Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, (s) symmetrinen, jos xry yrx, (as) antisymmetrinen, jos xry yrx x = y, (t) transitiivinen, jos xry yrz xrz, (v) vertailullinen, jos xry yrx kaikilla x, y X.
Kysymyksiä: (1) Onko relaatio aina joko refleksiivinen tai irrefleksiivinen? (2) Onko relaatio T = {(1, 2)} on transitiivinen? (3) Jos relaatio on symmetrinen ja transitiivinen, niin onko se myös refleksiivinen? Ei välttämättä, jollei relaatio ole myös vertailullinen. (4) Millainen relaatio on tyhjä relaatio (siis kun R =, mitä R:llä on)? (5) Millainen relaatio (joukossa X ) on täysi relaatio X X?
Ekvivalenssirelaatio eli ekvivalenssi Relaatio on ekvivalenssi, jos se on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen. Esimerkki. Missä tahansa perusjoukossa X määritelty identiteettirelaatio I X on ekvivalenssi: x = x aina, kun x X jos x = y, niin y = x jos x = y ja y = z, niin x = z
Järjestysrelaatio eli järjestys Relaation Relaatio on järjestys, jos se on refleksiivinen, antisymmetrinen, transitiivinen ja vertailullinen. Esimerkki. Lukujoukkojen N, Z, Q ja R tavalliset järjestykset ovat järjestysrelaatioita: x x aina, kun x X jos x y ja y x, niin y = x jos x y ja y z, niin x z x y tai y x aina, kun x, y X Huom: Myös on järjestys, jos on järjestys.
Tiukka ( aito ) järjestys Muuten kuin järjestys, mutta on irrefleksiivinen. Esimerkiksi < luonnollisten lukujen joukossa. Määritelmän mukaan siis aito järjestys ei ole järjestys! Osittainen järjestys eli osittainjärjestys Muuten kuin järjestys, mutta ei välttämättä vertailullinen. Lineaarinen järjestys Varsinkin yhteyksissä, joissa esiintyy osittaisia järjestyksiä, kutsutaan tavallista järjestystä lineaariseksi (tai täydelliseksi).
Esimerkki. Joukossa Z + määritelty relaatio xry x y (lue: x jakaa y:n) on refleksiivinen, antisymmetrinen ja transitiivinen. Sen sijaan ei ole irrefleksiivinen, ei symmetrinen eikä vertailullinen. Relaatio on siis osittainjärjestys.
Esimerkki. Perusjoukon X potenssijoukossa P(X ) määritelty osajoukkorelaatio on osittainjärjestys. Vain triviaaleissa tapauksissa se on kuitenkin lineaarinen järjestys. Taululla.
Lause 5. Joukossa X määritelty relaatio R on (1) refleksiivinen, jos ja vain jos I X R, (2) irrefleksiivinen, jos ja vain jos R I X =, (3) symmetrinen, jos ja vain jos R 1 = R, (4) antisymmetrinen, jos ja vain jos R R 1 I X, (5) transitiivinen, jos ja vain jos R R R, (6) vertailullinen, jos ja vain jos R R 1 = X X. Todistus (valikoituja kohtia) Taululla.
Lause 6. Olkoon R joukossa X määritelty relaatio. Tällöin (1) R I X on refleksiivinen, (2) R R 1 on symmetrinen, (3) k=1 Rk on transitiivinen. Todistus Taululla.
Jos relaatiolla R ei ole haluttua ominaisuutta, voimme joissakin tapauksissa täydentää (uusia alkioita lisäämällä) siitä relaation R, jolla on tämä ominaisuus. Voimme aina täydentää R:n refleksiiviseksi, symmetriseksi, transitiiviseksi tai vertailulliseksi. Sen sijaan emme saa relaatiosta irrefleksiivistä tai antisymmetristä täydentämällä, vaan päinvastoin poistamalla alkioita.
Olkoon R relaatio joukossa X. Jos R on sellainen relaatio joukossa X, että (1) R on refleksiivinen (symmetrinen, transitiivinen), (2) R R, (3) R S aina, kun S on refleksiivinen (symmetrinen, transitiivinen) ja R S, niin relaatio R on relaation R refleksiivinen (symmetrinen, transitiivinen) sulkeuma. Käytämme refleksiiviselle sulkeumalle merkintää r(r), symmetriselle s(r) ja transitiiviselle t(r).
Refleksiivinen (symmetrinen, transitiivinen) sulkeuma on yksikäsitteinen. Relaation R refleksiivinen (symmetrinen, transitiivinen) sulkeuma R on pienin sellainen refleksiivinen (symmetrinen, transitiivinen) relaatio, johon R sisältyy (ts. R R ). Ehto (3) määrittelee, mitä pienimmällä tässä yhteydessä tarkoitetaan. (Huomaa, että on osittainjärjestys.)
R on refleksiivinen, joss r(r) = R. R on symmetrinen, joss s(r) = R. R transitiivinen, joss t(r) = R.
Olkoon R joukossa X määritelty relaatio. Seuraava lause, osoittavaa, että r(r), s(r) ja t(r) ovat aina olemassa. Lause 7. (a) r(r) = R I X. (b) s(r) = R R 1. (c) t(r) = R k. k=1
Jos X on äärellinen, niin transitiivisen sulkeuman muodostamiseksi riittää tutkia äärellistä määrää R:n potensseja. Lause 8. Jos R on relaatio n-alkioisessa joukossa, niin t(r) = n k=1 Rk.