ÆÖÒÒ ÂÖÓ ÓÖÓÙÐÙ ÌÒÐÐÒÒ ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU TEKNISKA HÖGSKOLAN HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ÔÖÓÖ¹ ÔÓ ØÖÓÖ ¹ÚÖÒÐÝÝ ÐØØÑÐÐÒ ÐÑÒØØÑÒØÐÑÐÐ ÄØÓ ÔÖÙÖ ÓÖ º½½º¾¼¼ ÅØÑØÒ ÐØÓ
Ë ÐØ ½ ÂÓÒØÓ ¾ ÑÐÐÒÒÙ ÄØØÖÒØÒ ÄØØÖÒÒ ÐØØÑÐÐ ÐÑÒØØÑÒØÐÑ ÐÑÒØØÑÒØÐÑÐÐ ÎÖÒÐÝÝ ÔÖÓÖ ¹ÒÐÝÝ ÔÓ ØÖÓÖ ¹ÒÐÝÝ ØÒÚØÓ
Ë ÐØ ½ ÂÓÒØÓ ¾ ÄØØÖÒØÒ ÑÐÐÒÒÙ ÐÑÒØØÑÒØÐÑ ÎÖÒÐÝÝ ÐÑÒØØÑÒØÐÑÐÐ ØÒÚØÓ
ÂÓÒØÓ ÃÙÒ ÚÖÐÐ Ø ÓÒ Ø ÚÖ
ÂÓÒØÓ ÃÙÒ ÚÖÐÐ Ø ÓÒ Ø ÚÖ Ë ÖÔÔÙÙ ÚÖÒ ÙÙÖÙÙ Ø
ÃÙÚ ½ ÆÐ ÐØ ÖÒ ÒÝÓÒÒ ÝÐÐ ÚÒÒÙÚµº
¾ ÆÐ ÐØ ÖÒ ÒÝÓÒÒ ÝÐÐ ÑÐÑÒ ÓÖÑÑØ ÃÙÚ ÚÒÒÙÚµº ÖÒÒÙ Ø
ÙÙÒÒØØÐÙÒ ÔØÚÓØØØ ÊÒØÒ ØÙÖÚÐÐ ÙÙ ØÚÝÝ ÝØØØÚÝÝ ÝÑÔÖ ØÒÓØ Ù ØÒÒÙ ØÒ ÑÒÑÓÒØ ØØÓÓÒÚÙ Ø ÐÐ ØÝÚÐÒÐÐ ËÙÙÒÒØØÐÙ ÓÐÑÙÐÓØØÒÒ ÙÙÒÒØØÐÙ Ú ÙÐ ÓÒØ ÓÐÑÙÐÓØØÒÒ ÑÙÐÓÒØ ÒÐÝ ÓÒØ ÑØÓØÙ ØÙÐÓ ØÒ ÓÐÑÙÐÓØØÒÒ Ú ÙÐ ÓÒØ
ËÙÙÒÒØØÐÙÔÖÓ Ò ÚÖÓÑÔÓÒÒØØ ÅØÑØØ ¹Ý ÐÒÒ ¹ÑÐÐ ÐØÓ ÓÓ ÙÙÒÒØØÐÙ ÑØÓØÙ Ø ÒÐÝ ÓÒØ ÚÖØÒº ÖÒØÒ = ÁÐ ÓÒØÚÖ ÊÒØÒ Ó Ý ÒÖØ ÑÔÒ Ó ÖÒØ Ò ½¹ÑÐÐ Ý ÐÒµ Ð ÔÐÖ ÔÐ Ö ¾¹ÑÐÐ ÐÚÓ ÐÚݵ ÐØØ ÙÓÖ = ÅÐÐÒÒÙ ÚÖ ÆÙÑÖÒÒ ÐÖØ Ù ÓÓ ÖÒØÐÐ Ó ÖÒØÐк = ÖØÓÒØÚÖ ÅÙÙØÓ ÑÐÐÒ Ø ÑÒØÐÑÒ Ø ÝÚ ÝÒغ ÌÚÓØØÒ ÓÒ ÔÐÙØØÒ ÔÖÙ ØÐÐ ÙÙÒÒØØÐÙÖØÖÒ ÑÙÙØÙÚ ÔØÐÐ ÙØÓÑØ ÓØÙ ÔÖÓ º
Ë ÐØ ½ ÂÓÒØÓ ¾ ÄØØÖÒØÒ ÑÐÐÒÒÙ ÐÑÒØØÑÒØÐÑ ÎÖÒÐÝÝ ÐÑÒØØÑÒØÐÑÐÐ ØÒÚØÓ ½¼
ÄØØÖÒØÒ ÑÐÐÒÒÙ ÌÖ ØÐØÚÒ ÓÒ ÐØØÖÒÒ Ð ÓÙØ Ø ÓÑÒÒ ÖÒÒ Ó ØÔÙÙ ÙÓÖÑØÙ Ò ÙÖÙ Òº ÈÐ ØÒ Ø ÓÒ ÙÙÒÒ ÚÒÝÚ ÓÙØ Ø ÓÑÒÒ ÖÒÒ ÙÚØÒ ÐÚݹ Ð ÐÚÓÑÐÐÐк ÌÓÐÐ ÖÒØ ÒÑ ÐÑØ Ù Ò Ý ØÝÚØ ÑÙØØ ØÓÖØØ ØÖ ØÐÙ Ò ÚÓÒ ÖÓØØ ØÓ ØÒº ÃÙÓÖÖÒØ ÐÚݹ ÐØØÑÐÐ Ý ØÝÚØ Ú ØÑØØ ÙÓÖÒ ÖÚÒ ÑÙÓÓÒ ÙÖÙ Òº ½½
Ì ÓÑÒÒ ÖÒÒ ÓÒ Ô ÙÙ ÓÒ ÄØØÖÒÒ ÔÒ ÚÖÖØØÙÒ ÔØÙÙØÒ ÐÚÝØÒ ÔÒÒÒ ÙØÒ ÝÑÑØÖÒÒ Ý ÒÖØ ÑÑÐÐÒ ÚÓº ÑÖ ÐØØÖÒØ Ø ÐØع ØØÓÖÒØØ ÖÒÒÙ ÙÒØÓ ÔÖØÐÓ ÐØ ÐØØÖÒØØ ÙÐØÙ ÚÐÒ ÐÒ¹ÙØÓ ÐÚ ÐÒØÓÓÒ ÐÝÒÔÓÖÙ ÐÙØØ ÓÒÒ ÐØØÒ Ó Ø ½¾
ÈÖØÐÓ ÐØع Ôй ÔÐÖÖÒØØ ÄÔÔÚÖ ÃÙÚ ÔÓÓµº ÑÖ ÐØØÖÒØ Ø ½
ÑÖ ÐØØÖÒØ Ø ÃÙÚ ËÐØ ÐØع Ôй ÔÐÖÖÒØØ ÍÓÒ ÊÒ µº ½
ÄØÓØÒ ¹ÑÐÐ ÐÒÖ Ø ÑÑÓ ÐÐ ÒÐÐ ÄØØÑÐÐ ÐÒÖÒÒ Ð Ø ÙÙ ØÓÖº ÀÝÝÒÒØÒ ÖÒØÒ ÓÙÙØØ Ø ÓÑ Ø ÑÙÓØÓ ÑÒ ÓÖÙØÓº ÈÝØÒ ØÖ ØÐÑÒ ÐØÒ ÔÒØ Ò ÐØØÝÚ ÙÙÖغ ÔÒÒÒ ÓØ ÙÓÖ ÖØÝÑ ØÔÙÑ w ÔÒØ Ú ØÒ ÓØ ÙÓÖÒ Ò ÙÐÑÒÑÙÙØÓ β ÖØÝÑÚØÓÖ Ä ÑÐÐ ÐØ ØÓØ ÐØÒ Ô ÙÙ Ø ÑØÖÐÒ ÝÝÝ Øº ½
ÑÐÐØ ÓÚØ ÔØÝÐÐ ÑÙØØ ÒÓÙØØÚØ ÅÓÐÑÑØ ÔÔÖØØØ ÑÒ ÓÖÙØÓ¹ÑÐÐÒÒÙ Ò Ð ÑÑØ ÐØØÑÐÐØ ÃÖÓÄÓÚ¹ÐØØÑÐÐ ÔÒÒÒ ÓØ ÙÓÖØ Ø ÐÝÚØ ÔÒØÒ ÒÒ ÓØ ÙÓÖ w = β Ê ÒÖÅÒÐÒ¹ÐØØÑÐÐ ÔÒÒÒ ÓØ ÙÓÖØ Ø ÚØ ÐÝ ÔÒØÒ ÒÒ ÓØ ÙÓÖ ÑØ ÓÙÑÔ ÐØØ Ø ÔÒÑÔ ÑÐÐÒÒÙ ÚÖº ½
Ë ÐØ ½ ÂÓÒØÓ ¾ ÄØØÖÒØÒ ÑÐÐÒÒÙ ÐÑÒØØÑÒØÐÑ ÎÖÒÐÝÝ ÐÑÒØØÑÒØÐÑÐÐ ØÒÚØÓ ½
ÑÙÙÐÐ ÐÑÒØÒ ÐÙÐÐ ÖØ Ù ÙÚØÒ ÔÓÐÝÒÓÑÐÐ Ð ÑÙÓØÓÙÒØÓÐÐ Ý ÒÖØ ÐÐ ÐÑÒØØÑÒØÐÑ ÄØØÑÐÐ ÓØ Ó ØØ ÖÒØÐÝØÒ ÓÒ Ø ØÖÚØÒ ÐÑÒØÐÑ ÝØÐÒ ÑÓÒÑÙØ ÙÙÒ ÖØ Ñ º ÊØ Ù ÙÓÖØØÒ Ù ÑÑØÒ ÐÑÒØØÑÒØÐÑÒ ÔÖÙ ØÙÚÐÐ ØØÓÓÒÓÐÑ ØÓÐк ÐÑÒØØÑÒØÐÑÒ ÔÖÙ ØÒ ØÖ ØÐØÚ ÐÙ ÐØÒ ÔÒص Ó Ò Ð ÐÑÒØØÒ ÓÐÑÓØ ÒÐÙÐÑÓص ÐÑÒØØÚÖÓÒ Ù Ò ÐÑÒØ ÔÒ ÑÖ Ð ÒØÔ ØØÐ ÚÔÙ ØØ ½
ÑÖ ÈÖØÐÓÒ ¹ÑÐÐ ÐÑÒØØÚÖÓ ÃÙÚ Ôй ÔÐÖÐÑÒØغ ÐØع ÑÖ ÐÑÒØØÚÖÓ Ø ½
ÑÖ ËÐÐÒ ¹ÑÐÐ ÐÑÒØØÚÖÓ ÐØع ÃÙÚ ÔÐÐÑÒØØ ÑÖ ÐÑÒØØÚÖÓ Ø ¾¼
Ë ÐØ ½ ÂÓÒØÓ ¾ ÄØØÖÒØÒ ÑÐÐÒÒÙ ÐÑÒØØÑÒØÐÑ ÎÖÒÐÝÝ ÐÑÒØØÑÒØÐÑÐÐ ØÒÚØÓ ¾½
ÖØÓÓ ÙÒ ÒÓÔ Ø ÚÖ ÔÒÒ ÙÒ ÎÖÖÚÓ ØÒÒØÒº ÐÑÒØØÚÖÓ ÎÖÒÐÝÝ ÐÑÒØØÑÒØÐÑÐÐ ËØ ØÖÑÔ ÓÒ ÐÖÚÓÖØ Ù ÈÖÙ ÔÖØ ÑØ ÒÑÑÒ ÓÒ ÐÑÒØØ Ð ÑØ ØÑÔ ÐÑÒØØÚÖÓ ÔÒÑÑØ ÐÑÒØص ÑØ ÒÑÑÒ Ù Ò ÐÑÒØ ÓÒ Ð ÒØÔ ØØÐ ÚÔÙ ØØ ÓÖÑÔ Ø Ø ÐÑÒØص ÔÖÓÖ ¹ÒÐÝÝ ÚØ ØÙØ ØØÓ ØÖ Ø ÖØ Ù Ø Ø ÙÓÖÑØÙ Ø ÝÐÒ ÐÓÐ Ð Ó ÓÓ Ð ÒعÐÙØØ Ô ÐÙÐÐÒÒ ØÓÖØØÒÒ ¾¾
ÑÖ ÔÖÓÖ ¹ÚÖÖÚÓ Ø w w h ÓÒ ÚÖ Ñ w ÓÒ ØÖ ÖØ Ù w h ÓÒ ÐÖØ Ù 1 ÓÒ ÑØØÖ Ò ÑÑ Ò ØÒ ËÓÓÐÚ¹ÒÓÖÑ w w h 1 Ch k w k+1, ÓÒ ØÙÒØÑØÓÒ ÚÓ Ó ÖÔÙ h Ø C ÓÒ ÐÑÒØØÓÓ Ð ÙÙÖÑÑÒ ÐÑÒØÒ Ð h ÓÒ ÐÑÒØÒ ØÐÙÙ k ¾
ÐÑÒØØÚÖÓÒ ØÒÒÝ ÔÖÓÖ ¹ÚÖÖÚÓÒ ÒÙÑÖ¹ ÃÙÚ ØÓÒØÑÒÒº ÒÒ ÑÖ ÚÖÓÒØÒÒÝ Ø ÚÖÒ ÔÒÒÑ Ø 10 1 10 2 10 3 Relative H 1 error 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 0 10 1 10 2 Number of elements in x direction ¾
ÖØÓÓ ÖØÝ Ø ÚÖÒ ØØÝÑ Ø Ó ÓØØ ÎÖÖÚÓ ÐÑÒØØÚÖÓ ÓÒ ØÒÒØØÚ ÓØØ ÚÖ ÔÒÒº Ñ Ø ÔÖÓÖ¹ ÔÓ ØÖÓÖ ¹ÚÖÒÐÝÝ ÒØÚØ ØÓØ ÚÖÒ ÔÒÒØÑ ÐÙØØÙÙÒ ØÓÐÖÒ Òº ØÝÐÙØ ÔÓ ØÖÓÖ ¹ÒÐÝÝ Ú ØÙØ ØØÓ ØÖÒ ÖØ ÙÒ Ø ÙÓÖÑØÙ Ò ÒÒÐÐ ÝÝ Ø ÐÓÐ ÐÓÐ Ð Ó Ý ØØ Ø ÐÑÒØØ Ò ÒÔÙÖØ ØØ ÓÓ Ð ÒعÐÙØØ ÐÙÐÐÒÒ ÑÖÐÐÒÒ ØÓÖØØÒÒ ÝØÒÒÐÐÒÒ ¾
ÔÓ ØÖÓÖ ¹ÚÖÒØØÓÖÒ Ó ÓØØÑ ÚÖ ØØÝÑ ÃÙÚ ÒÙÖ ÔØÚÒÒ ÐÑÒØØÚÖÓÒ ØÒÒÝ ÚÖÒ ÐØÒ ÑÖ ÔØÚ Ø ÚÖÓÒØÒÒÝ Ø ÔÒÒØÑ º ¾
Ø ÓÑ Ò ÓÙÒ ÖÒØÒ ØÚÙØÙ Ò ÒÐÝ ÓÒØ ÄØÒ ÚÙÐÐ ÐÑÒØØÑÒØÐÑÒ ØÒÚØÓ ÐÑÒØØÑÒØÐÑÒ ØÝ ÚÖÒ ØÓÖØØÒÒ ÔÖÓÖ ¹ÒÐÝ ÓÒØ ÒÙÑÖÒÒ ØÓÒØÑÒÒº ÇÐÑÓØÚÒ ÔÓ ØÖÓÖ ¹ÚÖÒØØÓÖÒ ØÝ ÒÐÝ ÓÒØ ÒÙÑÖÒÒ Ø ØÙ º ÄØØÑÐÐÒ ÐÑÒØØÑÒØÐÑØ ÖØÐ Ê ÒÖÅÒÐÒ¹ÑÐÐÐÐ ÃÖÓÄÓÚ¹ÑÐÐÐÐ ÔÖÓÖ¹ ÚÖÒÐÝÝ ÔÓ ØÖÓÖ ¹ÚÖÒÐÝÝ ¾
ÃÙÒ ÑÒØÐÑÑÑ ØÓÑÚØ ÚÐÝÚÒØÒ ØÔÙ ¾
ÄÙÑØÑÑØÒ ØÒØÑÐÐ ÚÖÓ ÓØ ÚÐÝÚÙÐÑ ¾