MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon kanssa, joten =0/9 5 y 04y 6 alekkainlasku yhteen y 6 5 0 5y 0 6 9y 6 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) 9 6 08 6 08 4 08 6 6 9 9 9 9 9 6 ( ) 9 9 c) Toisinsanoen lasketaan parabelin nollakohdat: 4 0 Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta : ( 4) ( 4) 4 ( ) 4 8 4 4 7 4 7 4 7 7 Joten leikkauspisteet ovat siis 7 ja 7.. a) Leikkauspisteessä y:t yhtäsuuret, joten järjestellään suorat muotoon y=nön nön nöö: y : ( ) y ja y 7 Nyt 7 6 7 7 leikkauspisteen y koordinaatti : 46 46 49 y 7 7 7 7 7 7 7 7
Joten leikkauspiste on b) (, ) 7 7 7 ( ) 7 tan 7 7 ( ) tan 7 tan 8,87 c) Suora yleiseen muotoon: y 5 y 5 0 4 4y 0 0 4 4 Nyt suoran ja pisteen välisen etäisyyden kaavalla: 69 8 40 59 4 0 0 7 7 7 7 7 7 7 59 59 d ( ) ( 4) 9 6 5 5 7 5 5. a) Muutetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon, jotta nähdään keskipiste ja säde: y y 4 60 0 y y 4 60 4 ( 0) ( y ) 64 Joten säde on 8 ja kp: (0,). Nyt keskipisteen ja annetun pisteen (4,9) välinen etäisyys on: s (0 4) ( 9) 6 49 65 8,06 Etäisyys on suurempi kuin säde 8, joten piste on ympyrän ulkopuolella! 5 b) suoran yhtälö normaaliin muotoon: y 5 0 y 5 y Tätä vasten kohtisuoran suoran kulmakertoimen pitää toteuttaa yhtälö kk, joten k k ja tiedetään että suora kulkee pisteen (5,5) kautta: y5 ( 5) y 5 5 y 0 y 50 ( 00) 50 4. a) Janan AB suuntaisen suoran yhtälö: kulmakerroin = 00 50 450 Kulkee esim. pisteen (-00,-50) kautta, joten: y ( 50) ( ( 00)) y 50 00 y 50 Nyt tämän suhteen kohtisuorassa olevan suoran kulmakertoimen pitää toteuttaa yhtälö kk, joten ( ) k k ja kulkee pisteen c (00,00) kautta:
y00 ( 00) y 900 00 y 600 b) Pitää laskea a) kohdan kohtisuorien suorien, eli korkeusjanan ja janan AB leikkauspiste: 50 600 750 9 800 0 050 05 Jos =05, y 600 75 600 85 => leikkauspiste: (05, -85) Korkeusjanan pituus, eli kahden pisteen (00,00) ja (05,-85) välinen etäisyys: korkeus (00 05) (00 ( 85) 95 585 8050 c) Ajatellaan jana AB kolmion kantana ja korkeusjana sen korkeutena. Korkeusjanan pituus laskettiin äsken. Nyt vain lasketaan AB:n pituus: AB ( 00 50) ( 50 ( 00)) ( 450) 50 5000 Pinta-ala: 8050 5000 9500 4650 m 4,6 ha 5. a) muokataan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon: y y 5 65 5 5 y y 70,5 (,5) ( y) 70 6, 5 (,5) ( y) 77, 5 Eli kp: (,5;) ja säde on 77,5 Lasketaan keskipisteen ja annetun pisteen (5,8) välinen etäisyys: s (5,5) (8 ), 5 7 49,065 Mallikuva tilanteesta. S ja r on laskettu. Joten b b r s 49, 065 77, 5 6,85 b 6,85
Joten pisteestä (5,8) etäisyys tangenttien ja ympyrän leikkauspisteeseen on etäisyys b 6,85 Tämän avulla voidaan laskea, että leikkauspisteen (,y) ja pisteen (5,8) etäisyys pitää olla 6,85, niin 6,85 (5 ) (8 y) () 6,85 (5 ) (8 y) 5 0 4 6y y 6,85 y y 0 6 87,875 0 Eli ympyrän etäisyyttä ei voitu laskea, mutta saimme ympyrän yhtälön, joka kertoo kaikkien pisteiden paikat, jotka ovat b:n etäisyydellä pisteestä (5,8) Koska tämä menee tästä eteenpäin jo muutenkin hitaaksi, tavoistani poiketen käytän tässä ympyrän yhtälöstä tästä eteenpäin likiarvoa: y y 0 6 87, 0 Käytetään nyt tätä yhtälöä ja alkuperäisen ympyrän yhtälöä ja lasketaan näiden leikkauspisteet: y y 0 6 87, 0 y 5 y 70 0 vähenyslasku alekkain tuottaa yhtälön 5 4y 57, 0, josta voidaan ratkaista esim. :,6 y 7,5 Sijoitetaan tämä jompaankumpaan ympyrän yhtälöistä, esim. alempaan. (,6 y 7,5) y 5(,6 y 7,5) y 70 0 => Tästä sievenee toisen asteen yhtälö:,85 y 5,6 y5, 5 0, josta saadaan toisen asteen yht. ratkaisukaavalla: y=7,8 tai y=-,. Lasketaan nyt yhtälöstä,6 y 7,5, mitä on, jos y tiedetään: y=7,8,6 7,8 7,5, => piste (-,; 7,8) y=-,,6 (,) 7,5 0,6 => (0,6; -,) Nyt suorien yhtälöt näiden pisteiden ja annetun pisteen (5,8) kautta kulkevina suorina: y y 7,8 8 0, k 0,56, 5 8, y8 0,56( 5) y0,569, 6 ja k y y, 8 0, 0,6 5 4,4 y8 4, 6( 5) y4, 65,5 4,6
b) tutkitaan ovatko pisteiden (-7,-7) ja (7,0) sekä (7,0) ja (7,70) väleille viritetyillä suorilla samat kulmakertoimet. Tarvitsee vain laskea noiden suorien kulmakertoimet: y y 7 0 7 7 k 7 7 44 44 k y y 70 0 90 90 5 7 7 74 74 9 Ei ole samat kulmakertoimet, eli eivät ole samalla suoralla. 6. a) Määritä ympyröiden + 4 6 y = 0 ja 6 + 4 y = 0 leikkauspisteet. Ratkaisu + 4 6 y = 0 6 + 4 y = 0 Kun vähennetään jälkimmäinen yhtälö edellisestä, saadaan niiden kanssa ekvivalentti yhtälö, josta ratkaistaan y. 0 0 y + 0 = 0 y + = 0 y = + Sijoitetaan y:n ratkaisulauseke ensimmäiseen yhtälöön, ja ratkaistaan leikkauspisteiden koordinaatit. + ( + ) + 4 6 ( + ) = 0 5 0 = 0 = 4 = ± =, jolloin y = + = 6 =, jolloin y = ( ) + = Vastaus: (, 6) ja (, ) b) kuvio on nelikulmio. Sivut ovat ympyröiden säteitä 5 ja 5 ja 0 ja 0. Ympyröiden keskipisteiden välinen jana puolittaa nelikulmion kahdeksi identtiseksi suorakulmaiseksi kolmioksi, joiden pinta-alat ovat (0 * 5)/=5. Yhteispinta-ala on siis 50. 7. 6,5 y,5 z 8. Muodostetaan paraabelin yhtälö. Sijoitetaan parabelin huippu y-akselille, jolloin se leikkaa y-akselin korkeudella => paraabelin yhtälön vakiotermi c=. Nollakohdat tulevat -akselille symmetrisesti nollan molemmille puolille pisteisiin (-,0) ja (,0). Koska paraabeli on symmetrinen y-akselin suhteen, sen yhtälö on muotoa y a c a avulla. Koska paraabeli kulkee pisteen (,0) kautta, tällöin: 0 a 0 a a. Ratkaistaan tästä a, esim. pisteen (,0). Tällöin paraabelin yhtälö on y. Kokeillaan työntää laatikkoa ensin lyhin sivu 4 cm =,4 m lattiaa kohti. Tällätään laatikko tismalleen keskeltä oviaukkoa läpi. Tällöin laatikon kulmat menevät -akselin kohdista -0,6 ja +0,6. Lasketaan oviaukon korkeus kohdassa =0,6 paraabelin yhtälöstä:
y (0,6), m Laatikon pystysivu on tässä vaihtoehdossa,4 m korkea, ja siinä on 0cm=0,m korkeat rullat alla, joten laatikon pystysivu olisi,4m korkeudella, eli ei tule mahtumaan! Kokeillaan kääntää laatikko toisinpäin, eli,4 m sivu lattiaa vasten: Tällöin laatikon kulmat menevät -akselin kohdista 0,57 ja -0,57. Lasketaan oviaukon korkeus kohdassa =0,57 paraabelin yhtälöstä: y (0,57),5 m Laatikon pystysivu on tässä vaihtoehdossa,4 m korkea, ja siinä on edelleen 0, m korkeat rullat alla, joten laatikon pystysivu olisi,4 m korkeudella. Eli näin päin laatikko mahtuu!