Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi
Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään raaka-aineita A, B ja C. Kuinka paljon raaka-aineita A, B ja C on käytettävä, kun 1. Tehdään 100 kg:n erä 2. Entsyymiä E on oltava 8000 mg ja 3. Erä saa maksaa 2000? Ehdoista 1-3 saadaan yhtälöryhmä: 1. x 1 + x 2 + x 3 = 100 2. 40x 1 + 340x 2 + 60x 3 = 8000 3. 10x 1 + 60x 2 + 20x 3 = 2000 A B C Valmistettava määrä (kg) x 1 x 2 x 3 Entsyymin E määrä (mg/kg) 40 340 60 Hinta ( /kg) 10 60 20 Yhtälöryhmän voi esittää matriisimuodossa: Kerroinmatriisi A 1 1 1 40 340 60 10 60 20 Muuttujavektori x x 1 x 2 x 3 = Ax = b Side-ehto- Vektori b 100 8000 2000 2
Lineaarikuvaus Oletetaan, ettei side-ehtoa (massaa, entsyymin E määrää ja hintaa) ole kiinnitetty etukäteen Tällöin matriisi A määrittelee lineaarisen funktion, joka kuvaa kaikki mahdolliset raakaainemääräyhdistelmät x = [x 1, x 2, x 3 ] R 3 massa- E:n määrä-hinta-yhdistelmiksi y = [y 1, y 2, y 3 ] R 3 : A: R 3 R 3, y = Ax Kerroinmatriisi A Raakaainemäärävektori x 1 1 1 40 340 60 10 60 20 x 1 x 2 x 3 = Massa-E:n määrähintavektori y y 1 y 2 y 3 Esim. Jos raaka-aineita on x 1 = 5 kg, x 2 = 10 kg, x 3 = 20 kg, niin vastaava massa-e:n määrä-hintayhdistelmä on Ax = y y = 1 1 1 40 340 60 10 60 20 5 10 20 = = 35 4800 1050 3
Lineaarikuvaus Yleisemmin: Jokainen matriisi A R m n määrittelee funktion A: R n R m, y = Ax: y = Ax = a 11, a 12 a 1n a m1, a m2 a mn x 1 x n = a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n m n n 1 m 1 Tällaista funktiota sanotaan (matriisin A määrittelemäksi) lineaarikuvaukseksi 4
Käänteiskuvaus Alkuperäistä yhtälöryhmää vastaus kysymykseen 1 1 1 40 340 60 10 60 20 x 1 x 2 x 3 = 100 8000 2000 ratkaistaessa halutaan Mikä on x = x 1 x 2 x 3, jos Ax = 100 8000 2000? Yleisemmin voidaan kysyä neliömatriisin A määrittelemään lineaarikuvaukseen liittyen: Mikä on x = x 1 x 2 x 3, jos Ax = y 1 y 2 y 3 = y? Jos vastaus on olemassa, se saadaan lineaarikuvauksen käänteisfunktiolla eli käänteiskuvauksella, jonka määrittää käänteismatriisi A 1 : R 3 R 3, x = A 1 y 5
Käänteiskuvaus Esim. Mikä on x, jos 1 2 1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 = 4 3? 1 x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 x 1 x 2 + x 3 = 3 x 2 = 3 x 1 + x 3 = 10 liian vähän yhtälöitä, ääretön määrä ratkaisuja 3 Esim. Mikä on x, jos 1 1 2 1 0 2 x 1 x 2 = 1 1 2? x 1 + x 2 = 1 2x 1 x 2 = 1 2x 2 = 2 x 1 = 0 x 1 = 1 liikaa yhtälöitä, ei ratkaisua x 2 = 1 Käänteiskuvausta on mielekästä tarkastella vain neliömatriisien tapauksessa 6
Käänteiskuvauksen graafinen tulkinta A:n rivit lin. riippumattomat Jos A R 2 2, yhtälöryhmän Ax = y ratkaisu x = A 1 y on kahden suoran leikkauspisteessä Leikkauspisteitä eli ratkaisuja x on Yksi, jos suorat ovat erisuuntaiset, esim. A = 1 2 1 1, y = 2 1 : x 1 + 2x 2 = 2 x 1 + x 2 = 1 x 2 = 1 0.5x 1 x 2 = 1 + x 1 x 1 = 0 x 2 = 1 A:n rivit lin. riippuvat A:n rivit lin. riippuvat Ääretön määrä, jos suorat ovat samat, esim. A = 1 2 1 2, y = 2 2 : x 1 + 2x 2 = 2 x 1 2x 2 = 2 x 2 = 1 0.5x 1 x 2 = 1 0.5x 1 Ei yhtään, jos suorat ovat samansuuntaiset mutteivät samat, esim. A = 1 2 1 2, y = 2 2 : x 1 + 2x 2 = 2 x 1 2x 2 = 2 x 2 = 1 0.5x 1 x 2 = 1 0.5x 1 7
Käänteiskuvauksen olemassaolo Luennoilta 4 ja 5 muistamme, ettei käänteismatriisin A 1 määrittämää funktiota (tai mitään muutakaan funktiota) ole olemassa, ellei se kuvaa lähtöjoukkonsa vektoria y yksikäsitteisesti arvojoukkonsa vektoriksi x = A 1 y Edellä nähtiin, että kun A R 2 2, yhtälöryhmän Ax = y ratkaisu x = A 1 y on yksikäsitteinen jos ja vain jos matriisin A rivit ovat lineaarisesti riippumattomat Käänteismatriisi A 1 R 2 2 on olemassa jos ja vain jos matriisin A R 2 2 rivit ovat lineaarisesti riipumattomat Tämä pätee myös yleisemmin: Käänteismatriisi A 1 R n n on olemassa jos ja vain jos matriisin A R n n rivit ovat lineaarisesti riippumattomat 8
Matriisin aste Matriisin A R m n aste rank(a) on matriisin lineaarisesti riippumattomien rivien / sarakkeiden lukumäärä Esim. A = 1 2 3 4 5 6 Rm n Rivivektorit [1,2,3] ja [4,5,6] ovat keskenään lineaarisesti riippumattomat, sillä ei ole olemassa vakiota a siten, että a [1,2,3]= [4,5,6] Sarakevektoreista aina kaksi on keskenään lineaarisesti riippumattomia, mutta kolme ei; esim. 1 1 4 + 2 2 5 = 3 6 Matriisin aste rank A = 2 Esim. B = 1 2 3 2 4 6 Rm n Rivivektorit riippuvat lineaarisesti toisistaan, sillä 2 [1,2,3]= [2,4,6] Kukin sarakevektori riippuu lineaarisesti kummastakin muusta sarakevektorista, sillä: 2 2 4 = 2 3 3 6 Matriisin aste rank B = 1 1 2 = 9
Matriisin aste Kaikille matriiseille A R m n pätee: rank(a) min{n, m} (lineaarisesti riippumattomia rivejä / sarakkeita ei voi olla enempää kuin rivejä / sarakkeita) Jos rank A = min{m, n}, matriisia sanotaan täysiasteiseksi Esim. A = 1 2 3 4 5 6 Rm n : rank A = 2 = min{2,3} A on täysiasteinen Esim. A = 1 2 3 2 4 6 Rm n : rank A = 1 < min{2,3} A ei ole täysiasteinen Erityisesti täysiasteisen neliömatriisin A R n n aste on n Neliömatriisi A on täysiasteinen Neliömatriisin A rivit ja sarakkeet ovat lin.riippumattomat Tällöin kalvon 8 laatikko voidaan kirjoittaa myös muotoon Käänteismatriisi A 1 R n n on olemassa jos ja vain jos matriisi A R n n on täysiasteinen Laitoksen nimi 10
Presemo-kysymys Määritä matriisin A = 1 2 2 4 3 6 aste. 1. rank A = 1 2. rank A = 2 3. rank A = 3 11
Determinantti Neliömatriisin A täysiasteisuus voidaan helposti todeta A:n determinantin avulla, jota merkitään det A, det A tai A Determinantti on eräänlainen matriisin skaalausvakio 1 1-matriisin (eli vakion) a determinantti on a 2 2-matriisin A = a b c d determinantti a b c d Esim. Määritä det(a), kun A = 4 5 3 7 = ad bc det A = 4 5 3 7 = 4 7 5 3 = 43 12
Determinantin geometrinen tulkinta Kuvalähde: https://en.wikipedia.org/wiki/determinant 2 2-matriisin A = a b c d determinantin itseisarvo det A = ad bc on A:n rivitai sarakevektoreiden määräämän suunnikkaan pinta-ala Esim. 4 5 3 7 = 43 Esim. 1 2 2 4 = 0 Huom! Rivivektorit (ja sarakevektorit) riippuvat lineaarisesti toisistaan. 1. rivi = [ 1,2] Pintaala = 43 1. rivi = [4,5] 2. rivi = [3, 7] Summa = [7, 2] Summa = [1, 2] 2. rivi = [2, 4] 13
Determinantti 3 3-matriisin A = a d g b e h c f i determinantti on a e h f i b d g f i + c d e g h = a ei fh b di fg + c dh eg = aei + bfg + cdh ceg bdi afh 3 3-matriisin determinantin itseisarvo det A on A:n rivivektoreiden r 1 = a, b, c, r 2 = d, e, f, r 3 = [g, h, i] (tai sarakevektoreiden) määräämän suuntaissärmiön tilavuus Mitä tilavuudelle tapahtuu, jos rivivektorit ovat kaikki samassa 2- ulotteisessa tasossa, eli keskenään lineaarisesti riippuvia? 14
Determinantti Edellisten perusteella Matriisin A determinantti det A 0 jos ja vain jos A:n rivit ovat lineaarisesti riippumattomat mikä oli yhtäpitävää matriisin täysiasteisuuden kanssa sekä käänteismatriisin A 1 olemassaolon kanssa 15
Determinantti, täysiasteisuus ja käänteismatriisin olemassaolo Neliömatriisi A on täysiasteinen det A 0 Käänteismatriisi A 1 on olemassa Matriisin A täysiasteisuus ja täten käänteismatriisin A 1 olemassaolo voidaan helposti tarkistaa determinantin det A avulla! 16
Determinantin laskeminen Determinantin laskeminen käsin 2 2-tyyppiä korkeamman tyypin matriiseille on työlästä Esim. Määritä det(a), kun A = 2 4 7 1 5 8 3 6 9 Excel: MDETERM() http://www.wolframalpha.com: Syntaksi: det({{2,1,3},{4,5,6},{7,8,9}}) 17
Determinantin ominaisuuksia Determinantilla on monia laskutoimituksia helpottavia ominaisuuksia: 1. Jos matriisin A jonkin rivin tai sarakkeen kaikki alkiot ovat nollia, niin det A = 0; esim. A = 1 2 0 0 det A = 1 0 2 0 = 0 1. rivi = [ 1,2] Summa = [ 1,2] 2. rivi = [0,0] 2. Jos matriisi B saadaan kertomalla matriisin A jonkin rivin tai sarakkeen kaikki alkiot vakiolla c, niin det B = c det A; esim. A = 4 5 3 7 B = 8 10 3 7 det A = 28 15 = 43 det B = 56 30 = 86 1. rivi = [4,5] 1. rivi = 2 4,5 = [8,10] Pintaala = 43 Summa = [11,3] 3. Jos matriisin kaksi riviä (tai saraketta) vaihdetaan keskenään, niin determinantin merkki muuttuu, esim. A = 4 5 3 7 B = 3 7 4 5 det A = 28 15 = 43 det B = 15 + 28 = 43 Pintaala = 43 2. rivi = [3, 7] Summa = [7, 2] 18
Determinantin ominaisuuksia 4. Jos matriisissa A on kaksi (tai usempi) samaa riviä, niin det A = 0 (syy: nämä rivit riippuvat toisistaan lineaarisesti) 5. Jos matriisin k. rivi (sarake) kerrotaan vakiolla ja lisätään i. riviin (sarakkeeseen), determinantin arvo ei muutu, esim. 6. det AB = det A det B, esim. A = 2 4 A = 4 5 3 7 det A = 28 15 = 43 B = 10 9 3 7 det B = 70 + 27 = 43 det A = 6 + 16 = 10 4 3 B = 2 1 det B = 2 + 3 = 5 3 1 AB = 8 6 det AB = 56 6 = 50 1 7 7. det A T = det A, esim. A = 2 4 det A = 6 + 16 = 10 4 3 A T = 2 4 4 3 det AT = 6 + 16 = 10 19
Presemo-kysymys Laske matriisin A = 3 2 9 3 determinantti 2 1. 15 2 2. 0 3. 27 2 Laitoksen nimi 20
Käänteismatriisi Matriisin A käänteismatriisi A 1 määritellään siten, että AA 1 = A 1 A = I Matriisia, jolla on olemassa käänteismatriisi, sanotaan kääntyväksi, säännölliseksi tai epäsingulaariseksi Matriisia, jolla ei ole olemassa käänteismatriisia, sanotaan singulaariseksi 21
Käänteismatriisin laskeminen 2 2- matriiseille 2 2-matriisin A = a b c d käänteismatriisi on A 1 = 1 det A d b c a = 1 ad bc d c b a Esim. A = 1 2 3 4 A 1 = 1 1 4 2 3 2 1 4 2 3 1 = 3 1 2 2 Tulos voidaan tarkistaa laskemalla tulot AA 1 ja A 1 A: AA 1 = 1 2 3 4 2 1 3 1 2 2 = 2 + 3 1 1 6 + 6 3 2 = 1 0 0 1 = I A 1 A = 2 1 3 1 2 2 2 + 3 4 + 4 1 2 3 4 = 3 2 3 3 2 = 1 0 0 1 = I 2 22
Käänteismatriisin laskeminen yleisessä tapauksessa Käänteismatriisi lasketaan yleisesti kaavalla A 1 = 1 det A adj(a) missä adj(a) on A:n liittomatriisi (ei käsitellä) Isojen käänteismatriisien laskeminen käsin on kuitenkin työlästä Excel (kömpelöhkö): Maalaa em. solusta lähtien käänteismatriisin kokoinen alue Kirjoita alueen vas. yläkulman soluun =MINVERSE(range) Paina yhtäaikaa Shift+Ctrl+Enter www.wolframalpha.com (hidas): Syntaksi: inverse{{1,0,2}, {2,3,1},{4,2,3}} Matlab (täydellinen): Syntaksi matriisin luomiseen: A=[1 0 2; 2 3 1; 4 2 3] Syntaksi käänteismatriisin laskemiseen: inv(a) Laitoksen nimi 23
Käänteismatriisi vs. käänteisluku Reaaliluvun a R käänteisluku 1 a erikoistapaus R on käänteismatriisin 1-ulotteinen Käänteismatriisin ominaisuus AA 1 = A 1 A = I vastaa käänteisluvun ominaisuutta a 1 a = 1 a a = 1 Singulaarisen matriisin A R n n (det A = 0) kääntäminen vastaa nollalla jakamista: 1 a = 0, =?!?!? a det A = 0, A 1 = 1 adj(a) =?!?!? det A 24
Käänteismatriisi laskusäännöt Jos A ja B ovat säännöllisiä neliömatriiseja ja k on vakio, niin 1. (A 1 ) 1 = A 2. (AB) 1 = B 1 A 1 3. (ka) 1 = 1 k A 1 4. (A T ) 1 = (A 1 ) T 25
Ortogonaalinen matriisi Erikoistapaus: Jos A 1 = A T, matriisia A sanotaan ortogonaaliseksi, esim. A = 1 0 0 1 = AT A 1 1 = 1 1 0 0 1 0 0 1 = 1 0 0 1 = AT 2. rivi = 2. sarake = [0,1] 1. rivi = 1. sarake = [1,0] A = 1 1 1 2 1 1 = AT A 1 1 = 2 1 1 1 1 = 1 1 1 2 1 1 = AT 1 1 1 1 1. rivi = 1. sarake = [ 1 2, 12 ] Ortogonaalisen n n-matriisin rivi- ja sarakevektorit muodostavat R n :n ortonormaalisen kannan Rivivektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan Sarakevektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan Kunkin rivi- ja sarakevektorin pituus on 1 2. rivi = 2. sarake = [ 1 2, 1 2 ] Laitoksen nimi 26
Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisu käänteismatriisilla Pirjo valmistaa laskiaisriehaansa gin tonic -boolia. Kuinka paljon Pirjon tulee ostaa giniä ja tonicia, jotta 1. Boolia olisi 10 litraa ja 2. Alkoholin osuus olisi 10%? Giniä Tonicia Määrät (l) x 1 x 2 Alkoholin osuus (%/l) 50% 0% Ehdoista 1-2 saadaan yhtälöryhmä: 1. x 1 + x 2 = 10 2. 0.5x 1 + 0x 2 = 0.1 x 1 + x 2 0.4x 1 0.1x 2 = 0 Matriisimuodossa Ax = b: Matriisiyhtälön ratkaisu: A 1 = 1 1 1 = 1 0.4 0.1 0.5 1 1 0.4 0.1 x 1 x 2 = 10 0 x 1 x 2 = 1 0 0.4 0.1 0.1 1 0.4 1 = 0.2 2 0.8 2 1 10 0 Ax = b A 1 Ax = A 1 b Ix = A 1 b x = A 1 b x 1 x 2 = 0.2 2 0.8 2 10 0 = 2 8 27
Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisu käänteismatriisilla Kuinka paljon raaka-aineita A, B ja C on käytettävä, kun 1. Tehdään 100 kg:n erä 2. Entsyymiä E on oltava 8000 mg ja 3. Erä saa maksaa 2000? A B C Valmistettava määrä (kg) x 1 x 2 x 3 Entsyymin E määrä (mg/kg) 40 340 60 Hinta ( /kg) 10 60 20 Ehdoista 1-3 saatiin matriisiyhtälö Ax = b: 1 1 1 x 1 100 x 1 40 340 60 x 2 = 8000 x 2 = 10 60 20 x 3 2000 x 3 1 1 1 40 340 60 10 60 20 1 100 8000 2000 = 1.6 0.02 0.14 0.1 0.005 0.01 0.5 0.025 0.15 100 8000 2000 = 40 10 50 28
Presemo-kysymys Määritä käänteismatriisi A 1, kun A = 2 2 1 3 1. A 1 = 3 4 1 4 1 2 1 2 2. A 1 = 1 1 2 2 1 3 2 3. A 1 = 3 2 1 2 29
Yhteenveto Lineaarinen n:n yhtälön ja n:n muuttujan yhtälöryhmä voidaan esittää matriisimuodossa Ax = b, missä A R n n, x, b R n Yhtälöryhmä voidaan ratkaista käänteismatriisin A 1 avulla, jos sellainen on olemassa: x = A 1 y Käänteismatriisi A 1 on olemassa jos ja vain jos Matriisi A on täysiasteinen Matriisin A rivit ja sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomat Matriisin determinantti det A 0 a b Matriisin A = c d R2 2 Determinantti det A = ad bc Käänteismatriisi A 1 = 1 ad bc d c b a 30