Kenguru 2019 Cadet ratkaisut (8. ja 9. luokka)

Transkriptio

1 Sivu 0 / 16 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse vastaus tehtävän numeron alle. Oikeasta vastauksesta saa 3, 4 tai 5 pistettä. Jokaisessa tehtävässä on täsmälleen yksi oikea vastaus. Väärästä vastauksesta saa miinuspisteitä ¼ tehtävän pistemäärästä, siis esimerkiksi 4 pisteen tehtävästä -1 pisteen. Tyhjästä ruudusta ei saa miinuspisteitä. Tavoitteita on kaksi: saada mahdollisimman paljon pisteitä tai mahdollisimman monta peräkkäistä oikeaa vastausta. 3 pistettä TEHTÄVÄ VASTAUS C B E D E C B 4 pistettä TEHTÄVÄ VASTAUS A A E B C C B 5 pistettä TEHTÄVÄ VASTAUS C C B C A A D Kilpailun saa pitää aikaisintaan Logon suunnitteli Samin Ahmed.

2 Sivu 1 / 16 3 pistettä 1. Mayojen lukujärjestelmässä piste tarkoitti ykköstä ja viiva viitosta. Miten luku 17 merkittiin? (A) (B) (C) (D) (E) 17 = , joten lukuun 17 tarvitaan kolme viivaa ja kaksi pistettä. Vaihtoehto C on siis oikein. 2. Perheen jokaisella tytöllä on neljä veljeä ja jokaisella pojalla kolme siskoa. Kuinka monta lasta perheessä on yhteensä? (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 12 Koska kullakin tytöllä on neljä veljeä ja jokaisella pojalla kolme siskoa, niin perheessä on neljä poikaa ja kolme tyttöä. Lapsia on siis yhteensä = 7 ja vaihtoehto B oikein. 3. Iso kuutio rakennettiin pienistä, keskenään samanlaisista kuutioista. Sitten jokaisesta kolmesta suunnasta porattiin reikä ison kuution läpi, jolloin keskimmäiset pikkukuutiot hävisivät kuvan mukaisesti. Kuinka monta pikkukuutiota jäi jäljelle? (A) 15 (B) 17 (C) 18 (D) 19 (E) 20

3 Sivu 2 / 16 Ylimmässä tasossa on porauksen jälkeen 8 kuutiota, samoin alimmassa. Keskimmäisessä tasossa on porauksen jälkeen 4 kuutiota. Kuutioita on porauksen jälkeen yhteensä = 20. Vaihtoehto E on siis oikein.

4 Sivu 3 / Kolme rengasta on kuvan mukaisesti kiinni toisissaan. Mikä seuraavista kuvista esittää samoja renkaita? (A) (B) (C) (D) (E) Kuviossa A musta ja harmaa rengas ovat sisäkkäin, joten se ei ole oikea kuvio. Kuviossa B harmaa rengas ei ole muissa renkaissa kiinni, joten se ei ole oikea kuvio. Kuviossa C musta rengas ei ole muissa renkaissa kiinni, joten se ei ole oikea kuvio. Kuviossa E valkoinen ja harmaa rengas eivät ole sisäkkäin, joten se ei ole oikea kuvio. Kuviossa D musta rengas on kiinni vain valkoisessa renkaassa ja valkoinen rengas sekä mustassa että harmaassa renkaassa, joten se on oikea kuvio. 5. Samuli jakaa omenansa kuuteen samanlaiseen kasaan. Josefina jakaa saman määrän omenoita viiteen keskenään samanlaiseen kasaan. Hän huomaa, että kussakin hänen kasoistaan oli kaksi omenaa enemmän kuin kussakin Samulin kasoista. Kuinka monta omenaa Samulin kasoissa on yhteensä? (A) 40 (B) 45 (C) 50 (D) 55 (E) 60 Josefinan viidessä kasassa on kussakin 2 omenaa enemmän kuin kussakin Samuliin kasoista, joten kuudesosa Samulin omenoista on 5 2 = 10. Samulilla on siis 6 10 = 60 omenaa, ja vaihtoehto E on oikein.

5 Sivu 4 / Juoksukilpailussa Emil pääsi maaliin ennen Manfredia, Victor Janin jälkeen, Manfred ennen Jania ja Miki ennen Victoria. Kuka näistä viidestä juoksijasta tuli maaliin viimeisenä? (A) Emil (B) Manfred (C) Victor (D) Jan (E) Miki Emil pääsi maaliin ennen Manfredia, joka puolestaan pääsi maaliin ennen Jania, joka pääsi maaliin ennen Victoria. Myös Miki pääsi maaliin ennen Victoria, joten Victor pääsi maaliin viimeisenä. (Tehtävänannosta ei käy ilmi, oliko maalissa ensimmäisenä Emil vai Miki.) 7. Kuvan parkkipaikalla on vain yksi uloskäynti, ja autot voivat ajaa vain eteenpäin ja taaksepäin. Kuinka monen valkoisen auton vähintään on liikuttava, jotta musta auto pääsee pois parkkipaikalta? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 Koska musta auto voi liikkua vain suoraan, on ainakin kuvaan merkittyjen kolmen auton liikuttava.

6 Sivu 5 / 16 Tämä myös riittää, kun autot liikkuvat tällä tavalla: Riittää siis, että kolme autoa liikkuu. Vaihtoehto B on oikein. 4 pistettä 8. Nealla on viisi samanlaista neliötä, ja hän värittää kustakin osan kuvan mukaisesti. Missä neliössä väritetty pinta-ala on suurin? (A) (B) (C) (D) (E) Kolmion pinta-ala on puolet kannan ja korkeuden tulosta. Neliöissä B, C, D ja E kolmioiden kannat

7 Sivu 6 / 16 peittävät neliön yhden sivun kokonaan, ja kunkin kolmion korkeus on neliön sivun pituus. Neliöistä B, C, D ja E on siis väritetty täsmälleen puolet. Neliöstä A on väritetty yli puolet, sillä keskellä pystyssä olevan mustan suorakulmion vasemmasta puolesta on väritetty puolet ja oikeasta puolesta puolet. Vaihtoehto A on siis oikein. 9. Kullakin kolmesta paperista on nelinumeroinen kokonaisluku. Näiden kolmen luvun summa on Paperit peittävät toisensa osittain kuvan mukaisesti. Mikä on piilossa olevien numeroiden summa? (A) 18 (B) 19 (C) 20 (D) 21 (E) 22 Merkitään piilossa olevia numeroita kirjaimilla A, B ja C ja kirjoitetaan allekkainlasku näkyviin A7 + BC26 = Ykkösistä saadaan, että = 16. Kymmeniin tulee siis muistinumero 1. Kymmenistä saadaan, että laskun A + 2 tulos loppuu kakkoseen. On siis oltava A = 5, ja satoihin tulee muistinumero 1. Sadoista saadaan, että laskun C tulos loppuu ykköseen. On siis oltava C = 7, ja tuhansiin tulee muistinumero 1. Tuhansista saadaan, että B = 10, joten on oltava B = 6. Piilossa ovat siis numerot 5, 6 ja 7. Niiden summa on = 18, joten vastaus A on oikein.

8 Sivu 7 / Kuvassa PQ = PR = QS ja kulma P = 20. Mikä on kulman α suuruus? (A) 20 (B) 30 (C) 40 (D) 50 (E) 60 Koska PQ = QS, niin kulmat RPQ ja QSR ovat yhtä suuret. Siis QSR = 20. Koska PQ = PR, niin kulmat PQR ja QRP ovat yhtä suuret. Siis PQR = QRP = = Kulma PQS on tasakylkisen kolmion huippukulma. Koska tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat 20, on PQS = = 140. Tästä seuraa, että α = = 60. Vaihtoehto E on siis oikein. 11. Alan, Bill, Claire, Dora ja Erik tapaavat toisensa ja kättelevät täsmälleen kerran jokaista, jonka he tuntevat etukäteen. Alan kättelee kerran, Bill kahdesti, Claire kolmesti ja Dora neljästi. Kuinka monta kertaa Erik kättelee? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 Henkilöitä on viisi ja Dora kättelee neljästi, joten hän kättelee kaikkia muita. Merkitään henkilöitä etunimen alkukirjaimella ja taulukoidaan kättelyitä.

9 Sivu 8 / 16 Henkilö A B C D E Ketä kättelee? D D ja 1 muu D ja 2 muuta A, B, C, E ainakin D Claire kättelee Doran lisäksi kahta muuta henkilöä, joista kumpikaan ei voi olla Alan, joten Claire kättelee myös Billiä ja Erikiä. Henkilö A B C D E Ketä kättelee? D D, C D, B, E A, B, C, E ainakin D ja C Kukaan muu kuin Erik ei voi kätellä enempää, joten Erik kättelee vain Clairea ja Doraa. Vaihtoehto B on siis oikein. 12. Heitettyään palloa 20 kertaa Oskari oli saanut 55 % heitoista koriin. Heitettyään viisi kertaa lisää hänen onnistumisprosenttinsa oli noussut 56 prosenttiin. Kuinka moni viimeisestä viidestä heitosta meni koriin? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 Ensimmäisillä 20 heitolla Oskari sai koriin 55 % eli 0,55 20 = 0, = 5,5 2 = 11 heittoa. Kun hän on heittänyt 5 kertaa lisää, heittoja on yhteensä = 25, joista koriin on mennyt 0,56 25 = = 1 = Oskari sai siis viidestä viimeisestä heitosta koriin = 3 heittoa. Vaihtoehto C on oikein.

10 Sivu 9 / Sara taitteli neliön muotoisen paperin täsmälleen keskeltä kahtia kahdesti ja leikkasi paperin sen jälkeen kahdesti halki täsmälleen keskeltä kuvan mukaisesti. Kuinka moni hänen saamistaan paperinpaloista on neliöitä? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 8 Kun paperi avataan jälkimmäisten taitoksien kohdalta, se näyttää tältä: Kun paperi avataan ensimmäisten taitosten kohdalta, se näyttää tältä: Paperin nurkkiin jää neljä neliötä, ja yksi neliö jää paperin keskelle. Muut palat eivät ole neliöitä. Vaihtoehto C on siis oikein.

11 Sivu 10 / Lattia koostuu neliöistä, joiden sivun pituus on 1 m. Markus piirtää lattiaan kaksi yhdenmuotoista kahdeksankulmiota kuvan mukaisesti. Mikä on tummennetun alueen pinta-ala? (A) 7 m 2 (B) 56 9 m2 (C) 55 9 m2 (D) 6 m 2 (E) 53 9 m2 Keskellä oleva kahdeksankulmio on yhdenmuotoinen ison kahdeksankulmion kanssa. Keskellä olevasta ruudusta on tummennettu neljä suorakulmaista pikkukolmiota, joista kunkin kanta ja korkeus on 1 3 m. Yhden pikkukolmion pinta-ala on neliömetreinä : 2 = = Pikkukolmioiden pinta-ala on yhteensä neliömetreinä = 4 18 = 2 9. Pikkukolmioiden lisäksi on väritetty neljä neliötä, joista kunkin pinta-ala on 1 m 2, ja neljä isoa suorakulmaista kolmiota, joista kunkin pinta-ala on 1 2 m2. Neliöiden pinta-ala on yhteensä 4 m 2 ja isojen kolmioiden pinta-ala yhteensä neliömetreinä = 2. Tummennettu pinta-ala on yhteensä neliömetreinä = 6 2 = 56. Vaihtoehto B on siis 9 9 oikein. Vaihtoehtoinen ratkaisu: Koko ruudukon pinta-ala on 9 ruutua. Ison kahdeksankulmion ala on 7 ruutua, koska siitä puuttuu neljä puolikasta ruutua. 9

12 Sivu 11 / 16 Keskellä oleva pieni kahdeksankulmio on tehtävänannon mukaan yhdenmuotoinen ison kahdeksankulmion kanssa. Koska pienen kahdeksankulmion sivun pituus on 1 3 ison kahdeksankulmion sivun pituudesta, niin pienen kahdeksankulmion pinta-ala on ( 1 3 )2 = 1 9 ison kahdeksankulmion pinta-alasta. Väritetty ala on siis yhteensä neliömetreinä = 7 7 = 6 2 = 56. Vaihtoehto B on siis oikein. 9 5 pistettä 15. Kasperilla on kaksi suoran ympyrälieriön muotoista kynttilää, jotka eivät ole yhtä paksuja eivätkä yhtä pitkiä. Ensimmäinen kynttilä palaa 6 tuntia ja toinen 8 tuntia. Kasper sytytti molemmat kynttilät yhtä aikaa, ja kolmen tunnin kuluttua kynttilät olivat yhtä pitkät. Mikä on kynttilöiden alkuperäisten pituuksien suhde? (A) 4 : 3 (B) 8 : 5 (C) 5 : 4 (D) 3 : 5 (E) 5 : 3 Merkitään seuraavasti: ensimmäinen kynttilä palaa tunnissa matkan a ja toinen kynttilä matkan b. Tällöin ensimmäisen kynttilän alkuperäinen pituus on 6a ja toisen kynttilän 8b. Kolmen tunnin kuluttua sytyttämisestä ensimmäisen kynttilän pituus on 6a 3a = 3a ja toisen kynttilän pituus 8b 3b = 5b. Nämä pituudet ovat yhtä suuret. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä suhde a b. 3a 5 b :3 5 a b : b 3 a 5 b 3

13 Sivu 12 / 16 Kynttilöiden alkuperäisten pituuksien suhde on 3 1 6a 3 a Vaihtoehto C on siis oikein. 8b 4 b Konsta järjestää tulitikkuja pisteillä merkityille viivoille kuvan mukaisesti. Hän muodostaa niillä ruudukkoon suljetun reitin ilman risteyksiä niin, että ruuduissa olevat luvut ilmaisevat ruudun ympärillä olevien tikkujen lukumäärän. Kuinka monta tulitikkua reitissä on? (A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 18 (E) 20 Tutkitaan ruutuja, joiden ympärille on laitettava kolme tai nolla tikkua. Huomataan, että ainakin seuraaviin kohtiin on laitettava tikku. Koska reitin on oltava suljettu, on myös seuraaviin kohtiin laitettava tikku.

14 Sivu 13 / 16 Ylin kakkosella merkitty ruutu on kierrettävä ruudun vasemman yläkulman tai oikean alakulman kautta. tai Jälkimmäinen vaihtoehto ei ole mahdollinen, koska ykkösellä merkityn ruudun ympärille tulisi liikaa tikkuja. Jatketaan siis edellisen vaihtoehdon mukaan. Tikkuja tarvitaan yhteensä 16. Vaihtoehto C on oikein. 17. Kokonaisluvut luvusta 1 lukuun n (myös 1 ja n) kirjoitetaan tasaisin välein numerojärjestyksessä ympyrän kehälle. Ympyrän halkaisija kulkee lukujen 7 ja 23 kautta. Mikä on luku n? (A) 30 (B) 32 (C) 34 (D) 36 (E) 38 Lukujen 7 ja 23 etäisyys on 23 7 = 16. On siis 15 kokonaislukua, jotka ovat suurempia kuin 7 ja pienempiä kuin 23. Nämä luvut on laitettava jommallekummalle puolelle lukua 7. Symmetrian vuoksi myös toiselle puolelle tarvitaan täsmälleen 15 lukua.

15 Sivu 14 / 16 Lukuja on yhteensä = 32. Koska luvut ovat peräkkäisiä positiivisia kokonaislukuja alkaen luvusta 1, niin suurin luku on n = 32. Vaihtoehto B on oikein. 18. Helmillä on neljänvärisiä keppejä: sinisiä, punaisia, keltaisia ja vihreitä. Kunkin kepin pituus on 1. Helmi rakentaa kepeistä 3 x 3 -neliön niin, että kunkin 1 x 1 -neliön ympärillä on neljä eriväristä keppiä. Kuinka monta vihreää keppiä Helmi vähintään tarvitsee? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 Yksi vihreä tikku on korkeintaan kahden neliön sivuna, joten yksi vihreä tikku riittää korkeintaan kahdelle neliölle. Neliöitä on 9, joten vihreitä tikkuja tarvitaan vähintään 9 : 2 = 4,5. Pienin mahdollinen määrä on siis 5 tikkua. 5 tikkua myös riittää, mikä nähdään esimerkiksi näin: Vaihtoehto C on siis oikein.

16 Sivu 15 / Tamila järjestää shakkiturnauksen, johon osallistuu kolmihenkisiä joukkueita. Kunkin pelaajan on pelattava täsmälleen kerran kaikkia muita paitsi oman joukkueensa pelaajia vastaan. Käytännön syistä johtuen yli 250 peliä ei voida pelata. Kuinka monta joukkuetta turnaukseen voi korkeintaan osallistua? (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) 11 Merkitään joukkueiden määrää kirjaimella n, jolloin pelaajia on yhteensä 3n kappaletta. Oman joukkueen pelaajia vastaan ei pelata, joten kukin pelaaja pelaa 3n 3 ottelua. 3n 3n 3 Pelaajien määrä on 3n, joten otteluita pelataan yhteensä. (Kahdella jakaminen johtuu 2 siitä, että ilman sitä jokainen peli laskettaisiin kahdesti: pelaajien A ja B välinen otteluhan on sama kuin pelaajien B ja A välinen ottelu.) Kun n = 7, lausekkeen 3n 3n 3 2 arvo on Kun n = 8, lausekkeen 3n 3n 3 2 arvo on joukkueen tapauksessa otteluita on 189 ja 8 joukkueen tapauksessa 252, mikä on liikaa, koska korkeintaan 250 peliä voidaan pelata. Joukkueita voidaan siis ottaa turnaukseen mukaan korkeintaan 7. Vastaus A on oikein. 20. Roope maalaa kunkin kuvan kahdeksasta ympyrästä punaiseksi, keltaiseksi tai siniseksi niin, että mitkään kaksi toisiinsa yhdistettyä ympyrää eivät ole samanvärisiä. Mitkä kaksi ympyrää on väritettävä samalla värillä? (A) 5 ja 8 (B) 1 ja 6 (C) 2 ja 7 (D) 4 ja 5 (E) 3 ja 6

17 Sivu 16 / 16 Ympyrät 2 ja 6 on yhdistetty toisiinsa, joten niiden on oltava erivärisiä. Näiden kahden ympyrän värittämiseen kuluu kaksi väriä. Ympyrät 5 ja 8 on molemmat yhdistetty sekä ympyrään 5 että ympyrään 8, joten niiden värittämiseen tarvitaan kolmatta väriä. Näin ympyröistä 5 ja 8 tulee väistämättä samanvärisiä. Ainakin vaihtoehto A on siis oikein. Seuraava kuva osoittaa, että kaikki muut vaihtoehdot ovat vääriä: Ympyrät 1 ja 6 ovat tässä tapauksessa keskenään eriväriset, 2 ja 7 keskenään eriväriset, 4 ja 5 keskenään eriväriset sekä 3 ja 6 keskenään eriväriset. 21. Junassa on 18 vaunua ja täsmälleen 700 matkustajaa. Viidessä peräkkäisessä vaunussa on aina yhteensä täsmälleen 199 matkustajaa. Kuinka monta matkustajaa kahdessa keskimmäisessä vaunussa on yhteensä? (A) 70 (B) 77 (C) 78 (D) 96 (E) 103 Merkitään vaunuja numeroilla Vaunut 9 ja 10 ovat keskimmäisiä. Vaunuissa 6-13 ovat matkustajat, jotka eivät ole vaunuissa 1-5 (viisi peräkkäistä vaunua) eivätkä vaunuissa (viisi peräkkäistä vaunua). Heitä on yhteensä = 302. Vaunuissa 6-10 on 199 matkustajaa. Samoin vaunuissa 9-13 on 199 matkustajaa. Vaunujen 6-13 matkustajien määrä voitaisiin laskea , mutta tällöin vaunujen 9 ja 10 matkustajien määrä tulisi laskettua kahteen kertaan. Merkitään vaunujen 9 ja 10 matkustajien määrää kirjaimella x ja muodostetaan yhtälö x = 302 x = 96 Vaunuissa 9-10 on siis 96 matkustajaa, ja vaihtoehto D on oikein.