Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB = (- ) + (- 4) = 4+ 16 = 0 = 4 5= 5
K4. a) AB = AO + OB =- OA + OB =-( - i- j) + i+ j = i+ j+ i+ j = 5i+ j b) Pisteen A paikkavektori OA = x1i + y1 j ja pisteen B paikkavektori OB = xi + y j AB = AO + OB =- OA + OB =- ( xi 1 + y1 j) + ( xi + y j) = ( x - x ) i+ ( y - y ) j 1 1
K5. Summa: a + b = (5i- 1 j) + (- i+ 7 j) = 5i-i- 1 j+ 7 j= 4i-5 j Erotus: a - b = (5i-1 j) -(- i+ 7 j) = 5i- 1 j+ i- 7 j= 6i-19 j a = 5 + (- 1) = 169 = 1 0 5i-1 j a = a = = 5 i- 1 j a 1 1 1
K6. a) Vektorit a ja b ovat yhdensuuntaiset, jos on olemassa luku t, siten, että a = tb. a= tb 1i- 8 j+ 5 k = t( - 6i+ 4 j- k) 1i- 8 j+ 5k =- 6ti+ 4t j-tk Vektoreiden komponentteihin jaon yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöryhmä, josta ratkaistaan t. ì1 =-6 t : (-6) í - 8 = 4 t :4 î5=- t :( -) ì t =- ít =- t =- 5 î Ei ole olemassa sellaista vakiota t, että a = tb. Vektorit a ja b eivät ole yhdensuuntaiset.
b) Vektorit a ja b ovat yhdensuuntaiset, jos on olemassa luku t, siten, että a = tb. a= tb ri + 8 j = t( -i -5 j) ri + 8j =-ti -5t j Vektoreiden komponentteihin jaon yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöryhmä, josta ratkaistaan r. r { =- t 8=-5t Alemmasta yhtälöstä saadaan t =- 8. 5 Sijoitetaan tämä ylempään yhtälöön. ( ) r =- - 8 = 16 5 5 Vektorit a ja b ovat vastakkaissuuntaiset, koska kerroin negatiivinen. t =- 8 on 5
K7. Merkitään pistettä, johon päädytään, kirjaimella A. Muodostetaan pisteen A paikkavektori OA. Pisteen P paikkavektori on OP =- i + 0j + k =- i + k. Kun pisteestä P edetään 6 yksikköä vektorin u suuntaan, edetään 6 0 vektorin u yksikkövektoria, eli 6 u. Määritetään vektorin u yksikkövektori. u = 4 + (- 1) + 8 = 9 0 4i- j+ 8k u = u = = 4 i- 1 j+ 8 k 0 u 9 9 9 9 Kun edetään 5 yksikköä vektorille v vastakkaiseen suuntaan, edetään 5 vektorin v yksikkövektorin vastavektoria, eli Määritetään vektorin v yksikkövektori. 0-5 v. v = (- 14) + (- ) + 5 = 15 0-14i- j+ 5k v = v = =- 14 i- j+ 5 k 0 v 15 15 15 15 Muodostetaan pisteen A paikkavektori. 0 0 OA = OP + 6 u - 5 v 4 1 8 14 5 ( ) ( ) =- i+ k + 6 i- j+ k -5 - i- j+ k 9 9 9 15 15 15 =- i+ k + 4 i- 6 j+ 48 k + 70 i+ 10 j- 5 k 9 9 9 =- i+ 8 i+ 70 i- j+ 10 j+ k + 16 k - 5 k = 4i+ 8 j Päädytään pisteeseen 8 (4,,0).
K8. Jaetaan vektori w komponentteihin, w= su+ tv. w= su+ tv -+ i 5 j = s( i+ j) + t( i-j) -+ i 5 j = si+ sj+ ti-t j -+ i 5 j = ( s+ t) i+ ( s-t) j Vektoreiden komponentteihin jaon yksikäsitteisyyden perusteella saadaan yhtälöpari, josta ratkaistaan s ja t. s+ t =-1 + { s - t = 5 s = 4 : s = Sijoitetaan s = ylempään yhtälöön s + t = 1. + t = 1 t = w= u-v Piirretään kuva.
K9. a) a= i- 5j+ k jab=-i- j+ 4k Lasketaan pistetulo a b. ab = (1) - + (5)(1) - - + 4 =- + 5+ 1= 15 b) a=- j+ k jab= i+ j ab = 0 + ()1 - + 10 =- K10. Vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos niiden pistetulo on 0. Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = 6 + 0-1 1= 1-1= 0 Pistetulo on 0, joten vektorit a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.
K11. Piirretään kuva. Kulma A on kolmion sivuvektoreiden AB ja AC välinen kulma ja kulma C vektoreiden CA ja CB välinen kulma. Määritetään kolmion sivuvektorit AB ja AC sekä CA ja CB. AB = (6 -(- 1)) i + (-1-(- )) j = 7i + j AC = ( -(- 1)) i + (1 -(- )) j = i + j CA =- AC =-i -j CB = (6 - ) i + (-1-1) j = 4i - j Määritetään kulma A. cos A = AB AC = 7 + 1 = 4 AB AC 7 + 1 + 50 18 A = 6,86... A» 6,9 Määritetään kulma C. - 4 - () - cosc = CA CB = = -6 CA CB (- ) + (- ) 4 + (-) 18 0 C = 108,4... C» 108,4 Kolmion kulmien summa on 180. Määritetään kulma B. B = 180 6,86 108,4 = 4,69 4,7 A = 6,9, B = 4,7 ja C = 108,4
K1. Vektoreiden välinen kulma on suora, jos niiden pistetulo on 0. Lasketaan pistetulo u v. u v= r 1 + (- ) (- 4) = 1r + 8 Ratkaistaan r, kun pistetulo on 0. 1r + 8 = 0 1r =-8 r = -8 =- 1 Piirretään vektorit u =- i - j ja v = 1i -4 j, ja mitataan niiden välinen kulma.
K1. a) ìx+ y+ z = íx- y+ z = 7 îx+ y- z =-4 Ratkaistaan x kahdesta viimeisestä yhtälöstä. { x- y+ z = + x+ y- z =- 74 x = : x = 1 Sijoitetaan x = 1 kahteen ylempään yhtälöön ja ratkaistaan z. { 1+ y+ z = + - y+ z = 7 + z = 9 z = 6 : z = Sijoitetaan z = yhtälöön 1 + y + z = ja ratkaistaan y. 1 + y + = y = x = 1, y = ja z =
b) ìx- y+ z = íx - y + 4z = îx+ y- 6z = 4 Vähennetään kaksi ylintä yhtälöä toisistaan ja ratkaistaan z. x- y+ z = -{ x- y+ 4z = - z =-1 : (-) z = 1 Sijoitetaan z = 1 kahteen alimpaan yhtälöön ja ratkaistaan x. ì 4 1 x - y + = í + - 6 1 x y = 4 î { x- y+ = + x+ y- = 4 4x - 1= 7 4x = 8 : 4 x = Sijoitetaan z = 1 ja x = yhtälöön x y + z = ja ratkaistaan y. y + 1 = y = 1 : ( 1) y = 1 x =, y = 1 ja z = 1
K14. a) ìr + 1= 5 í6r - = 6 î+ r =-1 Ratkaistaan r kaikista yhtälöistä. ìr = 4 : ìr = í6r = 8 :6Þ ír = = î r =- 4 : îr =- 4 8 4 6 4 Yhtälöllä ei ole ratkaisua. b) ìt- r+ 1= ít - 4r = 1 ît+ r = 1 Ratkaistaan t ja ylimmästä yhtälöstä ja sijoitetaan keskimmäiseen. t = 1 + r (1 + r) 4r = 1 + r 4r = 1 r = : (-1) r = Tällöin t = 1 + =. Sijoitetaan r = ja t = alimpaan yhtälöön t + r = 1. + = 6 + 6 = 1 Luvut r = ja t = toteuttavat myös alimman yhtälön, joten ne ovat yhtälöryhmän ratkaisu.
K15. x+ y+ z = 5 { x- y+ z = 7 Ratkaistaan ylimmästä yhtälöstä x. x = y z + 5 Sijoitetaan tämä alempaan yhtälöön. ( y z + 5) y + z = 7 5y + z = Tästä on helpointa ratkaista z. z = 5y + Sijoitetaan saatu z aiemmin saatuun x:n yhtälöön. x = y (5y + ) + 5 x = y 5y + 5 x = 8y + Yhtälön ratkaisu on esimerkiksi ìx=- 8y+ íz = 5y + î y Î.
K16. Yhden litran purkkeja on x kpl, kolmen litran y kpl ja kymmenen litran z kpl. Kirjoitetaan yhtälöt, kun tunnetaan maalin yhteismäärä, kokonaishinta ja purkkien lukumäärä. ìx+ y+ 10z = 65 í8x+ 19y+ 49z = 77 îx+ y+ z = 18 Ratkaistaan yhtälöryhmä symbolisen laskennan ohjelmalla. x = 5, y = 10 ja z = Yhden litran purkkeja on 5 kpl, kolmen litran 10 kpl ja kymmenen litran kpl. K17. a) AB = (15-1) i + (7-6) j + (-5 -(- 4)) k = i + j -k Muodostetaan suoran vektorimuotoinen yhtälö, eli suoran pisteen P = (x, y, z) paikkavektori. OP = OA + t AB xi + y j + zk = 1i + 6 j - 4 k + t( i + j -k) xi + y j + zk = (1 + t) i + (6 + t) j -(4 + t) k Muodostetaan suoran parametrimuotoinen yhtälö. ìx= 1 + t íy = 6 + t, missä t Î îz =-4-t
b) Piste on suoralla, jos se toteuttaa suoran yhtälön. Sijoitetaan pisteen (, 1, 1) koordinaatit suoran yhtälöön. ì = 1 + t í1 = 6 + t î1=-4-t Ratkaistaan kaikista t. ì- 10 = t : í - 5 = t î 5 =-t : (-1) ìt =-5 ít =- 5 ît =-5 Kaikista yhtälöistä ratkaistu t on sama, joten piste (, 1, 1) on suoralla. K18. Muodostetaan tason yhtälö normaalivektorin ja pisteen P avulla. (x 7) + (y 0) 5(z ( )) = 0 x + y 5z + 14 10 = 0 x + y 5z + 4 = 0 Piste on tasossa, jos se toteuttaa tason yhtälön. Sijoitetaan pisteen (1, 5, ) koordinaatit tason yhtälöön. 1 + 5 5 + 4 = 4 + 15 15 + 4 = 0 Koska tulos ei ole 0, piste ei toteuta tason yhtälöä, eikä siis ole tasossa.
K19. a) Muodostetaan pisteen P kautta kulkevan suoran parametrimuotoinen yhtälö. ìx=- 1+ t íy = - 5 t ( t Î ) îz = 7+ 6t yz-tason pisteiden x-koordinaatti on 0. Pisteen P kautta kulkeva suora leikkaa yz-tason pisteessä, jonka x- koordinaatti on 0. Saadaan x = 1 + t = 0, josta t = 1. y= - 5t = - 5 1 =- 1 z= 7+ 6t = 7+ 6 1 = 7+ = 10 yz-tason leikkauspiste on (0, - 1, 10).
b) Muodostetaan pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran yhtälö. Suoran suuntavektori on AB. AB = (1- ) i + (-7 -(- 9)) j + (- - ) k =- i + j -5k Pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran yhtälö on: ì x= -s íy =- 9 + s î z = -5 s. Ratkaistaan, leikkaavatko suorat. ì- 1+ t = -s í - 5t =- 9+ s î 7+ 6t = -5s s = 7 ja t = 5 Koska löytyi sellaiset s ja t, että kaikki yhtälöt toteutuvat, suorat leikkaavat toisensa. Lasketaan suorien leikkauspiste. Sijoitetaan s = 7 suoran AB yhtälöön. ì x = -(- 7) = + 7= 9 íy =- 9 + ( - 7) =- 9-14 =- î z = - 5 (- 7) = + 5 = 7 Leikkauspiste on (9,, 7).
K0. Muodostetaan pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran parametrimuotoinen yhtälö. Suoran suuntavektori on AB. AB = (8-7) i + (-1 -(- 10)) j + (-4 -(- )) k = i - j -k Suoran AB yhtälö on: ì x= 7 + t íy =- 10 - t ( t Î ) î z =--t Määritetään suoran AB ja tason x y + z = 0 leikkauspiste. (7 + t) ( 10 t) + ( t) = 0 14 + t + 10 + t t = 0 t = 18 : t = 6 Sijoitetaan t = 6 suoran yhtälöön. ì x = 7-6= 1 íy =- 10 - ( - 6) =- 10 + 1 = î z =- -(- 6) =- + 9= Leikkauspiste on (1,, ). Tason x y + z = 0 normaalivektori on n= i- j+ k. Lasketaan suoran AB suuntavektorin ja tason normaalivektorin välinen kulma a. 1 + (- )( - 1) + (- 1)1 cosa = AB n = = = 1 AB n 1 + (- ) + (- 1) + (- 1) + 1 6 6 a = 60 Suoran ja tason välinen kulma on 90 60 = 0.