Johdatusta stabiilisuusanalyysiin Jatkuvat mallit/t. Tiihonen, JY Johdanto Tässä luvussa pyritään antamaan nopea ja siten myös pintapuolinen silmäys muutamiin tekniikoihin, joilla matemaattisten mallien laadullisia ominaisuuksia voidaan arvioida. Lähinnä keskitytään tiettyjen erikoistilanteiden stabiilisuuteen (eli käytännössä niiden fysikaalisuuteen). Ts. jos mallilla on tietyjen oletusten voimassa ollessa yksinkertainen ratkaisu (useimmiten ajasta riippumaton), kuvaako kyseinen ratkaisu todellista tilannetta vai onko mallilla mahdollisesti muita ratkaisuja. Aluksi esittelemme tyypillisiä tapauksia, joissa malli ja sen ratkaisu yksinkertaistuvat. Tämän jälkeen tarkastelemme lineaarista stabiilisuusanalyysiä, jolla voi selvittää, onko tietty tasapainotila fysikaalinen. Tapauksessa, jossa triviaali tila ei ole fysikaalinen, pyrimme myös esittämään muutamia keinoja, joilla voi arvioida ratkaisun käyttäytymistä 'in the large' eli pitkän aikavälin käyttäytymistä triviaalin tasapainotilan ulkopuolella. Erikoisratkaisut Malleja tarkastellaan usein tilanteissa, joissa mallin data on jonkin koordinaatiston suhteen alempiulotteista. Ts. olosuhteet ovat tietyssä mielessä osittain vakiot. Yleensä tilanne vakioidaan ajan suhteen, jolloin puhutaan stationääritilasta. Usein tähän liitetään myös paikkamuuttujan dimension alennus. Ts. data on vakioitu yhden tai useamman paikkamuuttujan suhteen. Vakiointi voidaan tehdä joko karteeesisissa tai esim. sylinteri- tai napakoordinaateissa. Dimension alennus voi olla myös yleisempi: etsitään kuvausta s : (x, t) s(x, t) ja funktiota f siten, että f(s(x, t)) = u(x, t) kaikille x, t kun u on mallin alkuperäinen ratkaisu. Sanotaan, että s on similariteettimuuttuja ja f similariteettiratkaisu. Tässä luonnollisesti oletetaan, että s on korkeintaan saman ulotteinen kuin x. Tärkeä similariteettiratkaisujen alaluokka on ns. aaltorintamaratkaisu, jossa similariteettimuuttuja on muotoa s = s(x, t) = x vt ja similariteettiratkaisu kuvaa aaltoa, joka etenee muuttumattomana nopeudella v. Tarkastellaan aluksi seuraavaa esimerkkiä: Olkoon annettu 1 + 1 ulotteinen malli u t ku xx = au(1 u) kiinnittämättä reunaehtoja tai aluetta tässä vaiheessa. Asettamalla u t =
saamme helposti kaksi potentiaalista tasapainotilaa, Lisäksi yhtälön u = u = 1. ku xx = au(1 u) mahdolliset muut ratkaisut ovat tasapainotiloja. Edelleen on mahdollista tulkita malli esimerkiksi kaksiulotteisen mallin erikoistapaukseksi, jolloin yksiulotteinen ratkaisu on erikoisratkaisu. Mallille voidaan tutkia myös muiden erikoisratkaisujen olemassaoloa. Etsitään aaltorintamaratkaisua muodossa u(x, t) = f(x ct). Tällöin u t ku xx = au(1 u), cf kf = af(1 f) Skaalaamalla similariteettimuuttuja s = x ct muuttujaksi ŝ = a/ks ja jakamalla a:lla saamme mallin muotoon f c ka f = f(1 f). Voidaan osoittaa, että tällä tehtävällä on monotonisesti laskeva ratkaisu f, f 1, jos c 2 ka. Ts. aaltorintama on mahdollinen sopivin alku- ja reunaehdoin. Aallolla on kuitenkin miniminopeus. Esimerkki similariteettiratkaisusta - lämpötila puoliavaruudessa Tarkastellaan lineaarista lämpöyhtälöä puoliavaruudessa ajan ja paikan suhteen vakioin reuna- ja alkuehdoin. T t T xx =, x >, t >, T (x, ) =, T (1, t) = 1. Nyt osoittautuu, että lämpötilalle pätee T (x, t) = f(s), missä s = x/ (t). Jos nimittäin kirjoitetaan T f:n avulla, saadaan T t = f s s t = f s s/(2t), T xx = f ss /t, joten lämpöyhtälö muuntuu muotoon f s s/2 f ss =. Tästä voidaan aluksi ratkaista f s = Ce s2 /4 ja integroimalla edelleen (formaalisti) f(s) = f() + s /4 Ce r2 dr. Alku- ja reunaehdoista f() = T (, t) = ja f( ) = 1, josta C voidaan kiinnittää.
Oikean similariteettimuunnoksen löytää yleisessä tapauksessa vain arvaamalla. Tässä auttaa usein ns. dimensioanalyysi, jolla etsitään pituus- ja aikaskaaloista sekä muista dimensiollisista parametreista dimensiottomia kombinaatioita. Similariteetti x/ (t) on tyypillinen parabolisille yhtälöille. Edellä voidaan havaita, että lämpöyhtälön (tai yleisemmin lineaarisen diuusioyhtälön) similariteettiratkaisu on sukua normaalijakauman tiheysfunktiolle. Loppujen lopuksi tämä ei ole yllättävää, jos tiedetään/muistetaan, että diuusioyhtälö mallittaa mm. Brownin liikkeen tyyppisillä mekanismeilla tapahtuvaa diuusiota (joissa normaalijakauman tiheysfunktio kertoo, todennäköisyyden partikkelin sijainnille diuusioprosessin jälkeen). Sama similariteettimuuttuja toimii usein myös monimutkaisemmissa tapauksissa, esimerkiksi, jos lämpö- tai diuusiotehtävään lisätään epälineaarisuuksia (diuusiokerroin, reaktiotermi). Tällöin vain similariteettiratkaisun määräävä tehtävä muuttuu, samoin kuin itse ratkaisun muoto. Aika- ja paikkaskaalojen suhde sen sijaan pysyy. Lineaarinen stabiilisuusanalyysi Perusmenetelmä erityisesti stationääristen erikoistilanteiden fysikaalisuuden määrittämiseen on lineaarinen stabiilisuusanalyysi. Siinä tarkastellaan, miten ratkaisu käyttäytyy, jos lähtötilaa häiritään vähän. Mikäli häiriö alkaa kasvaa, lähtötilanne ei ole stabiili. Menetelmä on luontevinta kuvata abstraktille epälineaariselle ajasta riippuvalle yhtälölle u t L(u) =, missä L(u) on epälineaarinen dierentiaalioperaattori. Olkoon u tehtävän L(u) = ratkaisu (annetuin reunaehdoin) eli stationääritila. Tarkastellaan tilannetta, jossa alkuarvoksi asetetaan u = u + v, missä v on pieni häiriö. Oletetaan, että u + v toteuttaa reunaehdot. Jos häirityn tehtävän ratkaisu kirjoitetaan muodossa u = u + v, saamme v:lle yhtälön (u + v) t L(u + v) =, v t L(u ) L u (u ; v) = o(v). Jos häiriö on hyvin pieni, voimme unohtaa o(v) termin ja saamme yhtälön häiriölle v. Nyt on selvitettävä, miten v käyttäytyy ajan suhteen. Tämä onnistuu helpoiten, jos oletamme, että v on muotoa v = we λt. Tällöin w ratkaisee ominaisarvotehtävän L u (u ; w) = λw.
Jos tälle tehtävälle on olemassa ominaisarvo λ <, vastaava v kasvaa ja u epästabiili. Vastaavasti u on stabiili, jos em. ominaisarvotehtävän kaikki ominaisarvot ovat positiivisia. Tällöin minkään muotoinen pieni häiriö ei ala kasvaa. Yleisessä tapauksessa ominaisarvot ovat kompleksisia, jolloin ominaisarvojen reaaliosan etumerkit ovat ratkaisevassa asemassa. Joka tapauksessa analyysi pätee vain pienille häiriöille, suuret häiriöt ovat sitten oma lukunsa. Tarkastellaan esimerkkinä tehtävää u t u xx = au(1 u). Tämä palautuu edellä esitettyyn abstraktiin muotoon kun asetamme L(u) = u xx au(1 u). Tällöin vastaavasti linearisoitu häiriöoperaattori on muotoa L u (u; v) = v xx a(1 2u)v. Tarkastellaan aluksi tasapainotilaa, jossa a > ja u = 1. Tällöin L u = v xx + av, joten λ > a > ja u on aina stabiili. Jos a > ja u = niin tasapainotilassa L u = v xx av. Tällöin ominaisarvot ovat muotoa µ a, missä µ on operaattorin v xx ominaisarvo. µ on aina ei negatiivinen ja reunaehdoista riippuen jopa aidosti positiivinen. Pienin mahdollinen arvo kuitenkin pienenee kun alueen koko kasvaa. Näin ollen, jos alue on riittävän suuri (tai a riittävän suuri), tehtävällä on negatiivisia ominaisarvoja. Tällöin tasapainotila ei ole enää stabiili vaan tietyn tyyppiset häiriöt alkavat kasvaa. Epälineaarisesta stabiilisuudesta Lineaarinen stabiilisuusanalyysi kertoo, miten ratkaisu käyttäytyy tietyn (teoreettisen) tasapainotilan lähellä. Se, mitä tapahtuu kauempana, on selvitettävä muilla keinoin. Ensimmäinen kysymys on, pysyykö ratkaisu rajoitettuna jossakin mielessä (ja onko sillä mahdollisesti muita tasapainotiloja). Tai, jos ratkaisu ei pysy globaalisti rajoitettuna, miten nopeasti se kasvaa äärettömyyteen. Kysymyksenasettelua voi havainnollistaa modioimalla aiempaa esimerkkiä. Tarkastellaan operaattoreita L(u) = u xx au + au 2, M(u) = u xx au.
Tasapainotilan u = lähellä, molemmat operaattorit käyttäytyvät samoin (kun u 2 on häviävän pieni). Koska operaattori M on lineaarinen, sen käyttäytyminen pysyy samanlaisena kaikilla u:n arvoilla. Ts., jos parametrit on valittu niin, että u alkaa kasvaa, se kasvaa rajatta (vakionopeudella). Sen sijaan operaattoriin L liittyy kasvua rajoittava ns. maksimiperiaate. Nimittäin, jos pätee, että alkudata ja reunadata ovat pienempiä kuin 1, myös ratkaisu u on aina pienempi kuin 1. Tämän toteamiseksi tarkastellaan tilannetta pisteessä x, jossa u saa suurimman arvonsa paikkamuuttujan suhteen (hetkellä t). Tällöin u xx (x) <, koska x oli maksimipiste. Siispä u t = L(u) = u xx + a(u u 2 ) a(u u 2 ) <, jos u > 1. Siis, u olisi tässä pisteessä ajan suhteen laskeva. Tällöin u olisi saavuttanut suuremman arvon jo aiemmin. Tämä johtaa ristiriitaan oletuksen, u < 1 alkuhetkellä, kanssa. Siispä u ei pääse missään vaiheessa kasvamaan yli arvon 1. Vastaavasti voidaan osoittaa, että u >, mikäli alku- ja reuna-arvot ovat ei negatiivisia. Ratkaisu ei siis voi kasvaa rajatta. Lineaarinen epästabiilisuus ei siis merkitse, että ratkaisu räjähtäisi eikä lineaarinen analyysi selitä kaikkia ominaisuuksia. Edellinenkään analyysi ei kerro, onko tehtävällä muita tasapainopisteitä, vai jääkö ratkaisu esimerkiksi heilahtelemaan joko periodisesti tai kaoottisesti. Maksimiperiaate soveltuu usein luontevasti tehtäville, joissa se on johdettavissa ongelman fysikaalisista ominaisuuksista. Usein tällöin on kyse lämpöyhtälöstä, koska termodynamiikan toisen pääsäännön mukaan energia siirtyy lämpimästä kylmään, jolloin lämpötilamaksimia ei synny alueeseen (ilman ulkopuolista lämmönlähdettä). Vastaava pätee mm. skalaaridiusiotehtäville. Useamman yhtälön systeemeille maksimiperiaatetta on kuitenkin turha yrittää muotoilla. Aina ei ole mahdollista tai riittävää arvioida ratkaisun pisteittäistä rajoittuneisuutta maksimiperiaatteen avulla. Tällöin voidaan pyrkiä arvioimaan ratkaisun jotain muuta ominaisuutta, jota yleensä mitataan koko ratkaisualueessa määritellyllä normilla. Tämän tyyppiset, ns. a priori arviot, joissa johdetaan lausekkeita ratkaisun ominaisuuksille ratkaisematta itse tehtävää, ovat keskeisiä mallien ratkeavuusteorian kannalta. A priori estimaattien johtaminen on oma taiteen lajinsa, jossa perustekniikkana on kertoa alkuperäinen yhtälö jollakin (tuntemattomasta) ratkaisusta riippuvalla funktiolla (ratkaisu, sen jokin potenssi, ratkaisun derivaatta,...) sekä integroida näin saatu tulo yli ratkaisualueen. Tämän jälkeen tulon termejä arvioidaan niin, että halutut termit voidaan osoittaa rajoitetuiksi.
Tarkastellaan yksinkertaista arviota edellä esitetylle esimerkille u t L(u) =. Kerrotaan yhtälö ratkaisulla u ja integroidaan ajan ja alueen yli. (u t u ul(u)) = Aikaderivaatta voidaan integroida ja järjestellä operaattoritermi uudelleen T ((u 2 (T ) u 2 ())/2 + u xx u) = a(u 2 u 3 ) Osittaisintegroimalla (olettaen u = :n reunalla) ja järjestämällä termejä (u 2 (T )/2 + u x u x ) = u 2 ()/2 + a(u 2 u 3 ) Koska alkuarvo oletetaan tunnetuksi (ja siten rajoitetuksi) ja maksimiperiaatteen nojalla tiedetään, että u < 1, voidaan oikea puoli arvioida pienemmäksi kuin C + 4aT/27. Tällöin saamme siis arvion u(t ):n kasvunopeudelle sekä u x :n neliöintegraalille (itse asiassa myös u x :n neliöintegraalin aikakeskiarvolle saadaan yläraja). Näin saadaan jonkilainen laadullinen kuva ratkaisun käyttäytymisestä. Seuraava askel voisi olla yrittää arvioida u:n aikaderivaatan käyttäytymistä ja päätellä meneekö systeemi tasapainotilaan vai jääkö ratkaisu heilahtelemaan. Tämä onnistuu, jos kerrotaan alkuperäinen yhtälö u t :llä. u t u t u xx u t = a(uu t u 2 u t ) Järjestelemällä derivaattoja ja osittaisintegroimalla saamme u t u t + (u 2 x/2) t = a((u 2 /2) t (u 3 /3) t ) Tämän oikea puoli on aina rajoitettu (koska u oli vakiolla rajoitettu) kaikilla T. Samoin u:n paikkaderivaattatermi voidaan jakaa vasemmalle puolelle jäävään positiiviseen osaan ja oikealle puolelle menevään rajoitettuun osaan. Siispä u x :n neliöintegraali on rajoitettu kaikilla T. Lisäksi u:n aikaderivaatan neliöintegraali pysyy rajoitettuna kun T kasvaa rajatta. Siispä u t lähestyy nollaa kun aika kasvaa. Ratkaisu siis näyttää stabiloituvan kohti tasapainotilaa, jossa ratkaisun derivaatta on neliöintegroituva. Nyrkkisääntönä, jos stationääri yhtälöllä on stabiili yksikäsitteinen ratkaisu, systeemi päätyy aina siihen. Jos tasapaino ei ole stabiili tai tasapainotiloja on useita, tilanne on monimutkaisempi.
Aukottomasti tilanne tunnetaan vain kahden di. yhtälön systeemille (ns. Poincare-Bendixon teoreema). Korkeampiulotteisille (dissipatiivisille systeemeille) yleiskuva on: pienellä datalla ratkaisu on yksikäsitteinen, vähän suuremmalla on useita stabiileja tasapainoja, joihin voi päätyä, edelleen suuremmalla datalla esiintyy periodisia ja kvasiperiodisia ratkaisuja. Lopulta voidaan vain määritellä rajajoukko (attraktori), johon ratkaisu konvergoi (monimutkainen fraktaalinen joukko funktioavaruudessa - kaaos, turbulenssi). Esimerkki - Predator-Prey Tarkastellaan klassista populaatiomallia (saalis-saalistaja, Lotka-Volterra,..) Olkoon u saalispopulaation tiheys, v saalistajapopulaatio. Näiden välillä on relaatiot u t = au(1 bv), v t = cv(du 1). Normeeraamalla u, v ja t (käytännössä siis vaihtamalla yksiköitä siten että du u, bv v ja skaalaamalla aika c:llä) saadaan kanoninen muoto u t = au(1 v), v t = v(u 1). Vastaava stabiilisuussysteemi tasapainotilassa on y t + Ay =, missä ( ) a av au A =. v u 1 Tasapaino (, ) on epästabiili aina, kun a >. Tilassa (1, 1) ominaisarvot ovat imaginäärisiä, joten häiriö ei kasva eikä pienene. Siten tilaa (1, 1) ei voi saavuttaa. Malli ei koskaan päädy tasapainoon. Toisaalta se ei (tietyssä mielessä) myöskään pyri kauemmas tasapainosta. Itse asiassa voidaan osoittaa (harjoitustehtävä), että ratkaisulla on tietty vakiona pysyvä ominaisuus, vaikka u ja v muuttuvat koko ajan. Miten ratkaisu käyttäytyy. Jos u > 1, v kasvaa, muuten v vähenee. Vastaavasti u kasvaa, jos v < 1. Seuraamalla ratkaisun etenemistä (u, v) tasossa, voidaan havaita, että ratkaisu piirtää tasoon käyrän, joka kiertää tasapainopistettä. Pienen päättelyn jälkeen voidaan havaita, että tämä mahdollistaa käytännössä vain spiraalimaiset trajektorit (u, v) tasossa. Yleisesti spiraalit voivat olla joko sisään päin tai ulospäin aukeavia, ja sellaisina joko kohti rajakäyrää konvergoivia tai lähestyä pistettä tai laajentua rajatta. Tämä on kahden muuttujan systeemeille yhteinen ominaisuus (edellä mainittu Poincare- Bendixon tulos). Miten konkreettinen mallimme käyttäytyy, avautuu ehkä harjoitustehtävien kautta.