REA-solver - Verkkopohjainen työkalu DEA- ja REA-perusteiseen tehokkuusvertailuun

REA-solver - Verkkopohjainen työkalu DEA- ja REA-perusteiseen tehokkuusvertailuun Teknillinen korkeakoulu Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.4108 Sovelletun matematiikan erikoistyöt Reda Guer 65074W 22. joulukuuta 2009

Sisältö 1 Johdanto 2 2 Tehokkuusanalyysi 2 2.1 Tehokkuusanalyysin metodiikka................. 2 2.2 Tunnuslukujen laskenta..................... 4 2.2.1 DEA-tehokkuus ja tehokkuusluku............ 5 2.2.2 Sijaluvun vaihteluväli.................. 6 2.2.3 Parivertailu ja dominanssi................ 7 3 Laskentaohjelmisto 9 3.1 Taustaa.............................. 9 3.2 Laskentaympäristön arkkitehtuuri................ 9 3.3 Laskentatyökalun toimintaperiaate............... 10 3.3.1 Päätöksentekoyksikköjä kuvaavan aineiston syöttäminen 10 3.3.2 Painoinformaation kuvaaminen............. 11 3.3.3 Laskentatulosten tarkastelu............... 14 3.4 Työkalun laskentakyky...................... 15 4 Esimerkki - Sairaaloiden tehokkuusvertailu 16 4.1 Aineisto ja rajoitukset...................... 16 4.2 Tulokset.............................. 17 5 Yhteenveto ja pohdinnat 20

1 Johdanto Tässä työssä esitellään verkkopohjainen tehokkuuslaskentatyökalu, joka laskee syötetyn panos- ja tuotosaineiston pohjalta tehokkuuteen liittyviä tunnuslukuja vertailuyksiköille. Yleisesti tehokkuudella tarkoitetaan yksikön kykyä aikaansaada tuotoksia sen käyttämillä panoksilla. Tehokkuusanalyysin menetelmistä työssä esitellään DEA (Data Envelopment Analysis) (Charnes et al. 1978), jossa lasketaan yksikköä koskeva tehokkuusluku sekä REA (Ratio- Based Eciency Analysis), jonka tunnusluvuista kuvataan sijalukujen vaihteluväli ja dominanssit (Salo, Punkka 2009). Työ on jäsennelty seuraavasti. Luvussa 2 esitellään lyhyesti tehokkuusanalyysin keskeisin metodiikka esimerkkien avulla. Luvussa 3 kuvataan tehokkuusanalyysin tueksi kehitetyn PHP-pohjaisen laskentaohjelman arkkitehtuuri sekä toiminta. Luvussa 4 käytetään esimerkkiaineistoa, jolle ohjelman laskemat tehokkuustulokset esitellään. Luvussa 5 analysoidaan ohjelman toimivuutta sekä pohditaan mahdollisia kehityssuuntia. 2 Tehokkuusanalyysi Organisaatioita voidaan tutkia sen perusteella, mitä tuotoksia ne saavat aikaan käyttämillään resursseilla. Monesti halutaan analysoida, kuinka tehokkaasti tietty organisaatio toimii muihin verrattuna. Eri organisaatioiden tehokkuuksia voidaan vertailla tehokkuusanalyysin menetelmillä. Lähtökohtana ovat organisaatioiden käyttämät tuotokset ja panokset, joita voi olla useita. Usein hankaluutena on se, että tarkasteltavat panokset ja tuotokset eivät ole keskenään yhteismitallisia. Tämän takia on kehitetty eri menetelmiä, joista DEA lienee tunnetuin. 2.1 Tehokkuusanalyysin metodiikka DEA-menetelmässä vertailtavien yksiköiden oletetaan toimivan riittävän samantyyppisellä tehtäväkentällä samoin tavoittein. Tehokkuuteen vaikuttavien tuotosten ja panosten tulee olla kaikkien yksiköiden kohdalla vertailtavissa samoilla tuotos- ja panosmittareilla (Golany ja Roll, 1989). DEA-menetelmiä on käytetty eri aloilla. Esimerkiksi Jacobs (2001), Magnussen (1996) ja Bjorn 2

et al. (2003) tutkivat sairaaloiden tehokkuutta DEA:n avulla; Abbot ja Doucoliagos (2003) sekä Kao ja Hung (2005) keskittyvät analysoimaan yliopistojen tehokkuutta; Colbert et al. (1999) vertailevat yhdysvaltalaisten MBAohjelmien tehokkuuksia ja Talluri ja Narasimhan (2004) arvioivat ja rationalisoivat tavarantoimittajia DEA:an perustuen. Tehokkuutta mallinnetaan tyypillisesti tuotosten kokonaisarvon ja resurssien eli panosten kokonaisarvon suhteella Tehokkuus = Tuotosten arvo Panosten arvo. (1) Tietyin oletuksin kokonaisarvoa voidaan mitata yksittäisten tuotosten tai panosten painotetulla summalla, jolloin kokonaisarvot saadaan additiivisesta esityksestä (Keeney, Raia 1976). Additiivisen mallin panospainot kuvaavat DEA:ssa eri panosten arvoja suhteessa toisiinsa ja tuotospainot tuotosten arvoja suhteessa toisiinsa. Oletetaan, että tuotosten lukumäärä on N ja panosten lukumäärä M. Olkoon tuotoksille määritelty painotus u =(u 1,..., u N ) ja panoksille vastaavasti painotus v = (v 1,..., v M ). Tällöin u n kuvaa tuotoksen n yhden tuotosyksikön arvoa suhteessa muihin tuotoksiin ja puolestaan v m panoksen m arvoa suhteessa muihin panoksiin. Olkoon esimerkiksi yliopistojen tehokkuusanalyysissa mukana kaksi eri tuotosta, tohtorin ja maisterin tutkinto. Jos näiden välillä arvioidaan, että tohtorin tutkinto on yhtä arvokas kuin 3 maisterin tutkintoa, saadaan tuotosten painovektoriksi u = (u 1, u 2 ) = (u tohtori, u maisteri ) = (3, 1). Näillä merkinnöillä yksikön k tehokkuus E k voidaan määritellä E k (u, v) = n u ny nk m v mx mk, (2) jossa suhteelliset painot, tuotokset ja panokset oletetaan ei-negatiivisiksi eli u n 0, v m 0, y nk 0 sekä x mk 0. Tehokkuusluvun E k (u, v) olete- 3

taan kaikilla painoilla olevan aidosti positiivinen ja ylhäältä rajoitettu. Tässä asetelmassa yksikön tehokkuus muuttuu, kun painotus muuttuu. Useissa tehokkuustarkasteluissa tuotosten ja panosten painovektoreita halutaan rajoittaa jotenkin, koska kaikki painovektorit eivät välttämättä ole mielekkäitä. Rajoittaminen voidaan tehdä lineaaristen rajoitusten avulla pyytämällä preferenssiväittämiä. Näiden elisitointiin on kehitetty monia menetelmiä (Salo, Hämäläinen 1992, 2001). Preferenssit voidaan kuvata joko tarkan tai epätäydellisen informaation muodossa. Esimerkki tarkasta informaatiosta voisi olla u 2 = 3u 1 eli 1 yksikkö tuotosta 2 on niin arvokas kuin kolme yksikköä tuotosta 1 ja epätäydellisestä informaatiosta v 1 v 3 4v 1 eli 1 yksikkö panosta 3 on vähintään niin arvokas kuin 1 yksikkö panosta 1, muttei arvokkaampi kuin neljä yksikköä panosta 1. Väitteistä muodostetut lineaariset rajoitteet rajaavat sekä tuotosten että panosten painovektoreiden käyvät alueet S u ja S v (Salo, Punkka 2009, Podinovski 2001, 2005). Eräs tapa muodostaa rajoitukset on pyytää usealta asiantuntijalta tarkat painot ja muodostaa näiden pohjalta käypä painoalue. Tarkkoja arvoja voidaan myös nimittää arvostuksiksi. Usein päätöksentekijöitä on enemmän kuin yksi, jolloin tehokkuutta laskettaessa voidaan huomioida kaikki mahdolliset arvostukset siten, että tehokkuus lasketaan joko yksittäisen päätöksentekijän arvostusvektoreiden perusteella tai vaihtoehtoisesti yhdistellen useamman päätöksentekijän arvostuksia. Joukkoa, joka sisältää kaikki mahdolliset useamman päätöksentekijän arvostuksista muodostetut lineaarikombinaatiot, kutsutaan käyväksi arvostusjoukoksi, joka on vastaava kuin suorien lineaaristen rajoitusten tapauksessa määrätty käypä alue {S u S v }. 2.2 Tunnuslukujen laskenta Perinteisessä DEA-tehokkuusanalyysissa kullekin yksikölle pyritään etsimään sellaiset painokertoimet, joilla sen tehokkuus on mahdollisimman korkea muihin yksiköihin verrattuna. Uusista menetelmistä (Salo, Punkka 2009) tuodaan tässä työssä esille kaksi tehokkuutta kuvaavaa tunnuslukua, sijalukujen vaihteluväli ja dominanssi. 4

2.2.1 DEA-tehokkuus ja tehokkuusluku Perinteisessä DEA-mallissa etsitään painovektoreita, jotka maksimoivat tarkasteltavan yksikön k tehokkuuden ilman päätöksentekijöiden preferenssien määräämiä rajoituksia tai arvostuksia. Tällöin kullekin yksikölle etsitään painokertoimet, joilla se on mahdollisimman tehokas suhteessa muihin vertailuyksiköihin. Maksimitehokkuutta nimitetään yksikön tehokkuusluvuksi. Yksikkö, jolle löytyy tuotosten ja panosten painokertoimet, joilla se on tehokkaampi tai vähintään yhtä tehokas kuin mikä tahansa muu tarkastelunalainen yksikkö on DEA:n mielessä tehokas. Tehokkaille yksiköille tehokkuusluku normeerataan jokaisessa pisteessä (u, v) ykköseksi. Ei-tehokkaiden yksiköiden tehokkuusluku on tällöin nollan ja ykkösen välillä ja kuvaa sitä, miten tehokas kyseinen yksikkö on sille suotuisimmilla painoilla suhteessa tehokkaimpaan. Merkitään painoilla (u, v) tehokkainta yksikköä E (u, v). Tällöin yksikköä k koskeva tehokkuusluvun maksimointitehtävä määritellyt lineaariset rajoitukset huomioiden on muotoa E k (u, v) max u S u,v S v E (u, v), (3) jossa nyt siis 0 < E k (u, v) 1. Laskennan helpottamiseksi tehtävä kannattaa saattaa lineaariseen muotoon ( ks. mm. Salo, Punkka 2009). Kuvassa 1 on esitetty kolmen eri yksikön tehokkuuksien arvot kahden eikiinnitetyn tuotospainon u 1, u 2 tapauksessa, kun panospainojen arvot on kiinnitetty. Tarkasteltavassa alueessa yksikkö tuotosta 1 on vähintään yhtä arvokas kuin yksikkö tuotosta 2, mutta ei kuitenkaan arvokkaampi kuin 3 yksikköä tuotosta 2. Saadaan siis u 2 u 1 3u 2. Huomataan, että yksikkö 3 on tehokkain vasemmalla, mutta oikeassa reunassa sen tehokkuus on huonoin. Yksikkö 1 on tehokkain oikeassa reunassa, mutta huonoin vasemmalla puolella. Yksikkö 2 ei ole tehokkain missään pisteessä, 5

Kuva 1: Tehokkuudet kolmen esimerkkiyksikön tapauksessa. mutta se ei myöskään millään painotuksella ole niin paljon tehokkainta yksikköä heikompi kuin muut heikoimmassa tapauksessa. Vain lähellä vaihteluvälin keskikohtaa se on lyhyellä välillä yksiköistä tehottomin, kun muualla yksikkö sijoittuu toiseksi. Määritelmän valossa esimerkin yksiköt 1 ja 3 ovat DEA-tehokkaita. Yksikkö 2 on DEA:n mielessä tehoton. 2.2.2 Sijaluvun vaihteluväli Tarkasteltaville yksiköille voidaan laskea tehokkuus missä tahansa tuotosja panospainojen määräämässä pisteessä. Täten yksiköt myös voidaan missä tahansa pisteessä järjestää tehokkuuksien perusteella. Yksikön k järjestelyn mukaista sijoitusta kutsutaan yksikön sijaluvuksi ja se vaihtelee painokertoimien muuttuessa. Sijalukujen vaihteluväli kuvaa sitä, kuinka altis yksikön sijan vaihtelu on suhteessa painokertoimien muutokseen. Yksikkö 6

k saavuttaa parhaan (huonoimman) mahdollisen sijaluvun niillä painokertoimilla, joilla se on mahdollisimman montaa muuta yksikköä tehokkaampi (tehottomampi) tai vähintään (enintään) yhtä tehokas. Merkitään yksikön painoilla u ja v saavuttamaa sijalukua r k (u, v). Merkitään puolestaan parasta mahdollista sijalukua rk min = min u,v r k (u, v) ja huonointa mahdollista sijalukua rk max = max u,v r k (u, v). Tällöin yksikön sijalukujen vaihteluväliä voidaan merkitä r k (u, v) [rk min, rk max ], u S u, v S v. (4) Parhaan ja huonoimman mahdollisen sijaluvun etsivä optimointitehtävä voidaan esittää lineaarisena sekalukuohjelmointiongelmana ( Salo, Punkka 2009). Kuvassa 2 on esitetty tehokkuudet neljälle yksikölle. Tuotospainot vaihtelevat siten, että tuotos 1 on vähintään niin arvokas kuin neljännes tuotosta 2 ja toisaalta enintään yhtä arvokas kuin tuotos 2. Kuvasta nähdään, että yksikkö 1 sijoittuu vasemman pystyakselin kohdalla huonoiten saavuttaen sijaluvun neljä ja toisaalta oikean pystyakselin kohdalla parhaiten saavuttaen sijaluvun yksi. Niinpä sen sijalukujen vaihteluväli on [1, 4]. Yksikön 2 tehokkuus on parhaimmillaan sijalla 3 vasemmassa reunassa, mutta muutoin huonoin. Niinpä yksikön 2 sijalukujen vaihteluväli on [3, 4]. Yksikölle 3 saadaan puolestaan väli [2, 3] ja yksikölle 4 väli [1, 3]. Tästä voidaan päätellä, että yksikön 1 sijaluku on herkkä painokertoimien suhteen muutokselle. Toisaalta esimerkiksi yksikön 2 tehokkuusluku ja sija vaihtelee vain hieman eri painotuksilla. Yksiköt 1 ja 4 voivat saavuttaa sijan 1, joten ne ovat DEAtehokkaita. 2.2.3 Parivertailu ja dominanssi Tutkitaan kahden yksikön k ja l tehokkuuksia. Tarkastellussa painokertoimien joukossa on kiinnostavaa tarkastella, saavuttaako toinen yksiköistä suuremman tai yhtä suuren tehokkuusluvun kaikilla sallituilla painokertoimilla u, v. Jos yksikön k tehokkuusluku E k on vähintään yhtä suuri kuin yksikön l tehokkuusluku E l kaikilla ja suurempi joillain u, v {S u, S v }, sanotaan 7

Kuva 2: Sijaluvut neljän esimerkkiyksikön tapauksessa. yksikön k dominoivan yksikköä l (merkitään DMU k DMU l ). Olkoon tehokkuuksien suhdeluku D kl (u, v), jolloin se on muotoa D kl (u, v) = E k(u, v) E l (u, v). (5) Jos D kl on kaikilla u, v vähintään yksi ja joillain suurempi, yksikkö k dominoi yksikköä l. Mahdollinen dominanssi voidaan selvittää minimoimalla D kl. Jos tuloksena on yksi, niin tämän jälkeen lauseke tulee vielä maksimoida. Jos maksimoinnin tulos on suurempi kuin yksi, dominanssi on olemassa. Minimointitehtävän optimi kuvaa sitä, kuinka monta prosenttia yksikön k 8

tehokkuus on vähintään yksikön l tehokkuudesta. Jos esimerkiksi min D kl = 1.3, yksikkö k dominoi yksikköä l ja sen tehokkuus on vähintään 30% suurempi kuin yksikön l tehokkuus. Dominanssitarkasteluihin liittyvät minimointija maksimointitehtävät voidaan ratkaista lineaarisella ohjelmoinnilla (Salo, Punkka 2009). Kuvasta 2 voidaan päätellä myös sijalukuesimerkissä tarkasteltujen neljän yksikön dominanssirakenteet. Koska yksiköt 1, 3 ja 4 voivat tehokkuutensa puolesta olla parhaita joillakin painoilla, ne eivät voi olla dominoituja. Sen sijaan yksikkö 2 sijoittuu kaikilla mahdollisilla painoilla huonommin kuin yksiköt 3 ja 4. Täten nämä yksiköt dominoivat sitä eli DMU 3 DMU 2 ja DMU 4 DMU 2. 3 Laskentaohjelmisto 3.1 Taustaa REA-tarkasteluja on aiemmin toteutettu TKK:n Systeemianalyysin laboratoriossa esimerkiksi Kangaspunnan (2007) ja Leppäsen (2007) erikoistöiden yhteydessä. Niissä tarkastelun kohteena olivat Teknillisen korkeakoulun eri koulutusohjelmat. Näissä töissä laskenta on suoritettu räätälöidyllä taulukkolaskentasovelluksella, eikä se sovellu yleisesti REA-analyyseihin. Tämän työn yhteydessä on luotu PHP-kielinen geneerinen web-työkalu, joka laskee syötetyn aineiston ja painorajoitusten perusteella tehokkuusluvut, sijalukujen vaihteluvälit sekä dominanssit. Laskennassa ohjelmisto hyödyntää lineaarisiin ohjelmointitehtäviin soveltuvaa LP_solve-ohjelmakoodin rajapintaa. 3.2 Laskentaympäristön arkkitehtuuri Ohjelman suunniteltu arkkitehtuuri on esitetty kuvassa 3. PHP-kielellä luodun ohjelman etuna on, että käyttäjä voi tehdä tehokkuusanalyysejä omalta koneelta käsin lataamalla ohjelman verkkoselaimeen keskusserveriltä. Käyttäjä kirjautuu annetuilla tunnuksilla, ja hänen toimintaa sivustolla voidaan rajata ja hallita sessionhallinnan avulla. Käyttäjän määrittelemä tehtävä rajoituksineen ratkaistaan serverillä. Tehokkuusanalyyseihin liittyviä kuvaajia piirretään GnuPlot-rajapinnan avulla. Käyttäjälle lähetetään tulostuksina tulokset ja kuvaajat. MySQl:n avulla käyttäjän syöttämä aineisto voi- 9

daan tallettaa tietokantaan myöhempiä tarkasteluja ja esimerkiksi tilastointia varten. Kuva 3: Tehokkuustyökalun toimintaympäristön arkkitehtuuri. 3.3 Laskentatyökalun toimintaperiaate Työkalu rakentuu siten, että kirjautuessa käyttäjä ohjataan ohjelmiston etusivulle. Tämä on esitetty kuvassa 4. Etusivulla käyttäjälle kuvataan tehokkuusanalyysin tausta ja menetelmät lyhyesti. Käyttäjä siirtyy laskentaosioon sivun alareunasta. 3.3.1 Päätöksentekoyksikköjä kuvaavan aineiston syöttäminen Laskennassa on kolme vaihetta. Ensimmäisessä vaiheessa käyttäjää pyydetään syöttämään päätöksentekoyksiköiden lukumäärä, yksikköjä kuvaavien panosten ja tuotosten lukumäärät sekä panos- ja tuotosaineistoihin liittyvät arvot. Aineistot syötetään siten, että kunkin yksikön luvut ovat molemmissa tapauksissa omalla rivillään. Seuraavaksi käyttäjä etenee sivulle, jossa 10

Kuva 4: Laskentatyökalun etusivu. määritellään painokertoimia koskevat rajoitukset. Syöttösivun toiminta on esitetty kuvassa 5. 3.3.2 Painoinformaation kuvaaminen Preferenssien mallintaminen-sivulla valitaan tapa, jolla kuvataan preferenssiinformaatiota. Vaihtoehtoja ovat (i) ei-preferenssi-informaatiota, jolloin panosten ja tuotosten painokertoimille ei aseteta rajoituksia, (ii) tarkka preferenssiinformaatio, jolloin preferenssit kuvataan tarkat suhteelliset painot sisältävien arvostusvektoreiden avulla sekä (iii) epätäydellinen preferenssi-informaatio, jolloin preferenssit kuvataan painokerrointen suhteiden vaihteluväleinä eli lineaarisin painorajoittein. Jos käyttäjä valitsee laskennan ilman rajoituksia, hän voi siirtyä suoraan toiselta sivulta tarkastelemaan eri tehokkuusmittareiden yksiköille antamia 11

Kuva 5: Aineiston syöttö. tuloksia valitsemalla tehokkuustunnusluvun, jota haluaa tarkastella listalta ja painamalla Tarkastele tuloksia. Ennen tätä käyttäjä voi vielä varmistaa sivun ylälaidassa olevasta palkista Tarkastele syötteitä, mitä hän on lomakkeen ensimmäisellä sivulla syöttänyt tehtävän perusaineistoksi. Painikkeen kautta avautuu uusi ikkuna, jossa syötetty aineisto on esitetty taulukoissa. Asetelma laskentavaihtoehdoista ilman rajoituksia on esitetty kuvassa 6. Tarkan preferenssi-informaation tapauksessa annetaan arvostusvektoreiden avulla joukko painotuksia ja tehokkuustehtävät ratkaistaan niiden muodostamilla konvekseilla kombinaatioilla. Arvostusvektoreihin perustuvaa lähestymistapaa on kuvattu tarkemmin Leppäsen (2007) erikoistyössä. Arvostusvektoritapauksessa ohjelmaan syötetään panosten ja tuotosten arvostusvektorien lukumäärä sekä itse vektorit riveittäin. Vektoreissa ainostaan panos- ja tuotosvektoreiden komponenttien välisillä suhteilla on merkitystä. Laskentavaihtoehdot arvostusvektoreiden tapauksessa on esitetty kuvassa 7. 12

Kuva 6: Laskenta ilman rajoituksia. Jos preferenssi-informaatio on epätäydellistä, painokertoimille saadaan asetettua suorat lineaariset rajoitukset. Voidaan esimerkiksi arvioida, että 1 tuotos y k :ta on 2-4 tuotosta y l :ää eli y k 2y l ja y k 4y l. Epätarkan informaation tapauksessa käyttäjältä pyydetään panos- ja tuotospainovektoreille lineaarisia rajoituksia suoraan epäyhtälö- tai yhtälömuodossa. Jos eri panoksia on yhteensä M kappaletta, yhdelle riville tulee lukuja M + 1 kappaletta. Viimeinen luku kuvaa epäyhtälön merkkiä. Eri vaihtoehdot on esitetty taulukossa 1. Taulukko 1: Epäyhtälön merkkiä kuvaava luku. Merkki Luku -1 = 0 1 13

Kuva 7: Laskenta arvostuksilla. Olkoon esimerkiksi eri panoksia 3 kappaletta ja niiden keskinäisille painoille rajoitukset 1 v 1 /v 3 3 ja v 2 /v 3 = 1. Rajoitukset saadaan linearisoitua, jolloin saadaan 3 lauseketta. Rajoite-esimerkit ja niiden merkintätapa ohjelmaan on esitetty taulukossa 2. Taulukko 2: Esimerkkirajoitteiden merkintä. Lineaarinen rajoite Merkintätapa v 1 v 3 0 1 0-1 1 v 1 3v 3 0 1 0-3 -1 v 2 v 3 = 0 0 1-1 0 Samaan tapaan kuin arvostusten kohdalla, lomakkeessa kysytään panos- ja tuotosrajoitusvektorien lukumäärää sekä rajoituksia vektorimuodossa. Asetelma laskentavaihtoehdoista rajoituksien tapauksessa on esitetty kuvassa 8. 3.3.3 Laskentatulosten tarkastelu Tulososiossa käyttäjä voi tarkastella tehokkuuslukuja, sijalukuja tai dominansseja. Jokainen näistä esitetään omalla sivullaan. Jos käyttäjä valitsee tulostuskohteeksi tehokkuusluvut, siirrytään tulossivulle, jossa yksiköiden 14

Kuva 8: Laskenta rajoituksilla tehokkuusluvut esitetään pylväsdiagrammissa. Sijalukujen tapauksessa lomakkeessa siirrytään tulossivulle, jossa on esitetty graasesti yksikkökohtaiset sijalukujen vaihteluvälit. Viimeinen tarkasteluvaihtoehto on parivertailu (dominanssit), jonka valitessaan käyttäjä ohjataan sivulle, jossa yksikköjen tehokkuuksia on verrattu pareittain ja mahdolliset dominanssit on esitetty taulukossa. Arvostusten tai rajoitusten tapauksessa tulossivuilla on myös painikkeet, joista käyttäjällä on mahdollisuus tutkia syöttämäänsä preferenssi-informaatiota. 3.4 Työkalun laskentakyky Työkalun kannalta olennainen kysymys on se, kuinka laajoja tehtäviä sillä voidaan ratkaista. Ohjelmaa on käytetty normaalilla Mozilla Firefox-selaimella, jonka maksimilaskenta-aika on 30 sekuntia. Sivustoa on testattu eri kokoisilla aineistoilla ja on osoittautunut, että panos- ja tuotosmäärien kasvattaminen ei merkittävästi vaikuta laskenta-aikojen pituuksiin. Sen sijaan vertailuyksiköiden lisääminen vaikuttaa paljon sekä sijojen että dominanssien laskentaaikoihin. Esimerkkiajon tulokset on esitetty taulukossa 3. Taulukossa K viit- 15

taa yksiköiden määrään, M panosten määrään ja N tuotosten määrään. Taulukko 3: Laskentatyökalun kapasiteettitarkastelut. K M N DEA-tehokkuusluku Sijaluvut Dominanssit 20 2 2 0.218s 1.195s 1.771s 20 5 3 0.351s 1.393s 1.805s 20 8 5 0.316s 1.067s 1.856s 20 13 13 0.559s 1.270s 2.026s 40 2 2 0.596s 9.728s 5.281s 60 2 2 1.490s > 30s 12.386s 60 5 3 1.983s > 30s 14.439s 90 2 2 1.397s > 30s 29.238s Taulukon perusteella nähdään esimerkiksi 20 yksikön tapauksessa, että laskentaajat pysyvät samassa suuruusluokassa kaikissa tapauksissa erilaisilla panosja tuotoskooilla. Sen sijaan yksiköiden määrän tuplaaminen 40:een nostaa laskenta-ajan noin 9-kertaiseksi sijalukujen ja 4-kertaiseksi dominanssien tapauksessa (dominansseja laskettaessa ratkaistavien tehtävien lukumäärä nelinkertaistuu: ((2K) 2 2K)/(K 2 K) 4). Laskenta-aikojen selkeät kasvut sijalukujen tapauksessa johtuvat kokonaislukumuuttujien määrän kasvusta. Yksikkömäärillä 60 ja 90 ylitetään käytetyn selaimen maksimiajoaika 30 sekuntia. 4 Esimerkki - Sairaaloiden tehokkuusvertailu 4.1 Aineisto ja rajoitukset Seuraavassa esimerkissä (Cooper et al. 2007) vertaillaan 14 sairaalaan tehokkuutta kahden panoksen ja kahden tuotoksen tapauksessa. Panoksina ovat lääkärit (x 1 ) ja sairaanhoitajat (x 2 ), tuotoksina hoidettujen (y 1 ) ja sisäänotettujen potilaiden (y 2 ) määrät. Aineisto on taulukossa 4. Olkoot nyt panosten painot v 1 ja v 2 sekä tuotoksille puolestaan u 1 ja u 2. Esimerkissä näille kertoimille on asetettu suhteelliset vaihteluvälit 0.2 v 2 /v 1 5 ja 0.2 u 2 /u 1 5, joista saadaan 2 lineaarista rajoitetta sekä 16

Taulukko 4: Sairaaloiden panos- ja tuotosaineisto. Panokset Tuotokset Lääkärit Hoitajat Hoidetut Otetut x 1 x 2 y 1 y 2 S1 3008 20980 97775 101225 S2 3985 25643 135871 130580 S3 4324 26978 133655 168473 S4 3534 25361 46243 100407 S5 8836 40796 176661 215616 S6 5376 37562 182576 217615 S7 4982 33088 98880 167278 S8 4775 39122 136701 193393 S9 8046 42958 225138 256575 S10 8554 48955 257370 312877 S11 6147 45514 165274 227099 S12 8366 55140 203989 321623 S13 134479 68037 174270 341743 S14 21808 78302 322990 487539 panoksille että tuotoksille seuraavasti 0.2v 1 v 2 0 5v 1 v 2 0 0.2u 1 u 2 0 5u 1 u 2 0 4.2 Tulokset Panos/tuotosaineisto sekä lineaariset rajoitukset syöttämällä saadaan laskettua sairaaloiden tehokkuus- ja sijaluvut sekä dominanssit. Sivuston tulostamat tehokkuusluvut on esitetty kuvassa 9. Tehokkuuslukujen perusteella DEA-tehokkaita sairaaloita ovat 2, 3, 6 ja 10. 17

Kuva 9: Sairaaloiden tehokkuusluvut. 10 muuta sairaalaa ovat DEA:n mielessä tehottomia. Sairaaloiden sijaluvut on esitetty kuvassa 10. Sen perusteella DEA-tehokkaista sairaaloista 10 saavuttaa huonoimmillaan sijan 3, kun esimerkiksi tehokas sairaala 2 on huonoimmillaan sijalla 7. Tehottomista sairaaloista yksikkö 9 esiintyy varsin hyvin saavuttaen sijalukujen vaihteluvälin [2, 5]. Sairaalat 4 ja 13 ovat sallituilla painokertoimilla kaksi huonointa yksikköä. Sairaaloita koskevat parivertailut ja mahdolliset dominanssit on esitetty taulukossa 5. Taulukon perusteella nähdään, onko rivillä oleva yksikkö tehokkaampi kuin sarakkeella oleva yksikkö kaikilla sallituilla painokertoimilla. Jos näin on, taulukossa ilmoitetaan kyseisellä paikalla, kuinka monta prosenttia riviyksikkö on vähintään sarakeyksikköä tehokkaampi. Muutoin paikkaan merkitään tähti. DEA-tehokkaita yksiköitä 2, 3, 6 ja 10 ei dominoi mikään yksikkö. Huonoiten sijoittuvat yksiköt 4 ja 13 ovat kaikilla painoilla kaikkien muiden paitsi toistensa dominoimia. Sijalukuanalyyseissa hyvin menestynyt yksikkö 9 on myös parivertailuissa vahva, sillä sitä dominoi ainoastaan yk- 18

Kuva 10: Sairaaloiden sijalukujen vaihteluvälit. sikkö 10. 19

Taulukko 5: Sairaaloiden parivertailu ja dominanssit. S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S1 * * * 31.6% * * 2.0% * * * * * 41.1% * S2 3.2% * * 35.9% 1.2% * 7.3% * * * 1.5% * 50.4% * S3 5.1% * * 57.6% 16.4% * 24.5% 14.6% * * 17.7% 7.5% 76.7% 5.0% S4 * * * * * * * * * * * * * * S5 * * * 15.9% * * * * * * * * 48.6% * S6 7.0% * * 54.8% 11.6% * 19.9% 12.5% * * 15.6% 3.1% 65.8% * S7 * * * 26.6% * * * * * * * * 38.3% * S8 * * * 30.9% * * 0.4% * * * * * 38.8% * S9 1.4% * * 42.3% 14.8% * 12.4% 3.5% * * 6.3% * 70.6% 1.3% S10 6.5% * * 55.9% 22.0% * 23.2% 13.4% 1.8% * 16.4% 6.3% 81.3% 7.7% S11 * * * 32.3% * * 1.4% * * * * * 40.3% * S12 * * * 46.7% * * 15.9% * * * 0.1% * 60.8% * S13 * * * * * * * * * * * * * * S14 * * * 15.7% * * * * * * * * 68.4% * 5 Yhteenveto ja pohdinnat Työssä on esitetty tehokkuusanalyysin menetelmiä ja kuvattu web-pohjainen ohjelmisto, jonka avulla käyttäjä voi laskea CCR-DEA-tehokkuusluvut sekä REA:an perustuvat sijaluvut ja dominanssit. Ohjelmiston toimintaa on esitelty visualisoimalla sen laskemia tuloksia 14 sairaalan esimerkkiaineistolle. Ohjelman käytettävyyden kannalta keskeinen kysymys on, kuinka tehokkaasti sillä voidaan ratkaista erikokoisia tehtäviä. Tehdyn vertailun pohjalta käy ilmi, että laskenta-ajat kasvavat nopeasti yksiköiden määrän kasvaessa. Perusasetuksilla selaimen ohjelmalle antama suoritusaika ylittyy yksiköiden määrän ollessa yli 50. Jatkokehityksessä tulee tutkia, onko ohjelmalla mahdollisuus tehdä tehokkuusanalyyseja suuremmalle määrälle yksiköitä muuttamalla laskentaa tai selainasetuksia. Lisäksi jatkokehityksessä voitaisiin kiinnittää huomiota tulosten selkeämpään visualisointiin. Esimerkiksi yksiköiden välisten dominanssirakenteiden hahmottamista on mahdollista parantaa. Yksi tapa kuvata rakenteita on 20

kaavio, jossa kahden yksikön välistä dominanssia merkitään nuolella siten, että nuoli osoittaa dominoivasta yksiköstä dominoituun yksikköön. Dominoivat yksiköt sijoitetaan kaavion ylä- ja dominoidut yksiköt alaosaan. Tällöin dominanssirakenteiden hahmottaminen helpottuu. Ohjelmalle mahdollinen kehitysaskel olisi myös preferenssien selkeämpi elisitointi. Sivustolla voisi olla osio, jossa käyttäjällä on mahdollisuus antaa näkemyksiä panosten ja tuotosten suhteellisista arvostuksista. Eräs tapa olisi pyytää käyttäjää valitsemaan referenssituotos ( -panos), johon muita tuotoksia (panoksia) verrataan. Kysymyksenasettelu voisi tällöin olla 1 yksikkö referenssituotosta on yhtä arvokas kuin vähintään/enintään x yksikköä tuotosta y. Ohjelma määrittelisi lineaariset rajoitteet käyttäjän vastausten perusteella. 21

Viitteet [1] Abbot M., Doucouliagos C. (2003), The eciency analysis of Australian universities: a data envelopment analysis, Economics of Education Review, 22(1), 89-97 [2] Bjorn E., Hagen T., Iversen T., Magnussen J. (2003), The Eect of Activity-Based Financing on Hospital Eciency: A Panel Data Analysis of DEA Eciency Scores 1992-2000, Health Care Management Science, 6(4), 271-283 [3] Charnes A., Cooper W.W., Rhodes E., (1978) Measuring the eciency of decision making units, European Journal of the Operational Research Society, 2(6), 429-444 [4] Colbert A., Levary R., Shaner M. (2000), Determining the relative eciency of MBA programs using DEA, European Journal of Operational Research, 125(3), 656-669 [5] Cooper W., Seiford L. Tone K. (2007), Data Envelopment Analysis, A Comprehensive Text with Models, Applications, References and DEA- Solver Software, Springer Science [6] Golany B., Roll Y. (1989), An application procedure for DEA, Omega International Journal of Management Science, 17(3), 237-250 [7] Jacobs R. (2001), Alternative Methods to Examine Hospital Eciency: Data Envelopment Analysis and Stochastic Frontier Analysis, Health Care Management Science, 4(2), 103-115 [8] Kangaspunta J. (2007), Teknillisen korkeakoulun osastojen tehokkuusanalyysi, erikoistyö, http://www.sal.tkk./opinnot/mat-2.4108/ekokoelma.html [9] Kao C., Hung H. (2008), Eciency analysis of university departments: an empirical study, Omega International Journal of Management Science, 36(4), 653-664 [10] Keeney, R.L., Raia, H. (1976), Decision with Multiple Objectives: Preferences and Value Trade-os, John Wiley & Sons, New York 22

[11] Leppänen S. (2007), Tehokkuusanalyysin käyttömahdollisuuksia yliopistoyksiköiden vertailussa, erikoistyö, TKK, http://www.sal.tkk./opinnot/mat-2.4108/e-kokoelma.html [12] Magnussen J. (1996), Eciency Measurement and the Operationalization of Hospital Production, Health Service Research, 31(1), 21-37 [13] Podinovski V. V. (2001), DEA models for the explicit maximization of relative eciency, European Journal of Operational Research, 131(3), 572-586 [14] Podinovski V.V. (2005), The explicit role of weight bounds in models of Data Envelopment Analysis, Journal of the Operational Research Society, 56(12), 1408-1418 [15] Salo A., Hämäläinen, R.P. (1992), Preference Assesment by Imprecise Ratio Statements, Operations Research, 40(6), 1053-1061 [16] Salo A., Hämäläinen R.P. (2001) Preference Ratios in Multiattribute Evaluation (PRIME) - Elicitation and Decision Procedures under Incomplete Information, IEEE Transactions on Systems, Man & Cybernetics, 31(6), 533-545 [17] Salo A., Punkka A. (2009), Ranking Intervals and Dominance Relations for Ratio-Based Eciency Analysis, submitted manuscript [18] Talluri S., Narasimhan R. (2004), A Methodology for Strategic Sourcing, European Journal of Operational Research, 154(1), 236-250 23