4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet leikkaavat ympyrän kehän samoissa pisteissä missä kehäkulmakin, mutta keskuskulman kärki sijaitsee ympyrän keskipisteessä. Kuvaan merkitty kulma on kehäkulma ja on sitä vastaava keskuskulma. Näiden välinen suhde on aina sama. Lause 19 Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta. Tod.: Olkoon aluksi kehäkulman toinen kylki = ympyrän halkaisija. O δ B
Kolmio OB on tasakylkinen, koska kaksi sen sivuista ympyrän säteinä ovat yhtä pitkät. Kun tasakylkisessä kolmiossa kantakulmat ovat yhtä suuret, niin myös se kehäkulma, jonka kärki on pisteessä, on :n suuruinen. + + δ = 18 18 δ = = =. 18 18 + δ = δ = rvatenkin on vallan harvinaista, että kehäkulman toinen kylki yhtyisi ympyrän halkaisijaan. Käsitellään tapaus, jossa ympyrän halkaisija (ja siis myös keskipiste) sijaitsee kehäkulman aukeamassa. γ γ θ θ Oheisin merkinnöin ja nojautuen lauseen jo todistettuun osaan: Kehäkulma = γ + θ, keskuskulma = γ + θ = ( γ + θ), mistä näkyy, että =. Kehäkulman sijainti saattaa olla vielä sellainenkin, että ympyrän keskipiste ei sijaitse lainkaan kulman aukeamassa.
Tällöin piirretään kehäkulman kärjen kautta ympyrälle halkaisija ja lausutaan sekä kehä- että keskuskulma kumpikin kahden kulman erotuksena sekä nojataan lauseen ensiksi todistettuun kohtaan (harjoitustehtäväksi). Todistetulla lauseella on joitakin käyttökelpoisia seurauksia. Pidetään siis mielessä koko ajan, että kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta. Seurauslause 19.1 Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuret Seurauslause 19. Puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora kulma. Edellä määriteltiin janan keskinormaali urana, jonka jokainen piste on yhtä etäällä janan päätepisteistä. Jos tässä yhteydessä ajatellaan sellaisen ympyrän piirtämistä, joka kulkee kolmion jokaisen kärkipisteen kautta (kolmion ympäri piirretty
ympyrä), niin on ilmeistä, että tämän ympyrän keskipisteen tulee sijaita kolmion jokaisen sivun keskinormaalilla. Kolmion kaikkien sivujen keskinormaalien tulee siten kulkea saman pisteen kautta. Toisaalta puhuttiin kulmanpuolittajasta urana, jonka jokainen piste on yhtä etäällä kulman kyljistä. Jos halutaan piirtää kolmion sisään ympyrä (kolmion kyljet määräävät tällöin ympyrän tangentit), niin kolmioon on piirrettävä kulmanpuolittajat ja tällöin kolmion sisään piirretyn ympyrän säde = kulmanpuolittajien leikkauspiste. Lause Kolmion keskinormaalit leikkaavat toisensa yhdessä pisteessä, joka on kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste. Kolmion kulmanpuolittajat leikkaavat toisensa yhdessä pisteessä, joka on kolmion sisään ympyrän keskipiste. Esitetyn lauseen sisältö olisi hyvä painaa mieleen jo tässä vaiheessa, sillä analyyttisen geometrian kurssissa näihin asioihin joutuu laskennallisissa probleemoissa törmäämään. Voidaan kyllä todistaakin, että kolmion sisään ja sen ympäri voidaan aina piirtää ympyrä, mutta nelikulmion kanssa vastaava tilanne vaatii sen, että nelikulmion vastakkaisten kulmien on oltava supplementtikulmia (kulmien summa 18 astetta) Seurauslause 19.3 Jos nelikulmion ympäri on voitu piirtää ympyrä, niin sen vastakkaiset kulmat ovat toistensa supplementtikulmia. B δ D Tod. Kaarien BC ja CD astelukujen summa on 36 o joten niitä vastaavien keskuskulmien summa on myös 36 o. Kaaria vaso taavien keskuskulmien summa + δ =18
Esim. 1 Oheisessa kolmiossa B = 43 cm C ja kulma BC on 33. Kuinka pitkä kolmion ympäri piirretyn ympyrän O säde? Keskuskulman asteluku on 66 ja kun B = 43 cm, niin käytetään kosinilausetta. B (B) = (O) + (OB) O OB cos(ob) eli (43 cm) = R + R RR cos66 (43 cm) = R (1 cos66 ) 1849 cm R = (1 cos66 ) R = ± ja 1849 cm = ± 39.4756... cm (1 cos66 ) Vain positiivinen kelpaa säteeksi. Vastaus: R on noin 39 cm.