Johdatusta moniskaalamallinnukseen malleissa on usein pieniä/suuria parametreja rajaprosessi voi johtaa laadullisesti erilaiseen rajayhtälöön ratkaisussa useampi pituusskaala epäsäännölliset häiriöt monen skaalan asymptoottiset kehitelmät kehitelmien yhdistäminen (matching) 0
Asymptoottisesti häiritty tehtävä Tarkastellaan differentiaaliyhtälöä au + bu x cu xx = f sopivin alku- tai reunaehdoin. Jos a tai b (asymptoottisen) pieni - säännöllisesti häiritty tehtävä. (rajatehtävä samaa tyyppiä (2. kl)). u + ɛu x u xx = f Jos c pieni - epäsäännöllinen häiriötehtävä (rajatehtävä eri tyyppiä (1. kl)) u + u x ɛu xx = f 1
Epäsäännöllinen häiriö u + u x ɛu xx = 0, u(0) = α, u(1) = 1 Kokeillaan u = u 0 + ɛu 1 + ɛ 2 u 2 + 0 = u 0 + u 0,x + ɛ(u 1 + u 1,x u 0,xx ) + ɛ 2 (u 2 + u 2,x u 1,xx ) + u 0 = Ce x. Tämä toteuttaa vain toisen reunaehdon (ellei α = e). Korjaustermit eivät paranna tilannetta joten kehitelmä ei ole käyttökelpoinen. 2
Monen skaalan kehitelmä Yksinkertainen kehitelmä ei riitä, jos tehtävässä on useita pituus (tai aika) skaaloja..., x/ɛ, x, ɛx,... Merkitään X j = xɛ j ja oletetaan X j :t riippumattomiksi muuttujiksi. Kirjoitetaan missä u = u 0 + ɛu 1 + ɛ 2 u 2 + u k = u k (..., X 1, X, X 1,...) u:n x derivaatat kirjoitetaan X j derivaattojen avulla. 3
Esimerkissä u + u x ɛu xx = 0, u(0) = α, u(1) = 1 merkitään z = x pitkää skaalaa. Koska väli rajoitettu ɛx skaalaa ei esiinny. Sen sijaan ξ = x/ɛ skaala tarvitaan. Kirjoitetaan u j = u j (z, ξ). Nyt d dx = d dz + 1 ɛ dξ d 2 dx 2 = d2 dz 2 + 2 d 2 ɛ dzdξ + 1 d 2 ɛ 2 dξ 2 Sijoitetaan kehitelmä yhtälöön. 0 = 1 ɛ ( u 0,ξξ + u 0,ξ ) d + ( u 1,ξξ + u 1,ξ 2u 0,ξz + u 0,z + u 0 ) +... 4
u 0 on muotoa u 0 = A + Be ξ, missä A = A(z), B = B(z). A ja B määrätään siten, että u 1 käyttäytyy järkevästi. u 1,ξξ + u 1,ξ = 2u 0,ξz u 0,z u 0 = (B z B)e ξ (A z + A) u 1 rajoitettu 1/ɛ pituisella välillä (vain) jos yhtälö on homogeeninen. Joten Siis A = ae z, B = be z. A z + A = 0, B z B = 0 u 0 (z, ξ) = ae z + be z+ξ = ae x + be x+x/ɛ Ehdosta u(0) = α, a = α b. Vastaavasti b (1 αe 1 )e 1 1/ɛ Ratkaisu toteuttaa (likimain) reunaehdot ja käyttäytyy laadullisesti oikein. 5
Sovitetut kehitelmät Edellä lyhyt skaala relevantti vain O(ɛ) alueessa reunan lähellä, muuten ratkaisu vain O(1) skaalassa. Käytetään eri skaaloja eri alueissa. Rajakerroksen ulkopuolinen kehitelmä (outer expansion) u = u o (z) + ɛu 1 (z) +..., jolle pätee u o z + uo = 0 + R.E. Siis, joko u o = αe z tai u o = βe 1 z. Oletetaan, että u o = αe z on oikea ja rajakerros välillä [1 δ, 1]. Valitaan ξ = (1 x)/ɛ 0 = 1 ɛ ( ui ξξ ui ξ ) + Josta u i = β b(1 e ξ ) koska u i (0) = β. 6
Sovitusperiaate (matching principle) Miten kiinnitetään b (ja todetaan että valittu oikeat skaalat). Kehitelmät sopivat yhteen, jos (u o ) i = (u i ) o (Kirjoitetaan ratkaisu toisen skaalan avulla ja tarkastellaan rajaa ɛ = 0.) u o = αe z = αe 1+ɛξ αe 1 u i = β b(1 e ξ ) = β b(1 e (1 x)/ɛ ) β b kun ɛ 0. Kehitelmät yhtyvät jos b = β αe 1. 7
Saatiin ratkaisut u o = αe x u i = β (β αe 1 )(1 e (1 x)/ɛ ) = αe 1 + (β αe 1 )e (x 1)/ɛ Milloin käytetään mitäkin ratkaisua. Koko alueessa voimassa oleva ratkaisu saadaan yhdistämällä kehitelmät u c = u o + u i (u o ) i Menetelmä on yksinkertainen jos osaa arvata oikeat skaalat ja rajakerroksen paikat. 8
Esimerkki - vaimennettu värähtely Tarkastellaan yksinkertaista vaimennettua värähtelijää mu tt + µu t + ku = 0 m massa, µ vaimennuskerroin, k jousivakio. Merkitään ω = k/m skaalataan aika ω:lla ja merkitään ɛ = µ/(2 km). u tt + 2ɛu t + u = 0 Värähtely skaalassa O(1), vaimeneminen skaalassa O(1/ɛ). Asetetaan z 0 = t, z 1 = ɛt, z 2 = ɛ 2 t u t = u,0 + ɛu,1 + ɛ 2 u,2 +... u tt = u,00 + 2ɛu,01 + ɛ 2 (2u,02 + u,11 ) +... 9
Sijoittamalla yhtälöön u 0,00 + u0 = 0 u 1,00 + u1 = 2u 0,01 2u0,0 u 2,00 + u2 = 2u 0,02 u0,11 2u1,01 2u1,0 2u0,1 Yleinen ratkaisu u 0 :lle, u 0 = Ae iz 0 + Āe iz 0 A = A(z 1, z 2 ) kompleksinen. A valittava siten, että u 1 pysyy rajoitettuna. u 1,00 + u1 = 2i(A,1 + A)e iz 0 + (...) Oltava siis A,1 +A = 0, josta A = B(z 2 )e z1. Tällöin voidaan valita u 1 = 0 (homogeenisen yhtälön ratkaisuna). 10
Vastaavasti u 2 rajoitettu kaikilla z 0 jos 2iB,2 e z 1 Be z 1 = 0 Josta B = Ce iz 2/2 Yhdistämällä saadaan u 0 = Ce z 1+i(z 0 z 2 /2) + (...) u 0 = ae ɛt cos(b + t tɛ 2 /2) Tässä a on alkuperäinen amplitudi, b alkuperäinen vaihesiirto. 11
Homogenisaatio Homogenisaatiossa keskiarvoistetaan mikrorakenteita efektiiviseksi malliksi. Tarkastellaan lämmönjohtuvuutta laminaattikerroksen läpi. (k(x)u x ) x = f missä k on periodinen lämmönjohtavuus periodilla ɛ. Lämpötilalla makroskooppinen vaihtelu ja mikrotason fluktuaatio: u = u(x, x ɛ ). 12
Periodinen kehitelmä Etsitään lämpötilaa muodossa u = u 0 (x, x ɛ ) + ɛu1 (x, x ɛ ) + ɛ2 u 2 (x, x ɛ ) + Merkitään lyhyttä skaalaa y = x ɛ. Tällöin Tällöin (k(y)u x ) x = 1 ɛ 2(k(y)u0 y) y u x = u x + 1 ɛ u y 1 ɛ (k(y)u0 y) x (k(y)u 0 x) y (k(y)u 1 y) y (k(y)u 0 x) x (k(y)u 1 y) x (k(y)u 1 x) y (k(y)u 2 y) y 13
Kehitelmän ratkaiseminen Yleisperiaatteet: jokainen ɛ:n potenssi häviää; korjaustermeillä olemassa rajoitettu ratkaisu. Termistä 1 ɛ 2 (k(y)u 0 y) y = 0 u 0 on y-periodinen vain, jos u 0 = u 0 (x) (eli vakio y:n suhteen). Termistä 1 ɛ (k(y)u 1 y) y = (k(y)u 0 x) y Tämä ratkeava, koska oikea puoli nollakeskiarvoinen. Valitaan nollakeskiarvoinen ratkaisu v 1. 14
Termistä ɛ 0 (k(y)u 2 y) y = f + (k(y)u 0 x) x + (k(y)u 1 y) x + (k(y)u 1 x) y u 2 olemassa, jos data nollakeskiarvoista. k:n periodisuuden nojalla näin on jos ((k(y) + k(y)vy 1 )u 0 x) x dy = f dy Eli jos u 0 ratkaisee yhtälön (k u 0 x) x = f missä f = f dy ja k = k(y) + k(y)v 1 y dy Asymptoottisen rajatehtävän kerroin k riippuu lyhyen skaalan vaihteluista ei-triviaalisti ja edellyttää lokaalin mikroskaalatehtävän ratkaisemista. 15
Analysoidaan tilanne tarkemmin. Yhtälöstä (k(y)vy 1 ) y = k(y) y saamme integroimalla k(y)vy 1 = k(y) + C ja v1 y = 1 C/k(y). Sijoittamalla k :n lausekkeeseen k = k(y) + k(y)v 1 y = k(y) k(y) C dy = C Toisaalta v 1 on periodinen eli v 1 = 1 C/k(y) = 0, joten k = C = dy/ Ts. k on k:n harmooninen keskiarvo. 1/k(y) dy 16
Siirtoyhtälön diffuusioapproksimaatio Tarkastellaan säteilyä (neutronien tai fotonien liikettä) puoliläpäisevässä väliaineessa (ilman sirontaa). Oletetaan yksiulotteinen systeemi [0, 1]. Merkitään u = u(x, µ) säteilyn intensiteetti pisteessä x suuntaan µ [ 1, 1]. µu x + κu = κh x, µ κ emissio/absorptiokerroin, h materiaalin itsesäteily (esim. σt 4, Stefan-Boltzmann lämpösäteily). Reunalla tyypillisesti (x = 0) u µ>0 = q 0 + R(u µ<0 ) (ulkoinen säteily + lähtevän säteilyn takaisin heijastuma). Optisesti tiheälle aineelle κ = 1/ɛ µu x + u/ɛ = h/ɛ 17
Epäsäännöllinen häiriö - haetaan ulkoratkaisua muodossa u = u 0 + ɛu 1 +.... u 0 = h u 1 = µu 0,x Kiinnostava suure on nettosäteily (säteilyn ja absorption erotus) µ κ(h u) = Kehitelmälle µ µu 0,x = µ µu 1,x = µ µu x µ µh x = 0 µ µ2 u 0,xx Joten nettosäteilyn intensiteetti on muotoa cɛh xx. 18
Analyysi voidaan yleistää 3D tapaukseen (ns. diffuusio tai Rosseland approksimaatio). Ongelmaksi jäävät reunaehdot. Reunojen vaikutus rajoittuu pituusskaalaan O(ɛ). Rajakerrosyhtälöiden avulla voidaan johtaa reunaehdot diffuusioyhtälölle (h:n suhteen) 19
Muita sovellusalueita Asymptoottista analyysi voi käyttää dimension alennukseen. Ohuessa systeemissä voidaan vaihtaa skaalaa (x, y, z) (x, y, z/ɛ). Rajatehtävien avulla saadaan mm. kimmoyhtälöstä laatta tai palkkiyhtälöt, virtausyhtälöstä ns. voiteluyhtälö. Vastaavasti voidaan tutkia mikrorakennetta. Jos systeemin ominaisuudet vaihtelevat periodisesti skaalassa ɛ, valitaan riippumattomiksi muuttujiksi x ja x/ɛ. Näin voidaan johtaa malleja komposiiteille, huokoisille väliaineille, reunaehtoja karheille pinnoille,... 20