Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 Korkeamman asteen derivaatat Tutkitaan nyt funktiota f, jonka kaikki derivaatat on olemassa. Kuten tunnettua, funktion toista derivaattaa pisteessä x merkitään f (x). Vastaavasti funktion n:ttä derivaattaa merkitään f (n) (x). Joskus funktion n:lle derivaatalle on mahdollista löytää eksplisiittinen kaava. Tämä kaava löydetään derivoimalla funktio aluksi muutamaan kertaan, minkä jälkeen n:nen derivaatan kaavan voi usein arvata. Tämä arvaus sitten todistetaan induktiolla, kuten alla olevassa esimerkissä: Esimerkki. Todistetaan induktiolla, että funktiolle e 0x pätee f (n) (x) = 0 n e 0x :. Väite pätee arvolla n =, koska f (x) = 0e 0x.. Oletetaan, että väite pätee arvolla n. Todistetaan induktiolla, että tällöin se pätee myös arvolla n+: Induktio-oletus on siis f n (x) = 0 n e 0x. Kun tämän derivoi kerran, saadaan f n+ (x) = 0 0 n e 0x = 0 n+ e 0x. Täten väite on tosi kaikilla n. Taylorin sarja Funktiota f voi approksimoida tietyn pisteen a ympäristössä astetta n olevalla polynomilla. Funktiolle f pisteeseen a tehty n:nen asteen Taylorin polynomi saa muodon: T (x) = f(a)+f (a)(x a)+f (a) (x a) +f (3) (x a)3 (a) + +f (n) (x a)n (a) 3! n! Tämä on siis n:nen asteen polynomi, jonka avulla funktiota f approksimoidaan pisteessä a. Funktion f derivaattojen arvoja pisteessä a siis käytetään
tämän polynomin kertoimina. Kun Taylorin polynomi on n:ttä astetta, sille pätee: T (a) = f(a) T (i) (a) = f (i) (a) kaikilla i n. Eli toisin sanottuna Taylorin polynomin hyvyys funktion f approksimaationa pisteen a ympäristössä perustuu siihen, että sen derivaatat T (i) (a) ja arvo T (a) yhtyvät tämän funktion derivaattoihin ja arvoon tässä pisteessä a. Huomaa, että ensimmäisen asteen Taylorin polynomi pisteessä a on funktion tangenttisuora. Usein Taylorin polynomin asteeksi valitaan n =, jolloin saadaan toisen asteen Taylorin polynomi, joka on siis paraabeli: Esimerkki. Muodostetaan funktion f(x) = /x toisen asteen Taylorin polynomi, kun a =. Tässä pisteessä: Täten haluttu Taylorin polynomi on f (x) = /x f () = f (x) = /x 3 f () = T (x) = f() + f ()(x ) + f (x ) () = (x ) + (x ) = (x ) + x x + = x 3x + 3. Kuvana tämä polynomi näyttää seuraavalta. Katkoviivana esitetty Taylorin polynomi approksimoi funktiota f(x) = /x hyvin pisteen (,) läheisyydessä, mutta huonosti heti kun mennään kauemmaksi tästä pisteestä:
.5 T (x) = x 3x + 3 0.5 f(x) = /x 0.5.5.5 3 3.5 Harjoitus. Muodosta funktion f(x) = /x kolmannen asteen Taylorin sarja pisteessä a =. Approksimoiko se funktiota f(x) = /x paremmin kuin toisen asteen Taylorin polynomi? Kun Taylorin sarjassa a = 0, puhutaan Maclaurinin sarjasta: T (x) = f(0) + f (0)x + f (0) x + f (3) (0) x3 3! + + f (n) (0) xn n! 3 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti f(b) f(a). Keskimääräinen muutos tällä välillä on siis f(b) f(a). b a Väliarvolause kertoo meille seuraavaa: välillä (a, b) on olemassa luku c, jossa funktion derivaatta f (c) kertaa välin pituus b a on yhtä kuin funktion muutos tällä välillä. Eli on olemassa c (a, b), jolla f(b) f(a) = f (c)(b a) f(b) f(a) b a = f (c). Eli jossain välin (a, b) pisteessä funktion muutosnopeus on yhtä suuri kuin funktion keskimääräinen muutosnopeus koko välillä. Kyseisen pisteen voi myös ratkaista, jos haluaa. 3
Esimerkki 3. Etsi piste c jossa f(b) f(a) = f (c)(b a), kun f(x) = x. Ratkaisu. Funktion derivaatta on x. Haluttu piste c löytyy ratkaisemalla yhtälö b a b a = c. Tästä saadaan c = (a+b)/. Eli funktio x kasvaa jokaisen välin keskipisteessä yhtä nopeaa kuin keskimäärin tällä välillä. Esimerkiksi välillä (0, ) tämä funktio kasvaa yhteensä f() f(0) = 4, eli keskimäärin 4/ =. Tämän välin keskipisteessä x = funktion f derivaatta on juurikin tämä : Graasesti tulkittuna väliarvolause kertoo, että jos funktion f välin (a, b) päätepisteet (a, f(a)) ja (b, f(b)) yhdistää suoralla viivalla, niin jossain välin (a, b) pisteessä tämän suoran kulmakerroin on yhtä kuin funktion f derivaatta. Toisin sanottu väliarvolause kertoo, että tätä suoraa voi siirtää siten, että siitä tulee funktion tangenttisuora jossain välin (a, b) pisteessä: 4 3 4 3 0 3 4 0 3 4 Esimerkki 4. Alla on kuvattu funktio f(x) = x välillä (0, 4). Tämän funktion keskimääräinen muutos tällä välillä on /. Toisaalta väliarvolauseen nojalla tiedämme, että tämän dunktion derivaatta on tällä välillä jossain pisteessä /. Tämä piste on x = : 4
f(x) = x 4 Väliarvolauseella voi arvioida funktion muutosta tietyllä välillä. Sillä voi antaa rajat funktion mahdolliselle muutokselle tietyllä välillä, kuten seuraava esimerkki osoittaa. Esimerkki 5. Funktion derivaatalle pätee f (x) kaikissa pisteissä x. Lisäksi tiedetään, että f(5) =. Kuinka suuri tai pieni voi f(0) olla? Ratkaisu. Väliarvolauseen mukaan jollekin c (5, 0) pätee f(0) f(5) = f (c)(0 5) eli f(0) = f(5) + f (c)(0 5) = f(5) + 5f (c) = + 5f (c). Nyt koska funktion derivaatta on rajoitettu, niin myös luku f(0) on rajoitettu: f (x) 5 5f (x) 0 6 + 5f (x) 6 f(0) 5
Täten f(0) voi olla korkeintaan ja se on vähintään 6. Alla olevassa kuvassa nämä rajat näkyvät katkoviivoina. Näistä ylempi katkoviiva antaa ylärajan funktion muutokselle, kun taas alempi katkoviiva antaa alarajan tälle muutokselle: (0,) 6 (0,6) (5,) 5 0 Harjoitus. Anna väliarvolauseen perusteella rajat arvolle f(), kun f(0) = ja 0 f (x). 6