ClassPad kahvila CAS laskin ja lukion pitkän matematiikan yo-tehtävät Pekka Vienonen Joona Kempas Ville Hakkarainen Matematiikan ainepedagoginen tutkimuspraktikum Itä-Suomen yliopisto kevät 2013
Esipuhe Tämän tutkimuksen innoittajana on ollut kiivaanakin käyty keskustelu symbolisten laskinten käytöstä matematiikan ylioppilastutkinnossa. Koska vastustajien joukossa on matematiikan opettajia, heräsi mielenkiinto tutkia, millä tavalla laskimia nykyään käytetään oppimisvälineinä. Symbolinen laskin on oiva apuväline matemaattisten ilmiöiden ja käsitteiden tutkimisessa. Tutkimuksen tavoitteena oli saada jonkunlainen käsitys siitä, mihin pitkän matematiikan lukiolainen käyttää laskinta tehtäviä ratkaistessaan. Tämä antanee viitteitä myös siitä, millä tavoin opettajat suosittavat laskinta käytettävän. Matemaattisen ongelman formulointi lausekkeiksi määrittelyjoukkoineen on edellytys monien tehtävien ratkaisemiseksi. Symbolinen laskin ei auta tässä tehtävän ratkaisun luovassa vaiheessa. Mekaaniset yhtälönratkaisut, derivoinnit ja muut rutiinitoimet laskin sen sijaan suorittaa. Jos laskimen käyttö jollain tapaa vääristää ylioppilaskirjoitusten tuloksia, herää kysymys, mitä osaamista tehtävillä nykyisellään mitataan. Tutkimus toteutettiin järjestämällä Joensuun normaalikoulun abiturienteille ohjattuja laskuharjoituksia. Istunnot kantoivat nimeä ClassPad kahvila. Sanana kahvilatoiminta kuvasi toteutustapaa, eli vapaata ja vuorovaikutteista ilmapiiriä. Kokoontumisia järjestettiin muutaman viikon ajan pari kolme kertaa viikossa. Yksittäinen kerta oli kestoltaan kolmesta neljään tuntia. Rento ilmapiiri tarjosi hyvät mahdollisuudet koota aineistoa asenteista laskimen käyttöön, tuntemuksia eri yo-tehtävätyypeistä, oppilaiden omaksumista tavoista lähestyä annettua tehtävää, ja mikä tärkeintä, miten laskinta käytettiin tehtäviä ratkottaessa. Kokemus vahvisti käsityksiä siitä, että teknologian tarjoamia hyötyjä ei opetuksessa aina haluta tunnistaa, vaan kehittyneitäkin laskimia suositellaan käytettävän vain numeeriseen vastauksen tarkistamiseen, jos siihenkään. Tällainen asenne on verrattavissa siihen, että esimerkiksi vieraankielen opetukseen tarkoitettua monipuolista oppikirjaa neuvottaisiin käytettävän tyyliin: Avatkaa takakansi ja käyttäkää kirjaa sanakirjana, älkää missään nimessä lukeko kirjaa muualta Yhtenä syynä vastahankaiseen laskinten hyötykäyttöön lienee luonnollisesti opettajien haluttomuus opetella uusien välineiden käyttömahdollisuuksia. Mutta silloin, omaamatta parempaa tietoa, on perusteetonta tuomita symbolista laskinta oppimista heikentävänä tuomiopäivän koneena. Erityiskiitokset professori Lenni Haapasalolle, Casion koulukoordinaattori Pepe Palovaaralle ja tutkimukseen osallistuneille Joensuun normaalikoulun lukion abiturienteille. ClassPad -kahvila - Esipuhe 1
Sisällys Esipuhe...1 Tiivistelmä...3 Tausta...4 Tavoitteet ja menetelmät...5 Ylioppilastehtävien luokittelu...5 Eri tehtävätyyppien synnyttämät ensivaikutelmat...6 Laskimen käyttö matematiikan opiskelussa...7 Laskin apuvälineenä tehtäviä ratkaistaessa...7 Tulokset...8 Ylioppilastehtävien luokittelu...8 Tehtävien aihealueet...8 CAS-laskin vastaan yo-tehtävät...8 Useampia aihealueita mittaavat tehtävät...9 Eri tehtävätyyppien synnyttämät ensivaikutelmat...9 Laskimen käyttö matematiikan opiskelussa...10 Laskin apuvälineenä tehtäviä ratkaistaessa...10 Johtopäätökset...11 Ylioppilastehtävien luokittelu...11 Eri tehtävätyyppien synnyttämät ensivaikutelmat...11 Laskimen käyttö matematiikan opiskelussa...12 Laskin apuvälineenä tehtäviä ratkaistaessa...13 Esimerkki 1. Laskin apuvälineenä ratkaisuproseduurissa...13 ClassPad -kahvila 2
Tausta ClassPad kahvila CAS -laskin ja lukion pitkän matematiikan yo-tehtävät Tiivistelmä Symbolisten, eli CAS -laskinten käyttöönotto matematiikan ylioppilaskokeessa on herättänyt mielipiteitä puolesta ja vastaan. Vastustajat ovat esittäneet väittämiä, että laskinten käyttö turmelee matematiikan taitojen kehittymistä, kun taas puolestapuhujat sanovat laskimien käytön tuovan lisäarvoa matematiikan opetukseen. Samassa yhteydessä on kyseenalaistettu nykymuotoisen ylioppilaskokeen soveltuvuus osaamisen mittarina, jos kerran laskimen käyttö johtaa parempaan pistemäärään. Tutkimuksessa analysoitiin pitkän matematiikan ylioppilastehtäviä tutkimalla, miten laajaa matematiikan osa-alueiden ymmärrystä tehtävän ratkaiseminen edellyttää. Lisäksi tutkittiin laskimen käytön opetuksen laatua ja oppilaille syntyneitä käsityksiä laskimesta matematiikan apuvälineenä. Kolmantena kartoitettiin opiskelijoiden ennakkotuntemuksia eri tehtävätyppien vaikeustasosta. Ensivaikutelmaltaan vaikeaksi mielletyistä tehtävistä etsittiin mahdollisia yhteisiä nimittäjiä. Tavoitteet ja menetelmät Tutkimuksen yhtenä tavoitteena oli selvittää nykymuotoisen ylioppilaskokeen soveltuvuus matematiikan osaamisen tason mittaukseen, kun käytössä on CAS -laskimet. Samalla kartoitettiin lukiolaisten kokemuksia laskimen käytöstä opetuksessa ja tehtävien ratkaisemisessa. Asenteiden ja omaksuttujen tapojen perusteella pyrittiin hahmottamaan, millainen rooli symbolisella laskimella on nykykoulussa ja vastaavatko oppilaiden asenteet matematiikan alalla toimijoiden keskuudessa käytävää väittelyä symbolisten laskimien hyödyistä ja haitoista nykyaikaisessa matematiikan opiskelussa. Ylioppilaskokeiden tehtävät luokiteltiin analysoimalla kukin tehtävä erikseen. Jokaisen tehtävän vaatimat osaamisalueet taulukoitiin ja tehtäville laskettiin laajuutta kuvaava luku. Lisäksi tilastoitiin erityyppisten tehtävien esiintymistiheys yksittäisissä kokeissa. Aineistona käytettiin pitkän matematiikan kevään ylioppilastehtäviä vuodesta 2000 vuoteen 2012. Laadullinen tutkimusosuus laskimen roolista kouluopetuksessa ja tehtävien ratkaisemisessa perustui oppilaiden kanssa käytyihin keskusteluihin ja toiminnan seurantaan. Tulokset Ylioppilaskirjoitusten tehtävät ovat muuttuneet viime vuosina monialaisemmiksi. Mekaanista laskentaa ilman opitun tiedon soveltamista on kuitenkin edelleen varsinkin alkupään tehtävissä paljon. CAS -laskinten käyttöönoton myötä tällaiset tehtävät eivät mittaa matemaattista osaamista lainkaan. Tutkimus osoitti, että kopioimalla annettu tehtävä sellaisenaan laskimeen ratkeaa pitkän matematiikan ylioppilaskokeessa keskimäärin 3.7 tehtävää, eli ilman osaamista, voi kirjoittaa jopa C:n pitkästä matematiikasta. Oppilaiden tapa käyttää laskinta tehtävän ratkaisemisen apuvälineenä muistutti perinteisen nelilaskimen käyttöä. Laskimella laskettiin lähinnä numeerisia laskutehtäviä. Vaikutelmaltaan vaikeaksi mielletyille tehtäville ei havaittu merkittävää yhteistä ominaisuutta. Johtopäätökset Laskimen rooli matematiikanopetuksessa on hyvin vähäinen. CAS -laskinten ominaisuuksia ei hyödynnetä opetuksessa. Oppilaille ei anneta ohjausta laskimen tehokkaaseen käyttöön. Tehtävät, jotka ratkeavat kopioimalla annettu tehtävä laskimeen eivät mittaa matemaattista taitoa. Sellaisia luovaa matematiikkaa ja johdonmukaista ongelman ratkaisua mittaavia tehtäviä, joissa CAS - laskimen käyttö ei korvaa tiedon puutetta, on olemassa. ClassPad -kahvila - Tiivistelmä 3
ClassPad kahvila CAS -laskin ja lukion pitkän matematiikan yo-tehtävät Tausta Symbolisten, niin sanottujen CAS (Computer Algebra System) -laskinten käyttö on sallittua matematiikan ylioppilaskokeessa. Tämä on herättänyt opetusalan ammattilaisten ja muiden matematiikan alalla toimijoiden keskuudessa kiivaitakin mielipiteitä puolesta ja vastaan. Käytävää mielipiteidenvaihtoa värittävät tunteenpurkaukset ja mutu -tuntumaan perustuva argumentointi. Vastustajat kokevat, että laskimien käyttöönotto tuhoaa viimeisetkin matematiikan taidon rippeet. Uuden teknologian sisäänajo koetaan konservatiivisessa koulumaailmassa arveluttavana ja haitallisena uudistuksena. Jotkut perustelevat laskimien käytön haitallisuutta jopa sillä, että CAS -laskimella on mahdollista ratkoa suurin osa matematiikan ylioppilastehtävistä ilman matemaattista osaamista. Riittää, kun osaa näppäillä annetun tehtävän laskimeen. Tällöin lienee aiheellista kysyä, onko näin? Lisäksi voidaan kysyä, ovatko sen tyyppiset tehtävät lainkaan järkeviä, joissa mitataan ainoastaan mekaanista rutiininomaista suoritusta ilman laajempaa käsitteiden hallintaa ja johdonmukaista, analyyttistä ongelmanratkaisutaitoa? Lisämaustetta tuo epätietoisuus siitä, mihin kaikkeen laskinta saa kokeessa käyttää? Tämä kuvastaa hyvin ylioppilastutkintolautakunnan tapaa käsitellä laskinaihetta. Jos on lupa käyttää laskinta, luulisi olevan luonnollista, että sitä saa käyttää kaikkeen, mihin siitä on apua. Entä, jos kynän tai viivaimen käyttö olisi jollain tapaa rajoitettu. Miten käyttörajoituksia valvotaan, ja miten laskimen käyttö vaikuttaa vastauksen pisteytykseen? Kevään 2013 ylioppilaskirjoituksia varten ylioppilastutkintolautakunta julkaisi lisäyksen aiempaan laskinohjeeseen. Oppilaiden harmiksi, tai strategisesti hämmennyksen minimoimiseksi, kyseinen tiedonanto julkaistiin vasta, kun abiturientit olivat jo ehtineet lopettaa koulun. Näin opettajillekaan et jäänyt aikaa tai velvoitetta ohjeistaa uudestaan oppilaita. Täsmennys julkaistiin seuraavan muotoisena: Laskin on kokeen apuväline, jonka rooli arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty symbolista laskinta, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä laskimella saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan laskimesta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi. (http://www.ylioppilastutkinto.fi/fi/index.html 14.2.2013) Aiheesta käydyissä keskusteluissa ei ole esitetty tutkimustuloksia, jotka osoittaisivat CAS - laskinten käytön heikentävän matematiikan oppimista. Toisaalta ei ole myöskään tietoa, millä tavoin laskimia kouluissa käytetään ja palveleeko nykyinen laskinopetus CAS - laskimen käyttötapoja matematiikan oppimisen välineenä ja tehtävien ratkaisun apuvälineenä. ClassPad -kahvila - Tausta 4
Tavoitteet ja menetelmät Ylioppilastehtävien luokittelu Tutkimuksen yhtenä tavoitteena oli luokitella pitkän matematiikan ylioppilaskokeen tehtävätyypit ja ottaa kantaa siihen, kuinka symbolisten laskinten käyttö vaikuttaa tehtävien soveltuvuuteen matematiikan osaamisen tason mittarina. Tutkimuksessa analysoitiin kaikki pitkän matematiikan kevään ylioppilastehtävät vuosilta 2000 2012. Yhteensä 195 tehtävästä selvitettiin, minkä matematiikan osa-alueiden osaamista kunkin tehtävän ratkaiseminen edellyttää. Tehtävän ratkaisemiseksi vaaditut osaamisalueet taulukoitiin ja tehtäville laskettiin monialaisuutta kuvaava luku. Osaamisalueet rajattiin osittain lukion kursseja mukaillen neljääntoista alueeseen: 1. Polynomit, funktion kulku, jatkuvuus, ääriarvot, derivaatta 2. Geometria 3. Mekaaninen (epä)yhtälön ratkaiseminen tai lausekkeen sievennys 4. Ongelma, lausekkeen muodostaminen ja ratkaiseminen 5. Integraali 6. Todennäköisyyslaskut ja jakaumat 7. Prosenttilaskut 8. Vektorit 9. Lukuteoria, logiikka 10. Raja-arvo 11. Differentiaaliyhtälöt (poistuivat yo-kokeesta 2005 jälkeen) 12. Logaritmi 13. Kompleksiluvut 14. Sarjat ja jonot Taulukko 1. Esimerkki kevään 2007 pitkän matematiikan koetehtävien luokittelusta. Taulukon 1. esimerkistä nähdään, että kevään 2007 ylioppilastehtävistä kaksi vaati useamman kuin yhden osa-alueen hallintaa. ClassPad -kahvila - Tavoitteet ja menetelmät 5
Tehtävien luokittelun lisäksi kustakin tehtävästä tutkittiin, ratkeaako tehtävä suoraan sellaisenaan laskimeen kopioituna. Tällaisia tehtäviä ovat tyypillisesti lausekkeiden sieventämiset ja yhtälöiden ratkaisemiset, sekä derivointi- ja integrointitehtävät. Tällä tavoin saatiin kvantitatiivista tutkimustietoa siitä, kuinka paljon pitkän matematiikan ylioppilaskokeessa on sellaisia tehtäviä, jotka ratkeavat suoraan laskimella ilman minkäänlaista matemaattista osaamista. Kuva 1. Esimerkki suoraan laskimeen kopioitavissa olevasta tehtävästä (kevät 2007). Kaikista 195 tehtävästä laadittiin yhteenveto ja laskettiin eri tehtävätyyppien keskimääräinen esiintymistiheys koetta kohden, sekä monialaisuutta mittaavien tehtävien esiintymismäärä. Aikasarja-analyysilla tutkittiin, onko ylioppilaskokeen tehtävätyypeissä tapahtunut oleellisesti muutosta ja pohdittiin niihin vaikuttavia syitä. Eri tehtävätyyppien synnyttämät ensivaikutelmat Oppilaskyselyllä selvitettiin minkä tyyppiset tehtävät koetaan ensivaikutelmaltaan vaikeiksi. Oppilaita pyydettiin tutustumaan tehtäviin ja tehtävistä poimittiin ne, joiden koettiin olevan vaikeita ja jotka oppilas todennäköisesti jättäisi tekemättä ylioppilaskokeessa. Tutkimuksessa selvitettiin, onko vaikeaksi koetuilla tehtävillä jotain yhteistä ominaispiirrettä. ClassPad -kahvila - Tavoitteet ja menetelmät 6
Laskimen käyttö matematiikan opiskelussa Tutkimuksen toisena tavoitteena oli selvittää, mistä laskinten käyttöön liittyvässä välillä kiivaanakin käytävässä keskustelussa pohjimmiltaan voisi olla kysymys. Tutkimuksessa kartoitettiin lukiolaisten kokemuksia laskimen käytöstä opetuksessa ja tehtävien ratkaisemisessa. Asenteiden ja omaksuttujen tapojen perusteella pyrittiin luomaan käsitys siitä, millainen rooli symbolisella laskimella on nykykoulussa ja heijastelevatko oppilaiden käsitykset alan toimijoiden välillä käytävää keskustelua symbolisten laskimien roolista nykyaikaisessa matematiikan opiskelussa ja osaamistasoa mittavissa tehtävissä. Laskin apuvälineenä tehtäviä ratkaistaessa Kahvilatoiminnan yhteydessä kartoitettiin laskimen käytön opetusta lukiossa ja oppilaille syntyneitä käsityksiä laskimesta apuvälineenä matematiikan tehtäviä ratkottaessa. Laadullinen tutkimusosuus laskimen käyttötavoista ja asenteista perustui kahvilatoiminnan ohessa käytyihin keskusteluihin, tehtyihin havaintoihin, tehtävän suoritustapojen aktiiviseen seurantaan ja oppilaille esitettyihin kysymyksiin. Tavoitteena oli muodostaa käsitys siitä, millä tavalla laskinta on totuttu käyttämään apuvälineenä tehtäviä ratkottaessa. Samalla oppilaille tarjoutui tilaisuus harjaannuttaa taitojaan käyttää laskinta rutiininomaisesti työkaluna tehtäviä ratkottaessa. ClassPad -kahvila - Tavoitteet ja menetelmät 7
Tulokset Ylioppilastehtävien luokittelu Tehtävien aihealueet Tilastollisesti eniten vuosina 2000-2012 esiintyi tehtäviä, jotka käsittelevät funktion kulkua, polynomeja, jatkuvuutta, derivaattaa ja ääriarvoja (4.3 tehtävää/koe). Seuraavaksi yleisimpiä olivat geometrian osaamista vaativat tehtävät (3.9 tehtävää/koe). Kolmanneksi eniten (2.2 tehtävää/koe) esiintyi mekaanista yhtälön ratkaisua tai lausekkeen sieventämistä sisältävät tehtävät. Tämän tyyppisiä tehtäviä oli tavanomaisesti kokeen alkupään kaksi ensimmäistä tehtävää. Taulukko 2. Tehtävätyyppien jakautuminen. Kuva 2. Tehtävätyyppien koekohtainen esiintymistiheys. CAS-laskin vastaan yo-tehtävät Tehtäviä, joiden ratkaisu saadaan suoraan laskimesta, kun kopioidaan tehtävänanto sellaisenaan, oli keskimäärin 3.7 tehtävää/koe, mikä tarkoittaa pisterajojen perusteella arvosanana lähes Cum laude -tasoa. Taulukko 3. Kevään pitkän matematiikan pisterajat vuosina 2009-2012. vuosi L E M C B A 2009 57 46 35 25 18 11 2010 58 45 32 23 16 11 2011 59 51 40 28 18 12 2012 59 50 39 29 20 13 Vuoden 2011 kevään pitkän matematiikan kokeesta olisi ratkennut 7 tehtävää suoraan laskimella, ja arvosanaksi olisi tulli 42 p = M. (http://www.ylioppilastutkinto.fi/fi/ylioppilastutkinto) ClassPad -kahvila - Tulokset 8
Useampia aihealueita mittaavat tehtävät Useamman kuin yhden osa-alueen hallintaa vaativia tehtäviä esiintyi keskimäärin 4.5 tehtävää/koe. Tutkimus osoitti, että monialaisuutta mittaavien tehtävien määrä ja laajuus on viime vuosina hieman kasvanut. Laskimella suoraan ratkaistavissa olevien tehtävien lukumäärä on myös kasvanut. Vuoden 2007 jälkeen kokeiden välillä oleva vaihtelu on pienentynyt. Kuva 3. Monialaisten tehtävien määrän kasvu vuosina 2000-2012 Eri tehtävätyyppien synnyttämät ensivaikutelmat Oppilaille suoritetun kyselytutkimuksen perusteella ensivaikutelmaltaan vaikeaksi koettuja tehtäviä esiintyi lähes kaikissa tehtävätyypeissä. Ainoat merkinnöittä jääneet osa-alueet olivat logaritmit ja raja-arvot. Eniten merkintöjä saivat geometriaan liittyvät tehtävät, mutta toisaalta ne ovat yksi yleisimmistä tehtävätyypeistä yo-kokeissa. Tehtävien monialaisuus ja (aivan ensimmäisiä tehtäviä ja jokereita lukuun ottamatta) tehtävän sijoittuminen kokeen alku- tai loppupäähän ei ole ainakaan merkitsevästi yhteydessä koettuun hankaluuteen. Kevään 2008 kokeessa monialaisia tehtäviä oli kaksi ja näistä tehtävän 13. kaikki kokivat vaikeaksi ja tehtävää 7. ei kukaan. Kevään 2009 kokeessa monialaisia tehtäviä oli viisi (jokereita ei otettu mukaan) ja näistä kolme, tehtävät 3., 7. ja 9., koki vaikeaksi lähes kaikki ja kahta, tehtävät 2. ja 10., ei yksikään. Kuva 4. Ensivaikutelmaltaan hankalia tehtäviä. ClassPad -kahvila - Tulokset 9
Samanlainen kysely tehtiin yhdeksälle abiturientille kevään 2013 preliminäärikokeesta. Ainoastaan tehtävät 1., 2., 3. ja 6. jäivät ilman ainoatakaan merkintää, ja tehtävän 9. koki haastavaksi vain yksi henkilö. Opiskelijat olivat kuitenkin vasta tehneet kyseisen kokeen, joten se oli heille tuttu eivätkä tulokset siten välttämättä kerro luotettavasti ensivaikutelmasta. Pienestä kohderyhmästä ja saatujen tulosten hajanaisuudesta johtuen ei voida yleistäen todeta, että joku tietty tehtävätyyppi tai matematiikan osa-alue miellettäisiin erityisesti vaikeammaksi kuin joku muu. Havaittavaa oli, että harvinaisempia tehtävätyyppejä esiintyi vaikeaksi miellettävien tehtävien joukossa useammin, kuin kokeessa keskimäärin. Laskimen käyttö matematiikan opiskelussa Tutkimuksen aikana havaittiin, ettei esimerkiksi laskimien käyttöjärjestelmiä oltu päivitetty, mistä johtuen niiden kuvaajan piirto-ominaisuudet olivat vajavaisia. Istuntojen aikana oppilaat löysivät laskimistaan myös uusia ominaisuuksia, joista olisi ollut hyötyä jo käydyillä kursseilla. Oppilaiden kanssa käytyjen keskustelujen valossa voidaan sanoa, ettei laskin ole osa arkipäivän matematiikan opetusta ja useassa yhteydessä koettiin, että osasyynä oppilaiden heikkoon laskintuntemukseen ovat opettajien puutteelliset taidot käyttää opetuksessa nykyaikaisia symbolisia laskimia. Laskin apuvälineenä tehtäviä ratkaistaessa Kahvilatoiminnan aikana oppilaiden tapaa käyttää laskinta tehtäviä ratkottaessa seurattiin ja todettiin, että laskimen rooli oli hyvin vähäinen. Oppilaiden tapa käyttää laskinta tehtävän ratkaisemisen apuvälineenä muistutti perinteisen nelilaskimen käyttöä. Laskimella laskettiin lähinnä numeerisia laskutehtäviä. Muutamat hyödynsivät kuvaajan piirtoominaisuutta, mikä on tuttua jo graafisista laskimista. CAS- eli symbolisen laskennan mukanaan tuomia ominaisuuksia ei juurikaan käytetty. Laskimen ominaisuuksista hyödyllisimpinä pidettyjä ja yleisimmin käytettyjä olivat oppilaskyselyn perusteella: Solve -toiminto, eli yhtälön ratkaisu Funktioiden graafinen tarkastelu Yhtälöryhmien ratkaiseminen ClassPad -kahvila - Tulokset 10
Ylioppilastehtävien luokittelu Johtopäätökset Symbolisten laskinten tuoma etu perinteisessä ylioppilaskokeessa osoittautui suuremmaksi, mitä yleisesti on kuviteltu. Esimerkkinä uskomuksista lainaus professori Juha Kinnusen haastattelusta (17.3.2012): / Jos haluaa kärjistää, kokeesta on ehkä mahdollista päästä läpi pelkällä laskimen käytöllä, mutta jos haluaa paremman arvosanan kuin A:n, se ei pelkällä laskimella tule, sanoo professori Juha Kinnunen, Ylioppilastutkintolautakunnan matematiikan jaoksen puheenjohtaja/ (http://suomenkuvalehti.fi/jutut/kotimaa/kaikki-laskimet-sallitaan-yo-kokeissa-tuliko-matematiikastahelppoa) Lausunnosta poiketen tutkimus kuitenkin osoitti, että vuosina 2009, 2010, 2011 ja 2012 arvosanoiksi pelkällä laskimella olisi tullut B, C, M ja C. Nykyisen tyyppisessä kokeessa on liian paljon tehtäviä, jotka eivät mittaa matematiikan taitoa lainkaan. Tällaisten tehtävien sisällyttäminen ylioppilaskokeeseen on perusteetonta ja täysin turhaa. Varmaa on, että matematiikan koetta tullaan uudistamaan, mutta aika näyttää, millaiseksi. Tämä tutkimus antaa hyvää pohjaa tuleville tutkimuksille, joissa käsitellään tehtävätyyppien muuttumista laskinuudistuksen myötä. Ylioppilastutkintolautakunnan ilmoituksen mukaan matematiikan kokeessa noudatetaan kolmen vuoden siirtymäaikaa, ennen kuin tehtäviä tullaan muuttamaan. Muutosta voidaan siis odottaa vuoden 2015 jälkeen. Toisaalta, koko ylioppilastutkintoa ollaan muuttamassa osittain sähköiseksi vuodesta 2016 alkaen, missä yhteydessä matematiikankin koe saanee osakseen merkittävän remontin. Eri tehtävätyyppien synnyttämät ensivaikutelmat Ainakaan tällä otoksella teetetyn kyselyn tulokset eivät vaikuta selittyvän yo-kokeiden tehtävätyyppien aihealueita tai monialaisuutta mittavalla jaottelulla, ja jatkotutkimuksena voisi toteuttaa joko samankaltaisen kyselytutkimuksen laajemmalla otoksella, tai kattavamman analyysin pienemmällä opiskelijamäärällä. Vietettyämme opiskelijoiden kanssa runsaasti aikaa laskemalla yo-kokeita kävi ilmi, että lähes kaikilla lukiomatematiikan osa-alueilla oppilaiden syvällinen konseptuaalinen tieto oli puutteellista. Nykyisenkaltaisia yo-tehtäviä ei toki voikaan useimmiten laskea kuin seuraamalla tiettyjä ohjesarjoja, mutta opiskelijat tuntuivat nojaavan tehtäviä tehdessään pikemminkin ulkomuistiin kuin loogiseen päättelykykyyn. ClassPad -kahvila - Johtopäätökset 11
Laskimen käyttö matematiikan opiskelussa Opettajilla on vastuu ja merkittävä rooli siinä, kuinka luontevana osana matematiikan opiskelua laskimen käyttöä pidetään. Teknologian mukanaan tuomat mahdollisuudet tulisi hyödyntää ja laskin tulisi ottaa jokapäiväiseen matematiikan opiskeluun apuvälineeksi. Laskimen käyttö vahvistaisi sellaisten yksinkertaisten peruskäsitteiden, kuin yhtälön ja lausekkeen erottamista toisistaan. Laskimen ratkaise (Solve) -toiminto vaatii syötteeksi luonnollisesti yhtälön, kun taas sievennä (Simplify) on tarkoitettu lausekkeille. Nyt oppilailla oli puutteita erottaa yhtälö ja lauseke käsitteinä toisistaan. Lukiossa aktiivinen symbolisen laskimen käyttö vahvistaisi matematiikan symbolikielen ymmärrystä. Syntaksivirheet pakottavat eksaktiin esitystapaan ja ohjaa oppilasta matematiikalle ominaiseen tarkkaan ja eksaktiin esitystapaan. Laskin ei anna anteeksi kirjoitusvirheitä, jotka monesti johtuvat käsitteentuntemuksen puutteista enemmän kuin huolimattomuudesta. Yksi esimerkki näennäisestä huolimattomuudesta on integraalin yhteydessä unohtaa lausekkeesta integroiva tekijä dx. Opettaja voi katsoa sen huolimattomuudesta johtuvaksi kirjoitusvirheeksi, mutta laskimella integroitaessa se pitää aina kirjoittaa ja samalla se iskostuu oppilaan muistiin. Valveutuneemmat oppilaat saattavat kysyä itseltään, miksi se dx on niin oleellinen, ja ottavat asiasta selvää. On myös arvosteltu, että nykyaikaisen laskimen korkea hinta olisi rajoittava tekijä laskinten käytön yleistymiseen. Kustannuksena uuden laskimen hinta on samaa suuruusluokkaa lukiolaiselle, kuin yhden jakson kurssikirjojen hinta (150-200 ). Siinä valossa tarkasteltuna kolmen vuoden investoinniksi kustannus ei tunnu suurelta. Lisäksi käytettyjäkin CAS -laskimia alkaa jo olla myytävänä internetissä noin puoleen hintaan vastaavasta uuden hinnasta. ClassPad -kahvila - Johtopäätökset 12
Laskin apuvälineenä tehtäviä ratkaistaessa Symbolisen laskimen tuomat kiistattomat hyödyt monivaiheisten tehtävien ratkaisun löytämisessä jäävät käyttämättä liian usein. Johdonmukaisessa tehtävän ratkaisuproseduurissa laskimen käytön tulisi olla luonnollinen osa työskentelyä. Yhtälöiden graafinen tarkastelu, geometriset tehtävät, funktioiden ääriarvojen tarkastelu, integrointi ja derivointi, rekursiiviset jonot, tilastolliset jakaumat, tiheys- ja kertymäfunktiot, raja-arvot ja monet muut tehtävän ratkaisuun liittyvät oleelliset käsitteet ratkaisemisen eri välivaiheissa tulisi voida omaksua rutiininomaisiksi laskintoimenpiteiksi, jolloin oppilaan työksi jäisi varsinainen päättely ja ratkaisuun johtavan juonen käsikirjoittaminen. Esimerkki 1. Laskin apuvälineenä ratkaisuproseduurissa Tässä esimerkissä käydään vaiheittain tyypillisen monialaisen tehtävät ratkaisun eri vaiheet ja havainnollistetaan laskimen käyttöä työkaluna ja apuvälineenä. Ratkaisu: Vaihe 1: Hahmottele tilanteesta kuva Kuva 5. Pitkä matematiikka kevät 2009 Kuva 6. Laskimella hahmoteltu tilanne annetusta tehtävästä. Casion ClassPad 330 Plus -laskimella voi nopeasti konstruoida annetun tehtävän tilanteen, ja jopa animoida tangenttisuoran kulkua, kun x saa arvot nollasta yhteen. Sivuhuomautus: Pinta-alalle saa automaattisesti päivittyvän arvon näkyviin suoraan kuviosta. ClassPad -kahvila - Johtopäätökset 13
Vaihe 2: Määritä pinta-alan maksimia vastaava x 0 Pinta-alan lausekkeen määrittämiseksi tarvitaan kolmion kanta ja korkeus. Lasketaan algebraikkunassa pisteeseen x 0 piirretyn tangenttisuoran yhtälö, jonka jälkeen määritetään tangenttisuoran ja suorien y=0 ja x=1 leikkauspisteet. Sen jälkeen on enää laskettava kolmion pinta-ala, ja etsittävä sen maksimiarvo. Viereisessä kuvassa on havainnollistettu, kuinka laskimella saadaan tangenttisuoran yhtälö, leikkauspisteet, kolmion pinta--alan lauseke, ja viimeisenä maksimiarvoa vastaava x 0. Vastaukseksi saadaan x 0 =2/3. Kuva 7. Tehtävän ratkaiseminen laskimella. Laskin toimi tehtävän ratkaisussa apuvälineenä, mutta ratkaisun juonen käsikirjoitus on oppilaan tuotettava. Tylsät rutiinit, jotka aiemmin ratkaistiin taulukkokirjasta löytyviin kaavoihin sijoittamalla, tehtiin nyt laskimella. Tangenttisuoran määrityksen olisi voinut tehdä taulukkokirjasta löytyvällä pisteeseen (x 0,y 0 ) piirretyn suoran yhtälöllä: (y-y 0 ) = f (x 0 ) (x-x 0 ). Pisteytyksestä: Täyteen pistemäärään oikeuttavassa vastauksessa tulee perustella, miksi derivaatan nollakohdassa on maksimi, vaikkapa kulkukaavion, graafisen tarkastelun, tai toisen derivaatan avulla. Viereisessä kuvassa laskimen tuottama kulkukaavio ja graafinen tarkastelu, jossa näkyy paikallinen maksimiarvo. Tehtävänannosta tosin pystyi suoraan päättelemään, että maksimi on olemassa välillä ]0,1]. Kuva 8. Laskimella tuotettu kulkukaavio ja pinta-alan kuvaaja. ClassPad -kahvila - Johtopäätökset 14
Lähteet kirjallisuus: Haapasalo, L. 2011. Oppiminen, tieto ja ongelmanratkaisu. Joensuu. Medusa. internet: http://www.ylioppilastutkinto.fi/fi/index.html (luettu 14.2.2013) http://www.maol.fi/fileadmin/users/dimensio/2011/dm1106_demo.pdf (luettu 15.3.2013) http://www.luma.fi/artikkelit/918 (luettu 15.3.2013) http://suomenkuvalehti.fi/jutut/kotimaa/kaikki-laskimet-sallitaan-yo-kokeissa-tulikomatematiikasta-helppoa (luettu 16.3.2013)
LIITE 1 - LUOKITTELUTAULUKKO