1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n C} Vektoria x = (x 1, x 2,..., x n ) merkitään usein myös x = (x 1 x 2 x n ) tai x = x 1 x 2 x n. Piiri Piiri: a1 b1 b2 b3 a2 b4 Sama informaatio: 1 1 0 1 Q = 0 0 1 1
Matriisi Luvut ja vektorit erikoistapauksia matriisista: Matriisi= Lukusuorakulmio. a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =.... a m1 a m2... a mn a ij on matriisin A alkio tai elementti. Huom. a ij :ssä i ilmoittaa rivin ja j sarakkeen missä ko. alkio sijaitsee. Matriisin A tyyppi (laji, dimensio) on m n. Matriisimerkintöjä: A = A m n = (a ij ) = (a ij ) m n. Jos m = n kyseessä on neliömatriisi (rivejä ja sarakkeita yhtä monta). Ylä- ja alkolmiomatriisit Yläkolmiomatriisi, jos a ij = 0, kun i > j x x x x x 0 x x x x 0 0 x x x 0 0 0 x x. 0 0 0 0 x Alakolmiomatriisi, jos a ij = 0 kun i < j x 0 0 0 0 x x 0 0 0 x x x 0 0 x x x x 0. x x x x x
Diagonaalimatriisi Lävistäjä- eli diagonaalimatriisi, jos a ij = 0 kun i j x 0 0 0 0 0 x 0 0 0 0 0 x 0 0 0 0 0 x 0 0 0 0 0 x Vain päälävistäjän (luode-kaakko) alkiot voivat olla 0. Diagonaalimatriisia merkitään usein myös: λ 1 0 0 0 0 0 λ 2 0 0 0 0 0 λ 3 0 0 0 0 0 λ 4 0 = diag (λ 1, λ 2, λ 3, λ 4, λ 5 ). 0 0 0 0 λ 5 Yksikkö- ja nollamatriisi Tyyppiä n n oleva yksikkömatriisi I n (tai I, jos tyyppi tiedetään) on 1 0 0 0 0 1 0 0 I n = diag(1, 1,..., 1) = 0 0 1 0 0. 0 0 0 1 Nollamatriisi O (tai O m n ) on matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia.
Vaaka- ja pystyvektorit 1 m matriisi x = (x 1, x 2,..., x m ) on vaakavektori. m 1 matriisi y = y 1 y 2. y m on pystyvektori. Liityntämatriisi Kaksi piiriä: b1 b1 a1 b2 a1 b2 b3 b3 a2 b4 a2 b4 Liityntämatriisit: 1 1 1 1 P = 0 0 0 1 Eri piirit, joten matriisien oltava myös erisuuret. Q = ( 1 1 0 ) 1 0 0 1 1
Matriisien yhtäsuuruus m n-matriisit A = (a ij ) ja B = (b ij ) ovat yhtäsuuret: a ij = b ij kaikilla i, j. Vastinalkiot ovat samat. Merkitään A = B. Matriisien yhteenlasku ja luvulla kertominen m n-matriisien A = (a ij ) ja B = (b ij ) summa C = (c ij ), A + B = C, on m n-matriisi jonka alkiot ovat c ij = a ij + b ij. Matriisin A = (a ij ) ja luvun c tulo (skalaarilla kertominen) ca on matriisi ca = (ca ij ), (= Ac) B = ( b ij ) on matriisin B = (b ij ) vastamatriisi Matriisien erotus A B = (a ij b ij ).
Vektoreiden pistetulo Kahden vektorin pistetulo: (x 1, x 2,..., x n ) (y 1, y 2,..., y n ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x n y n. Esimerkki. (1, 2, 3) (4, 5, 6) = ( i+2 j+3 k) (4 i+5 j+6 k) = 1 4+2 5+3 6 = 32. Yleistys Sama toisin: 4 1 2 3 5 = ( 1 4 + 2 5 + 3 6 ) = (32) 6 Kertolasku voidaan yleistää Vektori Matriisi : 4 a 1 2 3 5 b = ( 1 4 + 2 5 + 3 6 1 a + 2 b + 3 c ) 6 c = 32 a + 2b + 3c
Matriisi Vektori : 4 1 2 3 5 = x y z 6 = 1 4 + 2 5 + 3 6 x 4 + y 5 + z 6 ( 32 ) 4x + 5y + 6z Matriisi Matriisi : 4 a 1 2 3 5 b = x y z 6 c = ( 1 4 + 2 5 + 3 6 ) 1 a + 2 b + 3 c 4x + 5y + 6z x a + y b + z c ( 32 ) 1a + 2b + 3c 4x + 5y + 6z xa + yb + zc Matriisien tulo Olkoon C = (c ij ) = A B ja olkooon matriisitulo A B määritelty. Silloin c ij on A:n i:nnen vaakarivin ja B:n j:nnen pystyrivin pistetulo.
Matriisitulon määritelmä Matriisien A m n = (a ik ) ja B n p = (b kj ) tulo AB (tässä järjestyksessä): m p-matriisi C = (c ij ) c ij = n a ik b kj = a i1 b 1j + a i2 b 2j + a i3 b 3j + + a in b nj. k=1 Määritelmä jatkoa Siis: = b 11 b 12 b 1p b 21 b 22 b 2p.................. b n1 b n2 b np a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n................... a m1 a m2 a mn a 11 b 11 + a 12 b 21 + + a 1n b n1 a 11 b 1p + + a 1n b np a 21 b 11 + a 22 b 21 + + a 2n b n1 a 21 b 1p + + a 2n b np.......................................................... a m1 b 11 + a m2 b 21 + + a mn b n1 a m1 b 1p + + a mn b np
Esimerkki. Esim. Laske 1 2 5 7. 3 4 6 8 Ratk.... Matriisitulon olemassaolo Matriisitulo AB on määritelty vain kun: A:n vaakavektorissa ja B:n pystyvektorissa yhtä monta alkiota, eli A:n sarakkeiden lukumäärä = B:n rivien lukumäärä. Esimerkki. 1 4 7 8 2 1 1 1 1 2 3 4 3 3 2 1 ei ole määritelty 2 5 1 1 1 3 2 1 1 4 7 8 1 2 3 4 2 1 1 1 2 5 1 1 3 3 2 1 on määritelty. 1 3 2 1
Matriisitulot AB ja BA Luvuille a, b on voimassa ab = ba. Matriiseille yleisesti: AB BA. Jos AB = BA, niin matriisit A ja B kommutoivat. Välttämättä A ja B ovat samaa lajia olevia neliömatriiseja (n n matriiseja). Huom. Myös neliömatriiseille on yleensä AB BA. Lause 1.1. Mikäli alla esitetyt laskutoimitukset ovat määriteltyjä, niin aina kun A ja B ovat matriiseja, λ ja µ ovat lukuja, O nollamatriisi ja I yksikkömatriisi, on voimassa: 1. A + B = B + A 2. (A + B) + C = A + (B + C) 3. A + O = A 4. A + ( A) = O 5. (λµ)a = λ(µa) 6. (λ + µ)a = λa + µa 7. λ(a + B) = λa + λb 8. 1 A = A 9. (AB)C = A(BC) 10. A(B + C) = AB + AC 11. (A + B)C = AC + BC 12. λ(ab) = (λa)b = A(λB) 13. IA = A 14. AI = A
Merkintä Merkintä: A n = A A A A (n kpl) A 0 = I. Transponointi Matriisin transponointi = Rivien muuttaminen sarakkeiksi. Tarkasti: A m n-matriisi, A = (a ij ) Matriisin A transpoosi eli transponoitu matriisi A T on n m matriisi A T = (a ji ). A T :n rivit = A:n sarakkeet A T. :n sarakkeet = A:n rivit Esimerkki. T 1 2 7 = 1 9 4 1 1 2 9. 7 4
Symmetria A on symmetrinen, jos A T = A. 1 4 7 8 4 2 3 5 7 3 0 5 on symmetrinen 8 5 5 1 A on vinosymmetrinen, jos A T = A 0 4 7 8 4 0 3 5 7 3 0 5 on vinosymmetrinen. 8 5 5 0 Ominaisuuksia Lause 1.2. 1. (A T ) T = A 2. (A + B) T = A T + B T 3. (λa) T = λa T 4. (AB) T = B T A T Todistus. Suoraan transpoosin määritelmän perusteella.
Vektoreiden transponointi Vektoreille: x 1 x = x 2, x T = (x 1 x 2 x 3 ) = (x 1, x 2, x 3 ) x 3 y 1 y = (y 1, y 2, y 3 ), y T = y 2. y 3 Käänteismatriisi Matriisi B on matriisin A käänteismatriisi, jos AB = I ja BA = I. A:n käänteismatriisia (jos olemassa) merkitään A 1. Lause 1.3. Jos matriisilla on käänteismatriisi niin se on yksikäsitteinen. Todistus. Vastaoletus: Matriisilla A on kaksi eri käänteismatriisia, B ja B. Siis B B. Käänteismatriisin määritelmän perusteella on voimassa: AB = BA = I, Silloin Siis B = B. AB = B A = I B = IB = (B A)B = B (AB) = B I = B.
Säännölliset matriisit Käänteismatriisin olemassaolo luokittelee kaikki neliömatriisit kahteen luokkaan: Jos A 1 on olemassa, niin A on säännöllinen. Jos A:lle ei ole käänteismatriisia niin A on singulaarinen. Jos A on säännöllinen, niin matriisitulot AA 1 ja A 1 A ovat määriteltyjä. Siis A on neliömatriisi. Neliömatriiseille A ja B on voimassa: Jos AB = I, niin BA = I. Matriisin B osoittamiseksi matriisin A käänteismatriisiksi riittää siis osoittaa, että AB = I. Esimerkki 1.4. Etsi matriisin A = 0 1 1 1 käänteismatriisi. Ratk....