MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x) x x derivaatta kaikkialla jatkuva? Perustele. a) Derivoi f x x x x ( ) ( )( ) b) Derivoi f( x) x 5 x 5x. Määritä funktion g( x) x x 5 ja x-akselin leikkauspisteisiin piirrettyjen tangenttien yhtälöt. f( x) ( x x) 5. a) Derivoi 7 b) Osoita, että funktion f (x) = x 9 x + 1 x kuvaaja sivuaa x-akselia jossakin x- akselin kohdassa. Pelkkä piirros funktiosta ei riitä, vaan vastaus pitää perustella matemaattisesti. 6. Määritä funktion f ( x) ( x x)( x) 6 ääriarvokohdat. Määritä sen jälkeen funktion suurin arvo. Onko se paikallinen vai absoluuttinen suurin arvo? Käännä! =>
MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 7. Peltiseppä valmistaa 10,0 litran vetoisia ympyrälieriön muotoisia kannettomia astioita. (KUVA1) Miten hänen on valittava astian mitat, kun hän haluaa astioista mahdollisimman kevyitä? 8. Metrin mittainen rautalanka katkaistaan kahteen osaan. Osat taivutellaan neliöksi. Mikä on mahdollisimman pieni pinta-ala, joka näistä osista voidaan taivutella? xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx BONUS (+p) x Ratkaise murtoepäyhtälö: 0 x 18 Kuva 1 Ota tämä paperi mukaasi ja kirjaa siihen omat vastauksesi. Oikeat ratkaisut välivaiheineen löytyvät klo 1 jälkeen osoitteesta: http://jussityni.wordpress.com
MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 Ratkaisut: 1. a) 5 x (5 x)(5 x) 1( x 5)(5 x) lim lim lim x5 x 10 x5 ( x 5) x5 ( x 5) 1(5 x) 1(5 5) 10 lim 5 x5 b) Jaetaan osoittaja ja nimittäjä tekijöihin x 9 x + = 0 x = 9 81 x 7 x + 1 = 0 = 9 9 = 9 7 x = x = 1 7 9 8 x = = 7 1 = 7 1 x = x = 1 ( x) x 9x x = = x 1 7, kun x x 7x1 ( x)( x) x Vastaus: 7. a) f ( x) x x x x f () x x 8 f () lim lim x x x x ( x )( x ( )) lim lim ( x ) lim x 10 x x x x Tuossa toisella rivillä polynomi on jaettu tekijöihin nollakohtiensa avulla: x x 8 0 x1 ja x x x 8 ( x )( x ( )) b) f x 1 9 x ( ) x Funktio on kaikkialla jatkuva, jos se on kaikkialla määritelty. f(x):ää ei ole määritelty, kun x=, joten se ei ole kaikkialla jatkuva.
MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01. a) b) f x x x x ( ) ( )( ) f ( x) ( x x) (x 1)( x) x x 1x 8x x 1x 16x x 5x 6x 5 5 x ( 10 x)(x 5 x) 5x 5x f ( x) f ( x) x 0x 0 5x 0x 50x 5x x 0 5x 5x. Käyrän g( x) x x 5 ja x-akselin leikkauspisteet: x x x 5 0 1 ja x 5 1 Eli tangentit piirretään pisteisiin (-1,0) ja (5,0). Tangentti 1: Kulmakerroin k1 g ( 1). Nyt g ( x) x ja k1 g ( 1) ( 1) 6 y y k( x x ) y 0 6( x ( 1)) y 6x 6 0 0 Tangentti : k1 g (5) 5 6 y y k( x x ) y 0 6( x 5) y 6x 60 5. a) 0 0 1 f ( x) ( x x) 7 7 ( x x) ( x x) 7 f x x x x x 8 ( ) ( 7)( ) ( ) 1( ) ( ) 8 x x ( x x) 1(x ) 8 1
MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 b) f (x) = x 9 x + 1 x Määritetään funktion ääriarvokohdat f '(x) = 6 x 18 x + 1 = 0 : 6 x x + = 0 98 x = = x = 1 tai x = 1 Tutkitaan derivaatan nollakohdat merkkikaavion avulla 1 f '(x) + + + + + + + + + + + f (x) Funktiolla on ääriarvot kohdissa x = 1 ja x = Kokeillaan, paljonko funktion arvo, eli y-korkeus on noissa ääriarvokohdissa: f (1) = 9 + 1 = 1 f () = 16 6 + = 0 Vastaus: Funktio sivuaa x-akselia kohdassa, koska sen minimikohta on y:n korkeudella 0, eli x-akselilla. 6. f ( x) ( x x)(x 5) 5 f x x x x x x 5 ( ) ( )( 5) 5( 5) ( ) (x 5) (x )(x 5) 5 ( x x) (x 5) (6x 10x 6x 10 15x 0 x) (x 5) (1x 6x 10) Ääriarvot löytyvät derivaatan nollakohdista: (x 5) 1x 6x 10 0 (x 5) 0 tai 1x 6x 10 0 5 x x x x 5 ( 5) 0 5 0 5 1x 6x10 0 x 1 ( 6) ( 6) 1 10 6 176 6 19 6 19 6 19 19 1 1 19 19 x1 1,96 ja x 0,5 1 1 1 1
MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 Merkkikaaviosta alkuperäisen funktion f(x) kulku: f (x) f(x) 0,5 5/ 1,96 + - - + 0,5 1,96 5/ Eli ääriarvokohdat ovat x=0,5 ja x=1,96 Ääriarvot: paikallinen max. arvo = f(0,5)=606,8 7. Astioista tulee tietenkin mahdollisimman kevyitä, kun niihin kuluu mahdollisimman vähän materiaalia vaippaan ja pohjaan. Merkitään pohjaympyrän sädettä r:llä ja korkeutta h:lla: A r rh V 10l 10dm r h Pinta-alan funktiota pitää optimoida mahdollisimman pieneksi, joten tilavuuden lausekkeesta täytyy ratkaista r tai h. Ratkaistaan h: 10dm r h ja sijoitetaan pinta-alan lausekkeeseen, jolloin saadaan pinta-alan funktio A(r): 10dm r 10dm 0dm A( r) r r r r r r r Ääriarvot löytyvät derivaan nollakohdista, joten: 0dm 1 1 A( r) r r 0dm r 0dm r r r 1 0dm A ( r) r 0dm r r 0dm r r r 0dm 0dm 0dm r 0 r r r 0dm r r r 10dm r 1,7 Derivaatalla vain yksi nollakohta. Tarkastellaan merkkikaaviolla, onko kyseessä max. vai min. arvo.:
MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 A (x) - + 1,7 1,7 + A(x) - Joten on löydetty pinta-alan min. (ja näin ollen valmistuskustannusten min.), kun pohjaympyrän säde r 10 dm 1,7 dm ja lieriön korkeus 10dm 10dm 10 dm 10 dm h r dm dm dm 9 9 10 10 10 9 9 1000dm 1000dm 10dm 10 dm 1,7 dm 6 6 100dm 100dm Eli pohjaympyrän säde r=1,7 cm ja lieriön korkeus 1,7 cm! 8. Metrin mittainen rautalanka katkaistaan kohdasta x, joten osien mitaksi tulee x ja 1m-x. Nämä taivutellaan neliöksi, eli niistä taivutellaan neljä yhtäpitkää sivua, tällöin sivujen mitoiksi tulee x/ ja (1- x)/. Nyt neliöiden yhteenlasketun pinta-alan lauseke on: x 1 x x (1 x) x 1 x x 1 x x Ax ( ) 16 16 16 16 16 x x x x x A ( x) ( ) 16 0 (1 ) ( ) 16 16 16 16 Nyt pinta-alan ääriarvot derivaatan nollakohdista: x 1 0 x 0 x x 16 Onko pinta-alan min. vai max. kohta? Merkkikaaviotarkastelu:
MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 A (x) - + 0,5 0,5 + A(x) - On löydetty neliöiden pinta-alan min. kohta => Pinta-ala on min. kun katkaisukohta x=0,5m. Tällöin pinta-ala on: 1xx Ax ( ) 16 10,5m 0,5m 0, 5m 0,5m 1 A(0,5 m) m 16 16 16