Totuusjakaumat Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B. Totuusjakauma v voidaan aina laajentaa kuvaukseksi V : {A A on L kaava} B käyttämällä konnektiivien totuustauluissa esitettyjä ehtoja. Esimerkiksi jos v(p 0 ) = 1 ja v(p i ) = 0, kun i = 1, 2, 3,..., niin V (p 0 p 1 ) = 1, V (p 0 p 1 ) = 0, V (p 0 p 1 p 0 p 1 ) = 0 ja V ( (p 0 p 1 p 0 p 1 )) = 1. Konnektiivien,,, ja voidaan katsoa vastaavan totuusfunktioita tf, tf, tf, tf ja tf, jotka määritellään vastaavasti kuin konnektiivien totuustaulut.
Totuusfunktiot Nyt siis tf on yksipaikkainen funktio B B ja muut yllä mainitut totuusfunktiot kaksipaikkaisia funktioita B 2 B. Esimerkiksi konjunktion totuustaulun mukaan saadaan seuraava esitys totuusfunktiolle tf : a b tf (a, b) 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 (Tässä a ja b eivät siis ole kaavoja, vaan totuusarvoja a, b B.)
Totuusfunktiot Totuusfunktiot voidaan esittää myös aritmeettisina lausekkeina. Kun a, b B, niin tf (a) = 1 a tf (a, b) = ab tf (a, b) = a + b ab tf (a, b) = 1 a(1 b) tf (a, b) = ab + (1 a)(1 b) Jos kieleen halutaan lisätä joitakin muitakin konnektiiveja kuin yllä esitellyt, tämä tapahtuu lisäämällä uutta konnektiivia vastaava kaavanmuodostussääntö ja antamalla sitä vastaava totuusfunktio.
Shefferin viiva Esimerkki. Shefferin viiva on kaksipaikkainen konnektiivi, jonka intuitiivinen merkitys on ei molemmat. Olkoon nyt K ja L = (P, K), missä P on joukko lausemuuttujia. Shefferin viivaa vastaa kaavanmuodostussääntö jos A ja B ovat L-kaavoja, niin (A B) on L-kaava. Shefferin viivaa vastaava totuusfunktio on tf : B 2 B, tf(a, b) = 1 ab, ja sitä vastaava totuustaulu on siis A B A B 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1
Konditionaalinen disjunktio Esimerkki. Lisätään kieleen kolmipaikkainen konditionaalinen disjunktio [p, q, r], jonka merkitys on jos q, niin p muuten r. Kun [ ] K, niin kieleen on lisättävä kaavanmuodostussääntö jos A, B ja C ovat L-kaavoja, niin [A, B, C] on L-kaava. Sitä vastaava totuusfunktio voidaan esittää taulukolla b 1 b 2 b 3 tf [ ] (b 1, b 2, b 3 ) 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
Totuusjakauman laajentaminen Kieleen voidaan lisätä myös 0-paikkaiset konnektiivit (verum) ja (falsum), joista ensimmäisen arvo on aina 1, jälkimmäisen 0. Näitä vastaavat totuusfunktiot ovat siis vakiofunktioita. Olkoon L = (P, K), missä käytössä olevien konnektiivien joukon K oletaan aluksi olevan {,,,, }. Totuusjakauman v : {p 0, p 1, p 2,...} B laajennus kuvaukseksi V : {A A on L kaava} B määritellään konnektiiveja vastaavien totuusfunktioiden avulla seuraavasti: V (p) = v(p), kun p P, ja kun V (B) ja V (C) ovat jo määritelty, niin V ( B) = tf (V (B)) ja V (B C) = tf (V (B), V (C)) kullakin {,,, }.
Esimerkki. Tarkastellaan kaavaa (p 1 p 2 p 1 p 2 ). Kun v(p 1 ) = a ja v(p 2 ) = b, missä a, b B, niin V ( (p 1 p 2 p 1 p 2 )) = tf (tf (tf (a, b), tf (a, b))). Kaavan A totuusarvo V (A) määräytyy yksikäsitteisesti kaavassa A esiintyvien lausemuuttujien totuusarvoista; muiden muuttujien totuusarvoilla ei ole merkitystä. Todistamme nyt yleisemmän tuloksen, josta tämä seuraa. Olkoon L = (P, K), missä P = {q 1, q 2,..., q k } ja (yksinkertaisuuden vuoksi) K = {, }. Lause 3.1. Olkoot A = A[q 1,..., q k ] ja B 1, B 2,..., B k L-kaavoja ja v ja v sellaisia totuusjakaumia, että v(q i ) = V (B i ) kaikilla i {1,..., k}. Tällöin V (A[q 1,..., q k ]) = V (A[B 1 /q 1,..., B k /q k ]).
Valitsemalla B i = q i kullakin i {1,..., k} yllä olevassa lauseessa saadaan seuraava tulos: jos v ja v ovat sellaisia totuusjakaumia, että v(q) = v (q) aina, kun q on kaavassa A esiintyvä lausemuuttuja, niin V (A) = V (A). Lauseen 3.1 tulos yleistyy helposti myös tapaukseen, jossa on käytettävissä muitakin konnektiiveja kuin ja. Lause voidaankin esittää myös seuraavasti: Olkoon P P, K K, L = (P, K), L = (P, K ) ja v ja v sellaisia totuusjakaumia, että v(p) = v (p) aina, kun p P. Tällöin jos A on L-kaava, niin V (A) = V (A).
Tautologiat Kaava A = p 1 (p 2 (p 3 p 1 )) saa aina totuusarvon 1. Jos nimittäin v(p 1 ) = 0, niin V (A) = 1, koska tämän implikaation etulause on epätosi. Jos v(p 1 ) = 1, niin implikaation p 3 p 1 jälkilause on tosi ja tästä syystä V (p 3 p 1 ) = 1. Edelleen implikaation totuusehdon perusteella V (p 2 (p 3 p 4 )) = 1 ja myös V (A) = 1. Tämänkaltaista kaavaa kutsutaan tautologiaksi: Kaavan A sanotaan olevan tautologia, jos V (A) = 1 aina, kun v : {p 0, p 1, p 2,...} B.
Tautologiat Kaavan tautologisuutta voidaan tutkia totuustaulumenetelmällä. Siinä kaavan A totuusarvon vaihtelua tarkastellaan taulukolla, jossa on 2 k riviä vastaten kutakin kaavassa A esiintyvän lausemuuttujan q 1, q 2,..., q k mahdollista totuusarvoyhdistelmää (v(q 1 ), v(q 2 ),..., v(q k )) B k ja sarakkeina näitä lausemuuttujien totuusarvoja vastaavat vaiheittain lasketut kaavan A alikaavojen totuusarvot (viimeisenä sarakkeena kaavan A totuusarvot)
Esimerkki tautologiasta Esimerkki. p 1 p 2 p 3 p 1 (p 2 p 3 ) (p 1 p 2 ) (p 1 p 3 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
Kysymys kaavan A tautologisuudesta ratkeaa periaatteessa aina totuustaulumenetelmällä. Kuitenkin jos kaavassa A esiintyy suuri määrä lausemuuttujia, niin käytännössä totuustaulun laatiminen tulee mahdottomaksi tietokonettakin käytettäessä. Esimerkiksi kaavat p 1 p 1, p 1 p 1, (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ) ja ylipäätään kaikki kaavat muotoa B B olevat lauselogiikan kaavat ovat tautologioita. Todistamme seuraavaksi, että kaavan A tautologisuus riippuu yleisestikin vain sen muodosta, ei esimerkiksi siitä, mitä lausemuuttujia siinä esiintyy. Lause 3.2. Olkoon B 1, B 2,..., B k lauselogiikan kaavoja. Jos kaava A = A[q 1,..., q k ] on tautologia, niin myös kaava A[B 1 /q 1,..., B k /q k ] on tautologia.
Tärkeitä tautologioita T 1 A A identiteetin laki T 2 A A kaksinkertaisen kiellon laki T 3 (A A) poissuljetun ristiriidan laki T 4 A A poissuljetun kolmannen laki T 5 A A A idempotenssilait T 6 A A A T 7 A B B A vaihdantalait T 8 A B B A T 9 (A B) A B de Morganin säännöt T 10 (A B) A B T 11 (A B) ( B A) kontrapositio T 12 (A B) C A (B C) liitäntälait T 13 (A B) C A (B C) T 14 A (B C) (A B) (A C) osittelulait T 15 A (B C) (A B) (A C)
Ekvivalenssi Jos ekvivalenssi A B on tautologia eli totuusarvot V (A) ja V (B) ovat aina samat, merkitsemme A B. Erityisesti A B ( A B), A B (A B), A B ( (A B) ( A B)). Konnektiivien totuusfunktioiden kannalta tämä tarkoittaa sitä, että kaikilla a, b B tf (a, b) = tf (tf (tf (a), tf (b))) ja vastaavasti implikaatiolle ja ekvivalenssille.
Konnektiivien määriteltävyys Voimme sanoa totuusfunktioiden tf, tf ja tf olevan määriteltävissä totuusfunktioiden tf ja tf avulla tai yhtäpitävästi disjunktion, implikaation ja ekvivalenssi olevan määriteltävissä negaation ja konjunktion avulla. Myöhemmin osoitamme, että jokainen n-paikkainen totuusfunktio B n B on määriteltävissä negaation ja konjunktion avulla. Sovimmekin, että jatkossa peruskonnektiiveina on vain negaatio ja konjunktio ja muut konnektiivit tulkitaan lyhennysmerkinnöiksi. Tälla tavalla induktiotaodistuksissa ei tarvitse käsitellä muita konnektiiveja kuin negaatiota ja konjunktiota.
Lauselogiikan mallit L-malli on struktuuri M, jossa voidaan puhua L-kaavojen totuudesta ja epätotuudesta. Jos L-kaava A on tosi L-mallissa M, merkitsemme M A. Vastaavasti merkitsemme M A, jos A on epätosi mallissa M. Olkoon L = (P, K) ja T P. Käytämme merkintää M = (P, T ) tarkoittamaan sitä, että M on L-malli, jossa ovat tosia joukon T P lausemuuttujat: M p p T, kun p P.
Totuusmääritelmä Muiden L-kaavojen kuin lausemuuttujien totuusarvot L-mallissa M määräytyvät niiden alikaavoista rekursiivisesti: 1. M A M A. 2. M A B M A ja M B. Negaation ja konjunktion totuusehtojen ja muiden konnektiivien määritelmien perusteella voidaan johtaa totuusehdot 1. M A B M A tai M B. 2. M A B M A tai M B. 3. M A B joko M A ja M B tai M A ja M B.
Jos kielessä on jokin muu konnektiivi, niin sen totuusehto saadaan totuusfunktion tf avulla samaistamalla arvo 0 epätotuuden ja arvo 1 totuuden kanssa. Esimerkiksi Shefferin viivan totuusehto on seuraava: M A B M A ja M B. Esimerkki. Olkoon M = ({p, q}, {q}), missä p q. Tällöin siis M q ja M p. Koska M p, niin M p, ja täten M p q eli kaava p q on tosi mallissa M. Kaava p q on epätosi mallissa M: Oletuksen mukaan M p. Koska M q, niin M q. Täten M p q.
Kaavajoukon malli Sanomme, että L-malli M on L-kaavan A malli, jos A on tosi M:ssä (siis M A) ja että se on L-kaavojen joukon S malli, jos se on jokaisen tähän joukkoon kuuluvan kaavan A malli. Jos M on kaavajoukon S malli, niin merkitään M S. Jokainen kaava A jakaa lauselogiikan mallit kahteen eri luokkaan: niihin, joissa A on tosi, ja niihin, joissa A on epätosi. Edelliset ovat kaavan A malleja, jälkimmäiset kaavan A malleja. Esimerkki. Olkoon L = (P, K), missä P = {p 1, p 2 }. Erilaisia L-malleja on selvästikin neljä: M 1 = (P, ), M 2 = (P, {p 1 }), M 3 = (P, {p 2 }), M 4 = (P, P). Kun A = p 1 p 1 p 2, niin A on tosi mallissa M 1 ja epätosi malleissa M 2, M 3 ja M 4.
Esimerkki. Olkoon L = ({p 1, p 2, p 3 }, K). Tarkastelemme, millaisia L-kaavan A = p 1 p 2 p 3 L-mallit ovat. Ensinnäkin, jos M p 1 tai M p 2, niin M p 1 p 2, ja täten implikaation totuusehdon perusteella M A. Jos M p 3, niin tällöinkin implikaation totuusehdon perusteella M A. M on siis kaavan A malli, jos mallissa M lausemuuttuja p 3 on tosi tai ainakin toinen lausemuuttujista p 1 ja p 2 on epätosi. Tällaisia L-malleja on seitsemän. Kaikki muut mallit (siis mallit, joissa p 1 sekä p 2 ovat tosia ja p 3 epätosi) ovat kaavan A malleja. Näitä L-malleja on vain yksi: ({p 1, p 2, p 3 }, {p 1, p 2 }). Jos joukon {p 1, p 2, p 3 } sijasta kielen lausemuuttujien joukko olisikin {p 0, p 1, p 2,...}, niin sekä kaavalla A että sen negaatiolla A on ääretön määrä malleja.
Esimerkki. Olkoon L = (P, K), missä P = {p 1, p 2,..., p k }, ja S L-kaavojen osajoukko S = {p 1 p 2, p 2 p 3,..., p k 1 p k } {p k p 1 }. Selvästikin (P, P) ja (P, ) ovat joukon S malleja. Osoitamme, että joukolla S ei ole muita L-malleja kuin yllä mainitut kaksi. Teemme vastaoletuksen, että M = (P, T ) on joukon S malli ja T P. Jos p 1 T ja p k T, niin M p k p 1, eikä M ole joukon S-malli. Jos p 1 T tai p k T, niin oletuksen T P perusteella on olemassa ainakin yksi sellainen indeksi i {2, 3,..., k}, että p i 1 T ja p i T. Mutta tällöin M p i 1 p i eikä M ole tällöinkään joukon S-malli. Siispä M S joss joko lausemuuttujat p 1, p 2,..., p k ovat kaikki tosia tai kaikki epätosia mallissa M.
Mallien ja totuustaulun rivien välillä pätee seuraava yhteys. Lause 3.3. Olkoon L = (P, K), M L-malli ja v totuusjakauma. Oletetaan, että kaikilla p P pätee M p v(p) = 1. Tällöin M A V (A) = 1 kaikilla L-kaavoilla A. Esimerkki. Olkoon M malli, jossa lausemuuttuja q on tosi ja lausemuuttujat p ja r epätosia. Kaava ((p q) ( p r)) on epätosi mallissa M: ((p q) ( p r )) 0 0 1 1 1 1 10 0 0 7 1 2 1 6 5 31 4 1
Toteutuvuus ja kumoutuvuus Sanomme, että kaava A on toteutuva, jos sillä on malli, ja kumoutuva, jos sen negaatiolla A on malli. Toteutuva kaava on siis tosi ja kumoutuva epätosi ainakin yhdessä mallissa. Esimerkki. Olkoon A = ( p q) (p q) (p q). Kun M p ja M q, niin M p q ja täten M A. Kaava A on siis toteutuva. Osoitamme, että se on myös kumoutuva: Olkoon M malli, jossa kaikki lausemuuttujat ovat epätosia. Koska M p ja M q, niin M p q, M p q ja M p q, jolloin myös M A. Kaavaa, joka on sekä toteutuva että kumoutuva, kutsutaan kontingentiksi.
Validisuus Määrittelemme, että lauselogiikan kaava A on loogisesti tosi eli validi, jos se on tosi kaikissa lauselogiikan malleissa. Merkitsemme tällöin A. Jos kaava A on epätosi kaikissa lauselogiikan malleissa, niin sanomme, että A on loogisesti epätosi. Merkintä A tarkoittaa, että kaava A ei ole loogisesti tosi; ei sitä, että kaava A olisi loogisesti epätosi. Näistä määritelmistä seuraa, että jos A on loogisesti tosi, niin kaikki lauselogiikan mallit ovat A:n malleja, ja jos A on loogisesti epätosi, niin A:lla ei ole yhtään mallia. Voimme myös todeta, että kaava on loogisesti tosi, jos ja vain jos se ei ole kumoutuva, ja loogisesti epätosi, jos ja vain jos se ei ole toteutuva.
Esimerkki. Kaava A = p (q r p) on loogisesti tosi. Jos nimittäin M on malli, niin joko (1) M p tai (2) M p. Tapauksessa (2) saadaan suoraan implikaation totuusehdon perusteella M p (q r p). Tapauksessa (1) M q r p ja tällöin M p (q r p). Olipa siis M mikä tahansa malli, niin M A. Täten A. Kaava A voidaan osoittaa loogisesti todeksi myös ns. epäsuoralla todistuksella, eli tekemällä vastaoletus: A ei ole loogisesti tosi. Vastaoletuksen perusteella on siis olemassa sellainen malli M, että M A. Tällöin on oltava M p ja M q r p. Jälkimmäisestä seuraa, että M q r ja M p. Mutta tässä on ristiriita: ei voi olla olemassa sellaista mallia, että M p ja M p. Vastaoletus on siis väärä ja kaava A on loogisesti tosi.
Esimerkki. Kaava B = p q (p q) on loogisesti epätosi. Tehdään vastaoletus: kaavalla B on malli M. Tällöin M p, M q ja M p q. Koska M q, niin M q. Mutta koska M p ja M p q, niin on oltava M q, jossa on ristiriita. Vastaoletus on siis väärä, joten B on loogisesti epätosi. Esimerkki. Osoitimme edellä, että kaava A = ( p q) (p q) (p q) on sekä toteutuva että kumoutuva. Se ei siis ole loogisesti tosi eikä loogisesti epätosi.
Esimerkki. Osoitamme poissuljetun ristiriidan lain (A A) validiksi. Olkoon M lauselogiikan malli. Nyt M (A A), jos ja vain jos M A A. Mutta tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että M A ja M A eli että M A ja M A, joka on mahdotonta. Siis kaava (A A) on tosi jokaisessa mallissa, eli (A A). Esimerkki. Tarkastelemme seuraavaksi poissuljetun kolmannen lakia A A. Olkoon M lauselogiikan malli. Nyt M A A, jos ja vain jos M A ja M A. Tällöin siis M A ja M A, mikä on mahdotonta. Siis M A A jokaisella mallilla M, joten A A.
Esimerkki. Osoitamme, että kaava D = (B C) ( (A B) (A C) ) on validi. Teemme vastaoletuksen, että on olemassa sellainen malli M, että M D. Vastaoletuksen perusteella M B C ja M (A B) (A C). Täten M A B ja M A C. Tämä on mahdollista vain kun M A, M C ja M B. Mutta tällöin ei voi olla M B C. Vastaoletus on siis väärä, joten (B C) ( (A B) (A C) ).
Validisuus ja tautologiat Olemme aikaisemmin todistaneet (Lause 3.3) mallien ja totuusjakaumien välisen yhteyden. Todistamme tämän avulla seuraavan vastaavuuden validisuuden ja tautologisuuden välille: Lause 3.4. Olkoon L = (P, K). L-kaava A on tautologia, jos ja vain jos se on validi. Jos siis tehtävämme on osoittaa jokin kaava A validiksi, niin voimme tehdä tämän totuustaulumenetelmällä osoittamalla kaavan A olevan tautologia. Yleensä yksinkertaisin tapa osoittaa kaava loogisesti todeksi onkin käyttää totuustaulumenetelmää. Usein mallien avulla tapahtuva tarkastelu on kuitenkin lyhyempi.
Esimerkki. Olkoon tehtävänä osoittaa kaava E tautologiaksi, kun E = r p q (( u (r p) ( q t)) p (s u)). Jos tehtävän haluaa ratkaista totuustaulumenetelmällä, niin pitää tehdä totuustaulukko, jossa on 2 6 = 64 vaakariviä. Paljon kätevämpää onkin tarkastella malleja: Merkitään A = r p q, B = u (r p), C = ( q t) ja D = p (s u). Olkoon M lauselogiikan malli. Jos M p, niin M A ja täten implikaation totuusehtojen perusteella M E. Jos M p, niin M D. Tällöin M (B C) D ja täten M E. Koska kaava E on loogisesti tosi, niin se on myös tautologia.
Looginen seuraus Määrittelemme, että kaava B on kaavajoukon S looginen seuraus, jos jokainen kaavajoukon S malli on myös kaavan B malli. Tällöin merkitään S B. Joukkoa S voidaan kutsua tässä yhteydessä premissijoukoksi ja sen alkioita premisseiksi eli oletuksiksi ja kaavaa B johtopäätökseksi. Jos kaava B ei ole kaavajoukon S looginen seuraus, niin merkitään S B. Jos joukko S on äärellinen, vaikkapa S = {A 1, A 2,..., A n }, niin voidaan merkitä myös ilman joukkosulkeita A 1, A 2,..., A n B.
Esimerkkejä. Modus (ponendo) ponens: p q, p q. Todistus. Olkoon M sellainen malli, että M p q ja M p. Tästä seuraa välittömästi, että M q. Näin on osoitettu, että jokainen kaavojen p ja p q malli on myös kaavan q malli. Modus (tollendo) tollens: p q, q p. Todistus. Olkoon M sellainen malli, että M p q ja M q. Koska siis M p q ja M q, niin on oltava M p. Siis M p. Hypoteettinen syllogismi: p q, q r p r Todistus. Olkoon M p q ja M q r. Jos M p, niin M p r. Tarkastellaan sitten tapausta M p. Koska M p q, niin M q. Edelleen M r, sillä M q r. Siis tässäkin tapauksessa M p r.
Kun halutaan todistaa looginen seuraus A 1, A 2,..., A n B, niin suorassa todistuksessa oletetaan, että malli M on sellainen, että M A i, (i = 1, 2,..., n). Tämän jälkeen osoitetaan, että M B. Epäsuorassa todistuksessa puolestaan tehdään vastaoletus A 1, A 2,..., A n B, eli että on olemassa malli M, jolla M A i (i = 1, 2,..., n) mutta M B. Esimerkki. Osoitetaan suoralla todistuksella, että p, p q, q r, r s s. Olkoon M sellainen malli, että (1) M p, (2) M p q, (3) M q r ja (4) M r s. Kohtien (1) ja (2) perusteella M q. Täten kohdan (3) perusteella M r, jolloin kohdan (4) perusteella M s.
Validisuus ja looginen seuraus Esimerkki. Osoitetaan epäsuoralla todistuksella, että p q, q r, r s p s. Vastaoletus: on olemassa malli M, jolla M p q, M q r ja M r s, mutta M p s. Jälkimmäisen väitteen perusteella M p ja M s. Toisaalta tällöin vastaavasti kuin edellisessä esimerkissä saadaan, että M s ja tässä on ristiriita. Tarkastelemme seuraavaksi validisuuden ja loogisen seurauksen välistä suhdetta: Lause 3.5. Kaava B on kaavojen A 1, A 2,..., A n looginen seuraus, jos ja vain jos implikaatio A 1 A 2 A n B on validi.
Koska kaava A 1 A 2 A n B on validi, jos ja vain jos se on tautologia, niin totuustaulumenetelmää voidaan soveltaa myös loogisen seurauksen osoittamiseen sellaisissa tapauksissa, joissa oletuksia on äärellinen määrä. Aiemman esimerkin loogiset seuraukset olisi siis voitu todistaa myös osoittamalla kaavat totuustaululla tautologioiksi. (p q) p q, (p q) q p, (p q) (q r) (p r)
Jos jollain totuustaulun vaakarivillä yksikin kaavoista A 1,..., A n saa totuusarvon 0, niin implikaatio A 1 A 2 A n B saa totuusarvon 1. Tutkittaessa loogisia seurauksia totuustaulun avulla riittää siis tutkia niitä rivejä, joilla A 1,..., A n ovat tosia. Esimerkiksi tutkittaessa totuustaulun avulla hypoteettista syllogismia A = (p q) (q r) (p r) ei tarvitse tarkastella rivejä, joissa p on tosi ja q epätosi, eikä rivejä, joissa q on tosi ja r epätosi. p q r p q q r p r A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1
Myös epäsuoraa todistusta voidaan soveltaa totuustaulumenetelmään. Nyt rajoitutaan tarkastelemaan niitä totuustaulun rivejä, joissa johtopäätös on epätosi, ja pyritään osoittamaan, että kaikki premissit eivät ole näillä riveillä tosia. Hypoteettisen syllogismin yhteydessä voisi siis tarkastella vain niitä kahta vaakarivia, joilla p on tosi ja r epätosi. p q r p q q r p r A 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1
Osoitettaessa, että A 1, A 2,..., A n B riittää antaa esimerkki sellaisesta mallista M, jossa premissit ovat tosia, mutta johtopäätös epätosi. Esimerkki. Olkoon M sellainen malli, jossa q on tosi, mutta r epätosi. Tällöin M r p, M p q ja M q r, joten r p, p q q r. Samaan tulokseen päädytään kaavan A = (r p) (p q) (q r) totuustaulun vaakarivin p q r r p p q q r A 1 1 0 1 1 0 0 tai perusteella. p q r r p p q q r A 0 1 0 1 1 0 0
Tutkittaessa äärettömän kaavajoukon S loogisia seurauksia ei voi suoraan soveltaa totuustaulumenetelmää. Voidaan kuitenkin todistaa, että S B, jos ja vain jos on olemassa äärellinen osajoukko {A 1, A 2,..., A k } S, jolla A 1, A 2,..., A k B. Esimerkki. Osoitamme, että { p 0, p 1, p 2, p 3, p 4,...} p 1 p 101 p 1001. Olkoon M kaavojen p 1, p 2, p 3, p 4,... malli (näitä malleja on vain yksi). Tällöin M p 1, M p 101 ja M p 1001, joten M p 1 p 101 p 1001. Itse asiassa on voimassa p 1, p 101, p 1001 p 1 p 101 p 1001. Olkoon S S. Jos M on kaavajoukon S malli, niin M on myös kaavajoukon S malli. Tästä seuraa, että jos S A, niin S A (harjoitustehtävä). Käänteinen väite ei yleensä kuitenkaan pidä paikkaansa (harjoitustehtävä).
Looginen ekvivalenssi Lauselogiikan kaavat A ja B ovat loogisesti ekvivalentteja, A B, jos niillä on samat mallit. Siis A B, jos ja vain jos kaikki lauselogiikan mallit M toteuttavat ehdon M A M B. Esimerkki. Olkoon M malli. Tällöin M (p q) M p q M p ja M q M p ja M q M p q. Kaavat (p q) ja p q ovat siis loogisesti ekvivalentit: (p q) p q.
Selvästi A B tarkoittaa sitä, että jokaisessa mallissa M joko M A ja M B tai M A ja M B. Mutta tämä ehto on yhtäpitävä sen kanssa, että jokaisessa mallissa M A B. Onkin voimassa: Kaavat A ja B ovat loogisesti ekvivalentit eli A B, jos ja vain jos ekvivalenssi A B on validi. Edelleen lauselogiikan kaavan on validi, jos ja vain jos se on tautologia. Siis lauselogiikassa kaavat A ja B ovat loogisesti ekvivalentit, jos ja vain jos ekvivalenssi A B on tautologia.
Todistettaessa kaavoja A ja B loogisesti ekvivalentiksi ei riitä tarkastella ekvivalenssin A B totuusarvoa joissakin malleissa, vaan on osoitettava tämän ekvivalenssin olevan tosi kaikissa malleissa. Esimerkki. Olkoon p ja q tosia mallissa M. Tällöin siis M p ja M p q, joten M p p q. Ekvivalenssi p p q on siis tosi mallissa M, mutta tämä ei osoita sitä, että kaavat p ja p q olisivat loogisesti ekvivalentit. Ne eivät olekaan loogisesti ekvivalentteja. Kun nimittäin malli M on sellainen, että p on siinä tosi, mutta q epätosi, niin M p p q.
Osoitettaessa kaavoja A ja B loogisesti ekvivalenteiksi kannattaa tarkastelut useimmiten jakaa kahteen osaan: Ensin osoitetaan, että M A M B jokaisella mallilla M. (Tässä itse asiassa osoitetaan, että B on A:n looginen seuraus.) Tämän jälkeen todistetaan käänteinen väite: M B M A. Tuloksista M A M B ja M B M A seuraa, että M A M B. Koska tämä pätee millä hyvänsä mallilla M, niin kaavat A ja B ovat loogisesti ekvivalentteja. Tarvittaessa voimme soveltaa logiikkaa metatasolla ja todistaa esimerkiksi väitteen M B M A sijasta sen kanssa yhtäpitävän väitteen M A M B.
Esimerkki. Osoitamme, että (A B) A B. Olkoon M lauselogiikan malli. Oletetaan ensin, että M (A B). Siis M A B, joten M A tai M B. Siis M A tai M B. Täten M A B. Oletetaan sitten, että M A B. Siis M A tai M B eli M A tai M B. Siis M A B eli M (A B) Olemme näin osoittaneet, että (A B) A B. Esimerkin alkuosasta näemme, että (A B) A B, ja loppuosasta, että A B (A B). Loppuosan päättelyn voimme tehdä myös seuraavasti: Oletetaan, että M (A B). Siis M A B eli M A ja M B. Täten M A ja M B. Tästä seuraa, että M A B.
Koska A B, jos ja vain jos A B on tautologia, niin saamme seuraavat loogiset ekvivalenssit aiemmista tautologioista: A A A A A A A A A B B A A B B A (A B) A B (A B) A B kaksinkertaisen kiellon laki idempotenssilait vaihdantalait de Morganin säännöt (A B) ( B A) kontrapositio (A B) C A (B C) liitäntälait (A B) C A (B C) A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) osittelulait
Konnektiivinen, ja määritelmistä seuraa suoraan loogiset ekvivalenssit A B ( A B) A B (A B) A B (A B) (B A) disjunktion ja konjunktion yhteys implikaation ja konjunktion yhteys ekvivalenssin ja implikaation yhteys Lisäksi on voimassa implikaation ja disjunktion yhteys A B A B.
Seuraavassa esimerkissä tarkastelemme osittelulakia mallien avulla. Esimerkki. Osoitamme, että kaavat A (B C) ja (A B) (A C) ovat loogisesti ekvivalentit. Oletetaan, että M A (B C). Siis M A ja M B C. Koska siis M B tai M C, niin M A B tai M A C. Täten M (A B) (A C). Oletetaan kääntäen, että M (A B) (A C). Siis (1) M A B tai (2) M A C. Tapauksessa (1) M A ja M B, josta seuraa, että M B C ja edelleen M A (B C). Tapauksessa (2) M A ja M C, joten tällöinkin M B C ja M A (B C).
Looginen ekvivalenssi ekvivalenssirelaationa On helppo osoittaa, että looginen ekvivalenssi on ekvivalenssirelaatio eli refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen relaatio: Lause 3.6. Kaikilla kaavoilla A, B ja C pätee: A A jos A B, niin B A; jos A B ja B C, niin A C. Looginen ekvivalenssi on siis refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen relaatio kaavojen joukossa.
Transitiivisuus yleistyy muotoon jos A 1 A 2, A 2 A 3,..., A k 1 A k, niin A 1 A k. Tämä oikeuttaa kaavojen vaiheittaisen muuntamisen ekvivalenttiin muotoon. Pyrittäessä osoittamaan, että kaavat A 1 ja A k ovat loogisesti ekvivalentteja, etsitään sopivia välittäviä kaavoja A i, (1 < i < k) tunnettujen loogisten ekvivalenssien avulla. Tällöin usein korvataan vain jokin osa kaavasta sen kanssa ekvivalentilla kaavalla. Seuraava lause oikeuttaa tämän menettelyn. Lause 3.7. Olkoon A jokin kaava sekä D ja E sellaisia kaavoja, että D E. Tällöin A[D/p] A[E/p].
Duaali Olkoon L = (P, K), missä K = {,, }. Määritellään L-kaavan A duaali A D seuraavasti: p D = p, kun p P, ( A) D = A D, (A B) D = A D B D, (A B) D = A D B D, Osoitamme induktiolla kaavan A suhteen, että A A D. Tarkastellaan ensin tapausta A = p P. Suoraan määritelmän perusteella A = p = p D p D = A D.
Tehdään sitten induktio-oletus, että L-kaavoille B ja C pätee, että B B D ja C C D. Olkoon A = B. Tällöin A = ( B) IO B D = ( B) D ( B) D = A D. Olkoon sitten A = B C. Tällöin A = (B C) B C IO B D C D = (B C) D (B C) D = A D. Lopuksi tarkastellaan tapausta A = B C: A = (B C) B C IO B D C D = (B C) D (B C) D = A D.
Ketjukonjunktio- ja disjunktio Kaavat (A B) C ja A (B C) ovat loogisesti ekvivalentit. Jos kaavan syntaktisella rakenteella ei ole merkitystä, niin usein käytetäänkin näille kummallekin kaavalle merkintää A B C. Tällaista konjunktiota, johon ei ole merkitty sulkuja, kutsutaan ketjukonjunktioksi. Yleisesti M A 1 A 2 A n M A i kaikilla i {1, 2,..., n}. Vastaavasti myös disjunktiot (A B) C ja A (B C) ovat loogisesti ekvivalentteja ja voidaan muodostaa ketjudisjunktio: M A 1 A 2 A n M A i jollakin i {1, 2,..., n}.
Kaavoista A 1,..., A n muodostetulle ketjukonjunktio voidaan käyttää myös merkintää n i=1 A i ja ketjudisjunktiolle merkintää ni=1 A i. Näillä merkinnöillä esimerkiksi de Morganin sääntö voidaan esittää seuraavassa yleisessä muodossa ja n n A i A i i=1 i=1 n n A i A i. i=1 i=1 Nämä yleistetyt de Morganin säännöt voidaan todistaa oikeaksi induktiolla luvun n suhteen.
Myös osittelulaki voidaan yleistää useammalle kaavalle. Seuraavassa esimerkissä esitämme osittaisen yleistyksen osittelulaille. Esimerkki. Todistamme induktiolla luvun n suhteen, että n n A B i (A B i ) i=1 i=1 Tapaus n = 1 on triviaali ja n = 2 vastaa osittelulakia. Olkoon k 2. Teemme induktio-oletuksen, että k k A B i (A B i ). i=1 i=1
Koska k+1 A B i = A i=1 niin osittelulain perusteella k+1 A B i i=1 ( k ) B i B k+1, i=1 ( ) k A B i (A B k+1 ). i=1 Käyttämällä induktio-oletusta saadaan, että jälkimmäinen kaava on ekvivalentti kaavan ( k ) k+1 (A B i ) (A B k+1 ) = (A B i ) i=1 i=1 kanssa.
Yhteensopimattomat ja -sopivat kaavat Sanomme, että kaavat A ja B ovat yhteensopimattomia, ellei niillä ole yhteisiä malleja. Kaavat A ja B ovat yhteensopivia, jos niillä on yhteisiä malleja. Esimerkki. Koska olemme olettaneet lausemuuttujien totuusarvot riippumattomiksi toisistaan, niin lausemuuttujat p ja q ovat aina yhteensopivia eli on olemassa sellainen lauselogiikan malli M, että M p ja M q. Nämä kaavat eivät tietenkään ole loogisesti ekvivalentteja; myös esimerkiksi p ja q ovat yhteensopivia. Esimerkki. Kaavat p q ja (p q) ovat yhteensopimattomia. Vastaoletus: on olemassa sellainen malli M, että M p q ja M (p q). Tällöin siis M p q. Tämä ei kuitenkaan ole mahdollista, koska M p q ja täten M q.
Kaavojen yhteensopivuuden ja yhteensopimattomuuden käsitteet voidaan määritellä myös useammalle kuin kahdelle kaavalle. Kaavojen A 1, A 2,... sanotaan olevan yhteensopivat, jos kaavajoukolla {A 1, A 2,...} on malli eli jos on olemassa sellainen lauselogiikan malli, että M A i jokaisella i 1. Muussa tapauksessa ne ovat yhteensopimattomat. Erityisesti todistusteoriassa yhteensopivien kaavojen muodostamaa joukkoa kutsutaan ristiriidattomaksi eli konsistentiksi ja yhteensopimattomien ristiriitaiseksi eli inkonsistentiksi.
Jos kaavat A 1, A 2,..., A n ovat yhteensopivat, niin määritelmän mukaan niillä on malli. Mutta tämä tarkoittaa samaa kuin että konjunktio A 1 A 2 A n on toteutuva. Jos kaavat A 1, A 2,..., A n ovat yhteensopimattomat, niin konjunktiolla A 1 A 2 A n ei ole mallia, eli jokainen lauselogiikan malli on negaation (A 1 A 2 A n ) malli. Kun tarkastelemme äärellistä määrää kaavoja, niin on siis voimassa seuraava tulos: Kaavat ovat yhteensopivia, jos ja vain jos niiden konjunktio on toteutuva. Kaavat ovat yhteensopimattomat, jos ja vain jos niiden konjunktio on loogisesti epätosi.
Yhteensopimattomuus ja looginen seuraus Esimerkki. Kaava A A on loogisesti epätosi, ja kaavat A ja A ovat yhteensopimattomat. Voimme myös sanoa, että kaavajoukko {A, A} on ristiriitainen. Joskus myös kaavaa A A kutsutaan ristiriitaiseksi. Jos A 1, A 2,..., A n B, niin ei ole olemassa sellaista mallia M, että M A i (i = 1, 2,..., n) ja M B. Tämä tarkoittaa samaa kuin että kaavat A 1, A 2,..., A n, B ovat yhteensopimattomat. Tämä tulos voidaan esittää myös seuraavasti: A 1, A 2,..., A n B, jos ja vain jos A 1, A 2,..., A n, B ovat yhteensopivat.
Jos kaavat A ja B ovat ovat yhteensopimattomia, niin triviaalisti myös kaavat A, B ja C ovat yhteensopimattomat ja täten A, B C. Yleistäen voidaan todeta, että yhteensopimattomista premisseistä seuraa loogisesti mitä tahansa. Tämä voidaan sanoa myös seuraavasti: kaikki kaavat ovat ristiriitaisen kaavajoukon loogisia seurauksia. Esimerkki. Hieman paradoksaalisesti p, q, q p. Tämä seuraa siitä, että kaavat q ja q ovat yhteensopimattomia, joten olipa C mikä tahansa kaava, niin p, q, q C.
Kaavan totuustaululla tarkoitamme sen totuustaulun viimeisenä muodostettavaa pystyriviä. Kaava on siis tautologia, jos sen totuustaulussa esiintyy vain totuusarvo 1. Kaava on kontradiktio, jos sen totuustaulussa esiintyy vain totuusarvo 0. Kaava A on siis kontradiktio, jos ja vain jos sen negaatio A on tautologia. Yhteenvetona saamme seuraavat yhteydet: Kaava on toteutuva, jos ja vain jos se ei ole kontradiktio. Kaava on kumoutuva, jos ja vain jos se ei ole tautologia.
Kaava on loogisesti tosi, jos ja vain jos se on tautologia. Kaava on loogisesti epätosi, jos ja vain jos se on kontradiktio. A ja B ovat loogisesti ekvivalentteja, jos ja vain jos A B on tautologia. A ja B ovat yhteensopivia, jos ja vain jos A B ei ole kontradiktio. A ja B ovat yhteensopimattomia, jos ja vain jos A B on kontradiktio. Kaava A on kaavojen A 1, A 2,..., A n looginen seuraus, jos ja vain jos kaava A 1 A 2 A n A on tautologia.
Ratkeavuus Lauselogiikan sanotaan olevan ratkeava. Tämä tarkoittaa, että mielivaltaisesta lauselogiikan kaavasta voidaan mekaanisella menetelmällä ratkaista, onko se loogisesti tosi vai ei, onko se annetun kaavan looginen seuraus vai ei, onko se loogisesti epätosi vai ei jne. Ratkeavuus ei pidä paikkaansa logiikoille yleensä. Emme todista lauselogiikan ratkeavuutta peruskurssilla, mutta on helppo vakuuttua siitä, että totuustaulumenetelmä antaa ratkaisumenetelmän mainittujen seikkojen selville saamiseksi. Eri asia on, että jos kaavassa A on riittävän monta lausemuuttujaa, niin mikään olemassa oleva tietokone ei pysty missään järjellisessä ajassa laskemaan kaavan A totuustaulua.
Kaavan määrämä totuusfunktio Olkoon L = (P, K), missä P = {q 1, q 2,..., q n }, ja A L-kaava. Jokainen totuusarvoyhdistelmä (v(q 1 ), v(q 2 ),..., v(q n )) B n määrää yksikäsitteisesti arvon V (A) B. Tämän mukaisesti kaava A määrittelee totuusfunktion TF A : B n B, jonka arvot saadaan kaavan A totuustaulusta. Esimerkki. Kaava A(q 1, q 2, q 3, q 4 ) = q 1 (q 3 q 4 ) määrittelee totuusfunktion TF A : B 4 B : TF(b 1, b 2, b 3, b 4 ) = b 1 (b 3 + b 4 b 3 b 4 ). Tämän totuusfunktion arvo ei riipu ollenkaan argumentista b 2 ja esimerkiksi TF A (1, 0, 1, 0) = TF A (1, 1, 1, 0) = 1.
Jos A = A(q 1, q 2,..., q n ) ja B = B(q 1, q 2,..., q n ) ja tarkastellaan totuusfunktioita B n B, niin selvästikin TF A = TF B, jos ja vain jos A ja B ovat loogisesti ekvivalentit. Huomaa kuitenkin, että esimerkiksi kaavat p 1 p 2 ja p 3 p 4 määräävät saman kaksipaikkaisen totuusfunktion B 2 Bmutta ne eivät tietenkään ole loogisesti ekvivalentit kaavat. Jos p 1 p 2 = A(p 1, p 2, p 3, p 4 ) ja p 3 p 4 = B(p 1, p 2, p 3, p 4 ), niin nelipaikkaiset totuusfunktiot TF A ja TF B ovat eri funktioita! Huomaa, myös, että esimerkiksi pelkkä yksittäinen lausemuuttuja p 1 määrää äärettömän monta totuusfunktiota, sillä kun tulkitaan p 1 = A k (p 1, p 2,..., p k ), missä k = 1, 2, 3,..., niin TF Ak : B k B ja TF Ak TF Al, kun k l.
Olkoon f mikä tahansa funktio B n+1 B. Havainnollistamme seuraavaksi, miten löydetään sellainen kaava A, että TF A = f. Olkoon p lausemuuttuja ja b B. Merkitään { p b p, jos b = 1, = p, jos b = 0. Määritellään bittijonoa (b 0,..., b n ) B n+1 vastaava konjunktio C (b0,...,b n) = p b 0 0 pbn n. Konjunktion totuusehdon perusteella V (A (b0,...,b n)) = 1, jos ja vain jos V (p b i i ) = 1, kun i = 0,..., n. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että v(p i ) = b i, kun i = 0,..., n.
Jos totuusfunktio f : B n+1 B saa vain vakioarvon 0, niin kun valitaan D = (p 0 p 0 ) (p 1 p n ), niin f = TF D. Oletetaan jatkossa, että f saa ainakin kerran arvon 1. Määritellään disjunktio D = D(p 0,..., p n ) = f (b 0,...,b n)=1 C (b0,...,b n). Olkoon f (b 0,..., b n ) = 1. Kun totuusjakauma v on sellainen, että v(p i ) = b i, kun i = 0,..., n, niin V (C (b0,...,b n)) = 1. Disjunktion totuusehdon perusteella tällöin V (D) = 1, joten TF D ((b 0,..., b n ) = 1.
Olkoon sitten TF D (b 0,..., b n ) = 1. Tällöin siis V (D) = 1, kun v on totuusjajakauma, jolla v(p i ) = b i jokaisella i {0,..., n}. Disjunktion totuusehdon perusteella tällöin V (C (a0,...,a n)) = 1 jollakin sellaiselle (a 0,..., a n ) B n+1, että f (a 0,..., a n ) = 1. Mutta V (C (a0,...,a n)) = 1 vain kun a i = v(p i ) = b i kaikilla i {0, 1,..., n}. Täten f (b 0,..., b n ) = f (a 0,..., a n ) = 1. Näin on osoitettu, että f (b 0,..., b n ) = 1 TF D (b 0,..., b n ) = 1, josta seuraa, että f = TF D.
Disjunktiivinen normaalimuoto Olkoon kaava L p lausemuuttuja p tai sen negaatio p. Kaavaa L p kutsutaan tällöin literaaliksi. Literaalien muodostamaa konjunktiota kutsutaan alkeiskonjunktioksi. Kaavan, joka muodostuu alkeiskonjunktioiden disjunktiosta, sanotaan olevaan disjunktiivisessa normaalimuodossa. Jos disjunktivisessa normaalimuodossa olevan kaavan jokaisessa alkeiskonjunktiossa esiintyy samoja lausemuuttujia vastaavat literaalit, kaavan sanotaan olevaan täydellisessä disjunktiivisessa normaalimuodossa.
Yllä konstruoitu kaava D(p 0,..., p n ) on täydellisessä disjunktiivisessa normaalimuodossa lukuunottamatta tapausta, jossa f on vakiofunktio 0. Olkoon A kaava, jossa esiintyy (korkeintaan) lausemuuttujat p 0, p 1,..., p n. Kaava A määrää siis totuusfunktion TF A : B n+1 B ja edellä esitetyn perusteella on olemassa sellainen disjunktiivisessa normaalimuodossa oleva kaava D(p 0,..., p n ), että TF D = TF A. Tämä tarkoittaa sitä, että jokainen lauselogiikan kaava voidaan esittää loogisesti ekvivalentissa (täydellisessä) disjunktiivisessa normaalimuodossa.
Esimerkki. Tarkastellaan konditionaalisen disjunktion totuustaulua p 1 p 2 p 3 [p 1, p 2, p 3 ] 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 Muodostetaan disjunktio kaikista niistä alkeiskonjunktioista, jotka vastaavat riviä, jolla kaava [p 1, p 2, p 3 ] saa totuusarvon 1. Näin löydetään loogisesti ekvivalentti esitys [p 1, p 2, p 3 ] (p 1 p 2 p 3 ) (p 1 p 2 p 3 ) (p 1 p 2 p 3 ) ( p 1 p 2 p 3 ). Huomaa, että myös [p 1, p 2, p 3 ] (p 1 p 2 ) ( p 2 p 3 )!
Olkoon L ij literaali p j tai p j, kun i = 1, 2,..., m, ja m n A L ij, i=1 j=0 missä oikealla puolella oleva kaava on siis täydellisessä disjunktiivisessa normaalimuodossa. Tällöin soveltamalla de Morganin sääntöä sekä disjunktioon että alkeiskonjunktioihin saadaan, että m n A L ij. i=1 j=0 Jos L ij = p j, niin L ij = p j, ja jos L ij = p j, niin kaksoisnegaation säännön perusteella L ij p j.
Konjunktiivinen normaalimuoto Kaava A voidaan siis esittää loogisesti ekvivalentissa muodossa A m n L ij, i=1 j=0 missä L ij on literaali p j tai p j. Tällaisen kaavan sanotaan olevan (täydellisesä) konjunktiivisessa normaalimuodossa. Kaavan A = A(p 1, p 2,..., p n ) konjunktiivisen normaalimuodon voi muodostaa suoraan kaavan A totuustaulun pohjalta seuraavasti: muodostetaan jokaista sellaista riviä, jolla V (A) = 0, vastaavaa disjunktio niin että disjunktioon tulee disjunktiksi p i, jos v(p i ) = 1, ja p i, jos v(p i ) = 0. Näiden disjunktioiden konjunktio on kaavan A konjunktiivinen normaalimuoto.
Esimerkki. Etsitään konditionaaliselle disjunktiolle konjunktiivinen normaalimuoto. Aloitetaan kaavan [p 1, p 2, p 3 ] totuustaululla: p 1 p 2 p 3 [p 1, p 2, p 3 ] 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 Tästä totuustaulusta nähdään helposti, että [p 1, p 2, p 3 ] (p 1 p 2 p 3 ) ( p 1 p 2 p 3 ) ( p 1 p 2 p 3 ) ( p 1 p 2 p 3 ). Täten [p 1, p 2, p 3 ] ( p 1 p 2 p 3 ) (p 1 p 2 p 3 ) (p 1 p 2 p 3 ) (p 1 p 2 p 3 ).
Täydellinen konnektiivijoukko Totuusfunktioiden joukko f 1, f 2,..., f m on täydellinen, jos jokainen totuusfunktio B n B, n N, voidaan esittää yhdistämällä näitä funktioita keskenään. Edellä on osoitettu totuusfunktioiden joukon {tf, tf, tf } olevan täydellinen. Olkoon a, b B. Koska ja tf (a, b) = tf (tf (tf (a), tf (b))) tf (a, b) = tf (tf (tf (a), tf (b))), niin myös joukot {tf, tf } ja {tf, tf } ovat täydellisiä. Konnektiivijoukon sanotaan vastaavasti olevan täydellinen, jos niitä vastaavien totuusfunktioiden joukko on täydellinen. Siis sekä konnektiivijoukko {, } että {, } ovat täydellisiä.
Olkoon L = (P, K) ja L = (P, {, }). Konnektiivijoukko K on tällöin täydellinen, jos ja vain jos jokaista L -kaavaa A vastaa loogisesti ekvivalentti L-kaava B. Huomaa, että kaava A B on (P, K {, })-kaava. Esimerkki. Osoitetaan, että Shefferin viiva muodostaa yksin täydellisen konnektiivijoukon. Riittää osoittaa, että negaatio ja konjunktio voidaan määritellä sen avulla. Tämä seuraa loogisista ekvivalenttisuuksista p p p ja p q (p q) (p q). Esimerkki. Osoitetaan, että konditionaalinen disjunktio yhdessä vakioiden ja kanssa muodostaa täydellisen konnektiivijoukon. Tämä seuraa siitä, että p [, p, ] ja [p q] [p, q, ].
Esimerkki. Osoitetaan, että konnektiivijoukko {,,, } ei ole täydellinen. Todistetaan ensin induktiolla seuraava aputulos: kun L = (P, {,,, }) ja v sellainen totuusjakauma, että v(p) = 1 kaikilla p P, niin V (A) = 1 jokaisella L-kaavalla A. Oletuksen mukaan väite V (A) = 1 pitää paikkansa, kun A = p P. Tehdään induktio-oletus: L-kaavoille B ja C pätee V (B) = V (C) = 1. Tällöin myös V (B C) = V (B C) = V (B C) = V (B C) = 1. Induktioperiaatteen mukaisesti V (A) = 1 aina, kun A on L-kaava. Olkoon q P. Tarkastellaan nyt kielen (P, {, }) kaavaa q. Kun v(p) = 1 kaikilla p P, niin V ( q) = 0, mutta V (A) = 1 jokaisella L-kaavalla A. Kaava q ei voi siis olla loogisesti ekvivalentti minkään L-kaavan kanssa.