Matriisialgebra harjoitukset, syksy 6 MATRIISIALGEBRA, s. 6, Ratkaisuja/ M.Hamina & M. Peltola 8. Olkoon 4 A 6. 4 Tutki, onko A diagonalisoituva. Jos on, niin määrää matriisi D T AT ja siihen liittyvä matriisi T. Jos ei ole, niin perustele miksi ei. 4 Ratk. Matriisin A 6 ominaisarvot määrätään yhtälöstä 4 A λi 6 λ [ λ 4λ ]. Ominaisarvot ovat λ ja λ 6. Ominaisvektoreiksi saadaan laskemalla Ominaisarvo λ, ominaisvektorit x s, s C,s. Ominaisarvo λ 6, ominaisvektorit x s +t, s,t C, s,t,. Matriisi A on diagonalisoituva, sillä löytyy kolme vapaata ominaisvektoria. Matriisi T saadaan asettamalla siihen vapaat ominaisvektorit sarakkeiksi eli voidaan valita T Tällöin teorian mukaan pätee D T AT diag,6,6. Tämän voi tarkistaa laskemalla käänteismatriisin T ja tarvittavat matriisikertolaskut. 9. Olkoon A tehtävän matriisi. Onko A diagonalisoituva? Jos on, niin määrää matriisi D T AT ja siihen liittyvä matriisi T.Jos ei ole, niin perustele miksi ei. Ratk. Ominaisarvot ovat 9, kertaluku ja kertaluku. Ominaisarvoon λ 9 liittyvät ominaisvektorit ovat x s +t, s,t C,s,t,. Ominaisarvoon λ liittyvät ominaisvektorit ovat x s, s C,s. Nyt löytyy kolme vapaata ominaisvektoria. Matriisi T saadaan asettamalla siihen vapaat ominaisvektorit sarakkeiksi eli voidaan valita T 6
Matriisialgebra harjoitukset, syksy 6 Tällöin teorian mukaan pätee D T AT diag 9, 9,. 6. Matriisin A ominaisarvot ovat -, ja sekä vastaavat ominaisvektorit ovat,,,,4, ja,,. Määrää A. Ratk. Ominaisarvot ovat erisuuria, joten ominaisvektorit ovat vapaita. Teorian mukaan T AT D diag,, A TDT jossa matriisi T saadaan asettamalla vapaat ominaisvektorit sarakkeiksi T 4 Määrätään käänteismatriisi vaakarivimuunnoksin 4 + + + 4 6 + + Lasketaan A matriisikertolaskulla A TDT 4 4 6. 6 6 6 6. Matriisin A ominaisarvot ovat, ja sekä vastaavat ominaisvektorit,,,, 4, ja,,. Määrää A. Ratk. Ominaisarvot ovat erisuuria, joten ominaisvektorit ovat vapaita. Teorian mukaan T AT D diag,, A TDT jossa matriisi T saadaan asettamalla ominaisvektorit sarakkeiksi T 4 6
Matriisialgebra harjoitukset, syksy 6 Määrätään käänteismatriisi vaakarivimuunnoksin 4 4 Lasketaan A matriisikertolaskulla A TDT 4 4 6 8 4 4 4 4. 4 4 6 4 4 6. Matriisi A on nollamatriisista eroava reaaliset ominaisarvot omaava diagonalisoituva n n matriisi, jolle on voimassa A 6 A. Määrää A:n itseisarvoltaan suurin ominaisarvo. Ratk. Nyt A x i λ i x i, jossa jokainen ominaisarvo λ i on reaalinen ja x i on ominaisarvoa λ i vastaava ominaisvektori. Matriisi A on diagonalisoituva, joten T AT D diagλ,...,λ n. Tällöin myös A TDT ja A 6 TDT 6 TD 6 T. Toisaalta A 6 A, joten TD 6 T TDT. Saadaan yhtälö TD 6 DT n n. On oltava D 6 D n n eli D 6 D. Täten jokainen ominaisarvo λ toteuttaa yhtälön λ 6 λ eli λλ. Koska matriisin ominaisarvot ovat reaalisia, niin on oltava joko λ tai λ. Koska matriisi A ei ole nollamatriisi, niin kaikki ominaisarvot eivät voi olla nollia Täten ainakin yksi ominaisarvoista on ykkönen, joten itseisarvoltaan suurin ominaisarvo on λ. 6. Olkoon matriisi a Määrää matriisi A. b Ratkaise matriisiyhtälö AX +I A. A. Ratk. a Diagonalisoidaan matriisi A: Ominaisarvot A λi λ λ λ λ. Ominaisarvot ovat λ ja λ. Lasketaan ominaisvektorit: Ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori yhtälöstä A x x: x +x x x. Valitaan x s C, x s. 6
Matriisialgebra harjoitukset, syksy 6 Ominaisarvoa λ vastaavat ominaisvektorit ovat x s Ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori yhtälöstä A x x: x., s C, s. Valitaan x s C. Ominaisarvoa λ vastaavat ominaisvektorit ovat x s, s C, s. Matriisi A on diagonalisoituva eli T AT D diag, A TDT, jossa T, T Lasketaan A diagonalisoinnin avulla A TDT TD T + b Matriisin A determinantti, det A, on nollasta eroava, joten käänteismatriisi on olemassa. Yhtälön muodollinen ratkaisu on X A I +A A +A. Lasketaan käänteismatriisi A diagonalisoinnin avulla A TDT TD T Lasketaan vielä yhtälön ratkaisu X A +A + + + + 64. Olkoon matriisi A. Onko A diagonalisoituva? Jos A on diagonalisoituva, niin määrää 4 matriisi A matriisin A diagonalisoinnin avulla. Jos A ei ole diagonalisoituva, niin perustele miksi ei ole. Ratk. deta λi λ 4 λ λ4 λ λ λ+6 Ominaisarvoille λ on deta λi, eli λ λ+6. Ominaisarvot: λ ja λ. Kaksi erisuurta ominaisarvoa ja A on matriisi, joten A on diagonalisoituva., Ominaisvektorit: λ : 4 x x Ratkaisu: x x. Silloin ominaisvektoreille: x 6 x x x x x
Matriisialgebra harjoitukset, syksy 6 Ominaisarvoon λ liittyvät ominaisvektorit: s, s. λ : x 4 x x x Ratkaisu: x x. Silloin ominaisvektoreille: x x x x Ominaisarvoon λ liittyvät ominaisvektorit: s, s. Diagonalisoidaan matriisi A: Matriisi T T I Siis T. Silloin A TDT, missä D. A TD T T T 6 + 6 +. 6. Olkoon A tehtävän 8 matriisi. Määrää ainakin yksi matriisi B, joka toteuttaa ehdon B A. Ratk. Tehtävän 8 mukaan D T AT diag,6,6, missä T, T Valitaan B T diag, 6, 6T T diagi, 6, 6T, jolloin B A sillä B T diagi, 6, 6T T diagi, 6, 6T T diagi, 6, 6diagi, 6, 6T T diag,6,6t TT ATT A ja B T diagi, 6, i 6T 6 6 i i 6 i + 6 i + 6 6 6 6 i + 6 i + 6. 66. Olkoon A n n matriisi, jolla on n erisuurta ominaisarvoa. Osoita, että matriisin A determinantti on A:n ominaisarvojen tulo. Ratk. Erisuuria ominaisarvoja on n kappaletta, joten matriisilla A on olemassa n kappaletta vapaita ominaisvektoreita. Täten matriisi A on diagonalisoituva. Diagonalisoiva matriisi T muodostetaan laittamalla siihen vapaat ominaisvektorit sarakkeiksi. Ominaisvektorit ovat vapaita, joten dett. Käänteismatriisin T determinantti on dett dett. Lävistäjämatriisin determinantti on sama kuin lävistäjäalkioiden tulo. Lisäksi tiedämme, että tulomatriisin determinantti on sama kuin determinanttien tulo. 6
Matriisialgebra harjoitukset, syksy 6 Olkoot λ,...,λ n matriisin A ominaisarvot. Täten D diagλ,...,λ n T AT, josta ratkaistaan A TDT ja voidaan laskea determinantti deta dettdt dettdetddett dettdetd dett detd λ λ λ n. 6