. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään l Hospitalin sääntöä: cos x x = x ( cos x) x ( cos x) x sin x l H = l H = = l H = = l H = = x + cos x = x x cos x x x cos x + x sin x (= ) cos x cos x + x sin x + x sin x + x cos x cos x cos x + 4x sin x + x cos x (= ) sin x (= ) sin x + 4 sin x + 4x cos x + x cos x x sin x sin x 6 sin x + 6x cos x x sin x (= ) cos x 6 cos x + 6 cos x 6x sin x x sin x x cos x cos x cos x 8x sin x x cos x = 6.. (Teht. 3 s. 93.) Määrää raja-arvo x sin x x x + sin x. Miksi et voi käyttää l Hospitalin sääntöä? Ratkaisu. Tilanne on kyllä, mutta l Hospitalin säännön käyttö johtaisi muotoon cos x x + cos x, josta nähdään, ettei (uusilla) osoittajalla eikä nimittäjällä ole raja-arvoa, kun x. Sen sijaan supistetaan: x sin x x x + sin x = sin x x x + sin x x = =, sin x koska x = (tämä saadaan suppiloperiaatteella, koska sin x x kaikilla x eli sin x kaikilla x > ja, kun x ). x x x x
3. (Teht. s. 96.) Määrää laajimmat mahdolliset välit, joilla funktio f(x) = x 4 + 8x 3 4x on aidosti kasvava. Ratkaisu. Polynomina funktio f on kaikkialla jatkuva ja derivoituva, ja f (x) = 4x 3 + 4x 8x = 4x(x + 6x 7) = 4x(x )(x + 7). Siis f (x) = (eli f voi vaihtaa merkkiään) vain, kun x = 7,,. (Tee merkkikaavio!) Koska f (x) >, kun x > tai 7 < x <, f on lauseen 8. nojalla aidosti kasvava väleillä [ 7, ] ja [, [. 4. (a) (Teht. 6 s. 96.) Selvitä, montako reaalista nollakohtaa funktiolla f(x) = 4x 3 + 6x on välillä [, ]. (b) (Teht. 8 s. 96.) Osoita, että polynomilla p(x) = x 3 +3x+a on täsmälleen yksi reaalinen nollakohta (olipa vakio a mikä tahansa). Ratkaisu. (a) Kolmannen asteen polynomilla on korkeintaan kolme reaalista nollakohtaa; kuinkahan monta välillä [, ]? f (x) = x + x = x(x + ) = x = tai x =, f (x) > kun x < tai x >, ja f (x) > kun < x <, joten voi olla vaikka kolmekin (yksi jokaisella monotonisuusvälillä). Lasketaan: f( ) = 4 ( 8) + 6 4 = 9 <, f( ) = >, f() = < ja f() = 9 >, joten (koska f on jatkuva,) Bolzanon lauseen nojalla nollakohtia löytyy väleiltä ], [, ], [ ja ], [ siis kaikki kolme nollakohtaa löytyvät väliltä [, ]..5.5 - -.5 - -.5.5.5 -.5 - -.5 - (b) Koska p (x) = 3x +3 > kaikilla x R, on p aidosti kasvava ja nollakohtia siis korkeintaan yksi. Esim. p() = a ja p( a) = a 3 a ovat erimerkkisiä kaikilla a, joten koska p on polynomina jatkuva, Bolzanon lauseen nojalla nollakohta varmasti löytyy; jos taas a =, niin p() =. (Voi tarkastella myös raja-arvoja, kun x ±.)
5. (Teht. s..) Määrää joukko B R siten, että funktio f : ], [ B, f(x) = x + x + on surjektio, ja lisäksi (a) osoita, että funktiolla f on olemassa käänteisfunktio, (b) etsi käänteisfunktion lauseke sekä (c) laske käänteisfunktion derivaatta pisteessä f() kahdella tavalla: i. derivoimalla saamasi käänteisfunktion lauseke ja ii. funktion f derivaatan avulla (käänteisfunktion derivointisäännöllä). Ratkaisu. Huomataan ensin, että koska f on derivoituva ja f (x) = x+ > kaikilla x >, on f aidosti kasvava välillä ], [. (Itse asiassa laajemmallakin välillä, [, [, mutta ei tarvita). Nyt nähdään, että joukko B = f(], [) = ]5, [, koska f on jatkuva ja kasvava ja f() = 5, x f(x) =. (a) Koska f on aidosti kasvava välillä ], [, on f injektio ja siis f : ], [ ]5, [ edellisen perusteella bijektio. Täten sillä on käänteisfunktio f : ]5, [ ], [. (b) Ratkaistaan x yhtälöstä y = f(x) eli x + x + y =, saadaan x = ± y ; koska x ], [, on valittava ratkaisu x = + y. Käänteisfunktion lauseke on siis f (x) = x. (c) i. Df (x) = ja f() =, joten kysytty derivaatan arvo on x (f ) () = =. 6 ii. Df (f()) = = =. f () + 6 6. (a) (Teht. 4 s..) Osoita, että funktiolla f : R R, f(x) = 4x3 on x + käänteisfunktio ja määrää käänteisfunktion derivaatta jossain pisteessä. (b) (Teht. 5 s..) Määrää laajin pisteen x = sisältävä väli, jolla funktiolla f(x) = x 3 x 4x on käänteisfunktio. Määrää käänteisfunktion derivaatta pisteessä f(). Ratkaisu. (a) Funktio on rationaalifunktiona jatkuva ja derivoituva koko R:ssä, koska nimittäjällä ei ole reaalisia nollakohtia. Lisäksi f (x) = x (x + ) 4x 3 x (x + ) = 4x4 + x (x + ) > kaikilla x, joten f on aidosti kasvava koko R:ssä. Siis se on injektio. Koska f(x) = x x 4x 3 x + = x 4x + x = ja f(x) = x x 4x + x =,
ja f on jatkuva, on f : R R myös surjektio ja siis bijektio; täten sillä on käänteisfunktio. Pisteessä f() = käänteisfunktion derivaatta on Df (f()) = f () = = 4 4 + 6 ( +) 4 = 4, pisteessä f() = käänteisfunktio ei ole derivoituva (kaikkialla muualla kylläkin); tämä nähdään esim. siitä, että f () =..5.5 - -.5 - -.5.5.5 -.5 - -.5 - (b) f (x) = 3x 4x 4 =, kun x = 4±8 eli x = tai x =. Koska f on 6 3 polynomina derivoituva koko R:ssä ja f (x) < kaikilla x ], [, on 3 f aidosti vähenevä välillä ], [; sillä on tällöin käänteisfunktio f ja 3 Df (f()) = f () = 3 4 4 = 5 = 5. (Allaolevassa kuvassa käänteisfunktion kuvaaja on oranssilla. Kuvassa funktion ja käänteisfunktion kuvaajat näyttävät yhtyvän pisteen /3 lähellä; tämä on harhaa, joka paljastuisi tarkemmasta kuvasta.)
- -8-6 -4-4 - -4-6 -8-7. (Teht. s. 6.) Määrää funktion f(x) = x x + x paikalliset ääriarvot. Saako funktio pienimmän tai suurimman arvonsa? Ratkaisu. Funktio on derivoituva muualla paitsi mahdollisesti pisteissä x = ja x =, jatkuva kaikkialla (jatkuvien funktioiden (itseisarvo, polynomit) yhdistettynä funktiona). x(x + ) x = x + x, kun x f(x) = x(x + ) x = x 3x, kun < x x(x + ) x = x + x, kun x > ja siten f (x) = { x +, kun x < tai x > x 3, kun < x <, josta derivaatan ainoaksi nollakohdaksi saadaan x = 3 (toinen ei osu oikealle välille). Koska f (x) <, kun x < tai x ] 3, [, on funktio näillä väleillä vähenevä, ja koska f (x) >, kun < x < 3 tai x >, on funktio näillä väleillä kasvava; siis funktiolla on paikalliset minimit kohdissa x = ja x =, sekä paikallinen maksimi kohdassa x = 3 (piirrä merkkikaavio). Näissä pisteissä funktio saa arvot f( ) =, f() = ja f( 3) = 9. Funktio saavuttaa pienimmän arvonsa f() =, mutta ei suurinta, koska esim. 4 x f(x) =.
5 4 3-4 -3 - - - 8. (a) (Teht. s. 6.) Määrää perustellen funktion f(x) = sin x cos x saamat suurimmat ja pienimmät arvot. (b) (Teht. 3 s. 6.) Määrää funktion f(x) = a sin x + b cos x saamat suurimmat ja pienimmät arvot, kun a ja b ovat positiivisia vakioita. Ratkaisu. (a) Funktio f on trigonometristen funktioiden ja polynomien yhdistettynä funktiona derivoituva kaikkialla. f (x) = cos x+ sin x = cos x = sin x cos x = sin x cos x, josta ratkaistaan cos x = tai sin x = eli ratkaisut ovat x = π + nπ ja x = π + nπ sekä x 3 = 7π + nπ ja x 6 4 = π + nπ. Funktion 6 arvot näissä pisteissä ovat f(x ) = sin(π/) cos(π) = ( ) = 3, f(x ) = + =, f(x 3 ) = = 3 f(x 4) = = 3. (b) Funktio on trigonometristen funktioiden ja polynomien yhdistettynä funktiona derivoituva kaikkialla, joten paikalliset ääriarvot löytyvät derivaatan nollakohdista: f (x) = a cos x b sin x = sin x = a b cos x tan x = a b. (Tätä yhtälöä eli derivaatan nollakohtia ei vielä osata eikä ole tässä tarpeenkaan ratkaista; olemme kiinnostuneita funktion arvoista näissä pisteissä, emme pisteistä itsestään.) Tutkimalla suorakulmaista kolmiota nähdään, että jos tan x = a, niin b sin x = a a ja cos x = b +b a (kun x ], π [); koska tangentti saa samat +b arvot yksikköympyrän vastakkaisilla puolilla, saadaan sinille ja kosinille myös vastaavat negatiiviset arvot. Funktion arvoksi kussakin pisteessä x, jossa tan x = a, saadaan siis joko b f(x ) = a sin x + b cos x = a + b a + b = a + b
tai f(x ) = a sin x + b cos x = a + b a + b = a + b (riippuen siitä, onko pistettä x vastaava yksikköympyrän kehän piste ensimmäisessä vai kolmannessa neljänneksessä). Näistä a + b on funktion suurin arvo, a + b funktion pienin arvo (koko R:ssä). 9. (Teht. 5 s. 6.) Selvitä, onko funktiolla f(x) = x+ arvoa. x + suurinta tai pienintä Ratkaisu. Koska nimittäjällä ei ole reaalisia nollakohtia, f on rationaalifunktiona jatkuva koko R:ssä. Se saa suurimman ja pienimmän arvonsa jokaisella suljetulla välillä, esim. välillä [, ]. Esim. f() = ja f( ) =, joten 5 välillä [, ] suurin arvo on vähintään ja pienin arvo. Miten käy 5 välin ulkopuolella? Kun x >, on < f(x) = x + x + < x + = x x + x ja kun x <, on > f(x) = x + x + > x + > x x. Siis välin ulkopuolella f(x) koko R:ssä löytyvät väliltä [, ]. < 5, joten funktion suurin ja pienin arvo TAI: derivaatan nollakohtien ja merkkikaavion avulla etsitään paikalliset maksimi ja minimi; toinen on aidosti positiivinen, toinen aidosti negatiivinen. Koska x f(x) = ja x f(x) =, nämä paikalliset ovat samalla globaalit maksimi ja minimi.. Määrää funktion f(x) = x 4 x suurin ja pienin arvo välillä [, ]. Ratkaisu. Funktio on derivoituva kyseisellä välillä (koska sekä x 4 että x ovat derivoituvia aina, kun x ). f (x) = 4x 5 + x 3 = 4 + x = x = ±, joista vain on tutkittavalla välillä. Koska f( ) = = ja päätepisteissä 4 4 f( ) = 6 4 = ja f() = =, on funktion suurin arvo välillä [, ] 8 4 8 siis f( ) = ja pienin arvo f( ) =. 4.5.5.5 - -.5.5.5.5 3 -.5