MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat Harjoitustehtävät Klassisen ja geometrisen todennäköisyyden harjoituksia 3.1 Heität tavallista noppaa. Millä todennäköisyydellä a) saat kuutosen? b) saat ykkösen? c) saat parittoman pisteluvun? d) saat nelosen tai kuutosen? 3.2 Heität tauluun yhtä tikkaa. Oletetaan, että osut mihin tahansa tikkataulun pisteeseen yhtä suurella todennäköisyydellä ja johonkin taulun pisteeseen varmasti. Taulu on ympyrän muotoinen ja se on jaettu ympyrän säteen suuntaan mitattuna yhtä leveisiin renkaan muotoisiin alueisiin siten, että keskellä on valkoinen ympyrä ja siinä numero 10. Keskiympyrän säde on 1,30 cm ja jokaisen renkaan leveys on myös 1,30 cm. Renkaat on numeroitu sisimmäisestä lueteltuina 9 1. Oheisessa kuvassa on vain tikkataulun keskialuetta. a) Millä todennäköisyydellä osut kympin ympyrään? b) Millä todennäköisyydellä saat ainakin 8? c) Millä todennäköisyydellä saat alle 7? d) Millä todennäköisyydellä osut valkoiselle alueelle? e) Millä todennäköisyydellä et osu tauluun ollenkaan? 6 8 10 3.3 Shakkilaudassa on 64 yhtä suurta neliötä, jotka on numeroitu samaan tapaan kuin taulukkolaskenta-arkin solut: katso kuvaa. Sijoitat nappulan satunnaiseen ruutuun. a) Millä todennäköisyydellä nappula osuu valkoiseen ruutuun? b) Millä todennäköisyydellä nappula osuu johonkin sarakkeen A ruutuun? 1(7)
c) Millä todennäköisyydellä nappula osuu johonkin vinoon, tummaan ruuturiviin, jonka toisessa päässä on ruutu A1 ja toisessa päässä on ruutu H8? d) Millä todennäköisyydellä nappula osuu johonkin sarakkeen A ruutuun tai johonkin vinon, tumman ruuturivin ruutuun, jonka toisessa päässä on ruutu A1 ja toisessa päässä on ruutu H8? 8 7 6 5 4 3 2 1 A B C D E F G H 3.4 Linja-auto seisoo pysäkillä 3 minuuttia kerrallaan ja lähtee 15 minuutin välein. Millä todennäköisyydellä pääset linja-autoon heti, kun saavut pysäkille? 3.5 Oletetaan, että on vain yksi linja-auto ja että se kiertää kahden päätepysäkin väliä. Auto seisoo päätepysäkillä aina kolme minuuttia ennen kuin lähtee toiselle päätepysäkille. Matka päätepysäkiltä toiselle kestää 17 minuuttia. Millä todennäköisyydellä pääset linja-autoon heti, kun saavut pysäkille? 2(7)
3.6 Etsitään katkosta sähkökaapelista, joka on 20 metrin pituinen. Oletetaan, että vikaa korjaavalla asentajalla on käytössään mittari, jolla hän voi mitata kerrallaan 15 sentin pätkän kaapelista. Millä todennäköisyydellä vika löytyy ensimmäisellä mittauksella? 3.7 Sippo heittää yhden tikan tauluun, jonka läpimitta on 26 cm. Taulu on kiinni neliön muotoisessa taustassa. Neliön sivun pituus on 50 cm ja sen reunusten (kuva) leveys on 2,54 cm (siis yksi tuuma). Jos Sippo ei osu tauluun, hän osuu kuhunkin taustan pisteeseen yhtä suurella todennäköisyydellä. Oletetaan, että Sippo ei osunut tauluun. Millä todennäköisyydellä hän osui reunukseen? 10 3.8 Seuraavassa taulukossa on lueteltu erään pesukonemallin eri yksilöitten mitattuja käyttöikiä. Taulukossa on 500 koneen tiedot. Ensimmäisessä sarakkeessa on koneen saavuttama ikä vuosina suunnilleen ja toisessa sarakkeessa ilmoitetaan, kuinka moni otoksen kone saavutti mainitun iän. Oletetaan, että tämä taulukko on edustava otos koko mallin käyttöiästä. a) Millä todennäköisyydellä kone toimii noin 11 14 vuotta? b) Jos kyseessä olevan mallin omistaja on käyttänyt konettaan jo 13 vuotta, millä todennäköisyydellä se palvelee häntä vielä ainakin kaksi vuotta? 3(7)
Saavutettu ikä, vuosia Kappaletta 5 5 6 6 7 13 8 22 9 33 10 47 11 59 12 65 13 65 14 59 15 47 16 33 17 22 18 13 19 6 20 5 Summa = 500 Todennäköisyyden laskumenetelmien harjoituksia 3.9 Pienin tiedon tai datan yksikkö on bitti (englanniksi bit eli binary unit), joka voi saada kaksi arvoa. Näitä arvoja merkitään usein ykkösellä ja nollalla. Bitti voi siis olla 1 tai 0, ei muuta. Jos tavu eli byte on puolestaan 8 bittiä niin, kuinka monta erilaista tavua on olemassa? 3.10 Kuinka moneen järjestykseen korttipakka voidaan sekoittaa? Korttipakassa on 52 korttia. 3.11 Ajatellaan muuten samanlaista yhdistelmälukkoa kuin Esimerkissä 14, mutta sillä erolla, että tällä kertaa kussakin kiekossa on kirjaimet a z. Kuinka monta yhdistelmää on olemassa, jos kiekkoja on a) 3 kappaletta b) 5 kappaletta? 3.12 Wilbur valitsee hippoihin asua. Hänellä on ruskeat, vaaleat ja tummat housut, housujen kanssa samanväriset pikku-takit, yksivärinen ja kirjava solmio sekä valkoinen paita ja mustat kengät, joista valita. Herbert on pukenut ylleen Wilburin tietämättä ruskeat housut ja pikku-takin, mustat kengät, yksivärisen solmion sekä valkoisen paidan. Millä todennäköisyydellä Wilbur tulee pukeutuneeksi samanlaiseen asuun kuin Herbert? 4(7)
3.13 Pikku-Kalle on lähdössä kouluun, mutta hän ei muista, missä koulu on! Hän päättää käyttää kauniin, syksyisen päivän samoiluun kokeilemalla eri vaihtoehdot yhden toisensa jälkeen. Tilanne selviää oheisesta kuvasta. Millä todennäköisyydellä käy niin ikävästi, että Pikku-Kalle löytää kouluun ensimmäisellä yrityksellä? Neuvoa hän ei tietenkään kysy. Koti Koulu 3.14 Heitetään kahta kolikkoa. Millä todennäköisyydellä molemmilla tulee klaava? 3.15 Heitetään kahta noppaa. Millä todennäköisyydellä molemmilla saadaan sama silmäluku? 3.16 Pekalla on 50 sentin, yhden euron ja kahden euron kolikot. Hän heittää ne pöydälle. Millä todennäköisyydellä hän saa ainakin kaksi klaavaa? 3.17 Mimmin karamellirasiassa on enää viisi pastillia: keltainen, musta ja kolme punaista. Jos Mimmi ottaa kolme satunnaista pastillia, millä todennäköisyydellä kaikki kolme ovat punaisia? 3.18 Laatikossa on punaisia ja keltaisia palloja. Keltaisia palloja on 6. Todennäköisyys sille, että laatikosta satunnaisesti valittu pallo on keltainen, on 9 2. Kuinka monta punaista palloa laatikossa on? 3.19 Ympyrän halkaisija on 10 metriä. Siihen heitetään kaksi palloa siten, että ne osuvat mihin tahansa ympyrän kohtaan yhtä suurella todennäköisyydellä. Millä todennäköisyydellä molemmat pallot osuvat korkeintaan yhden metrin etäisyydellä pallon kehästä? Pallojen kokoa ei tarvitse ottaa huomioon eli ne oletetaan pistemäisiksi. 3.20 Neliön kärjet ovat pisteissä (-1;0), (0;1), (1;0) ja (0;-1). Valitaan piste (x;y) neliön sisältä satunnaisesti. Millä todennäköisyydellä pisteen a) x-koordinaatti on pienempi kuin 0,5? b) y-koordinaatti on suurempi kuin 0,8? c) sekä x- että y-koordinaatti ovat pienempiä kuin 0,1? 5(7)
Todennäköisyyden laskusääntöjen harjoituksia 3.21 Otetaan korttipakasta kolme korttia yksitellen ja palauttamatta. Millä todennäköisyydellä ensimmäinen kortti on ruutu, toinen kortti on risti ja kolmas kortti on pata? 3.22 Heitetään noppaa ja kolikkoa. Millä todennäköisyydellä saadaan viitonen ja kruuna? 3.23 Juhlasalissa on oppilaita vuosiluokilta 1 4, 20 jokaiselta vuosiluokalta. Salista valitaan kolme satunnaista oppilasta. Millä todennäköisyydellä he ovat kaikki neljänneltä luokalta? 3.24 Ruotsinlaivan kabinetissa on ruotsalaisia ja suomalaisia yhteensä 33 henkeä. 17 a) Todennäköisyys sille, että kabinetista poistuu ensin kaksi suomalaista, on. Kuinka 66 monta suomalaista kabinetissa on? b) Todennäköisyys sille, että kabinetista poistuu ensin suomalainen sitten ruotsalainen, on 17. Kuinka monta suomalaista kabinetissa on? 66 3.25 Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu nelinumeroinen luonnollinen luku on jaollinen kolmella tai viidellä? 3.26 Heität noppaa kolme kertaa. Millä todennäköisyydellä saat ykkösen tarkalleen kerran? 3.27 Heität kahta noppaa, sinistä ja valkoista. Mikä on todennäköisyys sille, että silmälukujen summa on 11? 3.28 Jalankulkuvaloissa palaa vihreä 25% ajasta. Millä todennäköisyydellä jalankulkija a) pääsee pysähtymättä kolmista valoista peräkkäin b) joutuu odottamaan ainakin yksissä valoissa? 3.29 Kolmena peräkkäisenä päivänä sateen mahdollisuus on 0,25 kunakin päivänä. Millä todennäköisyydellä ainakin yhtenä päivänä sataa? 3.30 Kolmena päivänä säätilanne on seuraava kunakin päivänä: Sataa todennäköisyydellä 0,5, on tihkua todennäköisyydellä 0,4 ja on poutaa todennäköisyydellä 0,1. Millä todennäköisyydellä joka päivä on tihkua? 3.31 Monivalintakokeessa on 10 tehtävää, joista jokaisessa on neljä vaihtoehtoa. Kuinka monta erilaista vastausriviä on olemassa? 3.32 Monivalintakokeessa on 10 tehtävää, joista jokaisessa on neljä vaihtoehtoa. Yksi vaihtoehto on oikein, loput ovat väärin. Kokelas vastaa arvaamalla kaikkiin kymmeneen tehtävään. Millä todennäköisyydellä a) kokelas vastaa oikein ainakin yhteen kysymykseen b) kokelas vastaa väärin viiteen ensimmäiseen ja oikein viiteen viimeiseen kysymykseen? 3.33 Laske 40 a) 6 40 b) 34 c) Vertaa äskeisiä tuloksia seuraavaan päättelyyn: Koska 6(7)
n = k k! niin n! n! n, = = ( n k)! ( n k )! k! n k n n =. k n k 3.34 Kokeessa saa valita kuusi tehtävää kahdeksasta. Kuinka monta eri vaihtoehtoa eli kombinaatiota kokelaalla on? 3.35 Jääkiekkojoukkueeseen valitaan viisi pelaajaa 18 vaihtoehdosta. Millä todennäköisyydellä mukana on myös Tapio, joka on yksi noista 18:sta? Todennäköisyysjakaumien harjoituksia 3.36 Oletetaan, että koripalloilija onnistuu vapaaheitossa todennäköisyydellä 88%. Millä todennäköisyydellä hän onnistuu a) kahdella viidestä vapaaheitosta b) viidellä seitsemästä vapaaheitosta c) viidellä vapaaheitolla peräkkäin? 1 1 3.37 Nipa pelaa arvaukseen perustuvaa peliä. Voiton todennäköisyys on, tasapelin ja häviön 4 4 1. Millä todennäköisyydellä Nipa voittaa kolme kertaa, kun hän pelaa kymmenen kierrosta? 2 3.38 Vehnänjyvä itää noin 95 prosentin todennäköisyydellä. Millä todennäköisyydellä 100 jyvän koekylvöstä a) 90 siementä itää b) kaikki siemenet itävät c) yksikään siemen ei idä? 3.39 Laadi todennäköisyysjakauma, jossa tarkastelet harjoituksen 2 peliä. Peliä pelataan neljä kierrosta ja huomio kiinnitetään voiton todennäköisyyteen. 7(7)