Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 7 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän kuin 7 pistettä, B-osa jätetään arvostelematta.

Samankaltaiset tiedostot
Maatalous-metsätieteellinen tiedekunta Metsien ekologia ja käyttö

Maatalous-metsätieteellinen tiedekunta Metsien ekologia ja käyttö

4. Kertausosa. 1. a) 12

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Differentiaalilaskenta 1.

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset

MAOL-pisteytysohje. Matematiikka lyhyt oppimäärä Kevät 2014

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13

Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA,

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

A-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa.

Maatalous-metsätieteellinen tiedekunta Ympäristöekonomia Kansantaloustiede ja matematiikka

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Funktio. Funktio on kahden luvun riippuvuuden ilmaiseva sääntö, joka annetaan usein laskulausekkeena.

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) = = 21 tosi

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x

Matematiikkaa kauppatieteilijöille

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

4 Polynomifunktion kulku

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan.

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Matematiikan tukikurssi

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

Korkeamman asteen polynomifunktio

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

Paraabeli suuntaisia suoria.

x + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli

origo III neljännes D

Tekijä Pitkä matematiikka

5 Rationaalifunktion kulku

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla

4 FUNKTION ANALYSOINTIA

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op


Tekijä Pitkä matematiikka

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Kertaustehtävien ratkaisut

Matematiikan tukikurssi

Matriisit ja optimointi kauppatieteilijöille

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Derivaatan sovelluksia

Vastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

Algebran ja Geometrian laskukokoelma

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

Matematiikan tukikurssi

Transkriptio:

KOE Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 7 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän kuin 7 pistettä, B-osa jätetään arvostelematta. B-OSA, ht. 0p. Ksmksen maksimipistemäärä on 7 pistettä. Vastaa kokonaisilla lauseilla. 1. Rahan kolme tehtävää, selitä mös mitä kukin tehtävä tarkoittaa. Vastaus: Arvon säilttäjä (1 p), vaihdon väline (1 p), arvon mitta (1 p), selitkset edellisistä (4 p). (Oikea vastaus s. 179)

KOE Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 7 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän kuin 7 pistettä, B-osa jätetään arvostelematta. B-OSA, ht. 0p. Ksmksen maksimipistemäärä on 8 pistettä. Vastaa kokonaisilla lauseilla.. Inflaation kustannukset. Selitä miksi inflaatio on kansantaloudellisesti huono asia. Vastaus: -Inflaatio ei ole itsessään huono asia, vaan sen seuraukset ( p) -Ihmiset joutuvat kättämään paljon aikaa vaihtoehtoisen arvon säilttäjän etsimiseen. Tämä aika on pois tuotannollisesta toiminnasta, joten tuotanto alenee (1,5 p) -Julkinen valta rahoittaa menonsa painamalla rahaa, eli nostaa inflaatioveroa. Esim. sodat m. poikkeusolosuhteet (1,5 p) -menu-kustannukset (1 p) -ritkset tulkitsevat kohonneet hinnat väärin ja tuottavat liikaa (1 p) -tulojen ja varallisuuden jaon muuttuminen (1 p) (Oikea vastaus s. 177-179, ruotsinkielisessä s. 9-4)

KOE B-OSA, ht. 0p. Merkitse ratkaisusi välivaiheet näkviin. Älä litä annettua vastaustilaa!. a) Etsi funktion = suurin ja pienin arvo välillä 10. ( p) Derivoidaan htälö = d d ja etsitään derivaatan nollakohdat 0 Saadaan siis kaksi nollakohtaa. Lasketaan niille mös toiset derivaatat d d 0 ) ( eli piste on paikallinen minimi 0 ) ( eli piste on paikallinen maksimi. Mahdolliset minimi- ja maksimiarvot ovat pisteissä =, =, = ja = 10 07 4,09 1,911 977 10 10 10 Eli funktion minimiarvo on 07 ja maksimiarvo 977

KOE B-OSA, ht. 0p. Merkitse ratkaisusi välivaiheet näkviin. Älä litä annettua vastaustilaa!. b) Määritä pisteiden (5,) ja (,8) kautta kulkevan suoran htälö. ( p) Muutokset ja koordinaateissa pisteiden (5,) ja (,8) välillä ovat, Tästä saadaan suoran kulmakerroin k: Yhtälö voidaan nt kirjoittaa muotoon C, missä C on vielä tuntematon vakio (kohta jossa suora leikkaa -akselin). Ratkaistaan C jommankumman annetun pisteen avulla. Pisteessä (5,) pätee: Yhtälö on silloin

KOE B-OSA, ht. 0p. Merkitse ratkaisusi välivaiheet näkviin. Älä litä annettua vastaustilaa! 4. a) Sinulla on kätössäsi 00 metriä aitaa. Miten saat rajattua aidalla mahdollisimman suuren pinta-alan, kun ksi sivuista rajautuu jokeen (eli aitaa tarvitaan kolmeen sivuun)? (4 p) joki aita Kutsuttakoon joen suuntaisen aidan sivun pituutta :llä, ja toisen suuntaisen aidan sivun pituutta :llä Aidan kokonaispituus on 00 m, eli + = 00 m Tällöin = 00 m Tällä rajattavan alueen pinta-ala (A) on A eli A ( 00m ) Etsitään derivaatan nollakohta da d 00m 4 0 50m A (50 m) = 4 < 0, eli tämä on funktion paikallinen maksimikohta, joten = 50 m ja = 100 m, ja silloin A = 5000 m

KOE B-OSA, ht. 0p. Merkitse ratkaisusi välivaiheet näkviin. Älä litä annettua vastaustilaa! 4. b) Jos aitaa on kätettävissä kaksinkertainen määrä, niin miten monikertaisen pinta-alan maata sillä saa rajattua? (1 p) Nt + = 400 m Silloin da d 400m 4 0 100m eli = 100 m ja = 00 m joten A = 0000 m eli saadaan rajattua 4-kertainen pinta-ala

KOE Merkitse ratkaisusi välivaiheet näkviin. Älä litä annettua vastaustilaa! 5. Kaksi autoa lähtee ajamaan samasta pisteestä, toinen itään ja toinen länteen. Länteen liikkuva auto kulkee 10 km/h nopeammin kuin itään päin kulkeva. tunnin kuluttua autot ovat 400 km:n päässä toisistaan. Millä nopeudella autot liikkuvat? (5 p) Olkoon länteen kulkevan auton nopeus v 1 ja itään kulkevan auton nopeus v. Kirjoitetaan htälöpari: v 1 = v +10 km/h s = (v 1 + v )t s on matka = 400 km, t on aika = h Sijoitetaan ensimmäinen htälö toiseen: (v + 10 km/h + v )h = 400 km ( v + 10 km/h)h = 400 km ( v + 10 km/h) = 00 km/h v = 190 km/h v = 190 km/h/ = 95 km/h ja v 1 = 95 km/h + 10 km/h = 105 km/h