ja F =

MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2016 Tehtävissä 1 ja 2a käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3 A =,B = 7 1 2 2 3,C = 4 4 2 5 3,E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää 2A, A+B, 2C 3E T, BA, AB T ja ja EF. 2. a) Laske (mikäli mahdollista) AB, CE, EC ja F T E T. b) Matriisissa E on 100 riviä ja 200 pystyriviä eli saraketta. Matriisissa B on 300 pystyriviä. Tiedetään, että matriiseille B,F ja E on voimassa: BF = E. Montako riviä on matriisissa B? Montako riviä ja montako pystyriviä on matriisissa F? 3. Matriisi on permutaatiomatriisi, jos se saadaan yksikkömatriisista kahden tai useamman rivin tai sarakkeen paikkaa vaihtamalla. Olkoon permutaatiomatriisi 1 0 0 0 a b c d P = 0 0 1 0 0 1 0 0 ja matriisi A = e f g h i j k l. 0 0 0 1 m n o p a) Miten poikkeavat matriisit PA ja AP matriisista A? b) Muodosta permutaatiomatriisi, jonka avulla voidaan matriisin A ensimmäisen ja viimeisen rivin paikka vaihtaa. c) Muodosta permutaatiomatriisi, jonka avulla voidaan matriisin A toisen ja neljännen sarakkeen paikka vaihtaa. 4. Tiedetään, että putkijärjestelmä P toimii lineaarisesti, mikä merkitsee sitä, että herätettä (input) x ja vastetta (output) y sitoo toisiinsa yhtälö A x = y. Olkoon kuvion putkisysteemi P allakuvatun mukainen. x 1 x 2 P y y y 1 2 3 Määrää (siirto)matriisi A, kun tiedetään mittausten perusteella seuraavaa: kun heräte on x 1 = 1 yksikkö ja x 2 = 0 yksikköä, niin vaste on y 1 = 1/7,y 2 = 3/7 ja y 3 = 3/7 (yksikköä) sekä kun heräte on x 1 = 0 yksikköä ja x 2 = 1 yksikkö, niin vaste on y 1 = 2/5,y 2 = 1/5 ja y 3 = 2/5 (yksikköä). Mikä on herätettä x 1 = 2,x 2 = 1 vastaava vaste? 5. Eläintarhassa on lintuja (2-jalkaisia) ja elukoita (4-jalkaisia). a) Jos siellä on 42 päätä ja 144 jalkaa, niin kuinka monta lintua ja kuinka monta elukkaa siellä on? b) Jos jalkoja on 144, niin mitkä ovat mahdolliset lintujen ja elukoiden lukumäärät? 6. Eräs yritys valmistaa kolmentyyppisiä ikkunoita ja eri tyypit vaativat ikkunaa kohti metalliosia, puuta, lasia ja työtä seuraavasti: Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 Raaka-aineiden yksikköhinnat ovat euroissa lausuttuina metalli puu lasi työ 20 9 6 10

Kuinka paljon kunkin ikkunatyypin raaka-aineet maksavat? Eräänä päivänä on toimitettava 50 kpl tyyppiä I, 70 kpl tyypiä II ja 90 kpl tyyppiä III olevia ikkunoita. Kuinka paljon näihin kuluu raaka-aineita? Kuinka paljon raaka-aineet maksavat? Suorita laskut matriisilaskennan merkinnöin! 7. Ratkaise Gaussin menetelmällä seuraava yhtälöryhmä: x 1 + x 2 + x 3 = 4 x 1 + 2x 2 x 3 = 5, 2x 1 + 5x 2 + 4x 3 = 2 8. Ratkaise Gaussin menetelmällä seuraava yhtälöryhmä: x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 3x 1 + 5x 2 + x 3 = 3, 2x 1 + 6x 2 + 7x 3 = 1 9. Ratkaise Gaussin menetelmällä yhtälöryhmä: 2x 1 x 3 = 1+11x 2 2x 4 7+x 2 x 3 +2x 4 = 2x 1. x 3 +2x 2 +x 1 +x 4 5 = 0 0 = x 1 +3x 2 x 4 +2 10. Kalankasvatusaltaassa on kolmea eri lajia kaloja. Lajin 1 jokainen kala tarvitsee viikossa 1 yksikön ruokaa A, 1 yksikön ruokaa B ja 2 yksikköä ruokaa C. Vastaavat yksikkömäärät lajin 2 kaloille ovat 3,4, ja 5 sekä lajin 3 kaloille 2,1 ja 5. Joka viikko altaaseen sijoitetaan 25 000 yksikköä ruokaa A, 20 000 yksikköä ruokaa B ja 55 000 yksikköä ruokaa C. Kuinka monta kalaa kutakin lajia altaassa voi olla, jos oletetaan että kaikki ruoka tulee syödyksi ja jokainen kala syö täsmälleen tarvitsemansa yksikkömäärät? Ratkaise tehtävä sopivan yhtälöryhmän avulla käyttäen Gaussin menetelmää. 11. Määrää A:n käänteismatriisi vaakarivimuunnoksin matriisista (A I), kun A = 0 1 2 1 0 3 4 3 8 1 1 2 2 12. Laske matriisin A = 3 2 4 5 0 2 3 2 käänteismatriisi A 1. 1 1 0 3 Ratkaise yhtälöryhmä x 1 + x 2 2x 3 + 2x 4 = 1 3x 1 + 2x 2 4x 3 + 5x 4 = 2 2x 2 + 3x 3 2x 4 = 3 x 1 + x 2 + 3x 4 = 1 käyttämällä hyväksi saamaasi käänteismatriisia A 1. 13. Määrää A:n käänteismatriisi vaakarivimuunnoksin matriisista (A I), kun A = 1 2 0 3 0 6. 2 1 5 14. Olkoon D = (d ij ) 150 150 diagonaalimatriisi, missä d ii = ix + i 2 aina kun i = 1,2,...,150. Määrää D:n käänteismatriisi, kun x = 0. Millä x:n arvoilla D:lla ei ole käänteismatriisia? 15. Elektronimikroskoopilla tutkitaan kidenäytettä ja sitä käännellään erityisellä asetinlaitteistolla. Asetuskulmien a ja b määräämistä varten on matriisi T ab käännettävä. Määrää T 1 ab, kun T ab = 1 0 0 cosb 0 sinb 0 cosa sina 0 1 0. 0 sina cosa sinb 0 cosb

Opastus: Matriisi T ab on kahden ortogonaalimatriisin tulo. 16. Määrää matriisin 1 1 2 3 A = 2 0 3 4 3 1 7 8 1 3 4 5 se LU-hajotelma, missä matriisin L diagonaalialkiot ovat ykkösiä. 17. Olkoon A = 1 4 5 4 18 26 3 16 30 a) Määrää matriisin A LU-hajotelma. b) Ratkaise kerroinmatriisin LU-hajotelman avulla yhtälöryhmät x 1 +4x 2 +5x 3 = k 4x 1 +18x 2 +26x 3 = 0 3x 1 +16x 2 +30x 3 = k,. kun k = 1,2,3,...,155. 18. Määrää matriisin QR-hajotelma. 19. Olkoot 4 2 6 A = 0 0 1 3 11 8 1 0 1 3 A = 1 0 1 1 2 1 ja b = 7 1 1 2 3 0 Muodosta matriisin A QR-hajotelma ja laske x = (A T A) 1 A T b sekä x = R 1 Q T b. 20. Ovatko seuraavat joukot vektoriavaruuksia? a) Tason 1. neljänneksen vektorit, operaatioina vektoreiden yhteenlasku ja luvulla kertominen. b) Parillista astetta olevat polynomit, operaatioina polynomien yhteenlasku ja luvulla kertominen. c) 3 3 yläkolmiomatriisit operaatioina matriisien yhteenlasku ja luvulla kertominen. 21. Onko U vektoriavaruuden V aliavaruus, kun a) V = R 2 ja U = {(x,y) R 2 x 2 +y 2 = 1} b) V = P 3 (R) ja U = {p(t) P 3 (R) p(0) = 0} c) V = reaaliset n n matriisit ja U = reaaliset n n matriisit, joilla jokainen päälävistäjän alkio on 0. 22. Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a) V = R 3 ja S = {(1,0, 1),(2,0,4),( 5,0,2),(0,0,1)} b) V = P 2 (R) ja S = {t+1,t 2 +1,t 2 t} ( ) ( ) 1 1 0 0 c) V = reaaliset 2 2 matriisit ja S = {,, 0 0 1 1 ( ) 1 0, 1 0 ( ) 0 1 }. 0 1 23. Tutki, muodostavatko vektorit (1,1,0), (2,1,3) ja ( 1,1, 5) R 3 :n kannan. Jos muodostavat, niin etsi vektorin (4, 1, 5) koordinaatit tämän kannan suhteen. 24. a) Selvitä onko vektorijoukko {(1,1, 2,2), (3,2, 4,5), (0, 2,3, 2), (1,1,0,3)} R 4 :n vapaa (=lineaarisesti riippumaton) vektorijoukko. Jos on, niin lausu vektori (0, 0, 1, 0) vektorijoukon vektoreiden lineaarikombinaationa. b) Selvitä onko polynomijoukko S = {1+t 2t 2 +2t 3, 3+2t 4t 2 +5t 3, 2t+3t 2 2t 3, 1+t+3t 3 }

vapaa reaalikertoimisten, korkeintaan astetta 3 olevien polynomien muodostamassa vektoriavaruudessa. Jos on, niin lausu polynomit 2 polynomijoukon polynomien lineaarikombinaationa. 25. a) Vektorijoukko S = {(0,1,0,0),(1,0,1,0),(0,1,0,2),(1,0,2,0)} on lineaarisen vektoriavaruuden R 4 kanta. Vektorin u koordinaatit kannassa S ovat 1, 2,5 ja 0. Määrää vektorin u koordinaatit luonnollisessa( kannassa. ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 2 2 0 0 b) Matriisijoukko S = {,,, on reaalisten 2 2 matriisien muodostaman vektoriavaruuden kanta. Määrää matriisin koordinaatit kannassa S. 1 0 1 1 1 0 0 1 ( ) 1 3 2 4 26. Määrää kaikki sellaiset reaaliluvutk, että vektorijoukkos = {(0, 1,0,k),(1,0,1,0),(0,1,1,0),(k,0,2,1)}. on R 4 :n kanta. 27. Onko kuvaus F : R 2 R 3, F(x 1,x 2 ) = (x 1 +4x 2,5x 1, x 1 +6x 2 ) lineaarinen kuvaus? Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen. Jos ei ole, niin perustele miksi ei. 28. Tutki onko kuvaus F, lineaarinen kuvaus. Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen ja määrää matriisin avulla vektorin F( u) koordinaatit luonnollisessa kannassa. Jos F ei ole lineaarinen kuvaus, niin perustele miksi ei. a) F : R 4 R 2, F(x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (x 1 + 3x 2 + x 3,x 1 x 2 + 2x 4 ) ja vektorin u koordinaatit luonnollisessa kannassa ovat 1,2, 1 ja 0. b) F : R 4 R 2, F(x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (x 1 +3x 2 +2x 3 +x 4,2) vektorin u koordinaatit luonnollisessa kannassa ovat 1,2, 1 ja 0. c) F : R 2 R 4, F(x 1,x 2 ) = (x 1 + 2x 2,x 2,x 1 x 2,2x 1 + 3x 2 ) ja vektorin u koordinaatit luonnollisessa kannassa ovat 2 ja 1. 29. Kuvankäsittelyssä kuvia muokataan käyttämällä lineaarisia muunnoksia kuten esimerkiksi venytystä, kiertoa ja peilausta. a) Muodosta muunnoksen (kannalta E = { i, j, k} kannalle E) matriisi, kun kuvaa aluksi venytetään j-akselin suunnassa 5-kertaiseksi ja k-akselin suunnassa 4-kertaiseksi ja sitten kierretään kulman π 2 verran i-akselin ympäri myötäpäivään (katsottuna i-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin). b) Mikä on muunnosmatriisi, jos kohdan a muunnosten kuva vielä peilataan yz-tason (=jk-tason) suhteen ja sitten kierretään kulman 3 2π verran i-akselin ympäri vastapäivään (katsottuna i- akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin)? 30. Kuvankäsittelyssä kuvia muokataan käyttämällä lineaarisia muunnoksia kuten esimerkiksi venytystä, kiertoa ja peilausta.muodosta muunnoksen (kannalta E = { i, j, k} kannalle E) matriisi, kun kuvaa aluksi peilataan xy-tason (=ij-tason) suhteen, venytetään k-akselin suunnassa 4-kertaiseksi ja lopuksi kierretään kulman π 2 verran i-akselin ympäri myötäpäivään (katsottuna i-akselin positiiviselta puoliakselilta origoon päin). 31. Kun kuvankäsittelyssä tehdään peräkkäin kaksi venytystä (esim. venytys z-akselin suunnassa ja sitten venytys x-akselin suunnassa), niin voidaanko venytysten järjestystä vaihtaa ja jos voidaan, niin miksi? Voidaanko kahden kierron (esim. kierto π 2 :n verran myötäpäivään x-akselin ympäri ja sitten π 2 :n verran myötäpäivään y-akselin ympäri) järjestystä vaihtaa ja jos voidaan niin miksi? Edelleen voidaanko kierron ja venytyksen järjestystä vaihtaa? Perustelut! 32. a) Määritä lineaarikuvauksen F : R 3 R 2, F(x 1,x 2,x 3 ) = (2x 1 +x 2 3x 3, x 1 2x 2 +x 3 ) matriisi kantojen S 1 = {(1,0,1),(0,1,0),(0,1,1)} ja S 2 = {(0, 1),( 1,1)} suhteen ja laske sen avulla vektorin F( u) koordinaatit kannassa S 2, kun vektori u = 2 i + 3 j k, missä i = (1,0,0), j = (0,1,0) ja k = (0,0,1). b) Olkoon F sellainen lineaarikuvaus reaalisten 2 2 matriisien joukossa, että ( ) 1 2 F(B) = B. 3 4

Määrää lineaarikuvauksen F matriisi kannan ( ) ( ) 0 1 0 0 {,, 0 1 2 0 ( ) 1 0, 1 0 ( ) 0 1 } 0 2 suhteen. 33. a) Määrää lineaarikuvauksen F : R 3 R 2, F(x 1,x 2,x 3 ) = (x 1 +x 2,x 2 +x 3 ) matriisi A kantojen S 1 = {(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)} ja S 2 = {(1,1),(1, 1)} suhteen. Määrää A:n avulla vektorin F( u) koordinaatit kannassa S 2, kun u:n koordinaatit kannassa S 1 ovat 4, 1 ja 5. b) Määrää lineaarikuvauksen F : P 2 (R) R 2, F(a+bt+ct 2 ) = (a 3c,2a+b 2c) matriisi A kantojen S 1 = {1,1+t,1+t+t 2 } ja S 2 = {(1, 1),(2,1)} suhteen. Määrää A:n avulla vektorin F(p(t)) koordinaatit kannassa S 2, kun polynomin p(t) koordinaatit kannassa S 1 ovat 3, 3 ja 2. 34. Olkoon matriisi A = 2 1 1 4 2 1, 8 4 1 Onko vektori ( 2, 4,0) T a) A:n ytimen, b) A:n kuva-avaruuden vektori? 35. Olkoon matriisi A = 9 3 3 6 2 3 1 3 2 2, 3 1 6 2 4 Onko vektori (1, 5,2,1, 3) T a) A:n ytimen, b) A:n kuva-avaruuden vektori? 36. Määrää seuraavien matriisien aste, nulliteetti, ydin ja ytimen kanta (jokin niistä, jos mahdollista): a) A = 2 1 2 1 1 1, 6 0 2 b) 37. Määrää matriisin A = 9 3 3 6 2 3 1 3 2 2, 3 1 6 2 4 5 5 0 A = 3 6 3 1 3 4 5 6 1 aste, nulliteetti, ydin, ytimen kanta ja kuva-avaruuden kanta. 38. Määrää matriisin 1 1 1 0 A = 1 1 0 1 2 1 1 1 4 1 2 2 aste, nulliteetti, ydin, ytimen kanta ja kuva-avaruuden kanta.

39. Tutki onko allaolevalla yhtälöryhmällä ratkaisuja. x 1 + x 2 x 3 = 7 4x 1 x 2 + 5x 3 = 4 6x 1 + x 2 + 3x 3 = 20. 40. Määrää kaikki sellaiset k:n arvot, että yhtälöryhmällä x 1 + kx 2 = 2 kx 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + x 2 + x 3 = 1 on yksikäsitteinen ratkaisu. 41. Osoita, että jokaiselle 5 7 matriisille A on 2 dimn(a) 7, missä dimn(a) on A:n nulliteetti. Konstruoi esimerkki 5 7 matriisista, jonka nulliteetti on 2 ja 5 7 matriisista, jonka nulliteetti on 7. 42. Jokaiselle matriisille B vektoriavaruus row(b) on matriisin B rivien (eli rivivektoreiden) virittämä vektoriavaruus ja R(B) on B:n kuva-avaruus. Olkoon A säännöllinen n n matriisi ja olkoon a) Selvitä onko row((a ) 1 ) = R(A). b) Määrää matriisin A nulliteetti. A = (A 1 ) T. 43. Vektorijoukot S 1 = {(1,1,0),( 1,0,0),(1,0, 1)} ja S 2 = {(0,1,1),(1,1,1),(0,0,1)} ja ovat R 3 :n kantoja. Vektorin v koordinaatit kannassa S 1 ovat 1, 1 ja 2. Määritä kannanvaihtomatriisi P(S 2 S 1 ) ja laske sen avulla v:n koordinaatit kannassa S 2. 44. Vektorijoukot S 1 = {(1,1,0),(1,1,1),(1,2,1)} ja S 2 = {(0,1,0),(1,1,0),(1,2,3)} ja ovat R 3 :n kantoja. a) Vektorin u koordinaatit kannassa S 1 ovat 4,3 ja 2. Määritä tarvittava kannanvaihtomatriisi ja laske sen avulla u:n koordinaatit kannassa S 2. b) Vektorin v koordinaatit kannassa S 2 ovat 3,2 ja 1. Määritä tarvittava kannanvaihtomatriisi ja laske sen avulla v:n koordinaatit kannassa S 1. 45. Määrää det(a), kun 2 0 1 3 A = 1 4 9 0 2 1 3 1. 4 0 3 2 46. Määrää seuraavien matriisien determinantit: a) 0 1 2 1 2 5 7 3 0 3 6 2 2 5 4 2 b) 2 1 3 7 1 2 4 3 3 4 2 1, 2 2 8 4 c) 1 4 1 1 1 1 1 i 1 i 1 1 1 1 1 i 1 i. 1 1 0 1

47. Ratkaise tehtävä 40 kerroinmatriisin determinantin avulla. 48. Olkoon A = (a ij ) = 2 3 5 1 2 1. 0 7 1 Laske matriisin A alkion a 12 kofaktori. Laske adjungoitu matriisi adj A ja määrää sen avulla matriisin A käänteismatriisi. 49. Olkoon A = (a ij ) = 2 1 3 1 1 1. 1 4 1 Laske matriisin A alkion a 23 kofaktori. Laske adjungoitu matriisi adj A ja määrää sen avulla matriisin A käänteismatriisi. 50. Määrää determinantin avulla a) pisteiden (2, 3, 1), (2, 1, 1) ja (1, 2, 1) kautta kulkevan tason yhtälö, b) pisteiden (2,6), (2,0) ja (5,3) kautta kulkevan ympyrän yhtälö. 51. Sievennä pisteiden (0, 0, 1),(1, 0, 1),(1, 1, 1) ja (2, 2, 2) kautta kulkevan pallopinnan yhtälö x 2 +y 2 +z 2 x y z 1 1 0 0 1 1 2 1 0 1 1 = 0 3 1 1 1 1 12 2 2 2 1 muotoon c 1 (x 2 +y 2 +z 2 )+c 2 x+c 3 y+c 4 z+c 5 = 0 laskemalla yhtälön vasemmalla puolella olevan determinantin arvo. 52. Etsi matriisin A ominaisarvot ja -vektorit, kun ( ) 1 2 A =. 3 2 53. Laske matriisin 1 16 8 A = 4 1 4 4 8 13 ominaisarvot ja kaikki ominaisvektorit. 54. Etsi matriisin A ominaisarvot ja -vektorit, kun A = 0 2 3 4 6 6 2 2 1 55. Etsi matriisin A ominaisarvot ja -vektorit, kun a) A = 7 8 6 1 1 0 0 8 9 6 b) A = 1 1 0 0 0 0 1 1. 0 0 1 0 0 1 1 56. MatriisinAominaisarvot ovat4ja 1 ja vastaavat ominaisvektorit ovat u 1 = ( 2,3) ja u 2 = (1,5). Määrää vektori A( 2 u 1 +5 u 2 ). 57. Olkoon A tehtävän 53 matriisi. Määrää matriisien A 3, A 1 ja A+5I ominaisarvot ja ominaisvektorit. 58. Olkoon A = 2 0 4 0 6 0. 4 0 2 Tutki, onko A diagonalisoituva. Jos on, niin määrää matriisi D = T 1 AT ja siihen liittyvä matriisi T. Jos ei ole, niin perustele miksi ei.

59. OlkoonA tehtävän 53 matriisi. OnkoAdiagonalisoituva? Jos on, niin määrää matriisid = T 1 AT ja siihen liittyvä matriisi T.Jos ei ole, niin perustele miksi ei. 60. Matriisin A ominaisarvot ovat -1, 1 ja 0 sekä vastaavat ominaisvektorit ovat ( 1, 1, 1), ( 1, 4, 1) ja (1, 2, 1). Määrää A. 61. Matriisin A ominaisarvot ovat 2,1 ja 2 sekä vastaavat ominaisvektorit ( 1,0,1), ( 1,4,0) ja (1,2,1). Määrää A. 62. Matriisi A on nollamatriisista eroava reaaliset ominaisarvot omaava diagonalisoituva n n matriisi, jolle on voimassa A 6 = A. Määrää A:n itseisarvoltaan suurin ominaisarvo. 63. Olkoon matriisi A = ( ) 1 0. 1 2 a) Määrää matriisi A 100. b) Ratkaise matriisiyhtälö AX +I = A 101. ( ) 1 1 64. Olkoon matriisi A =. Onko A diagonalisoituva? Jos A on diagonalisoituva, niin määrää 2 4 matriisi A 555 matriisin A diagonalisoinnin avulla. Jos A ei ole diagonalisoituva, niin perustele miksi ei ole. 65. Olkoon A tehtävän 58 matriisi. Määrää ainakin yksi matriisi B, joka toteuttaa ehdon B 2 = A. 66. Olkoon A n n matriisi, jolla on n erisuurta ominaisarvoa. Osoita, että matriisin A determinantti on A:n ominaisarvojen tulo. 67. Arvioi Gershgorinin ympyröiden avulla matriisin 2 i 2 1 1 2i 0 i 1 2 ominaisarvojen sijaintia. 68. Arvioi Gershgorinin ympyröiden avulla matriisin A = 0 1 1 1 1+i 0 0 1 1 i ominaisarvojen sijaintia. Piirrä kuva ja määrää kuvan perusteella väli, johon A:n jokaisen ominaisarvon reaaliosa kuuluu sekä väli, johon A:n jokaisen ominaisarvon imaginaariosa kuuluu. 69. Reaalisen symmetrisen matriisin ominaisarvot ovat reaalisia. Olkoon a reaaliluku. Osoita, että jos λ on matriisin a 2 0 0 2 a 1 0 0 1 a 2 0 0 2 a ominaisarvo, niin a 3 λ a+3. 70. Osoita, että jos λ on matriisin 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 ominaisarvo, niin 0 < λ < 4. 71. Laske matriisin A = ( ) 6 5 1 2 itseisarvoltaan suurimmalle ominaisarvolle likiarvo iteratiivisesti lähtien vektorista y 0 = (0,1) T. Likiarvo λ (4) 1 riittää. Mikä on vastaava ominaisvektori?

72. Laske matriisin A = 2 2 1 1 3 1 2 4 3 itseisarvoltaan suurimmalle ominaisarvolle likiarvo iteratiivisesti lähtien vektorista y 0 = (1,1,1) T. Likiarvo λ (3) 1 riittää. Mikä on vastaava ominaisvektori? 73. Laske 1-, - ja Frobenius normi matriisille 2 0 3 2 A = 1 1 1 5 3 2 1 1. 1 4 1 1 74. Ratkaise yhtälöryhmä x 1 5x 2 + x 3 = 16 8x 1 + x 2 + x 3 = 1 x 1 + x 2 4x 3 = 7 Jacobin menetelmällä (3 iteraatiokierrosta). Määrää iteraatiomatriisi G ja tutki, onko sen jokin normi < 1. 75. Ratkaise yhtälöryhmä x 1 3x 2 + 12x 3 = 31 4x 1 + x 2 x 3 = 3 2x 1 + 7x 2 + x 3 = 19 järkevästi Jacobin menetelmällä lähtien vektorista x (0) = 0. Laske toinen iteraatio x (2). Määrää Jacobin iteraatioiden iteraatiomatriisi G ja laske G 1. 76. Yhtälöryhmän 2x 1 +x 2 +x 3 = 4 x 1 +2x 2 +x 3 = 4 x 1 +x 2 +2x 3 = 4 kerroinmatriisi ei ole lävistäjävaltainen. Sovella yhtälöryhmään Jacobin menetelmää laskemalla iteraatio x (3) lähtien vektorista x (0) = 0. Määrää Jacobin iteraatioiden iteraatiomatriisi G sekä tutki matriisin G avulla iteraatioiden suppenemista/hajaantumista. 77. Ratkaise yhtälöryhmä { 2x 1 +4x 2 = 3 5x 1 x 2 = 7 Gauss - Seidelin menetelmällä lähtien vektorista x (0) = 0 ja laske toinen iteraatio x (2). 78. Ratkaise yhtälöryhmä x 1 + 4x 2 x 3 = 21 3x 1 + 4x 2 + 8x 3 = 16 6x 1 + x 2 x 3 = 10 järkevästi Gauss-Seidelin menetelmällä lähtien vektorista x (0) = (1,1,1). Laske toinen iteraatio x (2). 79. Ratkaise yhtälöryhmä 3x 1 +x 3 = 4 x 1 x 2 +3x 3 = 1 x 1 +2x 2 = 3 järkevästi Gauss - Seidelin menetelmällä. Valitse x (0) = 0 ja lopeta iterointi, kun x (k) x (k 1) < 0,1.

80. Tarkastellaan ylideterminoitua systeemiä x 1 2x 2 = 3 x 1 + 2x 2 = 1 3x 2 = 4 2x 1 + 5x 2 = 2 a) Määrää systeemin kerroinmatriisi A ja laske sen normit A 1 ja A. b) Laske systeemin pienimmän neliösumman ratkaisu. Laske jäännösvektorin r normi r Fr. 81. Määrää ylideterminoidun systeemin x 1 6x 2 = 1 x 1 2x 2 = 2 x 1 + x 2 = 1 x 1 + 7x 2 = 6 pienimmän neliösumman ratkaisu. Laske jäännösvektorin r normi r 1. 82. Määrää ylideterminoidun systeemin x 1 x 3 = 5 x 1 3x 3 = 7 x 2 + x 3 = 2 x 2 + x 3 = 1 pienimmän neliösumman ratkaisu. 83. Määrää matriisin A = 1 0 0 0 1 1 2 2 1 käänteismatriisi Cayley - Hamiltonin lauseen perusteella A:n karakteristisesta yhtälöstä. Määrää det(a). 84. Olkoon A = Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla A 1. 2 1 0 1 2 0. 0 0 1 85. Laske Cayley-Hamiltonin lauseen avulla A 5, kun A = 1 0 1 0 1 0. 0 0 1 86. 3 3 -matriisin A ominaisarvot ovat 2, 1 ja 2 sekä A 2 A = 6 0 0 0 0 0. 4 0 2 Laske A:n käänteismatriisi ja determinantti.