VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää ellei halua 1 Olkoon f : R n R differentioituva funktio ja f ) = f) kaikilla R n Osoita, että f ) = f) Määritä tällöin f0) Ratkaisu: Tehtävänä on siis osoittaa, että parillisen funktion gradientti on pariton funktio Yleensä helpoin tapa päästä tehtävään käsiksi on kaivaa määritelmät esille ja sijoittaa niihin tehtävässä annetut tiedot Määritelmän mukaan, funktion f osittaisderivaatta i muuttujan suhteen pisteessä on f + he i ) f) i f), h 0 h missä e i on on i standardi yksikkövektori Näin ollen f + he i ) f) i f ) h 0 h Kutsutaan nyt raja-arvossa esiintyvää lukua h nimellä t h 0 ja t 0 ovat yhtäpitäviä Saamme siis f:n parillisuuden nojalla, f te i ) f) lim t 0 t f te i ) f) i f ) t 0 t t 0 f + te i ) f) t = i f) Saimme siis, että i f ) = i f) kaikilla i, eli f ) = f) Tämän seurauksena f0) = f 0) = f0) Lisäämällä puolittain f0), saamme 2 f0) = 0, eli f0) = 0 Huomautus: Merkinnän f ) voi tulkita kahdella tavalla Sen voi joko ajatella tarkoittavan funktion f gradienttia pisteessä, tai sitten funktion g) = f ) gradienttia Tarkastellaan hieman eroa yhdessä ulottuvuudessa Vastaava ongelma olisi: mitä d f ) tarkoittaa? d Toisaalta, sen voisi ajatella tarkoittavan funktion f arvoa pisteessä, eli lukua f ), mutta toisaalta, sen voisi ajatella tarkoittavan funktion g) = f ) derivaattaa, eli lukua f ) Yleensä asiayhteydestä erottaa, että kumpaa tarkoitetaan Esimerkiksi tämä tehtävä ei onnistu jälkimmäisellä tulkinnalla Parillisuuden nojalla g) = f ) = f), joten olisi g) = f) eikä g) = f), kuten haluttiin 2 Maaston korkeus pisteessä, y) on 1
h, y) = 10 3 + 2 + 2y 2 Pisteen 3, 2) kautta kulkee puro Määritä puron suunta tässä pisteessä Ratkaisu: Puro kulkee tietenkin siihen suuntaan, mihin maasto laskee jyrkiten Jos haluaa, tästä voi vakuuttaa itsensä vaikka miettimällä, että mihin suuntaan painovoimavektorin maastonsuuntainen komponentti on suurin ja mitä siitä seuraa, että se on suurin johonkin suuntaan Tehtävänä on siis löytää se suunta, mihin maasto laskee jyrkiten Martion kirjassa sivut 49-52) on perusteltu, että gradientti f 0 ) on se suunta, mihin f kasvaa voimakkaimmin pisteessä 0 Tämä tietenkin tarkoittaa, että f 0 ) on suunta, johon f vähenee voimakkaimmin pisteessä 0 se, että f kasvaa on yhtäpitävää sen kanssa, että f vähenee) Nyt ) 10 h, y) = 3 + 2 + 2y 2 ) 2, 10 2 3 + 2 + 2y 2 ) 4y, 2 joten h3, 2) = 3 20, 1 ) 5 Puron suuntavektorin projektio, y-tasoon on siis vektorin 3i + 4j suuntainen Kommentteja: Huomaa, että saatu vastaus on ainakin jossain määrin järkevä, koska tahän suuntaan sekä ja y kasvavat, joten maaston korkeus ainakin laskee Jos olisi ollut laiska, olisi voinut huomata, että pakkohan funktion h on vähetä voimakkaimmin siihen suuntaan, mihin funktio g, y) = 2 +2y 2 kasvaa voimakkaimmin Tämä taas tapahtuu suuntaan g3, 2) = 6, 8), mikä on sama suunta, kuin mikä edellä saatiin Tehtävän olennainen idea, että gradientti kertoo suurimman kasvun suunnan on ihan hyvä asia yrittää muistaa 3 Olkoon f : R 2 R, f 1, 2 ) = sin 1 ) cos 1 2 ) Määritä derivaatat 2 2 f, 1 2 f ja 2 2 2 f Ratkaisu: Tämä on silkkaa laskemista - pelkkää tulon derivointisäännön ja yhdistetyn funktion derivointisäännön käyttämistä 2 f 1, 2 ) = sin 1 ) sin 1 2 )) 1, 1 2 f 1, 2 ) = 1 sin 1 ) sin 1 2 ) 1 ) = cos 1 ) sin 1 2 ) 1 sin 1 ) cos 1 2 ) 1 2 sin 1 ) sin 1 2 ), 2 2 f 1, 2 ) = 2 sin 1 ) sin 1 2 ) 1 ) = sin 1 ) cos 1 2 ) 2 1 ja 2
2 2 2 f 1, 2 ) = 2 sin 1 ) cos 1 2 ) 2 1) = sin 1 ) sin 1 2 ) 3 1 Kommentteja: Yleensä merkitään 3 2f eikä 2 2 2 f Sekaderivaattoja kuten 1 2 f sen sijaan joskus merkitään 1,1) f, missä m,n) f tarkoittaa, että derivoidaan m kertaa 1 :n suhteen ja n kertaa 2 :n Tällainen merkintä on mahdollinen vain silloin kun kaikki nuo osittaisderivaatat ovat jatkuvia, joten derivoinnin järjestyksellä ei ole väliä 4 Olkoon D R 2 avoin Funktio u C 2 D) on harmoninen joukossa D, mikäli 1 1 u + 2 2 u = 0 kaikkialla D:ssä Osoita, että funktio f 1, 2 ) = 3 1 3 1 2 2 on harmoninen koko tasossa ja anna esimerkki C 2 -funktiosta, joka ei ole harmoninen R 2 :ssa Ratkaisu: Taas pelkkää laskemista: 1 f 1, 2 ) = 3 2 1 3 2 2, 1 1 f 1, 2 ) = 6 1, 2 f 1, 2 ) = 6 1 2 ja 2 2 f 1, 2 ) = 6 1, joten 1 1 f 1, 2 ) + 2 2 f 1, 2 ) = 6 1 6 1 = 0 eli funktio on harmoninen Katsotaan sitten vaikka funktiota u 1, 2 ) = 2 1 Nyt 1 1 u 1, 2 ) = 2 ja 2 2 u 1, 2 ) = 0, joten u ei ole harmoninen Kommentteja: Harmoniset funktiot ovat varsin tärkeitä eri puolilla matematiikkaa ja myös sovelluksissa Differentiaalioperaattori 1 1 + 2 2 on sen verran tärkeä, että sillä on oma nimi - Laplacen operaattori ja sitä yleensä merkitään Joskus myös 2, koska formaalisti = 2 1 + 2 2 = R n :ssä Laplacen operaattori on = 2 1 + + 2 n Harmoniset funktiot ovat siis funktioita, jotka toteuttavat yhtälön u = 0 Tätä yhtälöä kutsutaan Laplacen yhtälöksi Syy miksi harmoniset funktiot ovat niin tärkeitä esimerkiksi fysiikassa on, että monet fysiikan yhtälöt pelkistyvät Laplacen yhtälöksi jollakin rajalla Seuraavassa pari esimerkkiä Olkoon D R 3 jokin kappale ja ut, ) lämpötila kappaleen pisteessä hetkellä t Tällöin u toteuttaa yhtälön niinsanotun lämpöyhtälön) t u = κ u jollakin vakiolla κ olettaen, että kappaletta ei erillisesti lämmitetä ja, että se on homogeeninen ja muita yksinkertaistuksia) On luonnollista olettaa, että pitkän ajan kuluttua kappaleen lämpötila on saavuttanut jonkin tasapainon ja t u = 0 tasapainotilassa lämpötila ei muutu ajan funktiona), jolloin u olisi harmoninen funktio Toinen esimerkki saadaan sähkömagnetismista Mawellin yhtälöistä voi osoittaa, että mikäli alueessa D ei ole varauksia ja magneettikenttä on staattinen eli ei riipu ajasta), sähkökentän potentiaali on harmoninen funktio D:ssä Vastaavanlaisia esimerkkejä löytyy myös virtausmekaniikasta Matematiikassa esiintyvä esimerkki harmonisesta funktiosta löytyy kompleksianalyysin eli funktioteorian piiristä Funktioteorian kurssilla näytetään, että jos kompleksinen funktio f : C C 3
on derivoituva jossakin alueessa D, niin funktion reaaliosa u = Ref ja imaginääriosa Imf ovat harmonisia funktiota D:ssä 5 Onko olemassa funktiota f : R 2 R, jonka toisen kertaluvun osittaisderivaatta 2 2 f on olemassa koko tasossa, mutta ei ole jatkuva Ratkaisu:Aluski erään oppilaan harjoituksissa esittämä ratkaisu Tarkasteellaan funktiota f 1, 2 ) = 1 g 2 1) 2 2, missä g on jokin epäjatkuva funktio - esimerkiksi g 1 ) = 1, kun 0 ja g 1 ) = 2, kun > 0 Nyt 2 2 f 1, 2 ) = g 1 ), joka ei ole jatkuva funktio Mallien laatija ei tajunnut tätä yksinkertaista ratkaisua, vaan paljon monimutkaisemma Siinä on se hyvä puoli, että se on esimerkki hieman hankalampaan ongelmaan: anna esimerkki differentioituvasta tai kahdesti differentioituvasta funktiosta f, jolle 2 2 f on epäjatkuva Jatkosta ei tarvitse välittää ellei halua Tässä vedetään ensin hihasta ratkaisu, osoitetaan, että se tosiaan on ratkaisu ja sitten ne jotka haluavat, voivat lukea, että miten tähän ratkaisuun voisi päästä Funktio f : R 2 R, f 1, 2 ) = 4 2 sin 1 2, kun 2 0 ja f 1, 0) = 0 on esimerkki funktiosta, jonka osittaisderivaatta 2 2 f on olemassa kaikkialla, mutta ei ole jatkuva Ensiksi tarvitsemme sitä, että osittaisderivaatta 2 f on olemassa kaikkialla Selvästikin ainoat mahdolliset ongelmakohdat ovat ne pisteet, joissa 2 = 0 Tutkitaan osittaisderivaattaa näissä pisteissä f 1, 2 ) f 1, 0) 2 f 1, 0) 2 0 2 2 0 3 2 sin 1 2 = 0, joten osittaisderivaatta on olemassa ja nolla niissä pisteissä, joissa 2 = 0 Jotta voidaan tutkia toisen kertaluvun derivaatan olemassaoloa, tarvitaan 2 f 1, 2 ) kaikilla 2 2 f 1, 2 ) = 4 3 2 sin 1 2 2 2 cos 1 2 Taas ainoat mahdolliset ongelmakohdat 2 2 f:n olemassaolon suhteen ovat ne pisteet, joissa 2 = 0 Tutkitaan osittaisderivaattaa näissä pisteissä 2 f 1, 2 ) 2 f 1, 0) 2 2 f 1, 0) 2 0 2 ) 4 22 sin 12 2 cos 12 2 0 = 0 Näinollen 2 2 f on olemassa aina Meidän on vielä näytettävä se epäjatkuvaksi jossakin pisteessä Kun 2 0, 2 2 f 1, 2 ) = 12 2 2 sin 1 2 6 2 cos 1 2 + sin 1 2 Kun 2 0, nuo kaksi ensimmäistä termiä menevät nollaan, mutta viimeisellä termillä ei ole raja-arvoa Näinollen ei ole olemassa raja-arvoa lim 2 0 2 2 f 1, 2 ) millään 1, joten 2 2 f ei voi olla jatkuva pisteissä 1, 0) 4
Suomennos, eli mitä mallien laatijalla liikkui päässä tehtävän aikana Usein, kun törmää kysymykseen, johon ei osaa suoralta kädeltä vastata, kannattaa yrittää yksinkertaistaa kysymystä Nyt huomataan, että ehto 2 2 f ei riipu lainkaan muuttujasta 1, joten ehkä löytyy jokin ehdon toteuttava funktio f, joka ei riipu lainkaan muuttujasta 1 Tällöin ongelma onkin vain yhden muuttujan ongelma: etsi kahdesti derivoituva funktio, jonka toinen derivaatta on epäjatkuva Vieläkään ei tehtävän ratkaisu tunnu ilmeiseltä, joten koitetaan yksinkertaistaa lisää Jos tälläinen yhden muuttujan funktio g on olemassa, niin sen derivaattafunktion h = g taytyy toteuttaa seuraavat ehdot: h on derivoituva, mutta h = g on epäjatkuva Koitetaan siis ensin löytää derivoituva funktio, jonka derivaatta ei ole jatkuva ja rakennetaan siitä lopullinen ratkaisu Joku on saattanut törmätä tällaisiin funktioihin Analyysi I:n kurssilla tai jopa lukiossa Mikäli ratkaisu löytyy, sen derivaatta on esimerkki epäjatkuvasta funktiosta, jolla on integraalifunktio Tyyppiesimerkki ratkaisusta on h) = 2 sin 1, kun 0 ja h0) = 0 Oikeastaan paljon helmpompaa funktiota ei ole olemassa Esimerkiksi funktiolla, joilla on hyppyepäjatkuvuus ei voi olla integraalifunktiota Nyt h 0) 0 h) h0) 0 sin 1 = 0, on olemassa, joten h on derivoituva origossa Selvästikin h on derivoituva kun 0 joten h on kaikkialla derivoituva Kun 0, h ) = 2 sin 1 cos 1 Tuo ensimmäinen termi menee nollaan, kun 0, mutta jälkimmäisellä termillä ei ole raja-arvoa, kun 0, joten h :lla ei voi olla raja-arvoa origossa Erityisesti h ei ole jatkuva Olemme siis löytäneet derivoituvan funktion, jonka derivaatta ei ole jatkuva Koitetaan nyt löytää funktio, jonka derivaatta käyttäytyy jossain määrin samoin kuin h Jos haluaa funktiolta lisää sileyttä eli, että sitä voisi derivoida lisää), usein ensimmäinen idea on kertoa sitä polynomilla Kokeillaan nyt funktiota g) = 4 sin 1, kun 0 ja g0) = 0 kokeile funktiota g) = 3 sin 1 ja mieti miksi se ei toimi) Nyt g 0) 0 g) g0) on olemassa, joten taas g on ainakin derivoituva Lisäksi 0 3 sin 1 = 0 g ) = 4 3 sin 1 2 cos 1 Nyt g 0) 0 g ) g 0) 4 2 sin 1 0 cos 1 ) = 0, ja taas koska origo on ainoa mahdollinen ongelmapiste, g on kahdesti derivoituva Kun 0, g ) = 12 2 sin 1 6 cos 1 + sin 1 5
ja tällä ei selvästikään ole raja-arvoa origossa, joten se ei ole jatkuva Päättelemme siis, että funktiolla f : R 2 R, f 1, 2 ) = 4 2 sin 1 2, kun 2 0 ja f 1, 0) = 0, on olemassa toisen kertaluvun osittaisderivaatta 2 2 f kaikkialla, mutta tämä ei ole jatkuva pisteissä joissa 2 = 0 6 Yhtälön + 2y + z + e 2z = 1 ratkaisu voidaan esittää origon lähellä muodossa z = f, y) sopivalla f Määritä f0, 0), 1 f0, 0) ja 1 2 f0, 0) Ratkaisu: Ei ole mitenkään itsestäänselvää, että vaikka tällainen f olisikin olemassa, sen osittaisderivaatat olisivat olemassa Tehtävänannon voi kuitenkin lukea niin, että tämä oletetaan tunnetuksi, joten siitä ei välttämättä tarvitse huolehtia Lopuksi pari kommenttia siitä miksi tämä tosiaan on näin Sijoittamalla = 0, y = 0, z = f0, 0), saadaan f0, 0) + e f0,0) = 1 Koska funktio + e on aidosti kasvava tarkista derivoimalla) se saa arvon yksi korkeintaan yhdessä pisteessä Lisäksi koska 0+e 0 = 1, f0, 0) = 0 on ainoa ratkaisu yhtälölle f0, 0)+e f0,0) = 1 Derivaattojen selvittämiseksi, tarkastellaan funktiota g, y) = + 2y + f, y) + e 2f,y) Oletuksen nojalla, g on olemassa riittävän lähellä origoa, ja se on vakiofunktio g, y) = 1 Näin ollen 1 g, y) = 0 origon lähellä Olettaen, että 1 f0, 0), on olemassa, saadaan eli 1 f0, 0) = 1 3 Vastaavasti 0 = 1 g0, 0) = 1 + 1 f0, 0) + 2 1 f0, 0)e f0,0) = 1 + 3 1 f0, 0), mistä seuraa, että 2 f0, 0) = 2 3 Edelleen 0 = 2 g, y) = 2 + 2 f, y) + 2 2 f, y))e 2f,y), 1 2 g, y) = 1 2 f, y) + 1 22 f, y))e 2f,y)) = 1 2 f, y) + 2 1 2 f, y))e f,y) + 2 1 f, y))2 2 f, y))e f,y) Sijoittamalla tähän f0, 0) = 0, 1 f0, 0) = 1 ja 3 2f0, 0) = 2 saadaan 3 0 = 1 2 f0, 0) + 2 1 2 f0, 0))e 0 + 2 1 ) 2 2 ) e 0 3 3 eli 1 2 f0, 0) = 8 27 Kommentteja: Sen, että f osittaisderivaattoineen on olemassa, voi perustella implisiittifunktiolauseella: Implisiittifunktiolause Olkoon F : R n+m R m jatkuvasti derivoituva ja kirjoitetaan avaruuden R n+m piste muodossa, y), missä R n ja y R m Olkoon F a, b) = c joillakin a R n ja b, c R m Mikäli matriisi y 1 F 1 a, b) y 1 F m a, b) y m F 1 a, b) y m F m a, b) 6
on kääntyvä eli sen determinantti ei ole nolla), on olemassa avoimet joukot U R n ja V R m, joille a U, b V ja on olemassa yksikäsitteinen jatkuvasti derivoituva funktio G : U V, jolle F, G)) = c, kun U Lauseen todistus löytyy esimerkiksi Walter Rudinin kirjasta Principles of mathematical analysis Se mitä lause sanoo, on että yhtälöstä F, y) = c voi ratkaista y:n :n funktiona y = G)) lokaalisti pisteen a, b) ympärillä, mikäli tuo ylläoleva matriisi on kääntyvä Meidän tapauksessa, n = 2, m = 1, F, y), z) = + 2y + z + e z, a = 0, 0), b = 0 ja c = 1 Koska m = 1, ylläoleva matriisi pelkistyy vain tavalliseksi funktioksi z F 0, 0), 0) = 1 + e 0 = 2, joten lauseen ehdot täyttyvät ja tehtävän funktio f on jatkuvasti derivoituva Implisiittifunktiolausetta voi parantaa esimerkiksi niin, että vaaditaan, että funktio F on kahdesti jatkuvasti derivoituva, jolloin funktio G on myös Tästä seuraa, että tehtävän derivaatat ovat olemassa 7