Differentiaaliyhtälöt I, kevät 07 Harjoitus 3 Heikki Korpela. helmikuuta 07 Tehtävä. Ratkaise alkuarvo-ongelmat a) y + 4y e x = 0, y0) = 4 3 b) Vastaus: xy + y = x 3, y) =.. a) Valitaan integroivaksi tekijäksi exp 4 dx ) = exp 4x. Yleinen ratkaisu: y + 4y = exp x) exp4x) y + 4y) = exp4x) exp x) = exp 3x D x exp4x)y = exp 3x exp4x)y = exp 3x dx = 3 exp3x) + C y = exp3x 4x) + C exp 4x) 3 = exp x) + C exp 4x), C R, x I R 3 Alkuarvotehtävän ratkaisu: y0) = + 3C exp0) + C exp0) = 3 3 C =, = 4 3 b) Sievennetään yhtälöä: y = exp x) + exp 4x), x I R 3 xy + y = x 3 ol. x 0 y + x y = x Valitaan integroivaksi tekijäksi exp x dx ) = exp ln x ) = exp ln x ) = x. Yleinen ratkaisu: x y + y) = x4 x D x x y = x 4 x y = x 4 dx = 5 x5 + C y = 5 x3 + Cx, C R, x I R \ {0}
Alkuarvotehtävän ratkaisu: y) = 5 + C = C = 4 5, y = 5 x3 + 4 5x = x5 + 4 5x, x I R + Tehtävä. Ratkaise differentiaaliyhtälö x )y y = x ) 3.. Vastaus: Sievennetään: x )y y = x ) 3 ol. x y + y = x ) x ) Valitaan integroivaksi tekijäksi exp dx x = exp ln x ) = expln sgn x) merk x r x x ) = x = r x. Yleinen ratkaisu: y + ) x y r = x )x ) = x )r x ) r D x x y = x + 4)r r x y = r x + 4 dx = r x + 4x + C) y = x + 4x + C) x) = x + 8x + C + x 3 4x Cx = x 3 6x + 8 C)x + C, C R, x I R Lopussa todettiin, että määrittelyväliin voidaan ongelmitta sisällyttää myös x =.) = Tehtävä 3. Ratkaise differentiaaliyhtälö y + y cos x = sin x cos x. 3. Vastaus: Valitaan integroivaksi tekijäksi exp cos x dx ) = expsin x). y + y cos x = sin x cos x expsin x) y + y cos x) = expsin x) sin x cos x D x y expsin x)) = expsin x) sin x cos x y expsin x) = expsin x) cos x sin x dx }{{} f x) = expsin x) sin x }{{}}{{} fx) gx) }{{} gx) expsin x) cos }{{}}{{ x } dx fx) g x) = expsin x) sin x expsin x) + C = expsin x)sin x ) + C C y = sin x + exp sin x, C R, x I R
Tehtävä 4. Ratkaise differentiaaliyhtälö y = x + y x y. Vastaus: Ensinnäkin yhtälö on määritelty vain, kun x y. Oletetaan lisäksi, että x 0, ja tehdään sijoitus u = y/x. Tällöin: 4. u = y x y = xu y = u + xu, x + y = x + xu, x y = x xu, x + y x y = x + xu x xu = + u u Sijoitetaan nämä yhtälöön: y = x + y x y u + xu = + u u xu = + u u u xu = + u u u u u = + u u u = + u x u u + u = dx x + u u ) + u = dx x + u ) u + u = dx x + u u dx + u = x arctan u ln + u ) = ln x + C arctan u ln + u ) = ln x + C arctan u ln + u ) = ln x + C arctan u ln + u ) ln x = C arctan u ln + u ) + ln x ) = C arctan u ln x + x u )) = C 3
Sijoitetaan takaisin u = y/x: arctan u )) ln x + x y x = C arctan y x ln x + y )) = C arctan y x = C + ln x + y )) C + ln x + y ))) y x tan C + ln y x = tan )) x + y = 0, ja tässä implisiittiratkaisussa ovat voimassa ainakin) seuraaavat rajoitukset: Tangentin ottamisesta C + ln x + y π/ + nπn Z) Alkuperäisestä yhtälöstä y x tan C + ln ) x + y C+ln x + y π/4+nπ x 0, koska muuten tässä pisteessä tulon nollasäännön nojalla pätisi myös y = 0, jolloin alkuperäisessä yhtälössä jaettaisiin nollalla tai implisiittiratkaisussa otettaisiin logaritmia nollasta) Tarkistetaan tulos sijoituksella u = x/y alkuperäiseen yhtälöön. Tällöin: u = x y y = x u y = u u x u, x + y = x + x u, x y = x x u, x + y x y = x + x/u x x/u = u + u 4
Sijoitetaan nämä yhtälöön: y = x + y x y u u x u = + /u /u = u + u u u x = u3 + u u u x = u3 + u u + u u u = u 3 + u x u dx = u 3 + u x u u u 3 + u = dx x u 3 + u u + = dx x + 3u u 3 + u 3 u u + u + = dx x ln u 3 + u 3 lnu + ) arctan u = ln x + C ln u 3 + u lnu + ) lnu + ) arctan u = ln x + C ln uu + ) u + lnu + ) arctan u = ln x + C ln u lnu + ) arctan u = ln x + C = u3 + u u ln u lnu + ) arctan u = ln x + C ln u lnu + ) ln x arctan u = C arctan u ln u + lnu + ) + ln x = C = C arctan u + lnu + ) + ln x ln u ) = C arctan u + u ln x + x ) u = C arctan u + ) ln x + x u = C Sijoitetaan takaisin u = x/y: arctan x y + ) ln x + x x /y = C arctan x y + ln x + y ) = C arctan x y = C ln x + y ) x y = tan x y tan C ln x + y )) = 0 C ln x + y )) Oletetaan, että x, y ovat mielivaltaisia ratkaisujen määrittelyjoukkoon kuuluvia lukuja, ja pyritään osoittamaan, että asettamalla yhtälöt yhtä suuriksi seuraa väite tanc ) = tanc). Jos tämä pätee, 5
toinen ratkaisu saadaan vain siirtämällä toista vakiolla tangentin jaksolla), eli ratkaisujoukot ovat käytännössä samat. Merkitään z = lnx + y ), sin z = sz, cos z = cz, sin C = sc, cos C = cc, sin C = sc, cos C = cc. x y = y/x tan C ln x + y )) = tan C + ln x + y )) ) sin C z cos C z = cos C + z sin C + z sin C cos z cos C sin z cos C cos z sin C sin z = cos C cos z + sin C sin z sin C cos z + cos C sin z sc cz cc sz)sc cz + cc sz) = cc cz sc sz)cc cz + sc sz) cz sc sc + cz sz cc sc cz sz cc sc sz cc cc = cz cc cc + cz sz cc sc cz sz cc sc sz sc sc cz + sz ) sc sc = cz + sz ) cc cc }{{}}{{} sin z+cos z= = sc sc = cc cc sc = cc cc sc sin C = sin C cos C cos C tan C = tan C. Tehtävä 5. Ratkaise differentiaaliyhtälö y = x y + ). 5. Vastaus: Todetaan aluksi, että y ei selvästi voi olla vakiofunktio. Tehdään sijoitus u = x y + 6
y = u + x, y = u +. Saadaan: u + = u u = u dx = u ol.u u = dx + u u + u ) u = dx + u + u) u) + ) u u = dx u + ) u u = dx u + u u = dx ln u + ln u = x + C ln u) + ln u = x + C ln u) + ln u = x + C ln u) + ln u ) = x + C ln u u) = x + C ln + u) u) u) = x + C ln + u) u) = x + C = x + C + u) u) = ex e C + u) u) = ex ± e C = e x C 3 Sijoitetaan takaisin u = x y + : x y + x y Nimittäjän nollakohdat: = e x C 3 x y + = e x C 3 x y) y = e x C 3 x x y = ex C 3 x x e x, C 3 0 C 3 e x C 3 = e x = C 3 x = ln 0 ln C 3 x = ln C 3 = ln C 3 = ln C3, joten x:n määrittelyväliksi täytyy valita x I R \ rajoituksia ole, koska nimittäjä ei saavuta arvoa nolla. { ln C3 }, kun C 3 > 0. Kun C 3 < 0, ei 7
Tarkistetaan tapaus C 3 = 0 sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön: y = x = x +, y =, x y + ) = x x + ) = ) =, joten ratkaisujoukkoon kuuluvat myös funktiot C 3 :n valinnalla 0, eli C 3 R. Tarkistetaan tapaus u = sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön: u = x y + = x = y, y =, x y + ) = x x + ) = =, joten myös ratkaisu y = x kuuluu ratkaisujoukkoon. Tarkistetaan tapaus u = : u = x y + = x + = y, joka oli sama ratkaisu kuin aiemmin valinnalla C 3 = 0. Yhdistetään ratkaisut: y = ex Cx x e x C, C 0, x I R, tai y = ex Cx x e x, C > 0, x I R \ C y = x, x I R. { ln }, tai C Tehtävä 6. a) Harjoitusten ja tehtävissä 6 tutustuttiin jo differentiaaliyhtälöön Ratkaise se nyt Bernoullin yhtälönä. b) Ratkaise differentiaaliyhtälö a) Sievennetään yhtälöä: 3y y + xy x y = 0. x + x y = y4 + x ) tan x. y + xy x y = 0 x y xy = y x 0 y y x = x y Oletetaan, että y 0, ja tehdään tavanomainen sijoitus λ = ) z = y = y ja ratkaistaan muuttujat: z = y y = z, y = z z = z z 8
Tai, monistetta mukaillen: z = D x y = y y = y y ) y = z y = zz Yhtälö saa muodon: z z z x = x z z z x = x z + z x = x Integroivaksi tekijäksi voidaan valita exp x dx = exp ln x = x = x. x z + z ) = x D x x z ) = x z = dx x y = x + C y = x C x, C R Havaitaan, että määrittelyväliin voidaan sallia myös aiemmin poissuljettu x = 0, ja ratkaisujoukkoon tulee lisätä yksittäisratkaisu y 0. Ratkaisu on siis: y 0, x I R tai y = x, C R, x I R \ {C} C x b) Yhtälö on määritelty, kun x π/ + nπ, n Z. Se on Bernoullin muotoa, joten siihen kannattaa kokeilla sijoitusta u = y 3 oletuksella y 0. Tällöin: y 3 = u Sijoitetaan nämä yhtälöön: } {{ } u 0 = y = 3 u = u /3 y = /3)u 4/3 u 3 /3)u 4/3 u x }{{} + x } u /3 {{} y y u 4/3+4/3 u x + x } u /3+4/3 {{} u + = u 4/3 }{{} + x ) tan x y 4 = u 4/3+4/3 + x ) tan x u x + x u = + x ) tan x Valitaan integroivaksi tekijäksi exp x +x dx = exp ln + x = exp ln Saadaan: + x u + x ) + x u = + x + x tan x D x u + x = tan x u sin x + x = tan x dx = cos x dx u4/3 +x = +x. 9
Tehdään integrandiin sijoitus cos x = t, jolloin dt / dx = sin x dt = dt / sin x. Näin saadaan: u sin x + x = ) dt dt t sin x = t = ln t + C = ln cos x + C u = + x ) ln cos x + C) y 3 = + x ) ln cos x + C) y = + x ) ln cos x + C) ) /3 Lisäksi on huomioitava yksittäisratkaisu y 0, joka toteuttaa alkuperäisen yhtälön. Alkuperäisen yhtälön perusteella sekä vakiofunktion yksittäisratkaisun) että yleisen ratkaisun määrittelyvälistä on poistettava pisteet π/ + nπ. Tarkistetaan vielä yleisen ratkaisun nimittäjän nollakohdat: Ratkaisuksi saadaan siis: y 0, ln cos x + C = 0 ln cos x = C cos x = e C cos x = ±e C C < 0) x = arccos ±e C x I R \ {π/ + nπ, n Z} tai y = + x ) ln cos x + C) ) /3, C 0, x I R \ {π/ + nπ, n Z} tai y = + x ) ln cos x + C) ) /3, C < 0, x I R \ {π/ + nπ, n Z} {r : cos r = e C tai cos r = e C } ) 0