607 Piste ja jana koordinaatistossa ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 Kertausta kurssi Eri asioiden välisten riippuvuuksien havainnollistamiseen kätetään usein koordinaatistoesitstä Pstakselilla riippuvan muuttujan arvot riippuvat vaaka-akselin muuttujan arvoista Akseleiden jaotus ja ksiköt valitaan siten, että riippuvuuden luonne ja sitä esittävän kuvaajan muoto tulevat hvin esille Ei huijata! 00 00 00 006 / 00 gr:n karkkipussi Hinta on psnt tasaisena t/ vuosi 00 0 0 Pstakseli; usein funktion arvo akseli, eli riippuva muuttuja Vaaka-akseli; usein muuttujan eli argumentin arvo akseli, eli riippumaton muuttuja 00 006 3 0 00 / 00 gr:n karkkipussi Tasavälinen jaotus Logaritminen jaotus Hinta on vaihdellut t/ vuosi 00 0 0 Määritelmä, suorakulmainen koordinaatisto: Koordinaatisto, jonka akselit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan on suorakulmainen Sitä kutsutaan -koordinaatistoksi ja akselien leikkauspistettä origoksi Akseleiden rajoittamia tason osia kutsutaan ensimmäiseksi neljänneksi jne origo -akseli -akseli I- neljännes IIneljännes IIIneljännes IVneljännes Suoran pisteet ja reaaliluvut vastaavat täsin toisiaan, puhutaan lukusuorasta 0 R Analogisesti (vastaavasti, hdenmukaisesti) tason pisteet ja järjestett lukuparit, vastaavat täsin toisiaan Tason piste,, missä ja ovat pisteen koordinaatteja Pisteen esitstapa: (vaaka koord, pst koord),3,0 0, 0,3, 0,
607 Pisteen, projektio vaaka-akselilla on, eli piste, 0 ja vastaavasti projektio pst-akselilla on, eli piste 0, Esimerkki Kuinka kaukana piste P = 5, on a) koordinaattiakseleista, b) origosta? Etäiss itseisarvo! 5 5, d a) Koska P = 5, =,, niin etäisdelle -akselista saadaan = = ja vastaavasti -akselista saadaan = 5 = 5 b) Pthagorasta hödntäen: d = + = + ja sijoittamalla lukuarvot saadaan: Tämä pätee leisesti! d = 5 + = 9 5, Lause, pisteen etäiss koordinaattiakseleista ja origosta: Pisteen, etäiss -akselista on, -akselista on ja origosta +, Määritelmä, Kärän htälö: TÄRKEÄ! Kärän muodostavat ne ja vain ne pisteet, jotka toteuttavat kärän htälön Eli piste on kärällä, jos pisteen koordinaatit toteuttavat htälön
607 Esimerkki Onko piste a),, b),3 suoralla =? Sijoitetaan koordinaatit, saadaan a) = = 0, epätosi ei ole b) 3 = = 3, tosi on Esimerkki Onko piste a),, b), kärällä + 3 = 0? Sijoitetaan koordinaatit, saadaan a) + 3 = + + 3 = 0, tosi on b) + 3 = 8 + + 8 3 = 0, epätosi ei ole Kärän htälö voi olla :n suhteen ratkaistussa eli eksplisiittisessä muodossa = f tai ratkaisemattomassa eli implisiittisessä muodossa F, = 0 Esimerkin kärä (siis suora) on ratkaistussa ja esimerkin kärä on ratkaisemattomassa muodossa Janan pituus ja keskipiste Esimerkki Kuinka kaukana piste A =, on pisteestä B =,? Pitää siis etsiä pituus AB Kuvion suorakulmaisessa kolmiossa ABC on AC = = 6 ja BC = = 3, joten Pthagor antaa AB = 6 + 3 = 5, josta AB = 5 = 3 5 6,7 A, B, C, Vastaavalla tavalla lasketaan leisten tason pisteiden (kuva seur dia) A =,, B =, välinen etäiss d Kun vielä merkitään C =,, niin kateettien pituudet ovat AC =, BC =, joten d = + = + 3
607 ja d = + B =, A =, C =, Lause, Janan pituus: Pisteiden A =, ja B =, etäiss, eli janan AB pituus on d A, B = + Esimerkki Kolmion kärjet ovat A =,, B =, ja C = 0,3 Osoita, että kolmio ABC on tasaklkinen VAST: Koska sivut AC ja BC ovat htä pitkät, kolmio ABC on tasaklkinen Kolmion sivujen pituudet ovat AB = + = 6 + = 0 = 0 AC = 0 + 3 = + = 0 = 5 BC = 0 + 3 = + = 0 = 5
607 Olkoon 0, 0 pisteiden, ja, välisen janan keskipiste Tällöin 0 on lukujen ja keskiarvo Vastaavasti 0 on lukujen ja keskiarvo, joten on voimassa seuraava lause, 0 0, 0, 0 Lause, Janan keskipiste: Pisteiden, ja, välisen janan keskipiste on 0, 0 = +, + Esimerkki Jos janan päätepisteet ovat, ja 3,, niin janan keskipiste on + 3, + =, Janan keskipiste, ja toinen päätepiste on ja 5,3 Määritä toinen päätepiste Olkoon, toinen päätepiste (tuntematon) Tällöin koska 5 +, 3 + =,, niin 5 + 3 + Toinen päätepiste on siis, = 5 + = =, = 3 + = = 5