Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3 λ 6 3 λ = (1 λ)[(4 λ)(3 λ) 6] = (1 λ)(λ 2 7λ + 6). Esimerkki jatkoa Ominaisarvoille λ on det(a λi ) =, eli 1 λ = tai λ 2 7λ + 6 =. Matriisin A ominaisarvot ovat λ 1,2 = 1 ja λ 3 = 6.
Esimerkki jatkoa 2 A = 2 2 1 1 3 1 2 4 3 Ominaisvektorit: Ominaisarvoa 6 vastaaville ominaisvektoreille x = (x 1, x 2, x 3 ) T : A x = 6 x. A x 6I x =, eli (A 6I ) x =. 2 6 2 1 x 1 1 3 6 1 x 2 = 2 4 3 6 x 3. Esimerkki jatkoa 3 Gauss: 4 2 1 1 3 1 1 2 4 3 1 3 1 4 2 4 2 1 + 2 4 3 + 1 3 1 1 5 1 5 1 5 + 1 3 1 2 1
Esimerkki... 1 3 1 2 1 Yhtälöryhmänä: { x 1 + 3x 2 + x 3 = 2x 2 + x 3 =, eli x 1 = x 2 ja x 3 = 2x 2. Ominaisarvoon 6 liittyvät ominaisvektorit: x 1 x 2 1 x = x 2 = x 2 = x 2 1, x 2. x 3 2x 2 2 Usein merkitään x = t( 1, 1, 2) T, t. Esimerkki... Ominaisarvoa 1 vastaaville ominaisvektoreille x = (x 1, x 2, x 3 ) T : A x = 1 x (A I ) x =. 2 1 2 1 x 1 1 3 1 1 x 2 = 2 4 3 1 x 3.
Esimerkki... Gauss: 1 2 1 1 2 1 + 2 4 2 2 + 1 2 1 Vastaava yhtälöryhmä: x 1 2x 2 + x 3 =, eli x 1 = 2x 2 x 3 Ominaisarvoon 1 liittyvät ominaisvektorit: x 1 2x 2 x 3 2x 2 x 3 x = x 2 = x 3 x 2 x 3 = x 2 + x 3, 2 1 = x 2 1 + x 3 x 2 tai x 3 1 x = t(2, 1, ) T + s( 1,, 1) T, t tai s Karakteristinen polynomi ja yhtälö Olkoon A n n-matriisi. Silloin det(a λi ) on n-asteinen polynomi, det(a λi ) = ( 1) n λ n + a n 1 λ n 1 + + a 1 λ + a = p A (λ). =matriisin A karakteristinen polynomi. Yhtälö det(a λi ) = on A:n karakteristinen yhtälö.
Matriisilla aina ominaisarvoja Algebran peruslause: n-asteisella polynomilla on n nollakohtaa (kompleksista tai reaalista), joista jotkut voivat olla useampikertaisia. Siis polynomilla p A (λ) on nollakohtia eli yhtälöllä det(a λi ) = on ratkaisuja. Matriisilla on aina ominaisarvoja. Lauseen 4.1. mukaan A:n ominaisarvot ovat karakterisen polynomin -kohdat. Esimerkki 4.4. jatkoa Edellä: 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 Karakteristinen polynomi: det(a λi ) = (1 λ)(λ 2 7λ+6) = λ 3 +8λ 2 13λ+6 = p A (λ) Karakteristinen yhtälö: det(a λi ) =, eli λ 3 + 8λ 2 13λ + 6 =
Yksikkömatriisin ominaisarvot I :llä on n-kertainen ominaisarvo λ = 1, sillä yhtälön ainoa ratkaisu on λ = 1. det(i λi ) = (1 λ) n = Reaalinen matriisi ja ominaisarvon liittoluku Huom. Jos reaalisella matriisilla A on ei-reaalinen ominaisarvo λ ja x on sitä vastaava ominaisvektori, niin λ:n liittoluku λ on myös ominaisarvo ja x:n liittovektori x sitä vastaava ominaisvektori (osoita!). Perustelu....
Käänteismatriisin ominaisarvot A n n matriisi ja λ 1, λ 2,..., λ n kaikki A:n ominaisarvot. det(a λ i I ) = aina kun i = 1, 2,..., n Nyt A 1 on olemassa det A det(a I ) λ i kaikilla i = 1, 2,..., n. Jos A 1 on olemassa, ja λ on A:n ominaisarvo, niin silloin A x = λ x, jollakin x. Edelläolevan perusteella λ, joten silloin A 1 A x = A 1 λ x eli x = λa 1 x. Siis A 1 x = 1 λ x eli 1 λ on matriisin A 1 ominaisarvo ja x sitä vastaava ominaisvektori. Jatkoa On todistettu tulos: Lause 4.2. Matriisilla A on käänteismatriisi A 1 A:n jokainen ominaisarvo λ 1,..., λ n. A 1 :n ominaisarvot ovat 1 λ 1,..., 1 λ n.
Transponoidun matriisin ominaisarvot Lause 4.3. A:n ja A T :n ominaisarvot ovat samat. Todistus. λ on A:n ominaisarvo det(a λi ) = det(a λi ) T = det(a T λi ) = λ on A T :n ominaisarvo. Transponoidun matriisin ominaisvektorit Huom. Jos x on A:n λ:aan liittyvä ominaisvektori, niin x ei välttämättä ole A T :n λ:aan liittyvä ominaisvektori. Esimerkiksi matriisin A = ( ) 1 1 1 ominaisarvoa λ = 1 vastaavat ominaisvektorit ovat x = t(, ( 1) T, ) t C, t, mutta A T 1 1 = :n ominaisarvoa λ = 1 vastaavat ominaisvektorit 1 ovat x = t(1, ) T, t C, t.
A n :n ominaisarvot A n n matriisi, λ matriisin A ominaisarvo ja x matriisin A ominaisarvoon λ liittyvä ominaisvektori. Silloin siis A x = λ x. 1) Nyt on Vastaavasti Yleisesti on siis A 2 x = Aλ x = λa x = λ 2 x A 3 x = AA 2 x = λ 2 A x = λ 3 x. A k x = λ k x ca:n ominaisarvot A n n matriisi, λ matriisin A ominaisarvo ja x matriisin A ominaisarvoon λ liittyvä ominaisvektori. A x = λ x. 2) Selvästi on c A x = c λ x 3) Edelläolevia tuloksia käyttäen on helppo nähdä, että (c m A m + c m 1 A m 1 + + c 1 A + c I ) x = c m A m x + c m 1 A m 1 x + + c 1 A x + c I x = c m λ m x + c m 1 λ m 1 x + + c 1 λ x + c x = (c m λ m + c m 1 λ m 1 + + c 1 λ + c ) x.
Jatkoa On todistettu seuraava tulos: Lause 4.4. Jos λ on A:n ominaisarvo ja x λ:aa vastaava ominaisvektori, niin 1) λ k on A k :n ominaisarvo ja x sitä vastaava ominaisvektori, 2) cλ on ca:n ominaisarvo ja x sitä vastaava ominaisvektori, 3) c m λ m + c m 1 λ m 1 + + c 1 λ + c on (c m A m + c m 1 A m 1 + + c 1 A + c I ):n ominaisarvo ja x sitä vastaava ominaisvektori. Yläkolmiomatriisin ominaisarvot Esimerkki 4.5. Määrää matriisin 1 4 1 A = 3 2 4 ominaisarvot. Ratk.... Koska yläkolmio- ja alakolmiomatriisin determinantti on lävistäjäalkioiden tulo, niin: Lause 4.5. Yläkolmiomatriisin (vast. alakolmiomatriisin) ominaisarvot ovat samat kuin lävistäjäalkiot.
Eri ominaisarvojen ominaisvektorit Lause 4.6. Jos A:lla on erisuuret ominaisarvot λ 1,..., λ r, niin niitä vastaavat ominaisvektorit x 1,..., x r ovat vapaita. Tod. Vastaoletus: Olkoon k r pienin sellainen kokonaisluku, että vektorijoukko { x 1,..., x k } sidottu. Olkoon Silloin on myös a i x i =. A( a i x i ) = a i A x i =. eli a i λ i x i =. Jatkoa Koska niin eli Siis λ k a i x i = λ k =, a i λ k x i a i λ i x i = = a i (λ k λ i ) x i =. k 1 (a i (λ k λ i ) x i ) + a k (λ k λ k ) x k =.
Jatkoa 2 Silloin on k 1 a i (λ k λ i ) x i = ja koska vektorijoukko {x 1, x 2,..., x k 1 } on vapaa, on oltava a 1 = a 2 = = a k 1 =. Sijoitetaan yhtälöön jolloin saadaan eli a k =. a i x i =, a k x k =, Siis vektorijoukko { x 1,..., x k } on vapaa, mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa. Vapaat ominaisvektorit Huom. Vaikka A:n ominaisarvot λ 1,..., λ n eivät olisi erisuuria, niin A:lla voi kuitenkin olla n vapaata ominaisvektoria. 2 2 1 Esimerkki 2.4. : A = 1 3 1 2 4 3 Ominaisarvot Vastaavat ominaisvektorit λ 1,2 = 1 λ 3 = 6 x = t(2, 1, ) T + s( 1,, 1) T t( 1, 1, 2) T Kaksi erisuurta ominaisarvoa 1 ja 6 3 vapaata ominaisvektoria: (2, 1, ) T, ( 1,, 1) T ja ( 1, 1, 2) T.
4.2 Matriisin diagonalisointi n n-matriisit A ja B ovat similaariset: On olemassa sellainen matriisi T (similariteettimuunnosmatriisi), että B = T 1 AT. Silloin det(b λi ) = det(t 1 AT T 1 λit ) = det[t 1 (A λi )T ] = det T 1 det(a λi ) det T = det(a λi ) Jos x on B:n ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori, niin A(T x) = T (T 1 AT ) x = T (B x) = T (λ x) = λ(t x) eli T x on A:n λ:aa vastaava ominaisvektori. Ominaisarvot ja -vektorit On todistettu: Lause 4.7. Jos A ja B ovat similaariset (B = T 1 AT ), niin niiden karakteristiset polynomit ovat samat, ominaisarvot ovat samat ja jos x on B:n ominaisvektori niin T x on A:n vastaava ominaisvektori. A:n similaarisuutta B:n kanssa voidaan käyttää hyväksi esim. seuraavasti: B = T 1 AT B 2 = (T 1 AT )(T 1 AT ) = T 1 ATT 1 AT = T 1 A 2 T B 3 = B 2 B = (T 1 A 2 T )(T 1 AT ) = T 1 A 3 T B k = T 1 A k T, k = 1, 2,.... TB k = A k T A k = TB k T 1, k = 1, 2,....
A k = TB k T 1 Jos B on diagonaalimatriisi (lävistäjämatriisi). Jos T löydetään helposti. A K helppo laskea A:n ominaisarvot ja ominaisvektorit helposti Diagonalisoituva matriisi A on diagonalisoituva: A on similaarinen diagonaalimatriisin B kanssa.