1. Onko lause ( A B) ( A B) tautologia?. Jaa luvut 16 360 ja 8 65 alkutekijöihin. Määrää myös syt(16 360, 8 65) ja pym(16 360, 8 65). 3. a) Laadi totuustaulu lauseelle ( A B) B. Milloin lause on tosi? b) Mitä jää jakojäännökseksi, jos luku 51 19 50jaetaan luvulla 9? 4. Nimismies Neuvosella oli ratkaistava visainen pulma: Rikoksesta epäillään Aria, Bengtiä tai Callea ja joku heistä tai useampi heistä on varmasti syyllinen rikokseen. Neuvosella oli juttuun kaksi täysin luotettavaa todistajaa, joista ensimmäinen sanoi, että jos Ari on syytön tai Bengt on syyllinen, niin silloin Calle on syyllinen. Toinen sanoi, että jos Ari on syytön, niin Calle on syytön. Lisäksi Neuvonen tietää, että Ari ja Calle ovat olleet pahasti vihoissaan toisilleen eivätkä ole varmasti tehneet rötöksiä yhdessä. Auta Neuvosta rikoksen selvittämisessä! Kuka tai ketkä ovat syyllisiä? 5.a) Määritä x ja y, kun 36x49y 14 b) Määritä Eratostheneen seulalla kaikki alkuluvut, jotka ovat pienempiä kuin 100 6. Todista: Jos a on irrationaaliluku, niin myös a 1 a 1 on irrationaaliluku. 7. a) Emma osti lastentapahtumaan kahdenlaisia karkkipusseja. Toiset maksoivat 1,15 euroa ja toiset 1,95 euroa. Lasku oli 166,30 euroa. Kuinka paljon kumpiakin karkkipusseja oli? b) Oletetaan, että n on kokonaisluku. Onko luku 8. JOKERI (maksimi 9p.) nn ( 3) jaollinen kolmella? a) Määrää ilman Eratostheneen seulaa alkuluku, joka on suurempi kuin alkuluvut 89 ja 103. (3p) b) Osoita, että alkulukuja on äärettömästi. () OTA TÄMÄ KOEPAPERI MUKAASI! OIKEAT VASTAUKSET LÖYTYVÄT TÄMÄN PÄIVÄN AIKANA (n. klo 11:30 jälkeen) NETISTÄ OSOITTEESTA: http://jussityni.wordpress.com/
Ratkaisut: 1. C D A B 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 Lause on tautologia, jos se on tosi kaikilla muuttujien totuusarvoilla. Totuustaulun mukaan lause ( A B) ( A B) ei ole tosi, jos A ja B ovat tosia tai jos A ja B ovat epätosia. Lause ei siis ole tautologia.. 3 16360 51636 5818 5409 5409 865 51653 53551 5319 9 Nyt syt(16 360, 8 65)=5 ja pym(16360,865)= 16360 865 13515400 5 3. a) A B B A B ( A B) B 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 Lause on siis tosi aina kun A on epätosi.
b) 19 1(mod 9) 51 515 51 515 19 1 (mod 9) 19 50 1 5(mod 9) 5(mod 9) 50 5(mod 9) 4. A := Ari on syytön, B:= Bengt on syytön, C:=Calle on syytön. Todistajien lauseet: ( A B) C A C Totuustaulu tilanteesta:. Jakojäännös on siis 5. A B C B C A B ( A B) C A C 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 Totuustaulussa on nyt ympyröity sellaiset rivit, joilla molemmat todistajien lausunnot ovat tosia, kuten pitikin olla. Alimmalla ja kolmanneksi alimmalla rivillä on vain se ongelma, että niissä tilanteissa Ari ja Calle ovat kumpikin syyllisiä ja se ei tarkastaja Neuvosen tietojen mukaan ole mahdollista, koska miehet olivat keskenään riidoissa. Tällöin ainoa mahdollinen tilanne on neljännen rivin skenaario, missä Ari on syyllinen ja Bengt ja Calle syyttömiä.
5. a) 36x49y 14 Ensin syt(36,49)= 1 1 10 33 49 136 13 36 1310 13 110 3 10 33 1 3 31 1 10 3 (1310) 10 313 310 410 313 1 4(36 13) 313 1 436 813 313 436 1113 => 1 436 11(49 36) 436 11 49 1136 1 1536 11 49 14 14 1036 154 49 x 10 ja y 154 b) 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 8 9 30 31 3 33 34 35 36 37 38 39 40 41 4 43 44 45 46 47 48 49 50 51 5 53 54 55 56 57 58 59 60 61 6 63 64 65 66 67 68 69 70 71 7 73 74 75 76 77 78 79 80 81 8 83 84 85 86 87 88 89 90 91 9 93 94 95 96 97 98 99 100 Eli 100 pienemmät alkuluvut ovat:
1,,3,5,7,11,13,17,19,3,9,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97. Erathosteneen seulassa riittää, kun viivaa yli kaikki sellaiset luvut, jotka ovat jaollisia pienemmillä alkuluvuilla, kuin 100 10, eli 1,,3,5 ja 7. 100 10. 6. Oletus: a on irrationaaliluku (päättymätön, epäsäännöllinen desimaali) Väite: Jos a on irrationaaliluku, niin myös Todistus: Tehdään vastaoletus, että luku a1 p, missä p, q a 1 q. a 1 a 1 a 1 a 1 on irrationaaliluku. on rationaaliluku. Luku on siis muotoa: Nyt a1 p q(a 1) p( a 1) aq q pa p a1 q aq pa q p a( q p) q p : ( q p) q p a q p mikä on murtoluku. Tämä on ristiriidassa oletuksen kanssa. => Vastaoletus on siis väärä, joten a 1 a 1 on irrationaaliluku. 7. a) syt(1,95;1,15)=0,05 1,95 11,15 0,8 1,15 10,8 0,35 0,8 0,35 0,1 0,35 30,10, 05 0,1 0,05 Nyt toisin päin:
0, 05 0,35 30,1 0, 05 0,35 3(0,8 0,35) 0,35 30,8 60,35 7 0,35 30,8 0, 05 7(1,15 0,8) 30,8 71,15 7 0,8 30,8 71,15 100,8 0, 05 71,15 10(1,95 1,15) 71,15 101,95 101,15 0, 05 171,15 101,95 336 166,3 56541,15 33601,95 Nyt siis 1,15 hintaisia karkkipusseja pitäisi olla 5654 kpl ja 1,95 hintaisia karkkipusseja -3360 kpl, mikä on mahdotonta. b) Esitetään luku jakoyhtälön avulla ja ajatellaan kolmella jaollisia lukuja. Koska luku n Luku n on nyt muotoa 3n, 3n+1 tai 3n+. n 3n nn ( 3) 3 n((3 n) 3) 3 n(9n 3) On kolmella jaollinen luku, koska siinä on kolme tekijänä! 3n+1 (3n 1)((3n 1) 3) (3n 1)(9n 6n 1 3) (3n 1)(9n 6n 4) 3 7n 18n 1n 9n 6n 4 3 7n 7n 18n 4 Ei saa kolmosta tekijäksi, koska tuossa on lopussa tuo 4! Eli ei ole kolmella jaollinen luku, jos n on muotoa 3n+1 3n+ Tämän takia viimeistä kohtaa ei tarvitse edes katsoa, kun on jo löydetty yksi todiste sille, että luku nn ( 3) ei ole kolmella jaollinen aina n:stä riippumatta. Ei ole kolmella jaollinen!
8. a) mahdollisia tehtävänannon ehdon täyttäviä alkulukuehdokkaita: 104, 105, 106, 107, 108, Luku n on alkuluku, jos se ei ole jaollinen millään lukua n pienemmällä alkuluvulla. Käydään läpi mahdolliset ehdokkaat: 104 10, pitää jakaa luvuilla 1,,3,5,7 104 on jaollinen luvulla, joten ei ole alkuluku. 105 10, 5 pitää jakaa luvuilla 1,,3,5,7 105 on jaollinen luvulla 5, joten ei ole alkuluku. 106 on jaollinen luvulla, joten ei ole alkuluku. 107 10,3 pitää jakaa luvuilla 1,,3,5,7 Kokeillaan: 107 ei ole jaollinen luvulla, 107 ei ole jaollinen luvulla 3, eikä luvulla 5. 107 ei ole jaollinen luvulla 7. Sen on siis oltava alkuluku. b) Todistus kirjassa alkuluku-kappaleessa.