Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 1 of 28

Kertausta Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A 12... A 1n A 21 A 22... A 2n...... A m1 A m2... A mn. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 2 of 28

Kertausta Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A 12... A 1n A 21 A 22... A 2n...... A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 2 of 28

Kertausta Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A 12... A 1n A 21 A 22... A 2n...... A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. A ij : matriisin alkiot M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 2 of 28

Kertausta Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A 12... A 1n A 21 A 22... A 2n...... A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. A ij : matriisin alkiot A ij R: reaalinen matriisi M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 2 of 28

Kertausta Määritelmä Matriisi A on kaavio A = A 11 A 12... A 1n A 21 A 22... A 2n...... A m1 A m2... A mn. Tyyppi m n: m riviä, n saraketta. A ij : matriisin alkiot A ij R: reaalinen matriisi A ij C: kompleksinen matriisi M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 2 of 28

Kertausta Määritelmä 1 n-matriisia A = (A 11 A 12... A 1n ) kutsutaan vaakavektoriksi tai rivivektoriksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 3 of 28

Kertausta Määritelmä 1 n-matriisia A = (A 11 A 12... A 1n ) kutsutaan vaakavektoriksi tai rivivektoriksi. A 11 A 21 m 1-matriisia A = kutsutaan pystyvektoriksi tai. sarakevektoriksi. A m1 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 3 of 28

Kertausta Määritelmä 1 n-matriisia A = (A 11 A 12... A 1n ) kutsutaan vaakavektoriksi tai rivivektoriksi. A 11 A 21 m 1-matriisia A = kutsutaan pystyvektoriksi tai. sarakevektoriksi. Huomautus A m1 Sekä pysty- että vaakavektori voidaan tulkita avaruuden R n (tai C n ) alkioksi. Näissä käytetään yleensä vain yksinkertaista indeksointia. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 3 of 28

Kertausta Määritelmä Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 4 of 28

Kertausta Määritelmä Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 4 of 28

Kertausta Määritelmä Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 4 of 28

Kertausta Määritelmä Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. Identiteettimatriisi I n on diagonaalimatriisi, jonka kaikki diagonaalialkiot ovat ykkösiä. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 4 of 28

Kertausta Määritelmä Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. Identiteettimatriisi I n on diagonaalimatriisi, jonka kaikki diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Määritelmä Transpoosi (A T ) ij = A ji. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 4 of 28

Kertausta Määritelmä Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. Identiteettimatriisi I n on diagonaalimatriisi, jonka kaikki diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Määritelmä Transpoosi (A T ) ij = A ji. Neliömatriisi A on symmetrinen, jos A T = A. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 4 of 28

Kertausta Määritelmä Nollamatriisi O on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia Neliömatriisi on matriisi, jossa rivien määrä on sama kuin sarakkeiden määrä Diagonaalimatriisi on neliömatriisi D, jolle pätee i j D ij = 0. Identiteettimatriisi I n on diagonaalimatriisi, jonka kaikki diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Määritelmä Transpoosi (A T ) ij = A ji. Neliömatriisi A on symmetrinen, jos A T = A. Matriisin A:n vastamatriisi A määritellään asettamalla ( A) ij = A ij. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 4 of 28

Kertausta Skalaarikertolasku Jos A on m n-matriisi ja c joko kompleksi- tai reaaliluku, on ca m n-matriisi, jolle pätee (ca) ij = ca ij (kertolasku alkioittain). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 5 of 28

Kertausta Skalaarikertolasku Jos A on m n-matriisi ja c joko kompleksi- tai reaaliluku, on ca m n-matriisi, jolle pätee (ca) ij = ca ij (kertolasku alkioittain). Matriisien yhteenlasku Jos A on m n-matriisi ja B r s-matriisi, summa A+B määritellään vain jos m = r ja n = s. Tällöin (A+B) ij = A ij +B ij M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 5 of 28

Kertausta Skalaarikertolasku Jos A on m n-matriisi ja c joko kompleksi- tai reaaliluku, on ca m n-matriisi, jolle pätee (ca) ij = ca ij (kertolasku alkioittain). Matriisien yhteenlasku Jos A on m n-matriisi ja B r s-matriisi, summa A+B määritellään vain jos m = r ja n = s. Tällöin (A+B) ij = A ij +B ij Huomautus m n-matriisit muodostavat vektoriavaruuden yhteenlaskun ja skalaarikertolaskun suhteen. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 5 of 28

Kertausta Määritelmä Funktio f : R n R m on lineaarinen, jos f(ax+by) = af(x)+bf(y) aina, kun x, y R n ja a ja b ovat skalaareita. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 6 of 28

Lineaarikuvaukset Seuraus Jos f : U V on lineaarinen, on f(0) = 0. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 7 of 28

Lineaarikuvaukset Seuraus Jos f : U V on lineaarinen, on f(0) = 0. Lisäksi f(a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n ) = a 1 f(x 1 )+a 2 f(x 2 )...+a n f(x n ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 7 of 28

Lineaarikuvaukset Seuraus Jos f : U V on lineaarinen, on f(0) = 0. Lisäksi f(a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n ) = a 1 f(x 1 )+a 2 f(x 2 )...+a n f(x n ). Esimerkki Olkoon V vektoriavaruus yli kunnan K, n = dim(v) ja B = {b 1,...,b n } sen eräs kanta. Tällöin kuvaus T : V K n,x x B on lineaarikuvaus. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 7 of 28

Lineaarikuvaukset Seuraus Jos f : U V on lineaarinen, on f(0) = 0. Lisäksi f(a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n ) = a 1 f(x 1 )+a 2 f(x 2 )...+a n f(x n ). Esimerkki Olkoon V vektoriavaruus yli kunnan K, n = dim(v) ja B = {b 1,...,b n } sen eräs kanta. Tällöin kuvaus T : V K n,x x B on lineaarikuvaus. Olkoon x 1 = r 1 b 1 +...+r n b n ja x 2 = s 1 b 1 +...+s n b n. Tällöin T(cx 1 +dx 2 )=(cr 1 +ds 1,...,cr n+ds n)=c(r 1,...,r n)+d(s 1,...,s n)=ct(x 1 )+dt(x 2 ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 7 of 28

Lineaarikuvaukset Huomautus Olkoon f : R n R m lineaarinen ja x = x 1 e 1 +...+x n e n, jolloin f(x) = x 1 f(e 1 )+...+x n f(e n ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 8 of 28

Lineaarikuvaukset Huomautus Olkoon f : R n R m lineaarinen ja x = x 1 e 1 +...+x n e n, jolloin f(x) = x 1 f(e 1 )+...+x n f(e n ). Merkitsemällä y = f(x) ja a ij = f(e j ) i saadaan edellisestä y i = f(e 1 ) i x 1 +f(e 2 ) i x 2 + +f(e n ) i x n = a i1 x 1 +a i2 x 2 +...+a in x n M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 8 of 28

Lineaarikuvaukset Huomautus Olkoon f : R n R m lineaarinen ja x = x 1 e 1 +...+x n e n, jolloin f(x) = x 1 f(e 1 )+...+x n f(e n ). Merkitsemällä y = f(x) ja a ij = f(e j ) i saadaan edellisestä y i = f(e 1 ) i x 1 +f(e 2 ) i x 2 + +f(e n ) i x n = a i1 x 1 +a i2 x 2 +...+a in x n Kuvavektorin y koordinaatit y i ovat ensimmäisen asteen lausekkeita alkukuvan x = (x 1,...,x n ) koordinaateista. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 8 of 28

Lineaarikuvaukset Huomautus Olkoon f : R n R m lineaarinen ja x = x 1 e 1 +...+x n e n, jolloin f(x) = x 1 f(e 1 )+...+x n f(e n ). Merkitsemällä y = f(x) ja a ij = f(e j ) i saadaan edellisestä y i = f(e 1 ) i x 1 +f(e 2 ) i x 2 + +f(e n ) i x n = a i1 x 1 +a i2 x 2 +...+a in x n Kuvavektorin y koordinaatit y i ovat ensimmäisen asteen lausekkeita alkukuvan x = (x 1,...,x n ) koordinaateista. Tämä olisi voitu ottaa lineaarikuvauksen määritelmäksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 8 of 28

Lineaarikuvaukset Määritelmä Jos y i = a i1 x 1 +a i2 x 2 +...+a in x n, on a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n M f =...... a m1 a m2... a mn lineaarikuvauksen f : R n R m matriisi (luonnollisten kantojen suhteen). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 9 of 28

Lineaarikuvaukset Määritelmä Jos y i = a i1 x 1 +a i2 x 2 +...+a in x n, on a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n M f =...... a m1 a m2... a mn lineaarikuvauksen f : R n R m matriisi (luonnollisten kantojen suhteen). Koska a ij = f(e j ) i, niin voidaan huomata, että M f = ( f(e 1 ) T f(e 2 ) T... f(e n ) T) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 9 of 28

Lineaarikuvaukset Esimerkki 41 Esimerkin 38 lineaarikuvaukselle T(x,y,z) = (x +y z,2x +3y +z) saadaan T(e 1 ) = (1,2), T(e 2 ) = (1,3) ja T(e 3 ) = ( 1,1) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 10 of 28

Lineaarikuvaukset Esimerkki 41 Esimerkin 38 lineaarikuvaukselle T(x,y,z) = (x +y z,2x +3y +z) saadaan T(e 1 ) = (1,2), T(e 2 ) = (1,3) ja T(e 3 ) = ( 1,1) ja edelleen M T = ( 1 1 1 2 3 1 ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 10 of 28

Lineaarikuvaukset Esimerkki Olkoon f : R 3 R 2 lineaarikuvaus, jolle f(1,0,0) = (2,1), f(0,1,0) = (1,1) ja f(0,0,1) = (0,2). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 11 of 28

Lineaarikuvaukset Esimerkki Olkoon f : R 3 R 2 lineaarikuvaus, jolle f(1,0,0) = (2,1), f(0,1,0) = (1,1) ja f(0,0,1) = (0,2). Tällöin f(x,y,z) = f(x (1,0,0) +y (0,1,0) +z (0,0,1)) = x f(1,0,0) +y f(0,1,0) +z f(0,0,1)) = x (2,1)+y (1,1)+z (0,2)) = (2x +y,x +y +2z) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 11 of 28

Lineaarikuvaukset Esimerkki Olkoon f : R 3 R 2 lineaarikuvaus, jolle f(1,0,0) = (2,1), f(0,1,0) = (1,1) ja f(0,0,1) = (0,2). Tällöin f(x,y,z) = f(x (1,0,0) +y (0,1,0) +z (0,0,1)) = x f(1,0,0) +y f(0,1,0) +z f(0,0,1)) = x (2,1)+y (1,1)+z (0,2)) = (2x +y,x +y +2z) ja edelleen saadaan kuvauksen matriisi A f ( ) 2 1 0 A f =. 1 1 2 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 11 of 28

Määritelmä Jos A on tyyppiä r s ja B tyyppiä s t, on matriisien A ja B tulo r t-matriisi AB, missä (AB) ij = s A ik B kj. k=1 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 12 of 28

Esimerkki 44 = = ( 2 1 1 1 2 3 ( ) 1 0 0 2 1 1 1 2 2 2 1+1 2+1 1 2 0+1 1+1 2 2 0+1 1+1 2 1 1+2 2+3 1 1 0+2 1+3 2 1 0+2 1+3 2 ( 5 3 3 6 8 8 ) ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 13 of 28

Esimerkki 45 ( )( ) ( 2 1 1 3 4 8 = 1 1 2 2 3 5 ( )( ) ( 1 3 2 1 5 4 = 2 2 1 1 6 4 ), ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 14 of 28

Esimerkki 45 ( )( ) ( 2 1 1 3 4 8 = 1 1 2 2 3 5 ( )( ) ( 1 3 2 1 5 4 = 2 2 1 1 6 4 ), ). Huomautus Matriisitulo ei ole yleisesti kommutatiivinen (vaihdannainen) eli voi olla AB BA. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 14 of 28

Esimerkki 46 ( 1 1 1 1 )( 1 1 1 1 ) = ( 0 0 0 0 ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 15 of 28

Esimerkki 46 ( 1 1 1 1 )( 1 1 1 1 ) = Huomautus Matriisitulolle ei päde tulon nollasääntö ( 0 0 0 0 AB = O = A = O tai B = O ). eli kahden ei-nollamatriisin tulo voi olla nollamatriisi eli AB = O on mahdollista, vaikka A O ja B O. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 15 of 28

Lause On voimassa A(BC) = (AB)C A(B +C) = AB +AC (A+B)C = AC +BC a(ab) = (aa)b = A(aB) AO = OA = O AI = IA = A, (AB) T = B T A T, edellyttäen että vasemmat puolet ovat määriteltyjä. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 16 of 28

Huomautus Matriisitulo voidaan laskea lohkomuodossa: ( )( ) ( A1 A 2 B1 B 2 A1 B = 1 +A 2 B 3 A 1 B 2 +A 2 B 4 A 3 A 4 B 3 B 4 A 3 B 1 +A 4 B 3 A 3 B 2 +A 4 B 4 ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 17 of 28

Huomautus Matriisitulo voidaan laskea lohkomuodossa: ( )( ) ( A1 A 2 B1 B 2 A1 B = 1 +A 2 B 3 A 1 B 2 +A 2 B 4 A 3 A 4 B 3 B 4 A 3 B 1 +A 4 B 3 A 3 B 2 +A 4 B 4 ) Määritelmä Jos A on neliömatriisi ja n {0,1,2,...}, määritellään { A 0 = I A n = A A... A (n kpl). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 17 of 28

Määritelmän mukaan = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n...... a m1 a m2... a mn x 1 x 2. x n a 11 x 1 +a 12 x 2 +...+a 1n x n a 21 x 1 +a 22 x 2 +...+a 2n x n. a m1 x 1 +a m2 x 2 +...+a mn x n M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 18 of 28

Matriisitulon merkitys Kun merkitään y i = a i1 x 1 +a i2 x 2 +...+a in x n, saadaan y 1 a 11 a 12... a 1n x 1 y 2. = a 21 a 22... a 2n x 2........ y m a m1 a m2... a mn x n M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 19 of 28

Matriisitulon merkitys Kun merkitään y i = a i1 x 1 +a i2 x 2 +...+a in x n, saadaan y 1 a 11 a 12... a 1n x 1 y 2. = a 21 a 22... a 2n x 2........ y m a m1 a m2... a mn x n Esimerkin 43 lineaarikuvauksen kuvavektorin (2x +y,x +y +2z) transpoosi voidaan esittää seuraavasti: ( ) ( ) x (2x +y,x +y +2z) T 2x +y 2 1 0 = = y x +y +2z 1 1 2 z M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 19 of 28

Lause 10 Lineaarikuvaus f : R n R m voidaan esittää muodossa f(x) = Ax, missä x on pystyvektori ja A on m n-matriisi. Matriisi A = A f on lineaarikuvauksen f matriisi luonnollisen kannan suhteen. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 20 of 28

Lause 10 Lineaarikuvaus f : R n R m voidaan esittää muodossa f(x) = Ax, missä x on pystyvektori ja A on m n-matriisi. Matriisi A = A f on lineaarikuvauksen f matriisi luonnollisen kannan suhteen. Lause 11 (Lineaarikuvausten yhdistäminen) Olkoot f : R n R m ja g : R m R k lineaarikuvauksia, joiden matriisit ovat A f ja A g. Yhdistetty kuvaus g f : R n R k voidaan esittää muodossa (g f)(x) = g(f(x)) = A g (A f x) = (A g A f )x. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 20 of 28

Lause 10 Lineaarikuvaus f : R n R m voidaan esittää muodossa f(x) = Ax, missä x on pystyvektori ja A on m n-matriisi. Matriisi A = A f on lineaarikuvauksen f matriisi luonnollisen kannan suhteen. Lause 11 (Lineaarikuvausten yhdistäminen) Olkoot f : R n R m ja g : R m R k lineaarikuvauksia, joiden matriisit ovat A f ja A g. Yhdistetty kuvaus g f : R n R k voidaan esittää muodossa Täten (g f)(x) = g(f(x)) = A g (A f x) = (A g A f )x. A g f = A g A f M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 20 of 28

Huomautus Lauseessa 11 m n-matriisin A f ja k m-matriisin A g tulo A g A f on määritelty tyypiltään k n. Vastaava kuvaus on R n R k. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 21 of 28

Huomautus Lauseessa 11 m n-matriisin A f ja k m-matriisin A g tulo A g A f on määritelty tyypiltään k n. Vastaava kuvaus on R n R k. Huomautus Jos A on m n-matriisi, x n-pituinen pystyvektori ja y = Ax m-pituinen pystyvektori. Transponoimalla yhtälö y = Ax saadaan y T = x T A T. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 21 of 28

Esimerkki 48 (F 0,F 1,...,F N 1 ) = DFT(f 0,f 1,...,f N 1 ), missä F l = 1 N 1 f k e 2πikl N N k=0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 22 of 28

Esimerkki 48 (F 0,F 1,...,F N 1 ) = DFT(f 0,f 1,...,f N 1 ), missä F l = 1 N 1 f k e 2πikl N = 1 N 1 f k ρ kl N N k=0 kun merkitään ρ = e 2πi N. k=0 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 22 of 28

Esimerkki 48 (F 0,F 1,...,F N 1 ) = DFT(f 0,f 1,...,f N 1 ), missä F l = 1 N 1 f k e 2πikl N = 1 N 1 f k ρ kl N N k=0 k=0 kun merkitään ρ = e 2πi N. Tämä voidaan kirjoittaa matriisimuodossa F 0 F 1 F 2. F N 1 = 1 N 1 1 1 1 1 ρ ρ 2 ρ N 1 1 ρ ρ 4 ρ (N 1)2....... 1 ρ N 1 ρ 2(N 1) ρ (N 1)(N 1) f 0 f 1 f 2. f N 1 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 22 of 28

Esimerkki Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2..... a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m voidaan kirjoittaa matriisimuodossa Ax = b, missä a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =......, a m1 a m2... a mn x = (x 1,...,x n ) T ja b = (b 1,...,b m ) T. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 23 of 28

Esimerkki Olkoot B 1 = {i,j} ja B 2 = {i+j,i j} muodostavat avaruuden R 2 kannan. Esimerkin 13 mukaan (x,y) B1 = (x,y) ja (x,y) B2 = ( 1 2 (x +y), 1 2 (x y)). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 24 of 28

Esimerkki Olkoot B 1 = {i,j} ja B 2 = {i+j,i j} muodostavat avaruuden R 2 kannan. Esimerkin 13 mukaan (x,y) B1 = (x,y) ja (x,y) B2 = ( 1 2 (x +y), 1 2 (x y)). Tällöin (x,y) T B 2 = 1 ( ) 1 1 (x,y) T 2 1 1 B 1. Matriisia M = 1 2 ( 1 1 1 1 ) kutsutaan kannanvaihdon matriisiksi. M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 24 of 28

Kiertomatriisi R 2 :ssa Kierretään koordinaatistoa kulman θ verran ja käytetään pisteen (x,y) uusista koordinaateista merkintää (x,y ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 25 of 28

Kiertomatriisi R 2 :ssa Kierretään koordinaatistoa kulman θ verran ja käytetään pisteen (x,y) uusista koordinaateista merkintää (x,y ). Alkeistrigonometrian perusteella { x = x cosθ y sinθ y = x sinθ + y cosθ, M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 25 of 28

Kiertomatriisi R 2 :ssa Kierretään koordinaatistoa kulman θ verran ja käytetään pisteen (x,y) uusista koordinaateista merkintää (x,y ). Alkeistrigonometrian perusteella { x = x cosθ y sinθ y = x sinθ + y cosθ, mikä voidaan matriisimuodossa kirjoittaa ( ) ( )( ) x cosθ sinθ x y = sinθ cosθ y M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 25 of 28

Kiertomatriisi R 2 :ssa Kierretään koordinaatistoa kulman θ verran ja käytetään pisteen (x,y) uusista koordinaateista merkintää (x,y ). Alkeistrigonometrian perusteella { x = x cosθ y sinθ y = x sinθ + y cosθ, mikä voidaan matriisimuodossa kirjoittaa ( ) ( )( ) x cosθ sinθ x y = sinθ cosθ y ( Merk. x = R(θ) y ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 25 of 28

Kiertomatriisi R 2 :ssa Kierretään koordinaatistoa kulman θ verran ja käytetään pisteen (x,y) uusista koordinaateista merkintää (x,y ). Alkeistrigonometrian perusteella { x = x cosθ y sinθ y = x sinθ + y cosθ, mikä voidaan matriisimuodossa kirjoittaa ( ) ( )( ) x cosθ sinθ x y = sinθ cosθ y ( Merk. x = R(θ) y ) Erikoistapaus kannanvaihdon matriisista M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 25 of 28

Kiertomatriisi R 2 :ssa Kierretään koordinaatistoa kulman θ verran ja käytetään pisteen (x,y) uusista koordinaateista merkintää (x,y ). Alkeistrigonometrian perusteella { x = x cosθ y sinθ y = x sinθ + y cosθ, mikä voidaan matriisimuodossa kirjoittaa ( ) ( )( ) x cosθ sinθ x y = sinθ cosθ y ( Merk. x = R(θ) y ) Erikoistapaus kannanvaihdon matriisista R(θ 1 )R(θ 2 ) = R(θ 1 +θ 2 ). M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 25 of 28

Kiertomatriisit R 3 :ssa Kierto z-akselin ympäri: x = x cosθ y sinθ y = x sinθ + y cosθ z = z M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 26 of 28

Kiertomatriisit R 3 :ssa Kierto z-akselin ympäri: x = x cosθ y sinθ y = x sinθ + y cosθ z = z voidaan kirjoittaa matriisimuodossa x y = z cosθ sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 1 } {{ } R z(θ) x y z M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 26 of 28

Kiertomatriisit R 3 :ssa Kierto x-akselin ympäri: x = x y = y cosθ z sinθ z = y sinθ + zcosθ M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 27 of 28

Kiertomatriisit R 3 :ssa Kierto x-akselin ympäri: x = x y = y cosθ z sinθ z = y sinθ + zcosθ voidaan kirjoittaa matriisimuodossa x y = z 1 0 0 0 cosθ sinθ 0 sinθ cosθ } {{ } R x(θ) x y z M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 27 of 28

Kiertomatriisit R 3 :ssa Kierto y-akselin ympäri: x = x cosθ z sinθ y = y z = x sinθ + z cosθ M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 28 of 28

Kiertomatriisit R 3 :ssa Kierto y-akselin ympäri: x = x cosθ z sinθ y = y z = x sinθ + z cosθ voidaan kirjoittaa matriisimuodossa x cosθ 0 sinθ y = 0 1 0 z } sinθ 0 {{ cosθ } R y(θ) x y z M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 28 of 28

Kiertomatriisit R 3 :ssa Kierto y-akselin ympäri: x = x cosθ z sinθ y = y z = x sinθ + z cosθ voidaan kirjoittaa matriisimuodossa x cosθ 0 sinθ y = 0 1 0 z } sinθ 0 {{ cosθ } R y(θ) x y z Kaikki kierrot saadaan matriisien R x (θ 1 ), R y (θ 2 ) ja R z (θ 3 ) M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö Luentokalvot 4 28 of 28