7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin + pienin arvo on 0 + = ja suurin arvo on + = c) f ( ) = sincos= sin, joten sen pienin arvo on ja suurin arvo on d) Koska cos( + ) saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f( ) = cos( + ) pienin arvo on ja suurin arvo on 9 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktio f ( ) = + sin saa kaikki välillä [, + ] = [, ] olevat arvot b) f ( ) = sin + cos = sin + (sin + cos ) = sin + Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin f saa kaikki välillä [0 +,+ ] = [,] olevat arvot c) f on määritelty, kun + n, jolloin sin cos + sin + tan = + = = ja f ( ) = = cos Funktio f cos cos cos + tan saa siis kaikki välillä [0,] olevat arvot paitsi arvon 0, sillä määrittelyehdon mukaan täytyy olla + n Vast ]0,] d) f( ) = cos cos = cos cos = (cos ) Koska cos saa kaikki välillä [, ] = [, ] olevat arvot, (cos ) saa kaikki välillä 9 [0, ] olevat arvot, joten f saa kaikki välillä 9 [ 0, ] = [,] olevat arvot 9 a) Koska f on kaikkialla jatkuva ja derivoituva, niin se saa pienimmän ja suurimman arvonsa jossakin derivaatan nollakohdassa Yhtälön f '( ) = cos sin = 0 ratkaisut ovat = + n Koska f( + n ) = sin + cos = = ja f( + (n+ ) ) = f( + n) = sin + cos =, niin f:n pienin ja suurin arvo ovat ja Harry Silfverberg, Lauri Pippola ja Werner Söderström Osakeyhtiö 007
b) Koska f on kaikkialla jatkuva ja derivoituva, niin se saa pienimmän ja suurimman arvonsa jossakin derivaatan nollakohdassa Yhtälön f '( ) = cos + sin = 0 tan = ratkaisut ovat = + n Koska f( + n ) = sin( ) cos( ) = = ja f( + (n+ ) ) = f( + n) = sin( ) cos( ) = ( ) =, niin f:n pienin ja suurin arvo ovat ja 9 a) f '( ) = cos = 0 cos = =± + n Derivaatan nollakohdista vain = osuu välille [0, ] Funktion arvot välin päätepisteissä ovat f (0) = 0 ja f ( ) = ja derivaatan nollakohdassa f ( ) = = 0,8 Koska f on tarkasteluvälillä jatkuva ja derivoituva, niin se saa pienimmän ja suurimman arvonsa välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdissa Edellä lasketuista arvoista pienin on ja suurin Funktio f saa siis kaikki välillä [, ] olevat arvot b) f '( ) = sin + (sin + cos ) = cos = 0 = 0 tai cos = 0 = 0 tai = + n Derivaatan nollakohdista vain = 0 ja = osuvat välille [0, ] Funktion arvot välin päätepisteissä ovat f (0) = ja f ( ) = ja derivaatan toisessa nollakohdassa f ( ) = Koska f on tarkasteluvälillä jatkuva ja derivoituva, niin se saa pienimmän ja suurimman arvonsa välin päätepisteissä tai derivaatan nollakohdissa Edellä lasketuista arvoista pienin on ja suurin Funktio f saa siis kaikki välillä [, ] olevat arvot 9 f '( ) = cos( ) = 0 =± + n = + n tai = + n = + n tai = + n Välille [0, ] osuvat derivaatan nollakohdat = ja = + = Arvoista f '(0) = cos( ) =, f '( ) = cos( ) = cos( ) = ja f '( ) = cos( ) = voidaan päätellä, että derivaatta on positiivinen välillä 0< <, negatiivinen välillä < < ja taas positiivinen välillä < < Funktio f on siis vähenevä osavälillä [, ] Harry Silfverberg, Lauri Pippola ja Werner Söderström Osakeyhtiö 007
9 a) f '( ) = cos + sin cos = cos ( + sin ) = 0 cos = 0 tai + sin = 0 = + n tai = + n tai = + n Funktio f on kaikkialla jatkuva ja derivoituva, joten se saa pienimmän ja suurimman arvonsa jossakin derivaatan nollakohdassa Koska f( + n) = sin( + n) + sin ( + n) =± + (eli 0 tai ), f( + n ) = f( ) = + = ja f( + n ) = f( ) = f( ) =, niin f:n pienin ja suurin arvo ovat ja b) f '( ) = ( + tan ) + tan ( + tan ) = ( + tan )( + tan ) = 0 + tan = 0 tan = = + n Koska tan :n perusjaksoväli on < <, niin riittää tutkia f ( ):n arvoja tällä välillä Funktion f derivaatta on välillä < < negatiivinen (koska tan < ) ja välillä < < positiivinen, joten f:n pienin arvo on f ( ) = Suurinta arvoa ei ole, sillä f ( ) kasvaa rajatta, kun ± Graafisella laskimella piirretty kuvaaja vahvistaa tulokset 9 Funktio f on kaikkialla jatkuva ja derivoituva ja f ( ) = + sincos= + sin, joten f '( ) = + cos = + cos Koska cos, niin f '( ) 0 kaikilla :n arvoilla Derivaatan merkki ei siis vaihdu missään kohdassa, joten funktiolla f ei ole ääriarvoja 97 a) Funktio f on kaikkialla jatkuva ja derivoituva ja sen perusjaksoväli on [0, ] Suurin ja pienin arvo esiintyvät siis tällä välillä olevissa derivaatan nollakohdissa f '( ) = cos sin = cos sin cos = cos ( sin ) = 0 cos = 0 tai sin = Funktion f perusjaksovälille [0, ] osuvat derivaatan nollakohdat ovat =, =, = ja = Funktion arvot näissä kohdissa ovat f ( ) =, f ( ) =, f ( ) = ja f ( ) = Pienin arvo on siis ja suurin Harry Silfverberg, Lauri Pippola ja Werner Söderström Osakeyhtiö 007
b) Koska cos, niin myös cos, joten 0 cos ja 0 ( cos ) 8 Funktion f pienin arvo on siis 0 ja suurin 8 98 a) f '( ) = sin sin = 0 sin = sin sin = sin( ) = + n tai = ( ) + n = + + n n = tai = + n = n Tarkasteluvälille [0, ] osuvat derivaatan nollakohdat ovat siis = 0, = ja = Funktio f on tällä välillä jatkuva ja derivoituva, joten sen suurin ja pienin arvo esiintyvät em kohdissa Koska f (0) =, f ( ) = 0 ja f ( ) =, niin pienin ja suurin arvo ovat ja b) Huomaamme, että f( ) = sin + cos = (sin + cos + ) = (sin + cos ) + Suluissa olevan lausekkeen pienin ja suurin arvo ovat (ks 8a) ja Siis funktion f pienin arvo on ( ) + = ja suurin arvo + = 99 y' = cos + cos = 0 cos = cos cos = cos( + ) = + + n tai = ( + ) + n = + n tai = + n Välille ]0, [ osuvat derivaatan nollakohdat =, = ja = Testiarvoista y '(0) =, y '( ) =, y '( ) = ja y '( ) = nähdään, että derivaatta y ' on välillä 0< < positiivinen, välillä < < negatiivinen, välillä < < edelleen negatiivinen ja välillä < < taas positiivinen Funktiolla y on siis maksimi f ( ) = ja minimi f ( ) = (Kohdassa = ei ole ääriarvoa) Harry Silfverberg, Lauri Pippola ja Werner Söderström Osakeyhtiö 007
00 a) f '( ) cos 0 cos = = = =± + n =± + n Välille [, ] osuvat derivaatan nollakohdat ovat =± ja =± Testiarvoista f '( ) =, f '( ) =, f '(0) =, f '( ) = ja f '( ) = nähdään (koska f '( ) on kaikkialla jatkuva), että derivaatta on positiivinen välillä < <, negatiivinen välillä < <, positiivinen välillä < <, negatiivinen välillä < < ja taas positiivinen välillä < < Funktiolla f on siis ko välillä minimi kohdissa kohdissa =, =, = Kuvaaja vahvistaa tulokset =, =, = ja maksimi 0 a) Koska sinin arvo vaihtelee välillä [,] niin suurin korkeus on,+ = 8, (m) ja pienin korkeus on, + = 0, (m) ja niiden ero on 8, (m) b) Vesi on matalimmillaan, kun sin t = Ensimmäisen kerran näin käy, kun 7 t = eli kun t = = 9 h, jolloin kello on 90 8 8 c) Derivaatta h'( t) =, cos t ilmoittaa nopeuden hetkellä t i) Nopeus hetkellä t = on h'() =, cos( ),7 (m/h) ii) Nopeus hetkellä t = on h'() =, cos( ) 0, (m/h) d) Pystysuuntainen nopeus on v = h'() =, cos (m/h) Kuvion perusteella pohjan suuntainen nopeus v v v = 8, (m/h) sin v Harry Silfverberg, Lauri Pippola ja Werner Söderström Osakeyhtiö 007 7
0 a) f '( ) = ( + tan ) = tan = 0 tan =± = + n Derivaatan nollakohdista vain = osuu tarkasteluvälille ]0, [, jossa derivaatta on jatkuva Testiarvoista f '( ) = ja f '( ) = nähdään, että derivaatta on positiivinen välillä ]0, [ ja negatiivinen välillä ], [ Funktion f suurin arvo välillä ]0, [ on siten f ( ) = tan = Pienintä arvoa ei ole, sillä f( ), kun b) Yhtälön = tan ratkaisut ovat a-kohdan funktion f ( ) = tan nollakohtia Koska f (0) = 0 ja f on aidosti kasvava välillä ]0, [, niin f:llä ei ole nollakohtia tällä osavälillä Koska f ( ) = > 0 ja lim f( ) =, niin f:llä on jatkuvan funktion nollakohtalauseen perusteella osavälillä ], [ ainakin yksi nollakohta Näitä nollakohtia on enintään yksi, sillä f on ko osavälillä aidosti vähenevä Funktiolla f on siis välillä ]0, [ täsmälleen yksi nollakohta Väite seuraa tästä 0 a) y' = 0sin= 0 = n = n On helppo nähdä, että y ' on negatiivinen välillä 0< <, positiivinen välillä < <, taas negatiivinen välillä (n ) n < < jne Yleisesti y ' 0, kun Funktio on siis kasvava näillä väleillä b) y = + cos= 0 cos= =±,8 + n ± 0, + n 0 Olkoon f ( ) = tan Silloin = + =, joten f '( ) > 0 välillä f '( ) tan tan ]0, [ Funktio f on siis aidosti kasvava, kun 0 < Koska f (0) = 0, niin f( ) > 0 kaikilla 0< < Tällä välillä on siis tan > Harry Silfverberg, Lauri Pippola ja Werner Söderström Osakeyhtiö 007 8
0 0cos ( sin ) 0sin 8cos sin 8cos sin 8cos f ( ) = + = = cos sin cos sin cos sin f '( ) = 0 sin 8cos = 0 (sin ) = (cos ) sin= cos tan= Derivaatalla on siis välillä 0< < täsmälleen yksi nollakohta Derivaatan f '( ) osoittaja vaihtuu tässä nollakohdassaan negatiivisesta positiiviseksi, joten f saa siinä pienimmän arvonsa ko välillä Apukolmiosta (ks kuvio) nähdään, että tässä kohdassa on sin = ja cos =, joten f( ) = + = Funktiolla f ei ole tarkasteluvälillä suurinta arvoa, sillä f( ), kun 0 + tai 0 Tapa Olkoon f ( ) = sin+ cos Huomaamme, että f( ) = sin( + ), sillä sin( + ) = sin cos + cos sin = sin + cos Näin ollen f:n suurin arvo on, Funktio f ei siis voi saada arvoa, eikä annetulla yhtälöllä ole ratkaisuja 07 Olkoon f( ) = sin ( ) = sin + Riittää todistaa, että f( ) 0kaikilla 0 Koska f '( ) = cos + 0 kaikilla :n arvoilla, niin f ( ) on kaikkialla kasvava Koska f (0) = 0, niin f( ) 0kaikilla 0 Yhtäsuuruus on voimassa, kun = 0 08 Vasemman ja oikean puolen erotus sin sin+ = (sin ) on aina 0 Väite seuraa tästä Yhtäsuuruus on voimassa, kun sin = eli kun = + n tai = + n Harry Silfverberg, Lauri Pippola ja Werner Söderström Osakeyhtiö 007 9
09 f '( ) = cos = 0 cos = =± + n =± + n Derivaatan nollakohdista vain = osuu välille 0 < < Testiarvoista f (0) = ja f ( ) = nähdään, että derivaatta on positiivinen, kun 0 < < ja negatiivinen, kun < < Funktio f on siis aidosti kasvava välillä ]0, [ ja aidosti vähenevä välillä ], [ Koska lisäksi f (0) = 0 ja f ( ) = > 0, niin väite seuraa 0 Riittää osoittaa, että funktio f ( ) = + sin on aidosti kasvava Derivaatta f '( ) = + cos = 0, kun = + n Muualla f '( ) > 0 Siis f on kaikkialla aidosti kasvava ja väite on näin todistettu a) Kirjoitetaan yhtälö muotoon f( ) = 7tan = 0 Derivaatalla f '( ) = 7( + tan ) = 7(tan ) on välillä ], [ nollakohdat =± Derivaatta on positiivinen kun < <, negatiivinen kun < < ja taas positiivinen kun < < 7 Funktiolla f on siis maksimi f ( ) = 7 ( ) ( ) = +,0 ja minimi 7 f ( ) = 7 ( ) = 9,0 Funktiolla ei siten ole yhtään nollakohtaa välillä < Koska funktio f on välillä < < aidosti kasvava ja f ( ) < 0 sekä lim f ( ) =, niin f:llä on tällä välillä täsmälleen yksi nollakohta Tästä väite seuraakin b) Syötetään yhtälö laskimen Solver-ohjelmaan (ks kuvio) Alkuarvolla = Solver löytää ratkaisun, Harry Silfverberg, Lauri Pippola ja Werner Söderström Osakeyhtiö 007 0
Piste A liikkuu y-akselilla välillä < y <, jolloin piste B liikkuu -akselilla välillä < < 0 Pisteen B -koordinaatti on kuvion mukaan = = sin = sin = cos, y t t t sillä cost on tarkasteluvälillä positiivinen Pisteen B nopeus hetkellä t on '( t) = sin t B y A O Olkoon kysytty kulma ( 0 < < ) Kuvion A merkintöjen mukaan polun pituus on 00 0 p( ) = AP + PB = cos + sin ja P 00 0 00sin 0cos sin cos B p'( ) = = 0 käytävä cos sin sin cos sin Yhtälöstä p'( ) = 0 sin = cos = tan = saadaan derivaatan välillä cos 0 < < oleva nollakohta 0,70 = 0 Geometrisin perustein on selvää, että kyseessä on minimikohta, jossa p( ) saa pienimmän arvonsa ko välillä, sillä p, ( ) kun 0 + tai Vast 0 Funktio f ( ) = sincos( + a) on kaikkialla jatkuva ja derivoituva, joten se saa suurimman ja pienimmän arvonsa derivaattansa nollakohdissa Derivaatta f '( ) = cos cos( + a) sin sin( + a) = cos( + + a) = cos( + a) saa arvon 0, kun a + a= + n eli kun = + n Valitsemalla n = 0 ja n = - saadaan a a nollakohdat 0 = ja = a a Funktion f arvo kohdassa 0 on f( 0 ) = sin( )cos( + ) a a a a = (sin cos cos sin )(cos cos sin sin ) a a a a a a = (cos sin ) (cos sin ) = (cos sin ) a a a a = (cos + sin sin cos ) = ( sin a) Vastaavilla laskuilla saadaan f ( ) = ( sin a) Muissa derivaatan nollakohdissa saadaan samat arvot uudelleen Näin ollen funktion suurin arvo on ( sin a) ja pienin arvo on ( sin a) käytävä Harry Silfverberg, Lauri Pippola ja Werner Söderström Osakeyhtiö 007
Koska Rcos( + ω) = Rcosωcos Rsinωsin, niin täytyy olla Rcosω = ja Rsinω = Tällöin R cos ω + R sin ω = R = + = 9, josta R =± Edelleen Rsinω on = tanω =, josta 0,9 n Rcosω ω + Ehdot Rcosω = ja R sin ω = toteutuvat, kun valitaan R = ja ω = 0,9 Siis f( ) = cos( + 0,9) Tästä nähdään, että f:n suurin ja pienin arvo ovat ja Edellinen saavutetaan, kun + 0,9 = n eli kun = 0,9 + n ja jälkimmäinen, kun + 0,9 = + n eli kun = 0,9 + n =,7 + n Oletetamme, että suunnistaja lähtee A:sta ja kiertää ensin suon reunaa kovaa maata pitkin matkan k (km) pisteeseen C ja oikaisee sitten suoraan suon poikki pisteeseen B matkan s (km) Olkoon α kaarta k vastaava keskuskulma, jolloin k = α Suorakulmaisesta kolmiosta OCM, missä O on ympyrän keskipiste ja M janan CB keskipiste saamme s / = sin ( α) = cos α Matkaan kuluva aika, joka ei riipu matkojen k ja s / kulkujärjestyksestä, on tällöin f ( α) = k /0 + s / = α cos α 0 + Välillä 0 α α on f ( α) = sin = 0, kun α = Koska f ( 0) = 0,, 0 0 f ( ) = + ) 0, ja f ( ) = 0, 7, funktio f saa pienimmän 0 0 arvonsa, kun α = Suunnistaja etenee siis nopeimmin kiertämällä suo sen reunaa pitkin 7 Olkoon sektorin keskuskulma ( 0 ) Koska säde on, niin sektorin kaari on myös Taivutuksessa tästä kaaresta tulee kartion pohjaympyrän piiri Siis r =, josta pohjaympyrän säde r = Kartion korkeus h r ( ) V = r h= ( ) = saa suurimman arvonsa, kun 8 f ( ) = on suurin Derivaatan f '( ) = = (8 ) 8 nollakohdat ovat = 0 ja = Koska f(0) = f( ) = 0, niin tilavuuden suurin 8 arvo saavutetaan, kun sektorin keskuskulmaksi valitaan = 9,9 h r Harry Silfverberg, Lauri Pippola ja Werner Söderström Osakeyhtiö 007
n 8 a) Merkitään n = + 0, n =,,,, Likiarvot saattavat olla hieman toisistaan poikkeavia eri laskimilla laskettuina Eräällä laskimella laskettuina L ( ), 009, L ( ),99998, L ( ), 98000, L ( ) 0, 00000 ja L ( ) 0, 00000 tan tan b) Koska tan =, on L ( ) = funktion f ( ) = tan erotusosamäärä kohdassa Funktio on tässä kohdassa derivoituva, joten on olemassa lim L( ) = f ( ) = = Tehtävän a-kohdan jonon pitäisi siis lähestyä cos ( ) arvoa Laskimella lasketut likiarvot eivät näytä lähestyvän tätä raja-arvoa 9 Olkoon t kulma ( 0 < t < ), jonka tukki muodostaa toisen kanavan kanssa (ks a b kuvio) Janan AB pituus on silloin f() t = cost + sin t On etsittävä tämän funktion asin t bcos t pienin arvo Derivaatan f ( t) = nollakohdat saadaan yhtälöstä sin tcos t b asin t = bcos t tan t = ( ) Tällä yhtälöllä on välillä 0 < t < vain yksi ratkaisu ja a geometrisin perustein voidaan päätellä, että se on funktion f minimikohta a Tällöin on cost = = = ja + tan t b + ( ) a + b a b ( ) tan t b sin t = = a =, jolloin janan AB pienin + tan t b + ( ) a + b a pituus ja samalla tukin suurin mahdollinen pituus on f( t) = a a + b + b a + b = a + b ( a + b ) = ( a + b ) A b a C t D B 0 Olkoon f derivoituva jaksollinen funktio perusjakso on ω Kaikilla :n arvoilla on siis f ( + ω) = f( ) Derivoimalla tämä yhtälö puolittain ja soveltamalla vasemmalla puolella yhdistetyn funktion derivoimissääntöä saadaan f '( + ω) = f '( ), joten f '( + ω) = f '( ) Funktio f '( ) on siis jaksollinen perusjaksonaan ω Jos f on jatkuva jaksollinen funktio perusjaksonaan ω, niin se saa jatkuvan funktion ääriarvolauseen perusteella suurimman ja pienimmän arvonsa välillä [0, ω ] Nämä arvot ovat samalla funktion f suurin ja pienin arvo, sillä jaksollisuuden vuoksi f saa kaikki arvonsa välillä [0, ω ] Harry Silfverberg, Lauri Pippola ja Werner Söderström Osakeyhtiö 007