merkillä Esimerkiksi viereiset kuviot: ABCD HEFG Pitää olla tarkkana, että vastinpisteet ovat samassa järjestyksessä A B E G F Yhtenevien kuvioiden ominaisuuksia: Vastinkulmat ovat yhtä suuria Vastinsivut ovat yhtä pitkiä Jos perusyhtenevyysasia on liian helppoa, voi opetella lisäksi kolmioiden yhtenevyyssäännöt. Ne eivät ole kokeeseen tulevaa asiaa (bonusmahdollisuus aina on). Kolmioiden yhtenevyyssäännöt (extraa Kolmioiden kohdalla on olemassa tietyt edellytykset, joiden perusteella voidaan sanoa heti, ovatko kolmiot yhteneviä vai eivät. ksk: kulma-sivu-kulma Tämä tarkoittaa siis sitä, että molemmissa kolmioissa on yhtä iso kulma, sen vieressä yhtä pitkä sivu ja vielä sen vieressä yhtä iso kulma. Tällöin kolmiot ovat yhteneviä. sss: sivu-sivu-sivu sks: sivu-kulma-sivu kks: kulma-kulma-sivu Edellä mainitut neljä yhdistelmää ovat sellaisia, että jos kahdessa kolmiossa ne toteutuvat samanlaisina, ovat kolmioiden loputkin vastinsivut ja kulmat yhteneviä, jolloin myös kolmiot ovat yhteneviä. 24
Tehtäviä Kahdessa ensimmäisessä tehtävässä riittää silmämääräinen arvio. Varsinkin noin pienien kulmien mittaaminen ei helpolla onnistu. Mitkä kuviot ovat yhteneviä mallin kanssa? malli D Mitkä kuviot ovat yhteneviä mallin kanssa? malli B A A E C B Kuvassa on kaksi yhtenevää monikulmiota. Merkitse yhtenevä kuvio ABCDE Merkitse taulukkoon vastinosat A C H J D AB DE HI FG BC Kuvassa on kaksi yhtenevää monikulmiota. Merkitse yhtenevä kuvio ABCDEF Merkitse taulukkoon vastinosat A B H G E AF DE GI KL BC D F C G E Jos kahdella kuviolla on tietyt ominaisuudet, ovatko ne yhteneviä? Perustele. Kaksi neliötä, joiden molempien yhden sivun pituus on 5,0 m. Kaksi suorakulmiota, joiden molempien yhden sivun pituus on 5,0 m. c) Kaksi ympyrää, joiden molempien säde on 12,5 cm. d) Kaksi kolmiota, joiden molempien kaikki kulmat ovat 60. 25
21. Symmetria suoran ja pisteen suhteen Suoran suhteen symmetria tarkoittaa sitä, että jokaiselle kuvion pisteelle löytyy yhtä kaukaa suoran toiselta puolelta vastaava piste. Suoraa, jonka suhteen kuvio on symmetrinen, kutsutaan symmetria-akseliksi. Alla muutama kuvio, joihin on punaisella piirretty symmetria-akseli/akselit. Kuvion peilaaminen suoran suhteen tarkoittaa sitä, että annettua suoraa käyttäen piirretään kuviolle suoran suhteen symmetriset pisteet. Tästä seuraava esimerkki Esimerkki 1. Peilaa nelikulmio ABCD suoran s suhteen. Lähtökohta: Lopputulos A D s A D s D B C B C C A Eli jokaiselle pisteelle A, B, C ja D on mitattu suorakulmassa suoraan s nähden oma vastinpiste. Kun nämä vastinpisteet yhdistetään janoilla, saadaan suoran s suhteen peilattu kuvio. B 26
Pisteen suhteen symmetria tarkoittaa sitä, että jokaiselle kuvion pisteelle löytyy yhtä kaukaa pisteen toiselta puolelta vastaava piste. Pistettä, jonka suhteen kuvio on symmetrinen, kutsutaan symmetria-pisteeksi. Alla muutama kuvio, joihin on punaisella piirretty symmetria-piste. Kuvion peilaaminen symmetriapisteen ympäri tehdään samalla tavalla kuin suorankin tapauksessa. Suorakulmista ei tarvitse tässä enää välittää vaan jokaiselle pisteelle vain piirretään symmetriapisteen toiselle puolelle vastinpiste ja ne yhdistetään. Esimerkki 2. Alla nelikulmio ABCD on peilattu pisteen O suhteen. Peilauspiste (symmetriapiste) punaisella ja peilattu kuvio sinisellä. C B A D O D A B C Tarkkasilmäiset varmasti huomaavatkin, että pisteen suhteen symmetrian tekeminen ei tehnytkään kuviosta peilikuvaa vaan käänsi sen symmetriapisteen suhteen ylösalaisin. Tämän kappaleen tehtävät erikseen 27
22. Kierto ja siirto (jousto) Tosi nopeille ylimääräisenä 23. Kertaus 3 Erikseen Vastauksia Valitettavasti tähän monisteeseen en vielä ole kerennyt vastauksia tekemään. 28