Moderni fysiikka Syyslukukausi 008 Jukka Maalampi 1
1. Suhteellisuus Galilein suhteellisuuus Fysiikan lakien suhteellisuus Suppea suhteellisuusteoria Samanaikaisuuden suhteellisuus Ajan dilaatio Pituuden kontraktio Lorentzin muunnos Dopplerin ilmiö valolle Relativistinen liikemäärä Yleinen suhteellisuusteoria
Suhteellisuusteoriat muuttivat 1900-luvun alussa käsityksiä ajasta, avaruudesta ja liikkeestä. Suppea suhteellisuusteoria osoitti, että Newtonin liikelait eivät päde, kun kaappaleen nopeus on lähellä valonnopeutta. Yleinen suhteellisuusteoria kuvasi gravitaation aika-paikkaavaruuden geometrian (kaarevuuden) avulla. Yleistä suhteellisuusteoriaa käsitellään tällä kurssilla vain vähän. Klassisen mekaniikan suhteellisuus Newtonin mekaniikassa oletetaan, että on olemassa absoluuttinen avaruus ja absoluuttinen aika. Jos maailmassa olisi olemassa yksi ainoa hiukkanen, absoluuttinen aika ja avaruus tekevät mahdolliseksi kertoa, liikkuuko kappale ja millä nopeudella, eli ne antavat riippumattoman vertailukohdan. Absoluuttisen avaruuden suhteen tasaisella nopeudella liikkuvan havaitsijan kotikoordinaatisto (koordinaatisto, jossa havaitsija on paikallaan), on inertiaalikoordinaatisto. Kiihtyvässä liikkeessä (ml. pyöriminen) olevat koordinaatistot eivät ole inertiaalikoordinaatistoja. 3
Newtonin liikelait: N I N II N III Liikkeen jatkavuuden laki a = F/m (F on kappaleeseen vaikuttava kokonaisvoima) Voiman ja vastavoiman laki. Nämä lait ovat samanlaisina voimassa absoluuttisessa avaruudessa ja kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa. Miten absoluuttinen avaruus voidaan erottaa inertiaalikoordinaatistoista? Ei mitenkään, sillä edellisen mukaan kaikki mekaniikan ilmiöt tapahtuvat niissä täsmälleen samanlaisina. Tavaksi tuli kutsua absoluuttiseksi avaruudeksi paremman puutteessa sitä koordinaatistoa, jossa kiintotähdet ovat paikallaan. Ne muodostavat kaikkein vähiten muuttuvan kiintopistejärjestelmän. 1600-1800-luvuilla vakiintuneen hypoteesin mukaan avaruuden täyttää näkymätön väliaine, eetteri, jonka lepokoordinaatisto on absoluuttinen avaruus. Eetterillä ajateltiin olevan monia tehtäviä: sähkömagneettiset aallot olivat eeterin aaltoilua, voimien kaukovaikutus (esim. gravitaatio) välittyi mekaanisesti eetterin avulla. 4
Maa pyörii ja kiertää Aurinkoa, joten Maahan kiinnitetty koordinaatisto ei ole inertiaalikoordinaatisto. Esim. Foucault n heiluri osoittaa, että Newtonin lait eivät päde Maan mukana liikkuvassa koordinaatistossa. Useimmissa tilanteissa Maan koordinaatistoa voi kyllä hyvällä menestyksellä pitää inertiaalisena. Ainoat todelliset voimat ovat langan jännitysvoima ja paino, jotka molemmat vaikuttavat heilahdustasossa. Heilahdustason kiertymistä ei voi selittää N II:n perusteella vaan tarvitaan näennäisvoima (Coriolisin voima). (Huom. Jos heiluri on kiinnitetty Maan pyörimisakselin jatkeelle, siis etelä- tai pohjoisnavalle, paino osoittaa koko ajan samaan suuntaan, joten heilahdustaso pysyy samana siinä koordinaatistossa, jossa Maa pyörii, ja kiertää 360 astetta vuorokaudessa Maan mukana pyörivässä koordinaatistossa. Esim. päiväntasaajalla painon suunta muuttuu 360 astetta jokaisella kierroksella, joten siellä heilahdustaso pysyy muuttumattomana Maan mukana pyörivän koordinaatiston suhteen.) 5
Galilein muunnokset Tarkastellaan kahta inertiaalikoordinaatistoa S ja S (kahta havaitsijaa), jotka liikkuvat toistensa suhteen vakionopeudella u. Avaruudessa olevan pisteen P paikat näissä koordinaatistoissa ovat S r = (x,y,z) S r = (x,y,z ) Oleteaan, että vastinkoordinaattiakselit ovat samansuuntaiset ja että koordinaatistojen välinen liike tapahtuu x- ja x -akselien yhteisessä suunnassa. S liikkuu S:n suhteen vakionopeudella u positiivisen x-akselin suuntaan. u Koordinaattien välillä valisee Galilein muunnos. Jos origot kohtaavat hetkellä t = 0, niin pisteen P koordinaatit hetkellä t liittyvät toisiinsa näin: x y z = = = x ' + z y ' ' ut (Newtonin mukaan molemmissa koordinaatistoissa on sama aika eli t = t. ) 6
Oletetaan, että piste P liikkuu eli se on jonkin avaruudessa liikkuvan kappaleen paikka ja riippuu ajasta. Kappaleen nopeuden komponentit ovat v v v x y z dx d( x' + ut) = = = dt dt dy dy' = = = v' y, dt dt dz dz' = = = v' z. dt dt dx' + u dt Nopeuksien Galilein muunnos on siis: = v' x + u, v v v x y z = v' = v' x = v' y z + u,., eli v' v' v' x y z = v = v = v x y z u,,. Esimerkki S on joen ranta, S joessa liikkuva vene ja veden virtausnopeus rannan suhteen on u = 1.0 m/s. Vene liikkuu joessa myötävirtaan. Sen nopeus rannan suhteen on 15 km/h. Mikä on veneen nopeus veden suhteen? Nyt v x = 15 km/h = 4. m/s, joten v x = v x u = 15μ10 3 m/3600 s 1.0 m/s = 3. m/s = 11.4 km/h. 7
Galilein suhteellisuus Koordinaatistoissa S ja S kappaleen paikka ja nopeus eroavat toisistaan. Entä kappaleeseen kohdistuva voima ja kappaleen kiihtyvyys? Kappaleeseen kohdistuva voima voidaan mitata voimamittarilla. Voimamittarin lukema on se mitä se on, molemmissa koordinaatistoissa sama. Voima ei mitenkään liity havaitsijaan vaan kappaleen vuorovaikutukseen jonkin toisen kappaleen kanssa. Siis F = F. Entä kiihtyvyys? Nopeuksille pätee (oletetaan, että kaikki liike tapahtuu x-suunnassa) v' = v u Derivoidaan tämä ajan suhteen. Koska koordinaatistot liikkuvat toistensa suhteen vakionopeudella, on du/dt = 0 ja dv' d( v u) dv a ' = = = = dt dt dt a. Kiihtyvyydellä on siis inertiaalikoordinaatistoissa sama arvo. Koska voimakin on sama, päätellään että jos jossakin inertiaalikoordinaatistossa on voimassa Newtonin II laki F = ma, niin muissa inertiaalikoordinaatistoissa pätee samanlainen yhtälö, ts. F = ma. Koska kaikki mekaniikan säännöt ja säilymislait seuraavat Newtonin II laista, on voimassa Galilein suhteellisuusperiaate: Mekaniikan lait ovat samat kaikissa inertiaalijärjestelmissä. 8
Galilein invarianssi ja sähkömagnetismi Galilein suhteellisuus näytti pätevän mekaniikassa, mutta sähkömagnetismia kuvaavat Maxwellin yhtälöt eivät ole muuttumattomia eli invariantteja niissä. Kelaan indusoituu sama virta riippumatta siitä, liikkuuko magneetti kelan suhteen vai päinvastoin. Jos Maxwellin yhtälöihin tehdään Galilein muunnokset, virran suuruus on erilainen. Galilein invarianssi ei ole siis voimassa sähkömagneettisissa ilmiöissä. Mach, Poincaré ja Einstein aavistivat, että vika on Newtonin mekaniikan perusteissa, ajan ja avaruuden absoluuttisuudessa. Mach sanoi, että liike on aina liikettä toisen kappaleen suhteen. Liikettä ei ole olemassa absoluuttisessa mielessä. Poincare ihmetteli absoluuttista aikaa. Miten kellojen synkronointi on ylipäätään mahdollista: pitää tietää synkronoivan signaalin nopeus, ja nopeuden määrittäminen vaatii samaa aikaa käyviä kelloja. Hän myös arveli samanaikaisuuden olevan suhteellista, havaitsijasta riippuvaa. 9
Michelsonin ja Morleyn koe Eetterihypoteesin mukaan valo on eetterin aaltoilua. Koska maapallo kaiken järjen mukaan liikkuu eetterin suhteen, pitäisi maanpinnalla mitatun valon nopeuden riippua valon kulkusuunnasta. Ääritapauksien välillä tulisi olla eroa x Maan nopeus eetterin suhteen. Michelson ja Morley päättivät mitata tämän ja antaa siten tukea eetteriteorialle. Olkoon v Maan nopeus eetterin suhteen ja c valonnopeus eetterin suhteen (vakio). Jos valonsäde kulkee edestakaisin matkan L Maan suhteellisen liikkeen suunnassa, käyttää se siihen aikaa L L cl t1 = + =. c v c + v c v Jos valonsäde kulkee samanlaisen edestakaisen matkan nopeutta v vastaan kohtisuorassa suunnassa, on valonsäteen nopeus Maan koordinaatistossa u = c v, missä c on valonnopeus eetterin suhteen. Nopeuden suuruus on siten u = c v ja edestakaiseen matkaan kuluva aika on siten L t =. c v Aikojen erotukseksi saadaan Δt = t L v 1 t. c c Tämän aikaeron Michelson ja Morley halusivat mitata. 10
Michelsonin ja Morleyn koejärjestely Valolähteestä tullut säde jaettiin läpäisevällä peilillä kahtia. Osat pantiin kulkemaan toisiaan vastaan kohtisuorassa suunnassa edestakaisin peilistä peiliin ja sama reitti takaisin. Sitten säteet jälleen yhdistettiin ja yhdistettyä valoa tarkasteltiin mikroskoopilla. Jos suunnalla on vaikutusta valon kulkuun, syntyy kahden säteen välille vaihe-ero, joka ilmenee interferenssikuviona. Michelson ja Morley eivät nähneet mitään viitteitä suunnan vaikutuksesta valonnopeuteen vastoin eetteriteorian ennustusta! Valo kulkee kaikkiin suuntiin samalla nopeudella. Animaatio: http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/flashlets/mmexpt6.htm Michelsonin ja Morleyn mittaus perustui interferenssi-ilmiöön, joka syntyi kahden valonsäteen välillä olevasta värähtelyn vaihe-erosta. 11
Suppea suhteellisuusteoria (Einstein 1905) Albert Einstein ratkaisi klassisen mekaniikan ja sähkömagnetismin ristiriidan asettamalla seuraavat postulaatit: 1. Kaikki fysiikan lait ovat samanlaiset kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa.. Valon nopeus on sama kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa, ja se on riippumaton valonlähteen nopeudesta. E μ0 r ε 0 t r E = 0. 1. postulaatti on Galilein suhteellisuusperiaatteen yleistys. Sen mukaan suhteellisuus pätee mekaniikan lisäksi myös sähkömagnetismissa.. postulaatti seuraa tavallaan 1.:stä, sillä valonnopeus on luettavissa Maxwellin yhtälöistä. Jos Maxwellin yhtälöt ovat samanlaiset kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa, on myös valonnopeus aina sama. Tyhjössä, jossa ei ole alkeisvarauksia, sähkökenttä toteuttaa yhtälön (saadaan M:n yhtälöistä) E μ0ε 0 t Tämä on aaltoliikettä kuvaava yhtälö, jossa aallonnopeus on 1 c =. μ 0 ε 0 E = 0. 1
c on valonnopeus tyhjiössä. Sen arvoksi on sovittu c = 99 79 458 m/s. Tavallisesti voi käyttää arvoa c = 3 x 10 8 m/s. (Huom. Valonnopeus voidaan mitata nykyään tarkemmin kuin metrin standardi, joten on luonnollista pitää c kiinnitettynä ja muuttaa metrin mittaa tarvittaessa.) Seuraavassa käydään läpi keskeisiä suppean suhteellisuusteorian seurauksia. Valonnopeuden invarianssi johtaa moniin intuition vastaisiin tuloksiin, mutta luonto on osoittautunut käyttäytyvän kuten teoria kertoo. Samanaikaisuuden suhteellisuus Junan päissä välähtää. Valonsäteet saavauttavat asemalla seisovan Matin yhtä aikaa. Koska valonnopeus ei riipu valonlähteen liikkeestä, Matti päättelee välähdysten tapahtuneen samaan aikaan. Junan etuosasta lähteneet säteet saavuttavat junan mukana liikkuvan Tepon aikaisemmin kuin takaosasta lähteneet. Koska valo kulkee aina samalla nopeudella, Teppo päättelee välähdysten tapahtuneen eri aikaan. Teppo Matti Teppoon osuu Mattiin osuu Samanaikaisuus on suhteellista eli riippuu havaitsijan liikkeestä tapahtumaparin suhteen. Teppoon osuu 13
Ajankulun suhteellisuus Teppo näkee valon kulkevan lyhyemmän matkan kuin kuin Matti. Koska valonnopeus ei riipu havaitsijasta, kestää valon edestakainen matka Tepon mittaamana lyhyemmän ajan kuin Matin mittaamana. T l d u l uδt M Tepon koordinaatistossa tapahtumat valonsäteen lähtö ja paluu tapahtuvat samassa avaruuden pisteessä. Tepon koordinaatisto on tapahtumaparin lepokoordinaatisto. Valonsäteen edestakaiseen matkaan kuluva aika on Tepon koordinaatistossa d Δt 0 =. c Lepokoordinaatistossa mitatut suureet on tapana merkitä alaindeksillä 0. Matin koordinaatistossa valonsäde kulkee matkan l, joten kuvan mukaisesti saadaan tapahtumaparin aikaeroksi Tästä saadaan Δt Δt 4d = c l = = d + c c 1 1 ( u / c ( uδt / ). Δt = ) 1 ( u 0 / c. ) Matin mittaama aika on pitempi kuin Tepon mittaama aika. 14
Ajan dilaatio Edellä saatu tulos on yleinen. Tapahtumaparin lepokoordinaatistossa mitattu tapahtumien aikaväli Δt 0 on lyhin. Jos havaitsija liikkuu nopeudella u tämän koordinaatiston suhteen, hänen mittaamansa tapahtumien aikaväli on Δt = Δt 0 1 ( u / c ). Ajan dilaatio Määritellään lyhynnysmerkintä γ = 1 1 ( u / c ), jolloin Δt = γδt 0. Ajan dilaatio Kun nopeus u << c, on relativistinen tekijä g on lähellä arvoa 1. Silloin lepokoordinaatistossa olevan ja liikkuvan havaitsijan mittaamat aikavälit ovat lähellä toisiaan ja tilanne vastaa klassisen mekaniikan tilannetta. Relativistinen tekijä on merkittävä käytännössä vain, kun tarkastellaan atomitason ilmiöitä eikä aina silloinkaan. Kun g on merkittävä, sanotaan nopeutta u relativistiseksi nopeudeksi, muulloin puhutaan epärelativistisesta nopeudesta. 15
Valonnopeuden invarianssista siis seuraa ajan suhteellisuus eli se että ajan kulku tapahtumiin nähden riippuu havaitsijan liikkeestä. Hitaimmin aika kuluu tapahtumaparin lepokoordinaatistossa eli siinä koordinaatistossa, jossa tapahtumat ovat samanpaikkaisia. Tätä aikaa kutsutaan tapahtumaparin ominaisajaksi (proper time). Esim. alkeishiukkasen elinaika on hiukkasen lepokoordinaatistossa mitattu syntymisen ja hajoamisen välinen aika eli ominaisaika. Kun hiukkanen lentää laboratorioissa, se elää laboratorion kellolla mitattuna tätä elinaikaansa pitemmän ajan. Valonnopeuden invarianssi ratkaisee Poincarén kellojen synkronointiongelman. Koska valo kulkee kaikkiin suuntiin samalla nopeudella, tieto kellonajasta voidaan siirtää tarkastelukoordinaatiston joka kolkkaan. 16