Liite: Verkot TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
: Mitä opimme? Verkkoteoria on hyödyllinen sovelletun matematiikan osa-alue, jolla on sovelluksia esimerkiksi logiikassa, operaatiotutkimuksessa, peli-ja päätösteoriassa sekä todennäköisyyslaskennassa. Tarkastelemme tässä liitteessä verkkoteorian peruskäsitteitä ja erityisesti ns. puumaisten verkkojen määrittelemistä. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2
Avainsanat Alkupiste Epäyhtenäisyys Insidenssikuvaus Juuri Loppupiste Piste Puu Puudiagrammi Reitti Silmukka Särmä Verkko Verkkodiagrammi Yhtenäisyys TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 3
Verkko eli graafi Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta Oletamme, että Jos niin : A V V V, A, A V = a A ja ( a) = ( v, w) v on särmän a = (v, w) alkupiste w on särmän a = (v, w) loppupiste TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 4
Verkon määritelmä: Kommentti Verkkoja tarkastellaan tässä esityksessä suunnattuina verkkoina, millä tarkoitetaan sitä, että verkon jokaisella särmällä on suunta, joka osoittaa särmän alkupisteestä särmän loppupisteeseen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 5
Verkkodiagrammi Verkkodiagrammi on verkon graafinen esitys. Verkkodiagrammi voidaan konstruoida seuraavalla tavalla: (i) Merkitään verkon pisteet tasoon. (ii) Piirretään jokaisen särmän a = (v, w) alkupisteestä v nuoli särmän loppupisteeseen w. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 6
Verkkodiagrammi: Esimerkki 1/3 Tarkastellaan viereistä verkkodiagrammia. Pisteiden joukko: {,,, } V = v v v 1 2 11 Särmien joukko: {,,, } A = a a a 1 2 10 v 1 a 1 a 2 v 2 v 3 v 4 a 3 a 4 a 5 v 5 v 6 v 7 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 v 8 v 9 v 10 v 11 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 7
Verkkodiagrammi: Esimerkki 2/3 Insidenssikuvaus : ( a ) = ( v, v ) 1 1 2 ( a ) = ( v, v ) 2 1 3 ( a ) = ( v, v ) 3 2 5 ( a ) = ( v, v ) 4 6 2 ( a ) = ( v, v ) 5 6 3 ( a ) = ( v, v ) 6 5 8 ( a ) = ( v, v ) 7 5 9 ( a ) = ( v, v ) 8 9 6 ( a ) = ( v, v ) 9 7 10 ( a ) = ( v, v ) 10 11 7 v 1 a 1 a 2 v 2 v 3 v 4 a 3 a 4 a 5 v 5 v 6 v 7 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 v 8 v 9 v 10 v 11 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 8
Verkkodiagrammi: Esimerkki 3/3 Esimerkiksi: Piste v 6 on särmien a 4 ja a 5 alkupiste ja särmän a 8 loppupiste. Särmän a 7 alkupiste on v 5 ja loppupiste on v 9. Piste v 4 on eristetty, koska se ei ole yhdenkään särmän alku- tai loppupiste. v 1 a 1 a 2 v 2 v 3 v 4 a 3 a 4 a 5 v 5 v 6 v 7 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 v 8 v 9 v 10 v 11 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 9
Reitti Särmät { } a1, a2,, ak 1 muodostavat reitin pisteestä v 1 pisteeseen v k, jos on olemassa pisteet v 1, v 2,, v k siten, että ( a ) = ( v, v ), i= 1,2,, k 1 i i i+ 1 Jos pisteestä v 1 pisteeseen v k on reitti, sanotaan, että reitti vie pisteestä v 1 pisteeseen v k tai, että pisteestä v 1 pääsee pisteeseen v k. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 10
Reitti: Esimerkki Viereisen diagrammin verkosta voidaan löytää useita reittejä. Pisteestä v 1 pääsee pisteisiin v 2,v 3,v 5,v 6,v 8,v 9 vähintään yhtä reittiä pitkin. Pisteestä v 1 pisteeseen v 3 vie kaksi reittiä: Reitti 1: {a 2 } Reitti 2: {a 1,a 3,a 7,a 8,a 5 } Pisteestä v 6 ei pääse pisteeseen v 1 ja pisteestä v 1 ei pääse pisteisiin v 4,v 7,v 10,v 11. v 1 a 1 a 2 v 2 v 3 v 4 a 3 a 4 a 5 v 5 v 6 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 v 7 v 8 v 9 v 10 v 11 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 11
Silmukka Reitti { } a1, a2,, ak 1 muodostaa silmukan, jos on olemassa pisteet v 1, v 2,, v k siten, että ( a ) = ( v, v ), i= 1,2,, k 1 ja v 1 = v k. i i i+ 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 12
Silmukka: Esimerkki Viereisen diagrammin verkossa on yksi silmukka: { a, a, a, a } 3 7 8 4 Huomaa, että esimerkiksi särmät { a, a, a, a } 1 4 5 2 eivät muodosta silmukkaa. v 1 a 1 a 2 v 2 v 3 v 4 a 3 a 4 a 5 v 5 v 6 v 7 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 v 8 v 9 v 10 v 11 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 13
Verkon yhtenäisyys 1/2 Verkko on yhtenäinen, jos sen pisteiden joukkoa Vei voida osittaa kahdeksi epätyhjäksi osajoukoksi siten, että verkon jokaisen särmän alkupiste ja loppupiste kuuluvat samaan osajoukkoon. Siten yhtenäisen verkon pisteiden joukkoa V ei voida osittaa kahteen epätyhjään osajoukkoon V 1 ja V 2 seuraavalla tavalla: Jos a = (v, w) on verkon mielivaltainen särmä, niin täsmälleen toinen ehdoista (i) tai (ii) pätee: (i) v V 1 ja w V 1 (ii) v V 2 ja w V 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 14
Verkon yhtenäisyys 2/2 Verkko on epäyhtenäinen, jos se ei ole yhtenäinen. Epäyhtenäisen verkon pisteet voidaan osittaa kahdeksi (tai useammaksi) epätyhjäksi osajoukoksi siten, että verkon jokaisen särmän alkupiste ja loppupiste kuuluvat täsmälleen yhteen osajoukoista. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 15
Yhtenäisyys: Esimerkki 1/2 Viereisen diagrammin verkko on epäyhtenäinen, mutta se koostuu kolmesta yhtenäisestä aliverkosta: Aliverkko 1: V = v, v, v, v, v, v, v { } { } 1 1 2 3 5 6 8 9 A = a, a, a, a, a, a, a, a Aliverkko 2: V = v 1 1 2 3 4 5 6 7 8 { } 2 4 A2 = Aliverkko 3: V = v, v, v A { } { a, a } 3 7 10 11 = 3 9 10 v 1 a 1 a 2 v 2 v 3 v 4 a 3 a 4 a 5 v 5 v 6 v 7 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 v 8 v 9 v 10 v 11 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 16
Puu Verkko on puu, jonka juuri on piste v 1, jos seuraavat ehdot pätevät: (i) Verkko on yhtenäinen. (ii) Verkossa ei ole silmukoita. (iii) Jos w v 1 on mielivaltainen verkon piste, pisteestä v 1 pisteeseen w pääsee täsmälleen yhtä reittiä pitkin. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 17
Puun määritelmä: Kommentteja Puulla on täsmälleen yksi alkupiste, sen juuri v 1. Puun alkupisteestä v 1 vie täsmälleen yksi reitti puun jokaiseen muuhun pisteeseen. Puun alkupisteeseen v 1 ei tule yhtään särmää. Puulla on yksi tai useampia loppupisteitä. Puun loppupisteestä ei lähde yhtään särmää. Jokaisen särmän loppupiste (ellei se ole samalla koko puun loppupiste) on yhden tai useamman särmän alkupiste. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 18
Puudiagrammi Puudiagrammi on puun graafinen esitys. Puudiagrammi voidaan konstruoida seuraavalla tavalla: (i) Merkitään puun pisteet tasoon. (ii) Piirretään jokaisen särmän a = (v, w) alkupisteestä v nuoli särmän loppupisteeseen w. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 19
Puudiagrammin piirtäminen Puudiagrammin piirtämisessä käytetään tavallisesti toista seuraavista tavoista: (i) Puu piirretään ylösalaisin niin, että sen juuri eli alkupiste on ylhäällä ja loppupisteet ovat alhaalla. (ii) Puu piirretään makaavaan asentoon niin, että sen juuri eli alkupiste on vasemmalla ja loppupisteet ovat oikealla. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 20
Puut ja puudiagrammit: Esimerkki 1 Viereisen diagrammin verkko ei ole puu. Perustelut: (i) Verkko ei ole yhtenäinen, koska se koostuu kolmesta aliverkosta, joiden välillä ei ole yhtään särmää. (ii) Verkossa on silmukka. v 1 a 1 a 2 v 2 v 3 v 4 a 3 a 4 a 5 v 5 v 6 v 7 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 v 8 v 9 v 10 v 11 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 21
Puut ja puudiagrammit: Esimerkki 2 1/2 Viereisen diagrammin verkko on puu. Perustelut: (i) Verkko on yhtenäinen. (ii) Verkossa ei ole silmukoita. (iii) Verkon alkupisteestä eli juuresta v 1 vie reitti verkon jokaiseen muuhun pisteeseen. Puun loppupisteiden joukko: {v 5,v 7,v 8,v 9,v 10 } v 1 a 1 a 2 v 2 v 3 a 3 a 4 v 4 v 5 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 22
Puut ja puudiagrammit: Esimerkki 2 2/2 Viereisen puudiagrammin alkupisteestä v 1 loppupisteisiin v 5,v 7,v 8,v 9,v 10 vievät reitit: 1. Loppupisteeseen v 5 vie reitti {a 2,a 4 } 2. Loppupisteeseen v 7 vie reitti {a 1,a 3,a 6 } 3. Loppupisteeseen v 8 vie reitti {a 1,a 3,a 7 } 4. Loppupisteeseen v 9 vie reitti {a 2,a 5,a 8 } 5. Loppupisteeseen v 7 vie reitti {a 2,a 5,a 9 } v 1 a 1 a 2 v 2 v 3 a 3 a 4 v 4 v 5 a 5 v 6 a 6 a 7 a 8 a 9 v 7 v 8 v 9 v 10 TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 23