802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET. Tapani Matala-aho

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET Tapani Matala-aho 12. joulukuuta 2012

Sisältö 1 Johdanto 4 2 Merkintöjä 5 2.1 Lukujoukot.............................. 5 2.2 Sekalaisia merkintöjä......................... 5 2.3 Porrasfunktiot............................. 7 2.4 Tärkeitä kaavoja........................... 9 3 Kokonaislukurengas Z 10 3.1 Jaollisuus, alkuluvut......................... 10 3.2 Jakoalgoritmi............................. 13 3.3 Eukleideen algoritmi......................... 15 3.4 Kongruenssi.............................. 20 3.5 Euler-Fermat............................. 26 3.6 Eräs kongruenssiryhmä........................ 27 3.7 Kiinalainen jäännöslause....................... 27 4 Kertomat, binomikertoimet 30 4.1 Palautuskaava, Pascalin kolmio................... 32 4.2 p-valuaatio kokonaisluvuille..................... 34 4.3 Binomisarja, Binomikehitelmä.................... 37 5 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) 39 5.1 Perusteita............................... 39 5.2 Wolstenholmen lause......................... 49 5.3 (p 1)! ja a p 1 (mod p 2 )....................... 54 6 Polynomien kongruenssi 57 1

6.1 Sovelluksia lukujen kongruensseihin................. 61 7 Summausmenetelmiä 63 7.1 Polynomialgebran sovelluksia.................... 63 7.2 Teleskoopit.............................. 64 8 Fibonaccin ja Lucasin luvut 66 8.1 Rekursio ja Binet n kaava...................... 66 8.2 Matriisiesitys............................. 69 8.3 Generoiva sarja............................ 73 8.4 Laajennus negatiivisiin indekseihin/todistuksia EI kysytä kokeessa 75 8.5 Jaollisuustuloksia........................... 77 8.6 f n (mod k).............................. 78 8.7 f n (mod p).............................. 80 9 Antiikin lukuja 84 9.1 Kolmio- neliö- ja tetraedriluvut................... 84 9.2 Pythagoraan luvut.......................... 84 10 Irrationaaliluvuista 87 11 p-valuaatio/todistuksia EI kysytä kokeessa 90 12 Työkaluja 93 12.1 Hieman polynomialgebraa...................... 93 12.2 Lisää polynomialgebraa........................ 95 12.2.1 Symmetriset peruspolynomit................. 95 12.3 Formaaleista potenssisarjoista.................... 97 2

KORJAUKSIA JA MUUTOKSIA: Kaavaan (3.142) tehty muutos 21.11.2012. Kohtaan (5.136) tehty korjaus 5.12.2012. Lisätty määritelmä 6.2, 5.12.2012. Lisätty lauseet 6.1,6.2 ja Wolstenhomeen lauseen II todistus 6 5.12.2012. Lauseeseen 8.5 tehty muutoksia 5.12.2012. Lisätty Lause 8.3 10.12.2012. Huomaa Luvun 8 uusi kappalejako 8.5 (tulee kokeeseen) 12.12.2012. Lisätty Lause 8.16 (aikaisempi tulos ja todistus on nyt esitetty teoreeman muodossa) 12.12.2012. Huomaa, että Luvun 8 kaava- ja lausenumeroinnit ovat muuttuneet. Voit ilmoittaa löytämäsi painovirheet ja muut töpeksinnät E-mail osoitteeseen: etunimi.sukunimi@oulu.fi Tapani Matala-aho 3

LUKUTEORIA, NUMBER THEORY, THÉORIE DES NOMBRES 802328A Lukuteorian perusteet (5 op) [=Aikaisempi Lukuteoria I (5op)] Luennoilla tarkastelemme matematiikan ja erityisesti lukuteorian tutkimuksessa usein esiintyvien lukujen aritmeettisia ominaisuuksia sekä aiheeseen liittyviä menetelmiä. Tutkittavia lukuja ovat esimerkiksi binomikertoimet, ketjumurtoluvut, potenssisummat sekä eräät matemaatikkojen Bernoulli, Fibonacci, Heron, Lucas, Neper, Pythagoras, Wilson ja Wolstenholme mukaan nimitetyt luvut. Sovellettavista työkaluista mainittakoon generoivat sarjat, irrationaalisuustarkastelut, matriisiesitykset, rationaalilukujen ja polynomien kongruenssit, rekursiot ja teleskoopit. Pohjatietoina oletetaan 1. vuoden kurssit, erityisesti Lukuteoria ja ryhmät. Aluksi tosin kerrataan nopesti ilman todistuksia kurssin Lukuteoria ja ryhmät jaollisuuteen ja kongruenssiin liittyviä tuloksia, kappaleessa 3. 4

1 Johdanto Lukuteoria eli aritmetiikka tutkii erityisesti kokonaislukuihin liittyviä kysymyksiä. Aritmetiikan määritelmästä: Ensinnäkin, alkeisaritmetiikka eli alkeismatematiikka voidaan käsittää kokonaislukujen ja niiden laskutoimitusten-yhteenlasku, vähennyslasku, kertolasku ja jakolasku-muodostamaksi järjestelmäksi. Esimerkiksi korttipeli voidaan ajatella matemaattiseksi järjestelmäksi, jossa lukuja vastaavat kortit ja laskutoimituksia pelin säännöt. Toisaalta aritmetiikka laajasti katsottuna sisältää myös tutkimukselliset kysymykset ja niiden tarkasteluun kehitetyt työkalut. Tällöin termit lukuteoria ja aritmetiikka samaistetaan-kuten voi nähdä alan päälehtien Acta Arithmetica ja Journal of Number Theory nimistä. LÄHTEITÄ: G.H. Hardy & E.M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Kenneth H. Rosen: Elementary number theory and its applications. Number Theory Web American Mathematical Monthly 5

2 Merkintöjä 2.1 Lukujoukot N = {0, 1, 2,..., GOOGOL 10,...} = {ei-negatiiviset kokonaisluvut}. P = {2, 3, 5, 7, 11,...} = {alkuluvut}. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} = {kokonaisluvut}. Z + = {1, 2, 3,...} = N {0} = {positiiviset kokonaisluvut}. Z = { 1, 2, 3,...} = Z N = {negatiiviset kokonaisluvut}. Q = { m n m Z, n Z+ } = {rationaaliluvut}. R = {x x = k=l a k10 k, l Z; a k {0,..., 9}} = {reaaliluvut }. C = R(i) = {a + ib a, b R, i 2 = 1} = { kompleksiluvut} C Q = { Irrationaaliluvut }. Z m = {k Z k m}. R 0 = {r R r 0},... Q = Q {0}, R = R {0}, C = C {0}, 2.2 Sekalaisia merkintöjä Olkoot a, b lukuja sekä A, J lukujoukkoja: aj + b = {aj + b j J} a J = {a j j J} A J = {a j a A, j J} ESIM: J = Z, b Z, n Z +, tällöin merkitään b = nz + b, 6

joka on jakojäännösluokka (mod n) ja Z/nZ = {b b {0, 1,..., n 1}}, joka on jakojäännösrengas (mod n).! täsmälleen yksi. A B A B ja A = B. #A = A = Joukon A alkioiden lukumäärä. Olkoon A = {a 1,..., a m }, tällöin f(a) = f(a 1 ) +... + f(a m ), a A f(a) = f(a 1 ) f(a m ). a A Jos A =, niin f(a) = 0, f(a) = 1 a A a A (tyhjä summa ja tulo). Edelleen "Summaus n. tekijöiden yli" f(d) = f(d 1 ) +... + f(d k ), d n missä d i Z + ovat n:n erilliset tekijät. "Summaus n. alkutekijöiden yli" f(p) = f(p). p n p n,p P "Tulo n. alkutekijöiden yli" f(p) = f(p). p n p n,p P 7

2.3 Porrasfunktiot Määritelmä 2.1. Lattiafunktio (eli porrasfunktio) : R Z saadaan asettamalla x = [x] = max{n Z n x} aina, kun x R. Esimerkki 1. Jos x R 0, niin tällöin x on x:n kokonaisosa, mutta esimerkiksi 1.2 = 2. Määritelmä 2.2. Kattofunktio : R Z saadaan asettamalla x = min{n Z x n} aina, kun x R. Lause 2.1. Olkoon x R muotoa x = k + c, k Z, 0 c < 1. (2.1) Tällöin Edelleen k = x. (2.2) x = x x R, (2.3) x x < x + 1 x R (2.4) 8

x + k = x + k x R, k Z, (2.5) x + y x + y x, y R, (2.6) Todistus: Luennolla (2.2), loput laskareissa. x y xy x, y R 0. (2.7) Merkintä: Huomataan, että {x} = x x. (2.8) 0 {x} < 1 (2.9) ja että {x} antaa positiivisen luvun x R + desimaaliosan. Esimerkki 2. mutta {1.2} = 0.2 (2.10) { 1.2} = 0.8 (2.11) 9

2.4 Tärkeitä kaavoja n k = n(n + 1) ; (2.12) 2 n n a k = an+1 1, a = 1; (2.13) a 1 ( ) n t k = (1 + t) n, n N. (2.14) k a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n 2 + + a + 1). (2.15) a n + 1 = (a + 1)(a n 1 a n 2 + a + 1), 2 n. (2.16) A n B n = (A B)(A n 1 + A n 2 B + + AB n 2 + B n 1 ). (2.17) 10

3 Kokonaislukurengas Z 3.1 Jaollisuus, alkuluvut Määritelmä 3.1. Olkoot a, b Z. Tällöin b a c Z : a = bc. (3.1) Kun b a, niin b jakaa (divides) a:n eli b on a:n tekijä (factor) eli a on b:n monikerta (multiple). Käytetään merkintää b a, kun b ei jaa a:ta. Lause 3.1. Jaollisuuden laskusääntöjä. Olkoot k, m, n, r, s Z. Tällöin ±1 k, ±k k; (3.2) 0 k k = 0; (3.3) k 0; (3.4) k 1 k = ±1; (3.5) m n, n m n = ±m; (3.6) k m, m n k n; (3.7) k m, k n k rm + sn; (3.8) k m, k n k m ± n; (3.9) 11

k m, k n k 2 mn; (3.10) k m k m h, k h m h, h Z + (3.11) Huom 1. Sääntö 3.5 otetaan aksiomiksi, sillä sen todistamiseen tarvitaan itseisarvon ja järjestyksen ominaisuuksia. Katso myöhemmin esitettävä renkaan yksikköryhmä. Todistus. Kohta (3.6): Ehdoista m n m saadaan n = hm = hln h, l Z. (3.12) Tapaus n = 0. Tällöin (1 hl)n = 0 hl = 1 h = l = ±1 (3.13) Tapaus n = 0. Tällöin n = ±m. (3.14) m 0 m = 0 n = ±m. (3.15) Esimerkki 3. 0 0, 0 a = 0. (3.16) Merkintöjä: Olkoot d, n Z, d 2, tällöin d s n d s n ja d s+1 n, s N. (3.17) Olkoon k Z, tällöin kz = {ka a Z} = (3.18) k:lla jaollisten kokonaislukujen joukko eli k:n monikerrat. 12

Esimerkki 4. 3 4 162, 1Z = Z, 0Z = {0}. (3.19) Määritelmä 3.2. Olkoon q Z annettu ja olkoon d q, d Z. Jos d {1, 1, q, q}, niin d on luvun q triviaali tekijä. Jos d / {1, 1, q, q}, niin d on luvun q aito tekijä. Määritelmä 3.3. Luku q Z on jaoton (irreducible) Jos d q, niin d = ±1 tai d = ±q. Siten jaottomalla kokonaisluvulla q on vain triviaalit tekijät 1, 1, q, q. Määritelmä 3.4. Luku p Z, p 2 on alkuluku (prime) Jos d p, niin d = ±1 tai d = ±p. Merkintä: Alkulukujen joukko P = {p p on alkuluku}. Siten p P p on jaoton ja p 2, joten P = {p 2, 3, 5, 7, 11,..., 101,...}. Alkutekijä=alkulukutekijä=(prime factor). Määritelmä 3.5. Luku n Z, on yhdistetty (composite) luku n:llä on ainakin 2 alkutekijää. Esimerkki 5. 4 on yhdistetty. 0 on yhdistetty. 3 ei ole yhdistetty eikä alkuluku mutta on jaoton. Määritelmä 3.6. Luvun n Z 2 esitys n = p r 1 1 p rt t, p i P, r i Z + (3.20) on luvun n luonnollinen alkulukuesitys, alkutekijäesitys (kanoninen alkutekijähajotelma, prime factorization). 13

Jos, m/n Q, niin Esimerkki 6. m n = pr 0 0 p r 1 1 p rt t, p i P, p 0 = 1 r i Z. (3.21) 1 = ( 1) 1 2 0 3 0, 40 128 = 23 5 2 7 = 2 4 5 1 (3.22) 3.2 Jakoalgoritmi Lause 3.2. Olkoot a, b Z ja b = 0. Tällöin! q Z ja! r N : a = qb + r, 0 r < b. (3.23) Kun b Z +, niin Esimerkki 7. b = 3, q = a b. (3.24) a = 13 = ( 5) 3 + 2, q = 5, r = 2, a = 5 (3.25) b a = 13 = 4 3 + 1, q = 4, r = 1, a = 4 (3.26) b Määritelmä 3.7. Jaettaessa luku a luvulla b, on jakoalgoritmista saatu luku r jakojäännös (remainder) ja osamäärän (quotient) a/b kokonaisosa (integral part) on luku q, kun a/b 0 ja b 1. Määritelmä 3.8. Olkoot a, b Z annettu. Tällöin luku d N on lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä (greatest common divisor) eli d =syt(a, b) = (a, b) mikäli d a ja d b; [Y T ] c a ja c b c d. [S] 14

Jos (a, b) = 1, niin sanotaan, että a ja b ovat keskenään jaottomia (relatively prime) ja merkitään a b. Esimerkki 8. a) 23 32 (23, 32) = 1 (3.27) b) (0, a) = a a Z, (3.28) erityisesti (0, 0) = 0. (3.29) HUOM: Usein esiintyy myös määritelmä, jossa vaaditaan, että d Z +, jolloin (0, 0) (Muutoin saadaan samat tulokset). Määritelmä 3.9. Olkoot a, b Z annettu. Tällöin luku f N on lukujen a ja b pienin yhteinen jaettava (least common multiple) eli f =pyj[a, b] = [a, b] mikäli a f ja b f; [Y J] a g ja b g f g. [P ] Esimerkki 9. [0, 0] = 0 (3.30) Lause 3.3. Olkoot a = m i=1 p r i i, b = m i=1 p s i i, p i P, r i, s i N. Tällöin syt(a, b) = pyj(a, b) = m i=1 m i=1 p min(r i,s i ) i, (3.31) p max(r i,s i ) i. (3.32) 15

Esimerkki 10. Olkoot a = 3 5 2 7, b = 3 2 5 7, nyt Lause 3.4. Olkoot a, b Z +, tällöin syt(a, b)pyj(a, b) = 3 5 7 3 2 5 2 7 = ab. (3.33) ab = syt(a, b)pyj(a, b) = (a, b)[a, b]. (3.34) TOD: (Harj.) Osoita ensin, että min(r i, s i ) + max(r i, s i ) = r i + s i. (3.35) 3.3 Eukleideen algoritmi Jakoalgoritmin nojalla saadaan E.A.=Eukleideen algoritmi. E.A. Olkoot a, b Z + annettu ja 1 b < a. r 0 = a, r 1 = b 0 r 1 < r 0 r 0 = q 1 r 1 + r 2 0 r 2 < r 1. r k = q k+1 r k+1 + r k+2. r n 2 = q n 1 r n 1 + r n n N : r n = 0, r n+1 = 0 0 r k+2 < r k+1 0 r n < r n 1 r n 1 = q n r n r n = syt(a, b). Tässä n = Eukleideen algoritmin pituus (length), jolle pätee n a 1. (3.36) 16

Myöhemmin todistetaan Fibonaccin lukujen avulla, että n log a/ log((1 + 5)/2)). (3.37) Asetetaan nyt jolloin Nähdään, että R k = r k, Q k = q k 1, k N, (3.38) 1 0 r k+1 det Q k = 1, Q 1 k = 0 1. (3.39) 1 q k E.A. R k = Q k+1 R k+1, k = 0,..., n 1, (3.40) jolloin pätee Merkitään ja jolloin Nyt S k = s k R 0 = Q 1 Q 2 Q k R k. (3.41) S 0 = s 0 t 0 = 1 0 (3.42) s 1 t 1 0 1 s k+1 t k t k+1 = Q k 1 Q 2 1 Q 1 1, (3.43) R k = S k R 0. (3.44) S k+1 = Q 1 k+1 S k (3.45) eli s k+1 t k+1 = 0 1 s k t k = s k+2 t k+2 1 q k+1 s k+1 t k+1 17

s k+1 s k q k+1 s k+1 t k+1 t k q k+1 t k+1 (3.46) Palautuskaavat eli rekursiot (recurrence): s k+2 = s k q k+1 s k+1, k = 0, 1,... t k+2 = t k q k+1 t k+1, k = 0, 1,... (3.47) Yhtälöstä (3.44) saadaan r n = s n a + t n b, (3.48) josta edelleen saadaan Lause 3.5. syt(a, b) = s n a + t n b, (3.49) missä n on E.A:n pituus. Esimerkki 11. Olkoot a = 909 ja b = 309. Tällöin Eukleideen algoritmilla saadaan q 1 = 2, q 2 = 1, q 3 = 16, q 4 = 6, r 4 = 3, n = 4. (3.50) Seuraavaksi käytetään rekursioita (3.47) lähtien alkuarvoista (3.42). Laskemalla saadaan s 4 = 17, t 4 = 50 s 4 a + t 4 b = 3. (3.51) Seuraus 1. Olkoot a, b, c Z. Tällöin, jos a bc ja a c, (3.52) niin a b. (3.53) 18

Seuraus 2. Olkoot a, b, c Z. Tällöin, jos a c ja b c ja a b, (3.54) niin ab c. (3.55) Seuraus 3. Olkoot a, b Z ja p P. Tällöin, jos p ab, (3.56) niin p a tai p b. (3.57) Seuraus 4. Olkoot a Z, p P ja k, n Z +. Tällöin p a n p a p n a n ; (3.58) p k a n p a n. (3.59) Määritelmä 3.10. Olkoot a 1,..., a m Z annettu. Tällöin luku d m N on lukujen a 1,..., a m suurin yhteinen tekijä eli d m =syt(a 1,..., a m ) = (a 1,..., a m ) mikäli a) d m a i i = 1,..., m; b) c a i i = 1,..., m c d m. Huom 2. Olkoot a 1,..., a m Z pareittain keskenään jaottomia (pairwise relatively prime) eli a i a j i = j. (3.60) Tällöin (a 1,..., a m ) = 1. (3.61) 19

Huom 3. Edellinen ei päde välttämättä vastakkaiseen suuntaan, sillä esimerkiksi (6, 9, 5) = 1 mutta (6, 9) = 3. (3.62) Määritelmä 3.11. Olkoot a 1,..., a m Z annettu. Tällöin luku f m N on lukujen a 1,..., a m pienin yhteinen jaettava eli f m =pyj[a 1,..., a m ] = [a 1,..., a m ] mikäli a) a i f m i = 1,..., m; b) a i c i = 1,..., m f m c. Lause 3.6. Olkoon d m = (a 1,..., a m ), tällöin on olemassa sellaiset l 1,..., l m Z, että d m = l 1 a 1 +... + l m a m. (3.63) Todistus: Induktiolla. Perusaskel: m = 2 (3.49). Induktio-oletus: Väite tosi, kun m = k. Induktioaskel: Olkoon m = k + 1. 1. Osoitetaan ensin, että a.) Koska niin eli on yhteinen tekijä. b.) Jos d k+1 = (d k, a k+1 ). (3.64) d k+1 a 1,..., a k, a k+1, (3.65) d k+1 d k, d k+1 a k+1 (3.66) c d k, a k+1, (3.67) 20

niin Siten c a 1,..., a k, a k+1. (3.68) c d k+1, (3.69) joten on suurin tekijä. a.)+b.) d k+1 = (d k, a k+1 ). 2. Induktio-oletuksesta saadaan, että h i Z : d k = h 1 a 1 +... + h k a k (3.70) ja Siten j i Z : (d k, a k+1 ) = j 1 d k + j 2 a k+1. (3.71) d k+1 = (d k, a k+1 ) = j 1 (h 1 a 1 +... + h k a k ) + j 2 a k+1 = l 1 a 1 +... + l k+1 a k+1. (3.72) Joten induktioaskel on todistettu ja induktioperiaatteen nojalla alkuperäinen lauseen väite on tosi. 3.4 Kongruenssi Esimerkki 12. Huomataan, että 17 = 3 5 + 2, 12 = 2 5 + 2, 7 = 1 5 + 2,..., (3.73) jolloin on sovittu merkinnästä 17 2 (mod 5), 12 7 2 (mod 5). (3.74) 21

Määritelmä 3.12. Olkoon n Z + annettu ja a, b Z. Jos n a b, (3.75) niin tällöin asetetaan a b (mod n) (3.76) eli a on kongruentti b:n kanssa modulo n. Edelleen, luku n on kongruenssin (3.76) modulus. Merkitään a b (mod n), (3.77) kun a ei ole kongruentti b:n kanssa modulo n. Huom 4. Työkaluja: a b (mod n) a b 0 (mod n); (3.78) a 0 (mod n) n a. (3.79) Lause 3.7. Kongruenssi on ekvivalenssirelaatio. Olkoon n Z +, a, b, c Z. Tällöin pätee a a; (3.80) a b b a; (3.81) a b, b c a c; (3.82) kaikki kongruenssit (mod n). Lause 3.8. Kongruenssin laskusääntöjä. Olkoon n Z +, a, b, c, d, r, s Z, h N ja P (x) Z[x]. Jos a b, c d, (3.83) 22

niin ra + sc rb + sd; (3.84) a ± c b ± d; (3.85) ac bd; (3.86) a h b h ; (3.87) P (a) P (b); (3.88) kaikki kongruenssit (mod n). Todistus. Käytetään työkaluja (3.78) ja (3.79) sekä jaollisuuden laskusääntöjä. Kohta (3.84): Oletuksista (3.83) seuraa n a b, n c d (3.89) ra + sc (rb + sd) = r(a b) + s(c d) 0 (mod n), (3.90) jolloin tuloksen (3.78) nojalla saadaan väite. Esimerkki 13. a a + ln (mod n) l Z. (3.91) Lause 3.9. Muita tuloksia. Olkoon n Z +, a, b, m Z. Tällöin pätee ma mb (mod n), m n (3.92) a b (mod n). (3.93) 23

a b (mod mn) (3.94) a b (mod n). (3.95) Huom 5. a b (mod n) (3.96) n a b a = b + l n, jollakin l Z (3.97) a b + nz = b, (3.98) missä b on edustajan b määräämä jakojäännösluokka (mod n). Lause 3.10. A. Keskenään kongruenteilla luvuilla on samat jakojäännökset ja Vice Versa. B. Kongruentit luvut kuuluvat samaan jakojäännösluokkaan eli a b (mod n) a = b. (3.99) Siispä joukkoa Z/nZ = {a a = 0, 1, 2,..., n 1} = Z n (3.100) kutsutaan jakojäännösrenkaaksi, missä on laskutoimitukset a + b = a + b, (3.101) ab = ab. (3.102) Huom 6. Jakojäännösluokalle b voidaan käyttää myös merkintää [b] (Ryhmäteoreettinen sivuluokka). 24

Huom 7. Usein kuitenkin lasketaan vain pelkillä edustajilla eli jakojäännöksillä 0, 1, 2,..., n 1 = 1 (mod n). Esimerkki 14. 1 + 1 = n 1 + 1 = n = 0, ( 1) 1 = 1 (mod n), (3.103) 2 1 = 1 2 = p + 1 2 Määritelmä 3.13. Olkoon R ykkösellinen rengas. Joukko on renkaan R yksikköryhmä. (mod p), p P p 3. (3.104) R = {yksiköt} = {u R u 1 R : uu 1 = 1} (3.105) Esimerkki 15. Jos R = K-kunta, niin K = K {0}. (3.106) Z = {±1}. (3.107) Lause 3.11. Joukko {a Z n a n} on renkaan Z n yksikköryhmä eli Z n = {a Z n a n}. (3.108) Huomaa,että ehdosta a n seuraa Eukleideen algoritmin kohdan 5) nojalla, että 1 = s m a + t m n, (3.109) missä m on E.A:n pituus. Siten s m a 1 (mod n) a 1 = s m. (3.110) 25

Erityisesti, jos p P, niin Z p on kunta ja Z p = {a Z p a p} = {1, 2,..., p 1}. (3.111) Määritelmä 3.14. Olkoon n 2. Jos a n, niin a on alkuluokka (mod n) ja Z n = {a Z n a n} on renkaan Z n kertolaskuryhmä (multiplication group of the ring). Määritelmä 3.15. Eulerin funktio φ : Z + Z + saadaan asettamalla φ(n) = #{k Z + 1 k n, k n} (3.112) aina, kun n Z +. Siten, ryhmän Z n kertaluku (order) on #Z n = φ(n), n Z 2. (3.113) Lemma 3.1. φ(mn) = φ(m)φ(n), M N. (3.114) Eli φ on multiplikatiivinen ja koska ( φ(p m ) = p m 1 1 ), p P, m Z +, (3.115) p niin saadaan Lemma 3.2. Olkoon n = p a 1 1... p a k k, p i P. Tällöin ( a φ(n) = p 1 a 1... p k k 1 1 ) )... (1 1pk p 1 (3.116) eli φ(n) = n p n ( 1 1 ). (3.117) p 26

3.5 Euler-Fermat Lause 3.12. EULER-FERMAT: Olkoot a Z, n Z 2 annettu ja a n. Tällöin a φ(n) 1 (mod n). (3.118) Lause 3.13. FERMAT N PIKKULAUSE: Olkoon p P annettu. Tällöin a p 1 1 (mod p), jos p a Z; (3.119) a p a (mod p), a Z. (3.120) Olettaen (3.119) todistetaan (3.120): Jos syt(a, p) = 1, niin Pikku Fermat n (3.119) nojalla a p a (mod p). (3.121) Jos p a, niin a 0 (mod p) a p 0 (mod p) (3.122) a p a (mod p). (3.123) 27

3.6 Eräs kongruenssiryhmä Lause 3.14. A) Olkoot p, q P ja p = q. Tällöin yhtälöistä a b (mod p) a b (mod q) (3.124) seuraa a b (mod pq). (3.125) B) Olkoot m i Z ja m i m j kaikilla i = j. Tällöin yhtälöistä a b (mod m i ) i = 1,..., r (3.126) seuraa a b (mod m 1 m r ). (3.127) Todistus. A) kohta: Oletuksista (3.124) seuraa p a b, q a b. (3.128) Koska p q, niin Seurauksen 2 nojalla pq a b a b (mod pq). (3.129) B) kohta induktiolla. Esimerkki 16. Olkoot p, q P ja p = q. Tällöin p q 1 + q p 1 1 (mod pq). (3.130) 3.7 Kiinalainen jäännöslause Lause 3.15. KIINALAINEN JÄÄNNÖSLAUSE. Olkoot m 1,..., m r Z + pareittain keskenään jaottomia ja olkoot a 1,..., a r Z 28

annettu. Tällöin yhtälöryhmän ratkaisut ovat x a 1 (mod m 1 ),. x a r (mod m r ) (3.131) x = x 0 + l M, l Z, M = m 1... m r = m k M k, (3.132) missä x 0 = n 1 M 1 a 1 +... + n r M r a r, (3.133) n k M k 1 (mod m k ). (3.134) Tod: Aluksi huomataan, että M k m k, (3.135) sillä, jos olisi 1 < d = (M k, m k ) p P : p d (3.136) p m k, p M k = i =k m i p m i, i = k (3.137) p (m k, m i ) Ristiriita. (3.138) Niinpä M k Z m k M k 1 := nk Z m k (3.139) n k M k = 1 Z m k (3.140) 29

Seuraavaksi huomataan, että n k M k 1 (mod m k ). (3.141) M j = i =j m i 0 (mod m k ) j = k, (3.142) joten laskemalla saadaan x 0 = n 1 M 1 a 1 +... + n r M r a r (3.143) n k M k a k 1 a k = a k (mod m k ) k = 1,..., r (3.144) ja siten x 0 on eräs ratkaisu. Olkoon x ratkaisu, tällöin x x 0 0 (mod m k ) k = 1,..., r. (3.145) Koska m i m j i = j, niin Lauseen 3.14 kohdan B) nojalla x x 0 0 (mod m 1 m r ) (3.146) eli x x 0 (mod M). (3.147) 30

4 Kertomat, binomikertoimet Määritellään luvun n N kertoma n! induktiivisesti asettamalla Määritelmä 4.1. 0! = 1, (4.1) n! = n (n 1)!, n Z +. (4.2) Ja kertoman yleistys, Pochammerin symboli (a) n, seuraavasti. Määritelmä 4.2. Olkoon a C. Tällöin (a) 0 = 1, (4.3) (a) n = (a + n 1) (a) n 1, n Z +. (4.4) Erityisesti (1) n = n!. (4.5) Määritelmä 4.3. Olkoot a C ja k N. Tällöin luvut ( ) a = ( 1) k ( a) k k k! (4.6) ovat binomikertoimia "a yli k:n". Tutkitaan erikoistapauksia. Olkoon aluksi k = 0. Tällöin ( ) a = k ( ) a = ( a) 0 0 0! = 1 a C. (4.7) Kun k Z +, niin ( ) a k ( a)( a + 1) ( a + k 1) = ( 1) = k k! 31

Olkoon vielä a = n Z +, jolloin a(a 1) (a k + 1) k! ( ) n = k n(n 1) (n k + 1) k! a C. (4.8) = joten n(n 1) (n k + 1)(n k)!, (4.9) k!(n k)! ( ) n = k n! k!(n k)! 0 k n. (4.10) Jos k n + 1, niin ( ) n k ( n) ( n + j) ( n + k 1) = ( 1), (4.11) k k! missä 0 j k 1. Siten, kun j = n, niin n + j = 0 ja ( ) n = 0 k n + 1. (4.12) k Olkoon a = n Z, jolloin ( ) n k n(n + 1) (n + k 1) = ( 1) = k k! joten ( ) n k k (n + k 1)! ( 1), (4.13) k!(n 1)! ( ) n + k 1 = ( 1) k k k 0. (4.14) 32

4.1 Palautuskaava, Pascalin kolmio Lause 4.1. Olkoon a C. Tällöin ( ) ( ) a + 1 a = + k + 1 k + 1 ( ) a k k N. (4.15) Todistus. Lasketaan väitteen oikea puoli käyttäen binomikertoimien esitystä (4.8), jolloin ( ) a + k + 1 a(a 1) (a (k + 1) + 1) (k + 1)! a(a 1) (a k + 1)(a k) k!(k + 1) + a(a 1) (a k + 1) k! ( ) a = k a(a 1) (a k + 1) k! = a(a 1) (a k + 1) + = k! ( ) a k k + 1 + 1 = (a + 1)(a + 1 1) (a + 1 (k + 1) + 1) (k + 1)! Siis saatiin väitteen vasen puoli. = ( ) a + 1. (4.16) k + 1 Erikoistapauksena saadaan Lause 4.2. ( ) ( ) n + 1 n = + k + 1 k + 1 ( ) n k k, n N. (4.17) Jonka avulla (I tapa) voidaan todistaa. Lause 4.3. ( ) n Z + 0 k n N. (4.18) k Todistus. Induktio n:n suhteen. Aluksi n = 0, 1. ( ) 0 = 0 ( ) 1 = 0 ( ) 1 = 1. (4.19) 1 33

Induktio-oletus: Väite tosi, kun n = l. Induktioaskel: Olkoon n = l + 1. Tällöin ( ) ( ) ( ) l + 1 l l = + k + 1 k + 1 k 1 k + 1 l, (4.20) missä induktio-oletuksen nojalla oikea puoli Z +, joten ( ) l + 1 Z + 1 k + 1 l. (4.21) k + 1 Lisäksi ( ) l + 1 = l + 1 ( ) l + 1 = 1. (4.22) 0 Tuloksen (4.18) nojalla (n k + 1)(n k + 2) (n 1)n k! Z +, (4.23) joten k! (n k + 1)(n k + 2) (n 1)n, (4.24) mistä saadaan. Lause 4.4. k! (m + 1)(m + 2) (m + k) k, m N. (4.25) Edelleen Lause 4.5. Olkoon p P, tällöin ( ) p p k 1 k p 1. (4.26) Todistus. Tuloksen (4.24) nojalla k! (p k + 1)(p k + 2) (p 1)p, (4.27) Koska p k!, niin (4.27) johtaa relaatioon k! (p k + 1) (p 1) = l k!, (4.28) 34

jollakin l Z. Siten ( ) p = k (p k + 1)(p k + 2) (p 1)p k! = (4.29) l p 0 (mod p). (4.30) 4.2 p-valuaatio kokonaisluvuille Tarkastellaan alkuluvun p esiintymistä kokonaisluvussa k (myöhemmin esitetään p-valuaation määritelmä rationaaliluvulle). Määritelmä 4.4. Olkoot p P, k Z {0}, r N ja p r k. (4.31) Tällöin asetetaan v p (k) = r. (4.32) Kertaa vielä, että p r k k = p r c, p c Z {0}. (4.33) Lause 4.6. Laskusääntöjä. Olkoon p P ja n, m Z {0}, tällöin v p (1) = 0; (4.34) v p (n) 0; (4.35) v p (nm) = v p (n) + v p (m); (4.36) v p (n!) = v p (1) + v p (2) +... + v p (n), n 1; (4.37) 35

n = p vp(n) = p vp(n) = p vp(n), n 1. (4.38) p n p n p P Määritelmä 4.5. Olkoot p P, k Z {0}, l Z +. Asetetaan tällöin w p l(k) = 1 jos p l k; (4.39) w p l(k) = 0 jos p l k. (4.40) Lause 4.7. Olkoot p P, k Z {0}, r N ja v p (k) = r. Tällöin v p (k) = Lause 4.8. Olkoot n Z + ja Tällöin A p = r w p i(k) = i=1 n i=1 p i w p i(k). (4.41) i=1, p P. (4.42) v p (n!) = A p. (4.43) p Ap n! p n!. (4.44) n! = p n p Ap. (4.45) Huomaa, että n/p i = 0, kun p i > n. Siten summat A p ovat äärellisiä. Todistus. Laskarit: Välillä [1, n] olevien luvulla p i jaollisten lukujen lkm= n #{k Z + 1 k n, p i k} =. (4.46) Toisaalta #{k Z + 1 k n, p i k} = w p i(1) + w p i(2) +... + w p i(n). (4.47) p i 36

Esimerkiksi 1,..., 1 p,..., 2 p,..., p p,..., n p,..., n (4.48) p missä pätee w p (1) = w p (2) =... = w p (p 1) = w p (p + 1) =... = 0 (4.49) w p (p) = w p (2p) =... = w p ( n p ) p = 1. (4.50) Siten w p (1) + w p (2) +... + w p (n) = n ; (4.51) p... missä n w p 2(1) + w p 2(2) +... + w p 2(n) = p 2 n w p r(1) + w p r(2) +... + w p r(n) = p r n < p r+1, p r ; (4.52), (4.53) n = 0. (4.54) p r+1 Lasketaan yhtälöt (4.51 4.53) puolittain yhteen, jolloin saadaan n n n v p (1) + v p (2) +... + v p (n) = + +... +. (4.55) p p 2 p r Siten Edelleen v p (n!) = n = A p, p P. (4.56) i=1 p i n! = p n p vp(n!). (4.57) Lauseen 4.3 II todistus. Kertomien alkutekijäkehitelmien nojalla n! k!(n k)! = p n p Bp, (4.58) 37

missä Tuloksen (2.6) B p = n k n k. (4.59) i=1 p i p i p i a + b a + b (4.60) avulla saadaan k n k + p i p i k p + n i p k = i p i n p i. (4.61) Siten B p N ja p Bp Z +, (4.62) p n joka identiteetin (4.58) kanssa todistaa, että ( ) n Z + 0 k n N. k 4.3 Binomisarja, Binomikehitelmä Sarjaa (1 + t) a = sanotaan Binomisarjaksi. Olkoon a = n N, jolloin (1 + t) n = ( ) a t k, a C (4.63) k n ( ) n t k. (4.64) k Asetetaan t = A/B, jolloin yhtälöstä (4.64) saadaan Binomikehitelmä: (A + B) n = k+l=n 0 k,l n n ( ) n A k B n k = (4.65) k n! k!l! Ak B l. (4.66) 38

Kun, a = 1 ja t = x, niin saadaan Geometrinen sarja: 1 1 x = x k. (4.67) Ja yleisemmin, jos a = n Z ja t = x, niin identiteetin (4.14) nojalla. 1 (1 x) = n ( n + k 1 k ) x k (4.68) 39

5 Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) 5.1 Perusteita Olkoon p P. Jokaisella a/b Q on yksikäsitteinen esitys Asetetaan nyt a b = pr c d, c Z, d Z+, c d, p cd, r Z. (5.1) Määritelmä 5.1. Rationaaliluku a/b (osoittaja) on p:llä jaollinen eli p a b r 1. (5.2) Edelleen Esimerkki 17. Esimerkki 18. a b 0 (mod p) p a b 5 20 3 20 3 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 = 50 4! (5.3) 0 (mod 5). (5.4) 0 (mod 5). (5.5) Laajennetaan Määritelmä 5.1 vapaastivalittavalle modulukselle n Z 2. Määritelmä 5.2. Olkoon n Z 2 annettu ja olkoon rationaaliluvun a/b Q alkutekijäesitys a b = ±pr 1 1 p r k k q v 1 1 q v l l ; (5.6) missä q j / {p 1,..., p k }. Jos p i, q j P r i Z +, v i Z, (5.7) n = p s 1 1 p s k k, s i N, (5.8) 40

ja 0 s i r i i = 1,..., k, (5.9) niin n a b (5.10) ja sanotaan, että n jakaa rationaaliluvun a/b (osoittajan). Huom 8. Käytetään myös merkintää jolloin a n b Q a n b, (5.11) Q n b, n a. (5.12) Z Määritelmä 5.3. Olkoon n Z 2 annettu ja a/b, c/d Q. Jos niin n a b c d, (5.13) a b c d (mod n) (5.14) ja sanotaan, että luvut a/b ja c/d ovat kongruentteja (mod n). Huom 9. a b 0 (mod n) a 0 (mod n), b 0 (mod n). (5.15) Lause 5.1. Olkoot n Z 2 ja a/b, c/d Q sekä polynomi P (x) Q[x]. Tällöin, jos niin a b c d mikäli kongruenssi (5.17) on määritelty. (mod n), (5.16) P ( a b ) P ( c ) (mod n), (5.17) d 41

Lause 5.2. Olkoot n Z 2 ja a/b, c/d Q sekä rationaalifunktio R(x) Q(x). Tällöin, jos niin a b c d mikäli kongruenssi (5.19) on määritelty. Todistus. (mod n), (5.18) R( a b ) R( c ) (mod n), (5.19) d Esimerkki 19. 20 3 = 22 5 1 3 1 0 (mod 2 5); (5.20) missä p 1 = 2, p 2 = 5, q 1 = 3 ja r 1 = 2, r 2 = 1, v 1 = 1. Esimerkki 20. Esimerkki 21. 20 3 0 (mod 20), (5.21) 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 = 50 4! 0 (mod 52 ). (5.22) 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 25 7 Esimerkki 22. Olkoon p P, p = 5, tällöin (mod 5 3 ). (5.23) 1 p + 5 1 5 (mod p). (5.24) Huomaa, että kongruenssi (5.24) ei ole määritelty (mod 5). Esimerkki 23. Olkoon p P, tällöin (2p 1)(2p 2) (p + 2)(p + 1) (p 1)(p 2) 2 1 = (p 1)! (mod p), (5.25) 42

joten ( ) 2p 2 (mod p). (5.26) p Lause 5.3. Kongruenssi (mod n) on ekvivalenssirelaatio joukossa { c d Q d n}. Määritelmä 5.4. Olkoot n Z 2 ja a/b Q annettu ja n b. Tällöin a/b = { c d Q c d a b on edustajan a/b määräämä jakojäännösluokka (mod n)} (5.27) (mod n) ja Q n = {a/b a/b Q, n b}. (5.28) Asetetaan vielä laskutoimitukset (binary operations) x + y = x + y, x y = xy (5.29) aina, kun x, y Q n. Lause 5.4. a) Laskutoimitukset { + : Q n Q n Q n, (5.30) ovat hyvinmääriteltyjä (well defined) eli binäärioperaatiot ovat funktioita. b). Nolla-alkio (zero) on 0 = { ln l, d Z, d n} (5.31) d ja vasta-alkio x = x x Q n. (5.32) c). Ykkösalkio (unity) 1 = { d + ln l, d Z, d n} (5.33) d 43

ja käänteisalkio (inverse) x 1 = x 1 x, x 1 Q n. (5.34) d) Kolmikko (Q n, +, ) muodostaa ykkösellisen kommutatiivisen renkaan. Lause 5.5. Olkoon n Z 2. Tällöin kuvaus F (a/b) = a ( b ) 1 (5.35) F : Q n Z n (5.36) on rengasisomorfia eli Q n = Zn. Todistusta EI kysytä kokeessa. Todistus: Laskemalla saadaan 1) F ( a b + c ) = F d ( ) ad + bc = bd ad + bc ( bd ) 1 = (ad + bc) ( b ) 1 ( d ) 1 = a ( b ) 1 + c ( d ) 1 = F ( ) a + F b joten F on ryhmien (Q n, +) ja (Z n, +) välinen homomorfia. ( ) c, (5.37) d 2) F ( a b c ) = F d ( ) ac = bd ac ( bd ) 1 = a ( b ) 1 c ( d ) 1 = F ( ) a F b ( ) c. (5.38) d 44

3) F ( 1 ) = F ( ) 1 = 1 ( 1 ) 1 = 1. (5.39) 1 Kohtien 1),2) ja 3) nojalla F : Q n Z n on rengasmorfismi. 4) Asetetaan nyt joten F ( ) a = 0, (5.40) b Kerrotaan 5.41 puolittain alkiolla b, jolloin saadaan a ( b ) 1 = 0. (5.41) a ( b ) 1 b = 0 b a = 0. (5.42) Siten F : Q n Z n on injektio. 5) Olkoon vielä k Z n. Tällöin, jos valitaan a = k, b = 1, niin F ( ) a = F b Siispä F : Q n Z n on surjektio. Kohtien 4) ja 5) nojalla on bijektio ja edelleen rengasisomorfia. ( ) k = k ( 1 ) 1 = k. (5.43) 1 F : Q n Z n Siten Q n ja Z n voidaan samaistaa, jolloin merkitään Q n a/b = ab 1 Z n. (5.44) ESIM: Lasketaan 2/3 renkaassa Q 7. Aluksi saadaan 2 3 2 + l 7 3 (mod 7) l Z. (5.45) 45

Valitaan l = 4, jolloin 2 3 2 + 4 7 3 = 10 3 (mod 7). (5.46) Täten Toisaalta Z 7 :ssa. 2/3 = 3. (5.47) 2 3 1 = 2 5 = 10 = 3. (5.48) Lemma 5.1. Olkoon G ryhmä ja a G. Tällöin kuvaukset ι : G G, ι(x) = x 1 (5.49) ja τ : G G, τ(x) = ax (5.50) ovat bijektioita. Todistus: Asetetaan ι(x 1 ) = ι(x 2 ) x 1 1 = x 1 2, (5.51) josta saadaan x 1 = x 2. Siten ι on injektio. Olkoon sitten y G annettu. Valitaan nyt x = y 1, jolloin ι(x) = ι(y 1 ) = (y 1 ) 1 = y. (5.52) Täten ι on surjektio ja edelleen bijektio. Seuraus: Olkoon H = {a 1,..., a m } (5.53) äärellinen ryhmä. Tällöin ι(h) = H eli {a 1 1,..., a 1 m } = {a 1,..., a m }. (5.54) 46

ESIM: Olkoon H = Z 11, missä 1 1 = 1, 2 1 = 6, 3 1 = 4,, 4 1 = 3, 5 1 = 9, 6 1 = 2, 7 1 = 8, 8 1 = 7, 9 1 = 5, 10 1 = 10. (5.55) Tällöin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = 1 2 2 1 3 3 1 5 5 1 7 7 1 10 = 1. (5.56) Lause 5.6. WILSONIN LAUSE: Olkoon p P. Tällöin (p 1)! 1 (mod p). (5.57) 1. Välikokeen alue tähän asti. Lause 5.7. Olkoot p P 3. Tällöin 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 p 1 Todistus. Lemman 5.1 nojalla ι(z p) = Z p eli 0 (mod p). (5.58) {1 1,..., p 1 1 } = {1,..., p 1}. (5.59) Täten p 1 p 1 a 1 = b, (5.60) a=1 b=1 Seuraavassa käytetään samaistusta (5.44). Yhtälön V.P. (vasen puoli)= 1/1 + 1/2 +... + 1/p 1 = 47

1 + 1/2 +... + 1/(p 1) = 1 + 1/2 +... + 1/(p 1). (5.61) Toisaalta Yhtälön O.P. (oikea puoli)= 1 +... + p 1 = 1 + 2 +... + p 1 = p(p 1)/2 = 0, (5.62) missä p p(p 1)/2, sillä p 3. Ekvivalenssiluokkien (5.61) ja (5.62) identtisyydestä seuraa edustajien välinen kongruenssi (5.58). Lause 5.8. EULER-FERMAT: Olkoot a Z, m Z 2 annettu ja a m. Tällöin a φ(m) 1 (mod m). (5.63) Todistus. Asetetaan τ(x) = a x. Koska a Z m, niin Lemman 5.1 nojalla τ(z m) = Z m eli {a a 1,..., a a φ(m) } = {a 1,..., a φ(m) }. (5.64) Siten eli josta a a 1 a a φ(m) = a 1 a φ(m) (5.65) a φ(m) a 1 a φ(m) = a 1 a φ(m), (5.66) a φ(m) = 1. (5.67) SEURAUS: Lause 5.9. FERMAT N PIKKULAUSE: Olkoot a Z, p P annettu ja p a. Tällöin a p 1 1 (mod p). (5.68) Todistetaan seuraavaksi eräs Wilsonin lauseen yleistys. 48

Lause 5.10. Olkoot p P 3 ja r Z +. Tällöin Todistus. Olkoon a Z p r p r 1 k=1,p k k 1 (mod p r ). (5.69) oma käänteisalkionsa eli a = a 1 a 2 = 1. (5.70) Siten josta a 2 1 = 0, (5.71) (a 1)(a + 1) = l p r, (5.72) jollakin l Z. Välttämättä p a 1 tai p a + 1. (5.73) Jos niin p a 1 ja p a + 1, (5.74) p 2a p a. (5.75) Mutta a p, joten joudutaan ristiriitaan. Tarkastellaan siis tapaukset 1.) p a 1 ja p a + 1 (5.76) ja 2.) p a 1 ja p a + 1. (5.77) Tapaus 1. Yhtälön (5.72) nojalla p r a 1 a = 1. (5.78) 49

Tapaus 2. Yhtälön (5.72) nojalla Siten a Z p r p r a + 1 a = 1. (5.79) on oma käänteisalkionsa täsmälleen silloin, kun a = ±1. Edelleen Z pr = {1, 1} B, (5.80) missä joukon B = {b 1,..., b m }, m = φ(p r ) 2, (5.81) alkioille pätee 1 b i = bi, i = 1,..., m. (5.82) Täten B = {c 1,..., c m/2, c 1 1,..., c 1 m/2 } (5.83) ja siten a Z p r a = 1( 1)c 1 c 1 1 c m/2 c m/2 1 = 1. (5.84) ESIM: 3 2 = p r. Jolloin 1 2 4 5 7 8 1 (mod 3 2 ). (5.85) 5.2 Wolstenholmen lause Lause 5.11. WOLSTENHOLMEN LAUSE: Olkoon p P 5. Tällöin (Tätä todistusta EI kysytä kokeessa.) Todistus, I tapa: Tarkastellaan polynomia 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 p 1 0 (mod p2 ). (5.86) G(x) = (x 1)(x 2) (x (p 1)) Z[x]. (5.87) 50

Aukaistaan tulo, jolloin G(x) = x p 1 W p 2 x p 2 + W p 3 x p 3... missä W i Z. Välittömästi saadaan +W 2 x 2 W 1 x + W 0, (5.88) x(x 1)(x 2) (x (p 1)) = x p W p 2 x p 1 + W p 3 x p 2 W p 4 x p 3 +... johon sijoitetaan x = y 1 ja siten +W 2 x 3 W 1 x 2 + W 0 x, (5.89) (y 1)(y 2) (y (p 1))(y p) = (y 1) p W p 2 (y 1) p 1 + W p 3 (y 1) p 2 W p 4 (y 1) p 3 +... Yhtälössä (5.90) V.P.= +W 2 (y 1) 3 W 1 (y 1) 2 + W 0 (y 1). (5.90) (y p)g(y) = (y p)(y p 1 W p 2 y p 2 + W p 3 y p 3... +W 2 y 2 W 1 y + W 0 ) = y p (p + W p 2 )y p 1 + (pw p 2 + W p 3 )y p 2 (pw p 3 + W p 4 )y p 3 +... (pw 2 + W 1 )y 2 + (pw 1 + W 0 )y pw 0. (5.91) 51

Toisaalta yhtälön (5.90) O.P.= ( ) ( ) ( ) p p p 1 y p ( + W p 2 )y p 1 + ( + W p 2 + W p 3 )y p 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) p p 1 p 2 ( + W p 2 + W p 3 + W p 4 )y p 3 3 2 1 ( ) ( ) ( ) p p 1 2 +... + ( + W p 2 +... + W 1 + W 0 )y p 1 p 2 1 (1 + W p 2 +... + W 1 + W 0 ). (5.92) Verrataan seuraavaksi vastinpotenssien kertoimia yhtälöissä (5.91) ja (5.92), jolloin y p : 1 = 1, (5.93) y p 1 : p + W p 2 = ( ) p + W p 2, (5.94) 1 y p 2 : pw p 2 + W p 3 = (5.95) ( ) ( ) p p 1 + W p 2 + W p 3, 2 1... y p 3 : pw p 3 + W p 4 = (5.96) ( ) ( ) ( ) p p 1 p 2 + W p 2 + W p 3 + W p 4, 3 2 1 y 1 : pw 1 + W 0 = (5.97) ( ) ( ) ( ) p p 1 2 + W p 2 +... + W 1 + W 0, p 1 p 2 1 52

y 0 : pw 0 = 1 + W p 2 +... + W 1 + W 0. (5.98) Kaksi ensimmäistä ovat triviaali-identiteettejä mutta seuraavista saadaan palautuskaavat: 3W p 4 = (p 2)W 1 = 2W p 3 = ( ) p + 4 ( ) p + p 1 W p 2 = ( ) p + 3 ( p 1 3 ( ) p, (5.99) 2 ( p 1 2 ) W p 2 + ) W p 2, (5.100) ( p 2 2 ( ) p 1 W p 2 +... + p 2 ) W p 3,... (5.101) ( ) 3 W 2, (5.102) 2 (p 1)W 0 = 1 + W p 2 +... + W 1. (5.103) Huomaa, että nämä yhtälöt ovat muotoa ( ) p jw p j 1 = +... j + 1 1 j p 1. (5.104) Käytetään tulosta (4.26), jolloin ( ) p p 2 (5.105) ja siten Seuraavaksi joten j = 1. p W p 2. (5.106) ( ) p p 3 ja p W p 2, (5.107) j = 2. p W p 3. (5.108) 53

Edelleen joten... Siten ( ) p p, 4 p W p 2 ja p W p 3, (5.109) j = 3. p W p 4. (5.110) j = p 2. p W 1. (5.111) p W 1, W 2,..., W p 2, (5.112) josta tuloksen (5.103) kanssa seuraa j = p 1. (p 1)W 0 1 (mod p) (5.113) eli Mutta W 0 1 (mod p). (5.114) W 0 = (p 1)!, (5.115) joten saadaan II todistus Wilsonin lauseelle. Sijoitetaan nyt x = p yhtälöön josta saadaan p 1 p 1 G(x) = (x j) = ( 1) i W i x i, W p 1 = 1, (5.116) j=1 i=0 W 1 = W 2 p W 3 p 2... + p p 2. (5.117) Koska p 5, niin p W 2 ja siten p 2 W 1. (5.118) Toisaalta W 1 = p 1 p 1 j=1 i=1,i =j i = 54

2 3 (p 1) + 1 3 4 (p 1) +... +1 2 (p 3) (p 1) + 1 2 (p 2) = Siten ( (p 1)! 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 ). (5.119) p 1 p 2 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 p 1 (5.120) II todistus Fermat n pikkulauseelle. Olkoot p P, a Z ja p a. Tällöin a j (mod p), (5.121) jollakin j = 1, 2,..., p 1. Sijoitetaan x = a yhtälöön (5.116), jolloin a p 1 W p 2 a p 2 + W p 3 a p 3... + W 2 a 2 W 1 a + W 0 0 (mod p), (5.122) missä Siten W p 2,..., W 1 0 (mod p). (5.123) a p 1 W 0 (p 1)! 1 (mod p). (5.124) 5.3 (p 1)! ja a p 1 (mod p 2 ) Tiedetään, että (p 1)! 1 (mod p 2 ), (5.125) kun p = 5, 13, 563,... (Wilsonin alkulukuja) ja a p 1 1 (mod p 2 ), (5.126) 55

kun p = 1093, 3511,... Mutta yleisellä tasolla kohtien (5.125) ja (5.126) jakojäännöksien (mod p 2 ) käyttäytymistä ei tunneta. Ehdon (5.126) tutkiminen on ollut tärkeää liittyen Fermat n suuren lauseen todistusyrityksiin, sillä jos p P 3 ja 2 p 1 1 (mod p 2 ), (5.127) niin x p + y p = z p x, y, z Z +. (5.128) Tosin Andre Wiles [Annals of Mathematics 141 (1994)] on todistanut, että (5.128) pätee ilman lisäoletusta (5.127). Wilesin todistus perustuu mm. elliptisten käyrien ominaisuuksiin. Olkoon p P 3, tällöin Pikku Fermat n nojalla tiedetään, että 2 p 1 1 = l p, (5.129) jollakin l Z, joten on luonnollista tutkia Fermat n osamääriä q p (2) = 2p 1 1 p Lause 5.12. Olkoon p P 3. Tällöin Z. (5.130) q p (2) = 2p 1 1 p 1 + 1 3 + 1 5 +... + 1 p 2 (mod p). (5.131) Huomaa, että (5.131) on yhtäpitävää ehdon ( 2 p 1 1 + p 1 + 1 3 + 1 5 +... + 1 ) p 2 kanssa. i=0 i=1 (mod p 2 ) (5.132) Todistus. Aluksi binomikaavalla saadaan p ( ) p 1 p ( ) p 2 p = = 2 +, (5.133) i i 56

jossa tuloksen (4.26) nojalla jollakin h i Z aina, kun i = 1,..., p 1. Edelleen eli h i = ( ) p = ph i, (5.134) i (p 1)(p 2) (p i + 1) i! ( 1) i 1 (i 1)! i! h i = ( 1)i 1 i = ( 1)i 1 i (mod p) (5.135) + m i p, (5.136) jollakin m i = a/b Q, p b. Siten (5.134) ja (5.136) antavat ( ) ( ) p ( 1) i 1 = p + m i p ( 1) i 1 p (mod p 2 ). (5.137) i i i Yhtälöiden (5.133) ja (5.137) nojalla ( 2 p 2 + p 1 1 2 + 1 3... + 1 p 2 1 ) p 1 (mod p 2 ). (5.138) Toisaalta 1 1 2 + 1 3... + 1 p 2 1 p 1 = ( 2 1 + 1 3 + 1 5 +... + 1 ) p 2 ( 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 p 2 + 1 ) p 1 ( 2 1 + 1 3 + 1 5 +... + 1 ) p 2 (mod p 2 ) (5.139) tuloksen (5.86) nojalla. Yhdistämällä (5.138) ja (5.139) saadaan ( 2 p 2 + 2p 1 + 1 3 + 1 5 +... + 1 ) (mod p 2 ), (5.140) p 2 missä p 2, joten (5.132) seuraa. 57

Esimerkki 24. Olkoon p = 7. Nyt 2 p 1 = 2 6 = 1 + 63 = 1 + 7 9 (5.141) ( 1 + 7 1 + 1 3 + 1 ) 5 (mod 7 2 ). (5.142) Huomaa, että 1/3 = 5 ja 1/5 = 3 (mod 7). 6 Polynomien kongruenssi Määritelmä 6.1. Olkoot n Z 2 ja P (x) = n p k x k Q[x], jolloin asetetaan n Q(x) = q k x k Q[x], P (x) Q(x) (mod n) p k q k (mod n) k = 0, 1,..., n. (6.1) Seuraavassa käytetään jakojäännösluokkia a Z n. Huomaa, että kun p P, niin Z p on kunta. Määritelmä 6.2. Olkoon n Z 2 ja a(x) = a 0 + a 1 x +... + a d x d Z[x]. Kuvaus r n (a 0 + a 1 x +... + a d x d ) = a 0 + a 1 x +... + a d x d (6.2) r n : Z[x] Z n [x], r n (a(x)) = a(x), on reduktio (mod n). 58

Lause 6.1. Reduktio r n : Z[x] Z n [x], r n (a(x)) = a(x), on rengasmorfismi. Lause 6.2. a 0 +... + a d x d = b 0 +... + b d x d (6.3) a 0 +... + a d x d b 0 +... + b d x d (mod n) (6.4) Lause 6.3. WOLSTENHOLMEN LAUSE: Olkoon p P 5. Tällöin 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 p 1 0 (mod p2 ). (6.5) Todistus. II tapa. Nojautuu Fermat n pikkulauseeseen 5.9. Tarkastellaan polynomeja G(x) = (x 1)(x 2) (x (p 1)) Z[x]; (6.6) F (x) = x p 1 1 Z[x] (6.7) ja niiden reduktioita (mod p) G(x), F (x) Z p [x]. (6.8) Välittömästi G(j) = 0, j = 1, 2,..., p 1; (6.9) F (j) 5.9 = 0, j = 1, 2,..., p 1. (6.10) Koska polynomirenkaassa Z p [x] ei-vakiopolynomilla on korkeintaan asteen verran nollakohtia, niin Lauseen 12.4 nojalla saadaan polynomien identtisyys G(x) = F (x). (6.11) 59

Kirjoitetaan jolloin p 1 p 1 G(x) = (x j) = ( 1) i W i x i, W p 1 = 1, (6.12) j=1 i=0 x p 1 W p 2 x p 2 + W p 3 x p 3... +W 2 x 2 W 1 x + W 0 x p 1 1 (mod p). (6.13) eli W k 0 (mod p), k = 1, 2,..., p 2, W 0 1 (mod p). (6.14) Sijoitetaan nyt x = p yhtälöön (6.12), jolloin Tällöin saadaan p 1 p 1 (p j) = ( 1) i W i p i. (6.15) j=1 i=0 W 1 = W 2 p W 3 p 2... + p p 2. (6.16) Koska p 5, niin p W 2 ja siten p 2 W 1. (6.17) Toisaalta W 1 = p 1 p 1 j=1 i=1,i =j i = 2 3 (p 1) + 1 3 4 (p 1) +... +1 2 (p 3) (p 1) + 1 2 (p 2) = Siten ( (p 1)! 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 ). (6.18) p 1 p 2 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 p 1 (6.19) 60

Lause 6.4. Olkoon p P, tällöin polynomirenkaassa Q[x]. (x + 1) p x p + 1 (mod p). (6.20) Todistus. Binomisarjan ja Lauseen 4.5 nojalla p ( ) p (x + 1) p = x k (6.21) k x p + 0 x p 1 + 0 x p 2 +... + 0 x + 1 = x p + 1 (mod p). Lause 6.5. Olkoot n Z 2 ja f(x), g(x), h(x) Q[x] ja g(x) h(x) (mod n). (6.22) Tällöin f(g(x)) f(h(x)) (mod n). (6.23) Lause 6.6. Olkoot p P ja r N. Tällöin (x + 1) pr x pr + 1 (mod p). (6.24) polynomirenkaassa Q[x]. Todistus. Induktiolla. r = 1. Lause 6.4. Induktioaskeleessa lasketaan V.P.= (x + 1) pr+1 = ((x + 1) pr ) p (x pr + 1) p (6.25) (x pr ) p + 1 = x pr+1 + 1 (mod p) (6.26) =O.P. Kohdassa (6.25) sovellettiin induktio-oletusta ja Lausetta 6.5 sekä kohdassa (6.25) Lausetta 6.4. Seurauksena saadaan 61

Lause 6.7. Olkoot p P ja r Z +. Tällöin ( ) p r 0 (mod p) k = 1,..., p r 1. (6.27) k Lause 6.6 voidaan yleistää kahdenmuuttujan polynomeille. Lause 6.8. Olkoot p P ja r N. Tällöin (x + y) pr x pr + y pr (mod p) (6.28) polynomirenkaassa Q[x, y]. Ja edelleen useanmuuttujan tapaukseen. Lause 6.9. Olkoot p P ja r N. Tällöin (x 1 +... + x m ) pr x pr 1 +... + x pr m (mod p) (6.29) polynomirenkaassa Q[x 1,..., x m ]. 6.1 Sovelluksia lukujen kongruensseihin Määritelmä 6.3. Rationaaliluku A = a/b Q on supistetussa muodossa, kun a b. Edelleen, den(a) = b on A:n nimittäjä. Määritelmä 6.4. Olkoon p P ja A = a b = c pr, p cd. (6.30) d Tällöin asetetaan v p (A) = r, (6.31) joka on luvun A eksponentiaalinen p-valuaatio. Siten, jos v p (A) 0, niin p b ja jos p A, niin p b. Sovelletaan Lausetta 6.9 antamalle muuttujille rationaalilukuarvot. 62

Lause 6.10. Olkoot p P, r N ja A i Q, v p (A i ) 0 aina, kun i = 1,..., m. Tällöin (A 1 +... + A m ) pr A pr 1 +... + A pr m (mod p). (6.32) Huomaa, että (6.32) on Pikku-Fermat n yleistys. Olkoot p P ja n N. Tiedetään, että p-kantakehitelmä n = i 0 n i p i, 0 n i p 1 (6.33) on yksikäsitteinen. Lause 6.11. LUCASIN (BINOMIKERROIN)LAUSE. Olkoot p P, n, k N sekä n = i 0 n i p i, k = i 0 k i p i, 0 k i, n i p 1. (6.34) Tällöin ( ) n k i 0 ( ni k i ) (mod p). (6.35) Todistusta EI kysytä kokeessa. Todistus: Aluksi huomataan, että (1 + x) n = (1 + x) n 0 (1 + x) pn 1 (1 + x) p2 n 2 (1 + x) n 0 (1 + x p ) n 1 (1 + x p2 ) n 2 (mod p) (6.36) Lauseen 6.6 nojalla. Sama binomikehitelmillä n 0 ( n0 i 0 =0 i 0 ) x i 0 n n 1 ( n1 i 1 =0 i 1 ( ) n x k k ) x pi 1 n 2 ( n2 i 2 =0 i 2 ) x p2 i 2 = 63

p 1 ( n0 i 0 =0 i 0 ) x i 0 0 j 0 i j p 1 p 1 ( n1 ) x pi 1 i i 1 =0 1 i 2 =0 ( )( )( n0 n1 n2 i 0 i 1 p 1 ( n2 i 2 i 2 ) x p2 i 2 = ) x i 0+i 1 p+i 2 p 2 +... (mod p). (6.37) Tutkitaan V.P. polynomin termiä x k ja sen O.P. polynomin vastintermiä x i 0+i 1 p+i 2 p 2 +..., joka saadaan, kun k = k 0 + k 1 p + k 2 p 2 +... = i 0 + i 1 p + i 2 p 2 +... (6.38) Luvun k yksikäsitteisen p-kantaesityksen nojalla havaitaan, että i 0 = k 0, i 1 = k 1,.... Täten vertaamalla kongruenssin (6.37) V.P. ja O.P. termejä x k, saadaan kongruenssi ( ) n ( ) ni (mod p). (6.39) k k i 0 i Esimerkki 25. p = 7, n = 11 = 4 + 1 7, k = 5 = 5 + 0 7, joten Esimerkki 26. ( ) 11 5 ( )( n0 n1 k 0 k 1 ) = ( 4 5 )( ) 1 = 0 1 = 0 (mod 7). (6.40) 0 ( ) 3 100 + 2 3 10 + 2 2 (mod 3) (6.41) 3 10 + 2 7 Summausmenetelmiä 7.1 Polynomialgebran sovelluksia ESIM: Lähdetään identiteetistä (1 + x) n (1 + x) m = (1 + x) n+m, (7.1) 64

josta n j=0 ( ) n x j j Caychyn kertosäännöllä ( n+m josta j+l=k m l=0 ( )( n m j l j+l=k,0 j,l k ( ) m x l = l ) ) x k = ( )( ) n m j l Edelleen, asettamalla n = m = k, saadaan m j=0 ( )( ) n m = j m j ( ) 2m ; m n+m n+m ( n + m k ( n + m k ( ) n + m = k m j=0 ( ) 2 m = j ) x k. (7.2) ) x k, (7.3) (7.4) ( ) 2m. (7.5) m 7.2 Teleskoopit Teleskooppisumma ja teleskooppitulo n (a i+1 a i ) = a n+1 a 0 (7.6) i=0 n i=0 a i+1 a i = a n+1 a 0 (7.7) soveltuvat hyvin muunmuassa seuraavantyyppisten tulosten johtamiseen. n k = n(n + 1) 2 (7.8) n k 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 (7.9) n ( ) 2 n(n + 1) k 3 = (7.10) 2 65

n (2k + 1) = (n + 1) 2 (7.11) Johdetaan (7.11) valitsemalla a k = k 2 ja lähtemällä identiteetistä a k+1 a k = (k + 1) 2 k 2 = 2k + 1. (7.12) Otetaan summat (7.12) molemminpuolin, jolloin n (2k + 1) = n (a k+1 a k ) = a n+1 a 0 = (n + 1) 2. (7.13) Johdetaan vielä lähtemällä erotuksesta j=0 j 1 j! = 0 (7.14) 1 k! 1 (k + 1)! = Summataan (7.15) puolittain, jolloin saadaan n ( ) 1 k! 1 = (k + 1)! k (k + 1)!. (7.15) n k (k + 1)!. (7.16) Yhtälön (7.16)vasemmanpuolen summassa on teleskooppi ja siten n k (k + 1)! = 1 1 (n + 1)!, (7.17) josta raja-arvona saadaan eli (7.14). k (k + 1)! = 1 (7.18) 66

8 Fibonaccin ja Lucasin luvut 8.1 Rekursio ja Binet n kaava Määritelmä 8.1. Luvut f 0 = 0, f 1 = 1 ja palautuskaava (eli rekursio) f n+2 = f n+1 + f n, n N, (8.1) muodostavat Fibonaccin luvut ja luvut l 0 = 2, l 1 = 1 sekä palautuskaava l n+2 = l n+1 + l n, n N, (8.2) muodostavat Lucasin luvut. Siten Fibonaccin lukuja ovat f 0 = 0, f 1 = 1, f 2 = 1, f 3 = 2, f 4 = 3, f 5 = 5, f 6 = 8, f 7 = 13,... (8.3) ja Lucasin lukuja ovat l 0 = 2, l 1 = 1, l 2 = 3, l 3 = 4, l 4 = 7, l 5 = 11, l 6 = 18, l 7 = 29,... (8.4) Ratkaistaan rekursio yritteellä v n+2 = v n+1 + v n, n N, (8.5) v n = x n, x C. (8.6) Rekursiosta (8.5) saadaan x n+2 = x n+1 + x n x 2 x 1 = 0, (8.7) jonka ratkaisut ovat α = 1 + 5 2, β = 1 5. (8.8) 2 67

Lause 8.1. Olkoot a, b C. Tällöin F n = aα n + bβ n (8.9) on rekursion (8.5) ratkaisu. Todistus. Suoraan laskemalla saadaan F n+2 = aα n+2 + bβ n+2 = a(α n+1 + α n ) + b(β n+1 + β n ) = aα n+1 + bβ n+1 + aα n + bβ n = F n+1 + F n. (8.10) Siten Fibonaccin luvut ovat muotoa f n = aα n + bβ n, (8.11) mistä saadaan f 0 = aα 0 + bβ 0, f 1 = aα 1 + bβ 1. (8.12) Sijoitetaan alkuarvot f 0 = 0 ja f 1 = 1 yhtälöön (8.12), josta a + b = 0, a 1 + 5 2 + b 1 5 2 = 1 (8.13) ja siten a = 1/ 5 ja b = 1/ 5. Vastaavasti Lucasin luvuille ja siten saadaan. Lause 8.2. Fibonaccin ja Lucasin luvut voidaan esittää Binet n kaavoilla (( ) f n = 1 n ( ) n ) 5 l n = ( 1 + 5 2 1 5 2, (8.14) 1 + ) n ( 5 1 ) n 5 +. (8.15) 2 2 Siis f n = 1 5 (α n β n ), (8.16) 68

missä Huomaa, että Lause 8.3. Todistus. Suoraan laskemalla l n = (α n + β n ), (8.17) α = 1 + 5 2, β = 1 5. (8.18) 2 αβ = 1, α + β = 1, α β = 5. (8.19) f 2n f n l n = f 2n f n. (8.20) = α2n β 2n α n β n = αn + β n = l n. (8.21) HUOM: Rekursioilla saadaan tarkat arvot nopeasti (laskennallinen kompleksisuus), mutta eksplisiittisistä esityksistä (8.14) ja (8.15) saadaan likiarvo nopeasti. Lause 8.4. f 2k = f 2k+1 = α 2k 5 α 2k+1 5 k N, (8.22) k N. (8.23) Todistus. Aluksi haetaan likiarvot. Koska ja α 1 = α 1 = 0.6180..., niin Siten Tarkemmin laskareissa. α = 1 + 5 2 β = 1 5 2 = 1.6180..., (8.24) = 1 α = 0.6180... (8.25) β n / 5 < 1 n N. (8.26) 69

8.2 Matriisiesitys Olkoon Lasketaan potensseja F = 1 1 = f 2 f 1. (8.27) 1 0 f 1 f 0 F 2 = 2 1 = f 3 f 2, (8.28) 1 1 f 2 f 1 F 3 = 3 2 = f 4 f 3. (8.29) 2 1 f 3 f 2 Jolloin huomataan, että alkioiksi tulee Fibonaccin lukuja. Sovitaan vielä, että f 1 = 1, sillä tällöin pätee f 1 = f 0 + f 1. (8.30) Nyt Lause 8.5. Olkoon Tällöin F 0 = I = 1 0 = f 1 f 0. (8.31) 0 1 f 0 f 1 F n = f n+1 f n f n f n 1. (8.32) F n = F n n N. (8.33) Todistus. Induktiolla. Tapaukset n = 0 ja n = 1 kohdista (8.27) ja (8.31). Induktio-oletus: Identiteetti (8.33) pätee, kun n = k. Induktioaskel; Lasketaan F k+1 = F 1 F k = 1 1 f k+1 f k = (8.34) 1 0 f k f k 1 70

f k+1 + f k f k + f k 1 = f k+2 f k+1 f k f k+1 Lause 8.6. Olkoot n, m N, tällöin f k+1 f k = F k+1. (8.35) f n+m+1 = f n+1 f m+1 + f n f m, (8.36) f 2m+1 = f 2 m+1 + f 2 m, (8.37) Todistus. Sovelletaan identiteettiä f 2m = f m (f m+1 + f m 1 ). (8.38) F n+m = F n+m = F n F m = F n F m, (8.39) jolloin f n+1 f n+m+1 f n+m f n+m f n+m 1 f n f m+1 f n f n 1 f m f m 1 = (8.40) f m = (8.41) f n+1f m+1 + f n f m f n+1 f m + f n f m 1. (8.42) f n f m+1 + f n 1 f m f n f m + f n 1 f m 1 Vertaamalla matriisien (8.40) ja (8.42) vastinalkioita saadaan (8.36), josta edelleen saadaan (8.37) ja (8.38). Lause 8.7. Olkoon n N, tällöin f n+1 f n 1 f 2 n = ( 1) n. (8.43) 71

Todistus. Otetaan determinantit tuloksesta (8.33), jolloin n f n+1 f n = 1 1. (8.44) 1 0 f n f n 1 Lause 8.8. Olkoon n N, tällöin lukujen f n+2 ja f n+1 Eukleideen algoritmin pituus on n. Edelleen syt(f n+1, f n ) = 1. (8.45) Todistus. Olkoot a = f n+2 ja b = f n+1, jolloin r 0 = a, r 1 = b 0 r 1 < r 0 r 0 = q 1 r 1 + r 2 = 1 r 1 + r 2 0 r 2 < r 1 sillä f n+2 = 1 f n+1 + f n r 1 = q 2 r 2 + r 3 = 1 r 2 + r 3 0 r 3 < r 2 sillä f n+1 = 1 f n + f n 1. r k = q k+1 r k+1 + r k+2 = 1 r k+1 + r k+2 0 r k+2 < r k+1 sillä f n+2 k = 1 f n+1 k + f n k. r n 2 = q n 1 r n 1 + r n = 1 r n 1 + r n 1 = r n < r n 1 = 2 sillä f 4 = 1 f 3 + f 2 r n 1 = q n r n = 2 1 siten r n = syt(a, b) = 1. (8.46) Edelleen saadaan r n = s n a + t n b 1 = s n f n+2 + t n f n+1, (8.47) missä s n ja t n saadaan palautuskaavoista s k+2 = s k q k+1 s k+1 = s k s k+1, (8.48) 72

t k+2 = t k q k+1 t k+1 = t k t k+1 0 k n 2 (8.49) lähtien alkuarvoista s 0 = t 1 = 1, s 1 = t 0 = 0. ESIM: Olkoot n = 5, f 7 = 13, f 6 = 8, jolloin q 1 =... = q 4 = 1 ja q 5 = 2. Siten s 2 = 1, s 3 = 1, s 4 = 2, s 5 = 3,... t 5 = 5 ja 1 = ( 3) 13 + 5 8 = f 5 f 6 f 4 f 7. (8.50) Lause 8.9. Olkoon a, b Z + annettu, tällöin Eukleideen algoritmin pituudelle n pätee n log a/ log((1 + 5)/2)). (8.51) Eukleideen algoritmissa r 0 = a, r 1 = b 0 < r 1 < r 0 r 0 = q 1 r 1 + r 2 0 < r 2 < r 1. r k = q k+1 r k+1 + r k+2. r n 2 = q n 1 r n 1 + r n r n 1 = q n r n + 0 0 < r k+2 < r k+1 0 < r n < r n 1 osamäärien kokonaisosille pätee q k 1 kaikilla k. Täten r n 1 = f 2, (8.52) r n 1 2 = f 3, (8.53) r n 2 1 r n 1 + r n f 3 + f 2 = f 4. (8.54) 73

Edelleen induktiolla saadaan r n h f h+2 h = 0, 1,..., n (8.55) ja siten Epäyhtälön (8.56) todistus laskareissa. a = r 0 f n+2 ((1 + 5)/2) n. (8.56) 8.3 Generoiva sarja Olkoon F (z) = f k z k (8.57) sarja, jolle haetaan lauseke tunnettujen funktioiden avulla. Vaihdetaan aluksi summausindeksi k = n + 2, jolloin F (z) = f n+2 z n+2 + f 1 z + f 0. (8.58) n=0 Seuraavaksi käytetään rekursiota (8.1), jolloin F (z) = z z f n+1 z n+1 + z 2 n=0 f k z k + z 2 k=1 Yhtälöstä (8.59) saadaan ratkaisu n=0 f n z n + f 1 z + f 0 = f k z k + f 1 z + f 0 = z(f (z) f 0 ) + z 2 F (z) + z. (8.59) F (z) = z 1 z z 2. (8.60) 74

Lause 8.10. Sarjalla on esitys rationaalifunktiona Määritelmä 8.2. Sarja F (z) = F (z) = F (z) = f k z k (8.61) z 1 z z 2. (8.62) f k z k (8.63) on Fibonaccin lukujen generoiva sarja ja funktio F (z) = on Fibonaccin lukujen generoiva funktio. Määritelmä 8.3. Polynomi on rekursion (8.1) karakteristinen polynomi. z 1 z z 2 (8.64) K(x) = K f (x) = x 2 x 1 (8.65) Huomaa, että joten F (z) = K f (x) = (x α)(x β), (8.66) 1/z (1/z) 2 1/z 1 = 1/z K(1/z) = 1/z (1/z α)(1/z β) = z (1 αz)(1 βz). (8.67) Jaetaan (8.67) osamurtoihin ja käytetään geometrisen sarjan summakaavaa, jolloin F (z) = 1 ( 1 5 1 αz 1 ) = 1 βz 1 5 ( α k β k) z k = f k z k. (8.68) Vertaamalla sarjojen kertoimia saadaan jälleen Binet n esitys (8.14). 75

8.4 Laajennus negatiivisiin indekseihin/todistuksia EI kysytä kokeessa Lauseiden 8.11, 8.12, 8.13 ja 8.14 todistuksia ei vaadita kokeessa. Sallitaan Fibonaccin lukujen palautuskaavassa f k+2 = f k+1 + f k (8.69) negatiiviset indeksit, jolloin asettamalla k = 1, 2,..., saadaan f 1 = f 0 + f 1 f 1 = 1, (8.70) f 0 = f 1 + f 2 f 2 = 1, (8.71) Sijoitetaan k = n rekursioon (8.69), jolloin f 1 = f 2 + f 3 f 3 = 2,... (8.72) f n = f (n 1) + f (n 2). (8.73) Lause 8.11. f n = ( 1) n+1 f n n N. (8.74) Todistus. Induktiolla käyttäen rekursiota (8.73). Äskeisen tuloksen nojalla Lause 8.5 laajenee myös negatiiviselle puolelle. Lause 8.12. Olkoon Tällöin F n = f n+1 f n f n f n 1. (8.75) F n = F n n Z. (8.76) 76