MATEMATIIKAN KOULUTUSOHJELMA

MATEMATIIKAN KOULUTUSOHJELMA MATEMATIIKAN KOULUTUSOHJELMA Matemaatikon linjat Vakuutusmatemaatikon linja Matematiikan opettajan linja Opintojen rakenne Matematiikka muissa koulutusohjelmissa Kurssien sisältö ja tavoitteet Matematiikan koulutusohjelma antaa yleiskuvan matematiikasta ja sen soveltamisesta sekä tarkemman kuvan eräistä matematiikan osa-alueista. Se antaa valmiuden matematiikan opettamiseen ja tieteelliseen työskentelyyn tällä alalla. Luonteenomaista matematiikalle on sen pitkälle viety käsitteellisyys ja päättelyn looginen täsmällisyys. Matematiikkaa pidetään yleisesti vaikeana aineena. Opinnot on kuitenkin suunniteltu siten, että ahkera, matematiikasta kiinnostunut opiskelija selviää niistä. Toisaalta opinnot tarjoavat aina kiintoisan ja vaativan haasteen sellaisille lahjakkaille opiskelijoille, jotka haluavat perehtyä tähän alaan syvällisesti ja suoriutua opinnoista erinomaisin arvosanoin. Ulkoa opettelu näyttelee vain hyvin pientä osaa. Tärkeintä on asioiden ymmärtäminen ja matemaattisen ajattelutavan, ongelmanratkaisumenetelmien ja todistustekniikan omaksuminen. Matematiikan koulutusohjelmassa on kuusi linjaa: analyysin (A), lukuteorian ja algebran (LA), tietoteknisen matematiikan (TM) ja matemaattisen mallintamisen (MM) linjat sekä vakuutusmatemaatikon linja ja matematiikan opettajan linja. Neljä ensin manitun linjan yhteisnimi on matemaatikon linjat. Nämä linjat, viimeistä lukuun ottamatta nämä poikkeavat toisistaan pääasiassa vasta syventävien opintojen kohdalla. Niinpä aineopinnot voidaankin haluttaessa valita siten, että ne kattavat lähes kaikki tärkeimmät aineopintojaksot samanaikaisesti kolmella ensiksi mainitulla alalla. Seuraavassa esitellään linjat. Analyysin linjan päämääränä on antaa vankat perustiedot etenkin sellaisilta matemaattisen analyysin aloilta, joilla on keskeinen merkitys luonnontieteissä. Tällaisia ovat esim. dynaamiset systeemit, differentiaali- ja integraaliyhtälöt ja todennäköisyyslaskenta. Samalla opiskelijan saama modernin analyysin perusteiden tuntemus on välttämätön suuntauduttaessa sellaisille laitoksessa edustettuina oleville erityisaloille kuin biomatematiikka, optimointi, mallintaminen ja funktionaalianalyysi. Myös opettajaksi aikovien täytyy hallita analyysin perustiedot. Suositeltavia sivuaineita tällä alalla ovat mm. fysiikka, kemia ja biologia. http://www.sci.utu.fi/tdk/oopas/00-01/matematiik/matematiikka.html (1 of 3)13.2.2006 15:26:36

MATEMATIIKAN KOULUTUSOHJELMA Lukuteoria ja algebra ovat aloja, joilla on pitkät perinteet Turun yliopistossa. Vaikka nämä alat ovat klassista matematiikkaa, niiden kehitys on jatkuvasti ollut hyvin voimakasta ja yllätyksellistäkin. Myös nykyaikainen tietotekniikka on vaikuttanut näihin aloihin tuomalla uusia tutkimusmenetelmiä ja herättämällä uudenlaisia kysymyksiä. Lukuteorian tutkimus matematiikan laitoksella suuntautuu toisaalta algebralliseen ja toisaalta analyyttiseen lukuteoriaan. Näiden lisäksi tällä alalla voi saada tutkielman aiheen ns. alkeellisesta lukuteoriasta tai esim. sellaisilta algebran aloilta kuin ryhmäteoria, Lien algebrat ja matriisilaskenta. Tietoteknisen matematiikan linjalla tutustutaan matemaattisiin teorioihin, joista useat ovat syntyneet tietotekniikan tarpeista. Tietoteknisessä matematiikassa korostuu konstruktiivisen matematiikan osuus ja tähän liittyvä algoritminen ajattelu. Tälle alalle tärkeitä ovat myös matematiikan perusteita esittelevät logiikan kurssit. Tietoteknisen matematiikan keskeisimmät alueet ovat automaattien teoria ja koodausteoria sekä kryptografia. Nämä ovat yhteydessä mm. algebraan, kombinatoriikkaan ja lukuteoriaan. Niinpä tietoteknisellä matematiikalla ja lukuteorialla ja algebralla on paljon yhteistä. Sivuaineeksi tällä alalla suositellaan elektroniikkaa ja tietotekniikkaa erityisesti niille, jotka aikovat tietoteknisen teollisuuden palvelukseen, sekä tietojenkäsittelyoppia. Matemaattisen mallintamisen linjalla opiskelija saa tiedot ja valmiudet käsitellä erilaisia vastaantulevia ongelmia matematiikan kielellä. Matemaattista mallintamista on käytetty aikoinaan ensimmäisenä erilaisiin fysiikan kysymyksiin. Nykyisin matematiikkaa sovelletaan monella tavalla tekniikassa, mutta myös muilla tieteenaloilla kuten biologiassa, taloustieteessä, tietojenkäsittelyssä ja vaikkapa fonetiikassa. Yritysmaailmassa matemaattiset mallit toimivat yleisesti myös päätöksenteon apuvälineenä. Usein jostain osittain tunnetusta ilmiöstä on käytettävissä sen tuottama mittava data-aineisto. Tutkimuksen päämäärä on tällöin ilmiön taustalla olevien mekanismien selvittäminen ja ymmärtäminen ja sen jälkeen mahdollisten päätelmien teko. Tähän päämäärään pääsemiseksi matemaattisen mallin muodostaminen on yleensä välttämätöntä. Tietokone on tärkeä apuväline, joten tietojenkäsittelyn opinnot ovat tarpeen tällä linjalla. Tilastotieteen tiedoilla on käyttöä itse mallin rakentamisessa ja tulosten analysoinnissa. Matemaattisen mallintamisen alalla sivuaineeksi voi valita myös jonkin kiinnostavan sovellusalueen. Vakuutusmatemaatikon linjasta. Vakuutusyhtiössä toimii lain edellyttämä vastuullinen vakuutusmatemaatikko ja hänen apunaan muita matemaatikkoja. Vastuullisen vakuutusmatemaatikon tärkein tehtävä on huolehtia siitä, että yhtiön vastuuvelka on mahdollisimman oikein arvioitu. Lisäksi vakuutusmatemaatikkojen on huolehdittava siitä, että yleensä vakuutusyhtiössä käytettävät matemaattiset laskentamenetelmät ovat oikeita. Matemaatikot osallistuvat myös muuhun yhtiössä tarvittavaan matemaattiseen työskentelyyn. Vastuullisen vakuutusmatemaatikon pätevyyden voi saada vasta, kun suorittaa Sosiaali- ja terveysministeriön hyväksymän vakuutusmatemaatikon tutkinnon (ns. SHV -tutkinnon) ja toimii matemaatikkona vakuutuslaitoksessa kahden vuoden ajan. http://www.sci.utu.fi/tdk/oopas/00-01/matematiik/matematiikka.html (2 of 3)13.2.2006 15:26:36

MATEMATIIKAN KOULUTUSOHJELMA Vakuutusmatemaatikon linjan tarkoituksena on sisällyttää FM -tutkintoon mahdollisimman paljon SHV -tutkintoon kuuluvaa aineistoa joko suoraan ministeriön hyväksyminä kursseina ja kuulusteluina tai sitten kursseina, joiden avulla ministeriön järjestämät kuulustelut on helpompi suorittaa. Vakuutusmatemaatikon täytyy tuntea tärkeimmät sovelletun matematiikan alueet, mutta erityisesti perehdytään todennäköisyyslaskentaan. Tällä linjalla tehtävä pro gradu - tutkielma voidaan aiheesta riippuen täydentää SHV -tutkinnossa vaadittavaksi tutkielmaksi. Sivuaineet on suunniteltu tukemaan mahdollisimman hyvin SHV -tutkintoa ja niihin hyväksytään myös ministeriön vaatimia kursseja, kuten esim. vakuutuslainsäädäntö ja kirjanpito. Tällaisenaan tutkintovaatimukset ovat lähinnä suuntaa antavia, koska kaikkea linjaan kuuluvaa opetusta ei anneta. Opiskelijan kannattaakin yhdistellä sopivasti matemaatikon linjan ja tämän linjan opintoja sen mukaan, mitä kursseja on saatavilla. Matematiikan opettajan linja on linjoista se, jossa on eniten opiskelijoita. Tällä linjalla opiskellaan matematiikasta samoja asioita kuin matemaatikon linjalla, mutta vähemmän. Toisaalta tällä linjalla opiskellaan runsaasti pedagogiikkaa. Linja antaa pätevyyden yläasteen ja lukion opettajan ja lehtorin tehtäviin. Nykyisin useimmissa opettajan ja lehtorin viroissa on kolme opetettavaa ainetta, yleensä matematiikka, fysiikka ja kemia. Tämä on otettu opettajan linjan suunnittelussa huomioon, mutta tilannetta vaikeutti vuonna 1999 voimaan tullut kelpoisuusasetus, jonka mukaan kolmannen opetettavan aineen kohdalla ei enää riitä 15 ov opintokokonaisuus. (Opettajien kelpoisuusvaatimuksista tarkemmin s. 20) Toisaalta kelpoisuusasetus antaa mahdollisuuden olla sitomatta virkoja opetettaviin aineisiin. Joka tapauksessa opetusministeriö on (30.3.2000 antamansa tiedotteen mukaan) kehottanut kuntia vähentämään virkoihin kuuluvien opetettavien aineiden määrän enintään kahteen. Matemaattisten aineiden opettajaksi valmistuvan on lisäksi hyvä huomata, että näiden aineiden opettajan tehtävänä usein on myös tietotekniikan opettaminen. TUCS Graduate School. Tutkijoiksi aikovat voivat valmistua matematiikka pääaineena myös jatkokoulutuskeskus TUCSista (Turku Centre for Computer Science). Ensisijaisesti TUCS tarjoaa kanavan jatko-opinnoille. Keskuksen päätavoite on kansainvälinen jatkokoulutus, mikä heijastuu opiskelijoiden valintaan. Yksityiskohdista, kuten sopivista opintojaksoista, saa tietoa keskuksen esitteestä sekä matemaattisten tieteiden laitokselta. TUCSista saa tietoa myös internetin kautta osoitteesta http://www.tucs.fi. Työn saanti. Käytännöllisesti katsoen kaikki viimeisten vuosien aikana koulutusohjelmasta valmistuneet ovat saaneet koulutustaan vastaavaa työtä. http://www.sci.utu.fi/tdk/oopas/00-01/matematiik/matematiikka.html (3 of 3)13.2.2006 15:26:36

Matemaatikon linjat MATEMAATIKON LINJAT, FM -tutkinto 1. PÄÄAINEEN OPINNOT MATEMAATIKON LINJALLA 1.1. PERUSOPINNOT (15 ov) MATE5019 Analyysi I 5 ov MATE5020 Analyysi II 5 ov MATE5216 Lineaarialgebra 5 ov 1.2. AINEOPINNOT (vähintään 32.5 ov) MATE5062 Ensimmäinen aine 2.5 ov MATE5073 Matematiikan historia 2.5 ov Lisäksi on suoritettava vähintään 11 seuraavista 17 opintojaksosta. Rastilla on merkitty ne linjat, joilla opintojakso on erittäin suositeltava syventävien opintojen ja/tai ammatillisen pätevyyden kannalta. A TM LA MM MATE5060 Algebran peruskurssi I x x x x 2.5 ov MATE5061 Algebran peruskurssi II x x x x 2.5 ov MATE5074 Algoritminen matematiikka x 2.5 ov SMAT5045 Differentiaaliyhtälöt x x 2.5 ov MATE5033 Funktioteoria x x x 2.5 ov MATE5059 Geometria 2.5 ov MATE5036 Integraalimuunnokset x x x 2.5 ov MATE5039 Kombinatoriikka x 2.5 ov MATE5114 Logiikka x 2.5 ov MATE5123 Lukuteoria x x 2.5 ov MATE5005 Metriset avaruudet x x x 2.5 ov SMAT5031 Numeerinen analyysi I x 2.5 ov SMAT5032 Numeerinen analyysi II x 2.5 ov SMAT5108 Matemaattinen optimointi I x x 2.5 ov SMAT5109 Matemaattinen optimointi II x x 2.5 ov SMAT5098 Todennäköisyyslaskenta I x x 2.5 ov MATE5021 Usean muuttujan funktiot x x x 2.5 ov http://www.sci.utu.fi/tdk/oopas/00-01/matematiik/matemaatikon.htm (1 of 4)13.2.2006 15:26:37

Matemaatikon linjat 1.3. SYVENTÄVÄT OPINNOT (vähintään 45 ov) MATE5064 Toinen aine 2.5 ov MATE5065 Kolmas aine 2.5 ov MATE5108/SMAT5127 Pro gradu -tutkielma 10 ov Toinen aine voidaan korvata LuK -tutkielmalla (2.5 ov). Lisäksi on suoritettava vähintään 30 ov muita syventäviä opintoja. Näistä vähintään 20 ov pitää valita keskenään samalta alalta. Seuraavassa luetellaan lukuvuoden 2000-2001 syventävät opintojaksot. Luettelo vaihtelee vuosittain. A TM LA MM MATE5055 Algebra x x 5 ov MATE5075 Combinatorics of Words x 5 ov MATE5254 Fourier'n sarjat x x 2,5 ov MATE5096 Logiikan jatkokurssi x 2,5 ov MATE5208 Lukuteorian jatkokurssi x x 2,5 ov SMAT5207 Mathematical Epidemiology of Infectious Diseases x 5 ov MATE5253 Mitta- ja integrointiteoria II x x 2,5 ov SMAT5037 Optimointialgoritmit x 2,5 ov SMAT5129 Riskiteoria x x 5 ov MATE5125 Ryhmäteoria x x x 5 ov SMAT5023 Stokastiset prosessit x x 2.5 ov SMAT5066 Todennäköisyyslaskenta II x x 2.5 ov MATE5034 Topics in Logic x 5 ov MATE5251 Topologia x x x 5 ov Lisäksi luennoidaan muutamia erikoiskursseja, joista ilmoitetaan myöhemmin. 2. Sivuaineiden opinnot matemaatikon linjalla Tavallisimmat sivuaineet ovat fysiikka, teoreettinen fysiikka, tietojenkäsittelyoppi, taloustiede ja tilastotiede. Tietojenkäsittelyoppi on ainoa pakollinen sivuaine. Ks. kuitenkin myös "Sivuaineet" opinto-oppaasta s. 8. Ks. lisäksi "Opintojen yleisrakenne" s. 7. http://www.sci.utu.fi/tdk/oopas/00-01/matematiik/matemaatikon.htm (2 of 4)13.2.2006 15:26:37

Matemaatikon linjat Kustakin sivuaineesta kerrotaan sen koulutusohjelman kohdalla, johon se kuuluu pääaineena. Kuitenkin tilastotieteen osalta ks. "Tilastotiede sivuaineena". Filosofiasta opintokokonaisuus suunnitellaan tarpeen mukaan. Seuraavassa esitetään vain tietojenkäsittelyopin ja taloustieteen vaatimukset. 2.1. TIETOJENKÄSITTELYOPPI (vähintään 14 ov) SMAT5046 Matemaattiset ohjelmistot 1 ov MATE5219 Matematiikan tietokonetyö I 1 ov TKO_5359 Tietokoneiden käytön alkeet 3 ov TKO_5442 Ohjelmoinnin perusteet 4 ov TKO_5565 Johdatus tietojenkäsittelytieteeseen I 2 ov TKO_5566 Johdatus tietojenkäsittelytieteeseen II 3 ov Ohjelmoinnin perusteet voi korvata opintojaksolla Ohjelmointi I (4 ov). Jälkimmäistä suositellaan vain niille, jotka suorittavat noin 35 ov tietojenkäsittelyopin opintoja. Muut opintojaksot valitaan tietojenkäsittelyopin sivuainekokonaisuuksista, katso TKO. Kuitenkin myös Matemaattisten ohjelmistojen jatkokurssi (1 ov) kelpaa. 2.2. TALOUSTIEDE A1 Taloustieteen perusteet -Mikroteoria 2.5 ov -Makroteoria 2.5 ov Liiketaloustieteiden peruskurssi 5 ov Liiketaloustieteiden jatkokurssi 10 ov Muita kursseja sopimuksen mukaan Liiketaloustieteiden peruskurssin ja jatkokurssin järjestää kauppakorkeakoulu. Näiden sijasta voi suorittaa vastaavat Åbo Akademin järjestämät opintojaksot. Kauppakorkeakoulun järjestämiin opintojaksoihin on erillinen haku syksyllä. Hakumenettelystä ilmoitetaan ilmoitustauluilla ja ylioppilaslehdessä syyskuun alkupuolella. 3. Muut opinnot matemaatikon linjoilla 3.1. KIELI- JA VIESTINTÄOPINNOT (2.5 ov) http://www.sci.utu.fi/tdk/oopas/00-01/matematiik/matemaatikon.htm (3 of 4)13.2.2006 15:26:37

Matemaatikon linjat Toinen kotimainen kieli 1 ov Vieras kieli 1.5 ov - suullista valinnan mukaan joko 0.5 tai 1.5 ov 3.2. VAPAASTI VALITTAVIA OPINTOJA Työharjoittelusta voidaan hyvittää 1 ov. Ks. myös "Tutkinnon joustavuudesta" opinto-opaasta s. 11. http://www.sci.utu.fi/tdk/oopas/00-01/matematiik/matemaatikon.htm (4 of 4)13.2.2006 15:26:37

OPINTOJAKSOJEN SISÄLTÖ MATE5055 Algebra (5 ov) Sisältö: Jatketaan algebran peruskurssilla aloitettua ryhmien ja kuntien käsittelyä. Kun peruskurssilla oli tyydyttävä teorian alkeisiin, nyt saadaan paljon kiintoisampia tuloksia. Esitetään mm. äärellisten kuntien peruslauseet, kuntien Galois'n teorian pääkohdat ja Abelin ryhmien rakennelauseita. Viimeksi mainittuja varten käsitellään moduleita, jotka samalla auttavat ymmärtämään paremmin lineaarialgebraa. Algebran kurssi muodostaa hyödyllisen, usein jopa välttämättömän pohjan monille eri alojen syventäville kursseille. Esitiedot: Algebran peruskurssi II. Suoritustapa: Luennot (56 h, Metsänkylä), demonstraatiot (28 h), välikokeet tai tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste; Cohn, P.M.: Algebra; Herstein, I.: Abstract Algebra; Jacobson, N.: Basic Algebra. Linja ja taso: LA, TM; syventävät opinnot. MATE5045 Algebra (TKO) (4 ov) Sisältö: Matriisiteoriaa, yhtälöryhmät, determinantit, vektoriavaruus, yleinen vektoriavaruus, tietokonegrafiikassa tarvittavaa lineaarialgebraa, lukuteorian peruskäsitteet, ryhmät, puoliryhmät, renkaat, kunnat. Esitiedot: Matematiikan peruskurssi II. Suoritustapa: Luennot (56 h, Lahtonen), demonstraatiot (28 h), välikokeet tai tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste; Burton, D.: Abstract and Linear Algebra; Cohn, P.M.: Algebra I. MATE5060 Algebran peruskurssi I (2,5 ov) Sisältö: Aluksi täydennetään lineaarialgebran tuntemusta käsittelemällä lineaaristen kuvausten teoriaa. Tämän jälkeen esitetään ryhmäteorian perusmääritelmät ja niitä koskevat tulokset. Esitiedot: Lineaarialgebra. Suoritustapa: Luennot (28 h, Neuvonen), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste; Ayres, F.: Theory and Problems of http://www.sci.utu.fi/tdk/oopas/00-01/matematiik/sisalto.html (1 of 17)13.2.2006 15:26:38

OPINTOJAKSOJEN SISÄLTÖ Modern Algebra; Herstein, I.: Abstract Algebra; Lipschutz, S.: Theory and Problems of Linear Algebra; Murdoch, D.C.: Linear Algebra. Linja ja taso: A, TM, LA, MM; aineopinnot. MATE5061 Algebran peruskurssi II (2,5 ov) Sisältö: Ryhmät, renkaat, kunnat. Esitiedot: Algebran peruskurssi I. Suoritustapa: Luennot (28 h, Neuvonen), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste; Ayres, F.: Theory and Problems of Modern Algebra; Herstein, I.: Abstract Algebra; Cohn, P.M.: Algebra, vol. 1. Linja ja taso: A, TM, LA, MM; aineopinnot. MATE5074 Algoritminen matematiikka (2,5 ov) Sisältö: Kehitetään algoritmista ajattelua. Tämä on tärkeää useiden syventävien luentokurssien seuraamiseksi - ovathan monet modernin matematiikan probleemat luonteeltaan algoritmisia. Sovelletaan algoritmista ajattelua etupäässä lukuteoreettisiin tehtäviin. Esimerkkinä voisi mainita Eukleideen algoritmin kompleksisuuden määräämisen. Esitiedot: Tärkeä monien syventävien kurssien, kuten kryptografian ja algoritmien kompleksisuusteorian ymmärtämiseksi. Suoritustapa: Luennot (28 h, Karhumäki), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: H.S. Wilf: Algorithms and Complexity, Prentice-Hall, 1986. Linja ja taso: TM; aineopinnot. MATE5019/MATE5015 Analyysi I (5 ov) Sisältö: Joukko, relaatio ja funktio, reaali- ja kompleksiluvut, alkeisfunktioista, lukujonon ja funktion raja-arvo, jatkuva funktio ja sen perusominaisuuksia, derivaatta ja derivoituvan funktion perusominaisuuksia, osittaisderivaatta, määräämätön integraali, yksinkertaisia integroimismenetelmiä. Suoritustapa: Luennot (56 h, Laakso (mat), Neuvonen (muut)), demonstraatiot (28 h + 10 h), välikokeet tai tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste; Clark, C.W.: Elementary Mathematical Analysis; Edwards, Jr., C.H., Penney, D.E.: Calculus and Analytic Geometry; Spiegel, M.: Advanced Calculus. http://www.sci.utu.fi/tdk/oopas/00-01/matematiik/sisalto.html (2 of 17)13.2.2006 15:26:38

OPINTOJAKSOJEN SISÄLTÖ Taso: Perusopinnot. MATE5020/MATE5018 Analyysi II (5 ov) Sisältö: Riemannin integraali ja sen sovelluksia, epäoleellinen integraali, sarjoista, tasainen suppeneminen, potenssisarjoista, alkeisfunktioiden Taylorin sarjakehitelmä ja sen sovelluksia, usean muuttujan funktioiden differentiaali- ja integraalilaskennan alkeita. Esitiedot: Analyysi I. Suoritustapa: Luennot (56 h, Laakso (mat), Koppinen (muut)), demonstraatiot (28 h), välikokeet tai tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste; Clark, C.W.: Elementary Mathematical Analysis; Edwards, Jr., C.H., Penney, D.E.: Calculus and Analytic Geometry; Spiegel, M.: Advanced Calculus. Taso: Perusopinnot. MATE5205 Analyysin täydennyskurssi (2 ov) Sisältö: Käsitellään matemaattisia rajamenetelmiä: lukujonon ja funktion raja-arvoja ja funktion jatkuvuutta. Esitiedot: Matematiikan peruskurssi II. Suoritustapa: Luennot (28 h, Koppinen), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. MATE5075 Combinatorics of Words (5 ov) (Sanojen kombinatoriikka) Contents: A word is a finite or infinite sequence of symbols (from a finite set). In this course we consider simple, as well as more advanced, combinatorial problems of words. For example, when two words commute, or how long words exist without containing a repetition of a certain type (like a square). Also some more algebraic properties of words are considered, results have applications in many fields of discrete mathematics and theoretical computer science. Preliminary knowledge: Basics on algorithms and combinatorics are needed, and on automata is useful. Performance: Lectures (56 h, Karhumäki), exercises (28 h), examination. Offered in spring term. Recommended literature: Lecture notes; M.Lothaire: Combinatorics on words, Addison- Wesley, 1983; C. Choffrut and J. Karhumäki: Combinatorics of words, in Handbook of Formal Languages, Springer (to appear). Field and level: TM; syventävät opinnot. http://www.sci.utu.fi/tdk/oopas/00-01/matematiik/sisalto.html (3 of 17)13.2.2006 15:26:38

OPINTOJAKSOJEN SISÄLTÖ SMAT5045 Differentiaaliyhtälöt (2,5 ov) Sisältö: Differentiaaliyhtälöt ovat hyvin tärkeä työväline monia eri alan probleemoja mallinnettaessa. Niitä käytetään kuvaamaan muun muassa biologian, fysiikan, lääketieteen ja taloustieteen ilmiöitä. Lisäksi differentiaaliyhtälöt muodostavat puhtaasti matemaattisesti mielenkiintoisen ja haastavan alueen. Kurssilla tutustutaan jonkin verran differentiaaliyhtälöiden teoriaan, mutta pääasiallisesti keskitytään ratkaisumenetelmiin ja kvalitatiiviseen analyysin. Viimeksi mainitun avulla systeemistä, jota kuvataan differentiaaliyhtälöillä, voidaan saada paljonkin hyödyllistä tietoa itse yhtälöitä ratkaisematta. Numeerisiin menetelmiin ei kurssilla perehdytä, joskin hyvin lyhyt johdatus esittelee, mistä on niissä kyse. Esitiedot: Analyysi II (alku). Suoritustapa: Luennot (28 h, Parviainen), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste. Linja ja taso: A, MM; aineopinnot. MATE5206 Diskreetti matematiikka (3 ov) Sisältö: Johdatus tietojenkäsittelyopin tarvitsemaan diskreettiin matematiikkaan. Tärkeimmät aihepiirit: joukot, numeroituvuus ja ylinumeroituvuus; relaatiot ja niiden algebra; osittaiset järjestykset, hilat ja kiintopisteet; induktio ja rekursio; Boolen algebrat, Boolen matriisit ja totuusfunktiot; graafiteoriaa. Esitiedot: Johdatus tietojenkäsittelyyn, Algebra (TKO) tai Lineaarialgebra. Suoritustapa: Luennot (30 h, ilm. myöh.), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste. MATE5062 Ensimmäinen aine (2,5 ov) Sisältö: Harjoitellaan ja kehitetään itsenäistä matemaattista työskentelyä ja omakohtaista kirjallista matemaattista ilmaisua. Työskentely tapahtuu kirjallisuuden pohjalta ja pyrkii siten totuttamaan alan kirjallisuuden käyttöön. Esitiedot: Matematiikan perusopinnot suoritettuna, 15 ov matematiikan aineopintoja kuunneltuna. Suoritustapa: Ohjauksen alainen omakohtainen matemaattinen kirjoitustyö ja mahdolliset tietokonetyöt. Opiskelijan hakiessa aineen aihetta määrätään opettaja, joka ohjaa aineen kirjoittamista ja tarkastaa sen. Ohjeet aineen aiheen hakemista varten ovat ilmoitustauluilla. Taso: Aineopinnot. http://www.sci.utu.fi/tdk/oopas/00-01/matematiik/sisalto.html (4 of 17)13.2.2006 15:26:38

OPINTOJAKSOJEN SISÄLTÖ MATE5254 Fourier'n sarjat (2,5 ov) Sisältö: Funktionaalianalyysi on kehittynyt klassisen analyysin menetelmien soveltamisesta uusiin rakenteisiin, varsinkin erilaisiin funktioavaruuksiin. Nimi johtuu "funktionaalien" eli (alkuaan funktioavaruuksien) skalaariarvoisten kuvausten ja niiden avulla esitettävän dualiteettiteorian merkittävästä tehtävästä. Opintojakso sisältää funktionaalianalyysin keskeisten rakenteiden kuten Banachin avaruuksien, Hilbertin avaruuksien, lokaalisti konveksien topologisten vektoriavaruuksien ja Banachin algebroiden perusteoriaa. Sovelluksina tarkastellaan mm. joitakin harmonisen analyysin ja distribuutioteorian kysymyksiä. Esitiedot: Metriset avaruudet tai vastaavat tiedot topologiasta. Suoritustapa: Luennot (56 h, Ylinen), demonstraatiot (28 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Linja ja taso: A, LA; syventävät opinnot. MATE5033 Funktioteoria (2,5 ov) Sisältö: Kompleksimuuttujan funktioiden teoriaa, erityisesti residymenetelmä integraalien laskemiseksi. Esitiedot: Usean muuttujan funktiot. Suoritustapa: Luennot (28 h, Soittola), demonstraatiot (14 h), välikokeet tai tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste. Linja ja taso: A, LA, MM; aineopinnot. MATE5059 Geometria (2,5 ov) Sisältö: Annetaan yleiskuva alkeisgeometriasta ja tason transformaatioista. Esitiedot: Lineaarialgebra ja algebran peruskurssi I erittäin suotavat. Suoritustapa: Luennot (28 h, Soittola), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste. Taso: Aineopinnot. MATE5247 Insinöörimatematiikka I (5 ov) Sisältö: Joukko, relaatio ja funktio. Lineaarialgebran alkeita. Kompleksiluvut. Reaalifunktion raja-arvo ja jatkuvuus. Derivaatta sovelluksineen. Taylorin polynomi. Integraali sovelluksineen. Tutustutaan läpäisyperiaatteella Maple-matematiikkaohjelman käyttöön. http://www.sci.utu.fi/tdk/oopas/00-01/matematiik/sisalto.html (5 of 17)13.2.2006 15:26:38

OPINTOJAKSOJEN SISÄLTÖ Suoritustapa: Luennot (56 h, Latikka), demonstraatiot (28 h), ohjatut laskuharjoitukset (28 h), välikokeet tai lopputentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luennot seuraavat pääosin kirjaa Adams R. A.: Calculus, a Complete Course. Lisäksi luennoilla jaetaan erillisiä lyhyehköjä monisteita. MATE5249 Insinöörimatematiikka II (5 ov) Sisältö: Differentiaaliyhtälöt. Laplace-muunnokset. Monen muuttujan funktioiden differentiaalija integraalilaskentaa. Vektorianalyysin alkeita. Lukujonot ja numeeriset sarjat. Funktiosarjat. Suoritustapa: Luennot (56 h, Latikka), demonstraatiot (28 h), ohjatut laskuharjoitukset (28 h), välikokeet tai lopputentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luennot seuraavat pääosin kirjaa Adams R. A.: Calculus, a Complete Course. Lisäksi luennoilla jaetaan lyhyehköjä monisteita. MATE5036 Integraalimuunnokset (2,5 ov) Sisältö: Integraalimuunnosten (Fourier- ja Laplace -muunnos) ja Fourier-sarjojen alkeita ja erilaisia sovelluksia. Esitiedot: Analyysi II, fuktioteorian ja differentiaaliyhtälöiden alkeet. Suoritustapa: Luennot (28 h, Soittola), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste; Niemi Antti: Fourier-analyysi ja Laplacemuunnos. Linja ja taso: A, LA, MM; aineopinnot. MATE5065 Kolmas aine (2,5 ov) Sisältö: Kuten Toisen aineen sisältö. Esitiedot: Aineen aihetta voi hakea saatuaan siihen Toisen aineen ohjaajalta luvan. Suoritustapa: Suoritetaan kuten Ensimmäinen aine. Taso: Syventävät opinnot. MATE5039 Kombinatoriikka (2,5 ov) Sisältö: Kombinatoriikka on hyvin monivivahteinen alue, jossa useat keskeiset probleemat ovat mielenkiintoisia ja helposti esitettäviä, mutta vaikeasti ratkaistavia. Kurssilla käsitellään mm. 1. perusmenetelmiä (kuten lokeroperiaate); 2. permutaatioita, kombinaatioita ja binomikertoimia; 3. kombinatorisia algoritmeja; 4. rekursioita ja rekursiivista optimointia; 5. http://www.sci.utu.fi/tdk/oopas/00-01/matematiik/sisalto.html (6 of 17)13.2.2006 15:26:38

OPINTOJAKSOJEN SISÄLTÖ generoivia funktioita. Näiden alojen perusteorian lisäksi esitetään useita erityisesti tiedon siirtoon ja käsittelyyn liittyviä sovelluksia. Esitiedot: Ensimmäisen lukuvuoden opintojaksot. Suoritustapa: Luennot (28 h, ilm. myöh.), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste. Linja ja taso: TM; aineopinnot. MATE5216/MATE5043 Lineaarialgebra (5 ov) Sisältö: Analyyttistä avaruusgeometriaa, determinantit ja matriisit, lineaariset yhtälöryhmät, vektoriavaruus, sisätulo, matriisin ominaisarvot. Suoritustapa: Luennot (56 h, ilm. myöh.), demonstraatiot (28 h + 10 h), välikokeet tai tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste; Murdoch, D.C.: Linear Algebra; Lipschutz, S.: Theory and Problems of Linear Algebra. Taso: Perusopinnot. MATE5096 Logiikan jatkokurssi (2,5 ov) Sisältö: Opintojakso täydentää ja syventää kurssia Logiikka erityisesti predikaattilogiikan osalta. Gödelin tärkeä ensimmäisen kertaluvun predikaattilogiikan täydellisyyslause todistetaan ns. luonnollisen deduktion järjestelmälle. Tarkastelemme myös eräitä täydellisyyslauseen malliteoreettisia seurauksia. Esitiedot: Logiikka. Suoritustapa: Luennot (28 h, Steinby), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste. Linja ja taso: TM; syventävät opinnot. MATE5114 Logiikka (2,5 ov) Sisältö: Opintojakso on johdatus klassilliseen matemaattiseen logiikkaan. Tarkastelemme propositiologiikan syntaksia ja semantiikkaa, Boolen algebroja, propositioiden normaalimuotoja ja sieventämistä, totuusfunktioita ja loogisia piirejä, sekä tautologisuuden toteamista. Predikaattilogiikassa keskitytään sen syntaksiin ja malliteorian peruskäsitteisiin sekä harjoitellaan matemaattisten käsitteiden formalisoimista ensimmäisen kertaluvun kielillä. Esitiedot: Algebran peruskurssi tai Algebra (TKO). Suoritustapa: Luennot (28 h, Steinby), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan http://www.sci.utu.fi/tdk/oopas/00-01/matematiik/sisalto.html (7 of 17)13.2.2006 15:26:38

OPINTOJAKSOJEN SISÄLTÖ kevätlukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste. Linja ja taso: TM; aineopinnot. MATE5228/SMAT5070 LuK -tutkielma (2,5 ov) Sisältö: Sisältö kuten Toisessa aineessa. Esitiedot: Sisältö kuten Toisessa aineessa. Suoritustapa: Ohjauksen alainen omakohtainen matemaattinen kirjoitustyö ja mahdolliset tietokonetyöt. Opiskelijan hakiessa LuK -tutkielman aihetta määrätään opettaja, joka ohjaa tutkielman kirjoittamista ja tarkastaa sen. LuK -tutkielmaan liittyy erillinen kirjallinen kypsyysnäyte. MATE5123 Lukuteoria (2,5 ov) Sisältö: Lukuteorian alkeita, mm. kokonaislukujen jaollisuus ja tekijöihinjako, kongruenssit, lineaariset Diofantoksen yhtälöt, primitiiviset juuret, indeksit, neliönjäännökset, lukuteoreettisista funktioista. Huomiota kiinnitetään myös lukuteorian sovelluksiin, jotka ovat viime aikoina merkittävästi lisääntyneet. Esitiedot: Algebran peruskurssi II. Suoritustapa: Luennot (28 h, Jutila), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste. Linja ja taso: LA, TM; aineopinnot. MATE5208 Lukuteorian jatkokurssi (2,5 ov) Sisältö: Valittuja kohtia hieman "korkeammasta" lukuteoriasta, esimerkiksi Dirichlet n karakterit, Gaussin summat, Diofantoksen approksimaatiot, ketjumurtoluvut, Diofantoksen yhtälöt. Esitiedot: Lukuteoria Suoritustapa: Luennot (28 h, Jutila), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste. Linja ja taso: LA, TM; syventävät opinnot. SMAT5108 Matemaattinen optimointi I (2,5 ov) Sisältö: Mallinnus, lineaarinen optimointi, verkostomallit. http://www.sci.utu.fi/tdk/oopas/00-01/matematiik/sisalto.html (8 of 17)13.2.2006 15:26:38

OPINTOJAKSOJEN SISÄLTÖ Esitiedot: Ensimmäisen vuoden matematiikan opinnot. Suoritustapa: Luennot (32 h, Leipälä), demonstraatiot (9 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Winston, W.L.:"Operations Research". Linja ja taso: A, MM; aineopinnot. SMAT5109 Matemaattinen optimointi II (2 ov + 0,5 ov) Sisältö: Kokonaislukuoptimointi, dynaaminen optimointi, monitavoiteoptimointi, heuristiset menetelmät, globaalinen optimointi, varastoteoria. Esitiedot: Operaatioanalyysi I tai Optimointi I. Suoritustapa: Luennot (28 h, Leipälä), demonstraatiot (7 h), tietokonetyö, tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Linja ja taso: A, MM; aineopinnot. SMAT5046 Matemaattiset ohjelmistot (1 ov) Sisältö: Tutustutaan Mathematica- ja Derive -ohjelmistoihin. Näillä ohjelmistoilla voidaan laskea symbolisesti ja numeerisesti, tuottaa matemaattista grafiikkaa ja ohjelmoida. Esitiedot: Ensimmäisen vuoden matematiikan opinnot. Suoritustapa: Ohjatut demonstraatiot mikroluokassa (14 h, Ruskeepää), harjoitustyöt. Luennoidaan syyslukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Ruskeepää: Mathematica-opas: versio 4. MATE5130 Matematiikan peruskurssi I (4 ov) Sisältö: Tavoitteena on perehtyä matematiikan perusmetodeihin ja tuloksiin. Kurssi kattaa seuraavat matematiikan osa-alueet: joukot ja funktiot; trigonometria; raja-arvo ja jatkuvuus; derivaatta ja sen sovelluksia; integraali ja sen sovelluksia. Suoritustapa: Luennot (52 h, ilm. myöh.), demonstraatiot (26 h), välikokeet tai tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste; Ayres, F.: Theory and Problems of Differential and Integral Calculus; Lipschutz, S.: Theory and Problems of Finite Mathematics. MATE5133 Matematiikan peruskurssi II (4 ov) http://www.sci.utu.fi/tdk/oopas/00-01/matematiik/sisalto.html (9 of 17)13.2.2006 15:26:38

OPINTOJAKSOJEN SISÄLTÖ Sisältö: Determinanteista ja matriiseista, vektorialgebraa, analyyttistä avaruusgeometriaa, tilastotiedettä ja todennäköisyyslaskentaa, sarjoista, usean muuttujan funktioista, differentiaaliyhtälöistä. Esitiedot: Matematiikan peruskurssi I. Suoritustapa: Luennot (56 h, Neuvonen), demonstraatiot (28 h), välikokeet tai tentti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste; Ayres, F.: Theory and Problems of Differential and Integral Calculus; Lipschutz, S.: Theory and Problems of Finite Mathematics. MATE5141 Matematiikan sivuaineopinnot (15 ov) Sisältö: Tavoitteena on matematiikan perusteiden tuntemus, edellytykset matematiikan kehityksen seuraamiseen, valmiudet jatkuvaan opiskeluun ja valmiudet itsenäiseen toimintaan opettajana. Opintojaksolla käsitellään seuraavia asioita: logiikkaa ja joukko-oppia, alkeisfunktiot, todennäköisyyslaskentaa, raja-arvo ja jatkuvuus, differentiaali- ja integraalilaskentaa, differentiaaliyhtälöitä, sarjoja, determinantteja ja matriiseja, vektorilaskentaa, analyyttistä avaruusgeometriaa, usean muuttujan funktioita, algebraa, mikrotietokoneita ja niiden valmisohjelmia (esim. tekstinkäsittely ja symbolinen laskenta). Suoritustapa: Luennot (152 h, Lindström), demonstraatiot (100 h, Lindström), välikokeet tai tentti. Luennoidaan syys - kevätlukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomonisteet. MATE5219 Matematiikan tietokonetyö I (1 ov) Sisältö: Syvennetään opintojaksolla Ohjelmoinnin alkeet tai Ohjelmoinnin peruskurssi opittuja asioita toteuttamalla ohjelmasysteemi matematiikan joltakin alalta. Aihe voi liittyä esimerkiksi alkuvuosien matematiikan opintojaksoihin, matematiikan opetukseen tai teollisuudesta tai liikeelämästä saatuun ongelmaan. Kurssi sopii matematiikan koulutusohjelmassa tietojenkäsittelyopin opintoihin. Esitiedot: Matematiikan perusopinnot, Ohjelmoinnin alkeet tai Ohjelmoinnin peruskurssi. Suoritustapa: Tietokonetyö ja siihen liittyvä työselostus. Työ suoritetaan ryhmässä tai yksin. Työn aihetta haettaessa nimetään opettaja, joka ohjaa työtä ja tarkastaa sen. MATE5220 Matematiikan tietokonetyö II (1 ov) Sisältö: Kuten Matematiikan tietokonetyö I. Esitiedot: 15 ov matematiikan aine- ja syventäviä opintoja, Matematiikan tietokonetyö I, Tietorakenteet ja algoritmit. Suoritustapa: Kuten Matematiikan tietokonetyö I. http://www.sci.utu.fi/tdk/oopas/00-01/matematiik/sisalto.html (10 of 17)13.2.2006 15:26:38

OPINTOJAKSOJEN SISÄLTÖ SMAT5207 Mathematical Epidemiology of Infectious Diseases (5 ov) Contents: This course presents the basic principles of modelling the spread of infectious diseases, as well as mathematical tools for analysing the resulting models. Special attention will be paid to threshold phenomena related to the outbreak of an epidemic, modelling of contacts between individuals, models including age structure (both age of individuals and age of infection), and spatial structure. It is hoped that the students will learn how to translate assumptions into mathematics, and how to draw conclusions when results from mathematical analysis is translated back into biology. The course is therefore recommended to everyone interested in mathematical modelling, not only to those interesting in mathematical epidemiology per se. Performance: Lectures (56 h, Gyllenberg), exercises (28 h), examination. Offered in the spring term. Recommended literature: Diekmann, Heesterbeek: Mathematical Epidemiology of Infectious Diseases. Model Building, Analysis and Interpretation, Wiley, 2000. Field and level: MM; syventävät opinnot. MATE5026 Metriset avaruudet (2,5 ov) Sisältö: Johdatus metristen avaruuksien topologiaan siten esitettynä, että soveltuvin osin käsitteet ja tulokset on helppo yleistää topologisiin avaruuksiin. Metristen avaruuksien erityispiirteet tulevat esiin mm. tasaisen jatkuvuuden, täydellisyyden ja kompaktiuden yhteydessä. Sovelluksissa esiintyy sisätuloavaruuksia ja muita normiavaruuksia. Esitiedot: Usean muuttujan funktiot. Suoritustapa: Luennot (28 h, Ylinen), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste. Linja ja taso: A, LA, MM; aineopinnot. MATE5253 Mitta- ja integrointiteoria II (2,5 ov) Sisältö: Opintojakso rakentuu kurssille mitta- ja integrointiteoria I ja soveltuu myös modernin analyysin perusteet nimisen kurssin suorittaneille. Käsiteltäviä aiheita: L p avaruudet, Radonin-Nikodymin lause ja sen soveltaminen mm. todennäköisyyslaskentaan, yhden muuttujan funktion derivoinnin yhteys Lebesguen integraaliin, intergrointi tuloavaruuksissa. Esitiedot: Mitta- ja integrointiteoria I tai Modernin analyysin perusteet. Suoritustapa: Luennot (28 h, Ylinen), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. http://www.sci.utu.fi/tdk/oopas/00-01/matematiik/sisalto.html (11 of 17)13.2.2006 15:26:38

OPINTOJAKSOJEN SISÄLTÖ Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste. Linja ja taso: A, MM; syventävät opinnot. SMAT5031 Numeerinen analyysi I (2 ov + 0,5 ov) Sisältö: Tavoitteena on numeerisen ratkaisun luonteen ymmärtäminen ja yksinkertaisimpien ratkaisualgoritmien johtaminen ja soveltaminen. Esitiedot: Analyysi II, Lineaarialgebra, Ohjelmoinnin peruskurssi tai Matemaattiset ohjelmistot. Suoritustapa: Luennot (26 h, Leipälä), demonstraatiot (6 h), tentti, tietokonetyö. Luennoidaan syyslukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Haataja, J., Käpyaho, J., Rahola, J.: Numeeriset menetelmät käytännössä. Linja ja taso: MM; aineopinnot. SMAT5032 Numeerinen analyysi II (2,5 ov) Sisältö: Approksimaatio, epälineaariset yhtälöt, tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaiseminen, ominaisarvojen ja -vektoreiden numeerinen ratkaiseminen. Esitiedot: Numeerinen analyysi I, Differentiaaliyhtälöt. Suoritustapa: Luennot (26 h, Leipälä), demonstraatiot (6 h), tentti, tietokonetyö. Ei luennoida lukuvuonna 2000-2001. Linja ja taso: MM; aineopinnot. SMAT5037 Optimointialgoritmit (2,5 ov) Sisältö: Tutustutaan erilaisiin optimointialgoritmeihin, joiden avulla optimointitehtävät voidaan ratkaista tietokoneen avulla. Itse algoritmien lisäksi käydään läpi niiden konvergenssi-, tehokkuus- ym. ominaisuuksia. Demonstraatioissa harjoitellaan ymmärtämään algoritmeja yksinkertaisten tehtävien avulla. Lisäksi jokainen joutuu ohjelmoimaan tietokoneelle yhden algoritmin. Esitiedot: Konveksi analyysi ja optimointi. Suoritustapa: Luennot (26 h, Leipälä), demonstraatiot (6 h), tietokonetyö, tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Linja ja taso: MM; syventävät opinnot. MATE5108/SMAT5127/MATE5207/SMAT5128 Pro gradu -tutkielma (10 tai 7.5 ov) Sisältö: Matematiikasta tehtävä pro gradu -tutkielma perustuu pääasiassa kirjallisuuteen. http://www.sci.utu.fi/tdk/oopas/00-01/matematiik/sisalto.html (12 of 17)13.2.2006 15:26:38

OPINTOJAKSOJEN SISÄLTÖ Sovelletusta matematiikasta tehtävä pro gradu -tutkielma voi liittyä esim. teollisuudesta tai liikeelämästä saatuun ongelmaan. Pro gradu -tutkielmassa opiskelija harjaannutetaan tekemään teoreettisia ja käytännöllisiä selvityksiä tieteellisen kirjallisuuden avulla sekä esittämään tulokset kirjallisessa muodossa. Lisäksi syvennetään opiskelijan tietoa tutkielmassa käsiteltävästä aiheesta ja luodaan pohja jatko-opintojen suorittamiseen. Matematiikan opettajan linjalla pro gradu -tutkielma on hieman suppeampi (7.5 ov) kuin muiden linjojen pro gradu -tutkielmat (10 ov). Vakuutusmatemaatikon linjalla pro gradu -tutkielma kirjoitetaan yleensä vakuutusyhtiön antamasta aiheesta. Esitiedot: Aihetta haettaessa on oltava Kolmannen (matematiikan opettajan linjalla Toisen) aineen ohjaajan lupa. Aihe haetaan tietyltä linjalta, jota tukevia syventäviä opintoja on oltava suoritettuna matemaatikon linjoilla vähintään 10 ov ja matematiikan opettajan linjalla vähintään 5 ov. Suoritustapa: Ohjauksen alainen omakohtainen työ, mahdolliset tietokonetyöt ja laaja matemaattinen kirjoitustyö. Opiskelijan hakiessa pro gradu -tutkielman aihetta määrätään opettaja, joka ohjaa tutkielman kirjoittamista. Vakuutusmatemaatikon linjalla työ voidaan tehdä osittain vakuutusyhtiössä toimivan vakuutusmatemaatikon ohjauksessa. Pro gradu -tutkielman tarkastaa ohjaajan lisäksi toinen opettaja ja sen hyväksymisestä päättää laitosneuvosto. Pro gradu -tutkielma voidaan laatia myös kahden tai useamman opiskelijan ryhmätyönä tai osana laajempaa tutkimusta edellyttäen, että kunkin opiskelijan itsenäinen osuus voidaan osoittaa ja arvioida. Pro gradu -tutkielmaan liittyy erillinen kirjallinen kypsyysnäyte. Tätä varten järjestetään yleensä noin kahden tunnin pituinen tilaisuus, jossa opiskelija laatii selostuksen annetusta tutkielman piiriin kuuluvasta aiheesta osoittaakseen hallitsevansa omaan ammattialaansa liittyvää suomen kieltä. SMAT5129 Riskiteoria (5 ov) Sisältö: Käsitellään vahinkovakuutukseen liittyvää vakuutusyhtiön riskiprosessia, johon kuuluvat maksutulot ja vahinkomeno. Opetetaan sosiaali- ja terveysministeriön hyväksymän vakuutusmatemaatikon (SHV) tutkintoon kuuluva riskiteorian oppimäärä. Tähän liittyvät mm. vakuutusmaksujen määrääminen, jälleenvakuutuksen problematiikka, yhtiön vakavaraisuuden tarkastelu sekä osittain myös tilastolliset ja numeeriset menetelmät. Lisäksi käsitellään jonkin verran riskiprosessia yleisen stokastisten prosessien teorian puitteissa. Esitiedot: Todennäköisyyslaskenta. Suoritustapa: Luennot (44 h, Sarvamaa), demonstraatiot (22 h), tentti. Opintojakso luennoidaan syyslukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Beard, Pentikäinen, Pesonen: Risk Theory. Linja: MM, A; syventävät opinnot. MATE5125 Ryhmäteoria (5 ov) http://www.sci.utu.fi/tdk/oopas/00-01/matematiik/sisalto.html (13 of 17)13.2.2006 15:26:38

OPINTOJAKSOJEN SISÄLTÖ Sisältö: Algebran peruskursilla käsiteltävää ryhmäteoriaa voidaan sanoa klassiseksi tai alkeelliseksi. Uuden näkökulman ryhmiin avaa niiden esitysteoria. Sen alkuperäisenä ideana on tutkia ryhmien homomorfisia kuvia, joiden alkiot ovat matriiseja. Keskeinen asema on ryhmäkaraktereilla, jotka ovat matriisien antamia numeerisia funktioita. Jos ryhmän karakteritaulu tunnetaan, siitä voidaan lukea kaikki ryhmän tärkeimmät ominaisuudet. Kurssilla käsitellään äärellisten ryhmien esitysteoriaa noudattaen allamainitun Serren kirjan I luvun mukaista konkreettista lähestymistapaa, joka sopii erityisesti teorian soveltajille. Kurssin loppuosassa käytetään moduliteoriaa, joka asettaa monet peruskäsitteet ja -tulokset luonnolliseen yhteyteensä. Vaikka kurssilla kerrataan perusasiat ryhmistä, algebran peruskurssi (I ja II) muodostaa käsittelyn luonnollisen lähtökohdan. Lisäksi esitietoina tarvitaan lineaarialgebraa. Myös algebran kurssilla esitetty moduliteoria on hyödyksi, mutta siihen voi tutustua vasta kurssin aikanakin. Esitiedot: Algebran peruskurssi II. Suoritustapa: Luennot (56 h, Metsänkylä), demonstraatiot (28 h), välikokeet tai tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste; Curtis - Reiner: Representation theory of finite groups and associative algebras; Serre, J.-P.: Linear representations of finite groups. Linja ja taso: TM, LA, MM; syventävät opinnot. MATE5241 Sovelluksia koulumatematiikkaan (2,5 ov) Sisältö: Kurssi on tarkoitettu opettajalinjalaisille ja se on vaihtoehtoinen toisen aineen kanssa. Kurssilla syvennetään ja täsmennetään tulevien opettajien näkemystä koulumatematiikassa vastaan tulevissa ongelmakohdissa. Samalla pohditaan mihin yliopisto-opintoja koulussa tarvitaan, miten motivoida koululaisia, mitä puutteita koululaisten matematiikan taidoissa on viime vuosina ilmennyt yms. Esitiedot: Mitä enemmän aineopintojen kursseja on suoritettuna sen parempi. Ensimmäisen aineen ei kuitenkaan tarvitse olla valmis ennen tälle kurssille osallistumista. Suoritustapa: Luennot (28 h, Neuvonen), demonstraatiot (14 h). Ei luennoida lukuvuonna 2000-2001. Taso: Syventävät opinnot. SMAT5023 Stokastiset prosessit (2,5 ov) Sisältö: Perehdytään mm. diskreetti- ja jatkuva-aikaisiin Markovin ketjuihin, satunnaiskulkuun, Poisson-prosessiin, syntymis-kuolemis prosessiin, jono-prosessiin, Wienerin prosessiin. Esitiedot: Todennäköisyyslaskenta II Suoritustapa: Luennot (28 h, Ruskeepää), demonstraatiot (14 h), tent-ti. Luennoidaan kevätlukukaudella http://www.sci.utu.fi/tdk/oopas/00-01/matematiik/sisalto.html (14 of 17)13.2.2006 15:26:38

OPINTOJAKSOJEN SISÄLTÖ Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Grimmett & Stirzaker: Probability and Random Processes; Kulkarni: Modeling and Analysis of Stochastic Systems. Linja ja taso: A, MM; syventävät opinnot. SMAT5003 Todennäköisyyslaskennan perusteet (2,5 ov) Sisältö: Tavoitteet: Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen perusteet. Sisältö: Todennäköisyys, ehdollinen todennäköisyys, kombinatoriikkaa, satunnaismuuttujat, odotusarvo, tärkeimmät jakautumat, keskeinen raja-arvolause, parametrien estimointi, hypoteesien testaus. Esitiedot: Analyysi II tai Analyysi B tai Matematiikan peruskurssi II. Suoritustapa: Luennot (28 h, Parviainen), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste; Tuominen, Norlamo: "Todennäköisyyslaskenta"; Grimmel & Welsh: Probability, an Introduction. SMAT5098 Todennäköisyyslaskenta I (2,5 ov) Sisältö: Perehdytään todennäköisyyteen ja diskreetteihin ja jatkuviin satunnaismuuttujiin. Tarkastellaan monia todennäköisyysmalleja. Esitiedot: AnalyysiI, Analyysi II. Suoritustapa: Luennot (28 h, Ruskeepää), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste; Grimmett & Welsh: Probability: An Introduction; Tuominen & Norlamo: Todennäköisyyslaskenta. Linja ja taso: A, MM; aineopinnot. SMAT5066 Todennäköisyyslaskenta II (2,5 ov) Sisältö: Perehdytään satunnaisvektoreihin: satunnaismuuttujien yhteisjakautumiin, riippumattomuuteen, korrelaatioon, muunnoksiin, raja-arvolauseisiin, ehdollisiin jakautumiin. Kurssin asiat sopivat esitiedoksi kurssille Stokastiset prosessit ja tilastotieteen kurssille Matemaattisen tilastotieteen alkeet. Esitiedot: Todennäköisyyslaskenta I. Suoritustapa: Luennot (28 h, Ruskeepää), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan kevätlukukauden alussa. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: G. Grimmett, D. Welsh: Probability, an Introduction. Linja ja taso: A, MM; syventävät opinnot. http://www.sci.utu.fi/tdk/oopas/00-01/matematiik/sisalto.html (15 of 17)13.2.2006 15:26:38

OPINTOJAKSOJEN SISÄLTÖ MATE5064 Toinen aine (2,5 ov) Sisältö: Kehitetään itsenäistä matemaattista työskentelyä ja omakohtaista kirjallista matemaattista ilmaisua. Mahdollisesti on ratkaistava itsenäisesti jokin annettu matemaattinen tai käytännön ongelma tai perehdyttävä kirjallisuuden pohjalta johonkin matematiikan tai sovelletun matematiikan osa-alueeseen. Työskentely tapahtuu matemaattisen kirjallisuuden pohjalta ja mahdollisesti tietokonetta apuna käyttäen. Esitiedot: Aineen aihetta voi hakea saatuaan siihen Ensimmäisn aineen ohjaajalta luvan. Suoritustapa: Suoritetaan kuten Ensimmäinen aine. Taso: Syventävät opinnot. MATE5034 Topics in Logic (5 ov) Contents: We shall consider some topics in mathematical logic usually not covered by general introductory courses although they are both of great intrinsic interest and have many applications. A tentative list of contents: proof systems: tableaux, resolution; decidability questions; intuitionistic logic; modal logic. Preliminary knowledge: The basics of classical propositional and predicate logic (for example. Logiikka (2,5 credits) + Logiikan jatkokurssi (2,5 credits)). Performance: Lectures (54 h, Steinby), exercises (26 h), examination. Offered in the autumn term. Recommended literature: Lecture notes. The material is drawn from several sources, but especially the book Logic for applications by A. Nerode and R.A. Shone is used. Field and level: TM, TUCS; syventävät opinnot. MATE5251 Topologia (5 ov) Sisältö: Käsitellään topologisten avaruuksien teoriaa yleistäen ja laajentaen metristen avaruuksien kurssilla opittuja asioita. Topologisten avaruuksien konstruktioiden ja jaottelun ohella keskitytään joihinkin erityiskysymyksiin kuten yhtenäisyys, kompaktius ja metristyvyys. Lyhyenä johdatuksena algebralliseen topologiaan esitellään homotopiateorian alkeita. Esitiedot: Metriset avaruudet. Suoritustapa: Luennot (56 h, Ylinen), demonstraatiot (28 h), tent-ti. Luennoidaan kevätlukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Väisälä J. : Topologia II (Limes r.y., 1999). Linja ja taso: A, LA, MM; syventävät opinnot. MATE5021 Usean muuttujan funktiot (2,5 ov) http://www.sci.utu.fi/tdk/oopas/00-01/matematiik/sisalto.html (16 of 17)13.2.2006 15:26:38

OPINTOJAKSOJEN SISÄLTÖ Sisältö: Käsitellään usean muuttujan funktioiden jatkuvuutta sekä differentiaalilaskentaa (derivaatta lineaarikuvauksena, gradientti, divergenssi, roottori, Taylorin kehitelmä) ja integraalilaskentaa (moniulotteinen integraali, käyräintegraalit, pintaintegraali) ja näiden yhteyttä (Greenin, Stokesin ja Gaussin lauseet). Differentiaalilaskentaa sovelletaan mm. ääriarvoihin ja käyrien ja pintojen teoriaan. Esitiedot: Analyysi II, Lineaarialgebra. Suoritustapa: Luennot (28 h, Ylinen), demonstraatiot (14 h), tentti. Luennoidaan syyslukukaudella. Opintojaksoon liittyvä kirjallisuus: Luentomoniste. Linja ja taso: A, LA, MM; aineopinnot. http://www.sci.utu.fi/tdk/oopas/00-01/matematiik/sisalto.html (17 of 17)13.2.2006 15:26:38

Vakuutusmatemaatikon linja VAKUUTUSMATEMATIIKON LINJA, FM -tutkinto 1. PÄÄAINEEN OPINNOT VAKUUTUSMATEMAATIKON LINJALLA 1.1. PERUSOPINNOT (15 ov) - kuten perusopinnot matemaatikon linjalla. 1.2. AINEOPINNOT (vähintään 32.5 ov) MATE5060 Algebran peruskurssi I 2.5 ov SMAT5045 Differentiaaliyhtälöt 2.5 ov SMAT5084 Ensimmäinen aine 2.5 ov MATE5033 Funktioteoria 2.5 ov MATE5036 Integraalimuunnokset 2.5 ov MATE5172 Matematiikan historia 2.5 ov MATE5026 Metriset avaruudet 2.5 ov SMAT5031 Numeerinen analyysi I 2.5 ov SMAT5032 Numeerinen analyysi II 2.5 ov SMAT5108 Matemaattinen optimointi I 2.5 ov SMAT5109 Matemaattinen optimointi II 2.5 ov SMAT5098 Todennäköisyyslaskenta I 2.5 ov MATE5021 Usean muuttujan funktiot 2.5 ov Vapaasti valittavia opintojaksoja matemaatikon linjan kohdasta 1.2. 1.3. SYVENTÄVÄT OPINNOT (vähintään 46.5 ov) 1.3.1. MATEMATIIKAN OPINNOT (vähintään 20 ov) SMAT5066 Todennäköisyyslaskenta II 2.5 ov SMAT5110 Todennäköisyyslaskenta III 2.5 ov SMAT5086 Toinen aine 2.5 ov Toinen aine voidaan korvata LuK -tutkielmalla (2.5 ov). Seuraavat opintojaksot ovat hyvin suositeltavia: MATE5069 Modernin analyysin perusteet 5 ov SMAT5036 Dynaamiset systeemit 5 ov http://www.sci.utu.fi/tdk/oopas/00-01/matematiik/vakuutus.htm (1 of 4)13.2.2006 15:26:39