MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. Olkoon vektorit a 4 j 3k ja b 2i 2 j k a) Laske a ja b b) Määritä vektori c, kun tiedetään että c 5a 2b c) Määritä vektori a suuntainen yksikkövektori 0 a A2. Olkoon vektorit d 2i 4 j 7k ja e 5i 6 j 2k a) Määritä pistetulo d e (4p) b) Määritä vektoreiden d ja e välinen kulma. (2p) A3. a) Määritä komponenttimuodossa sellainen vektori b, joka on vastakkaissuuntainen vektorin a i 2j 2k kanssa ja jonka pituus on 27. b) Jatkoa a) -kohtaan: Jos edellisen tehtävän vektorin b alkupiste on (-104, 49, 14), määritä vektorin päätepisteen koordinaatit.
B-osio. Saa käyttää laskinta ja taulukkokirjaa. Valitse tehtävistä B1-B5 neljä ja vastaa niihin. B1. Suora kulkee pisteen A (1, 2, 3) kautta ja sillä on suuntavektori v = 4i 3j k. Mikä suoran piste on lähinnä pistettä P (8, 6, 9)? Laske pisteen P etäisyys suorasta. B2. Suunnikkaassa ABCD piste E jakaa sivun DC suhteessa 5: 3 ja piste F sivun BC suhteessa 1: 4. Missä suhteessa janojen AE ja FD leikkauspiste G jakaa nämä janat? B3. Määritä tasoa vasten kohtisuorassa oleva yksikkövektori, jos tiedetään, että pisteet (0,0,12), (0,- 4,0) ja (6,0,0) ovat tasossa. B4. Taso T sisältää pisteen A=(3, -1,1) ja tasolla on suuntavektorit u i j k ja v 2i j 2k. Onko piste B=(8,-11,12) tasossa T? B5. Lentokone lentää suoraviivaista nousulentoa vektorin 6i 5 j 3k suunnassa. Laske nousukulma, kun valitussa koordinaatistossa lentokenttää edustaa xy-taso. Mistä lentokentän pisteestä nousu alkoi, kun eräällä hetkellä nousun aikana koneen havaittiin sijaitsevan pisteessä (94, 75, 51)? xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Bonuspähkinä +2p, Vektoreiden a ja b summa on vektori 4i j ja niiden pistetulo ab 4. Lisäksi tiedetään, että vektori b on yhdensuuntainen vektorin i kanssa. Määritä vektorit a ja b vihjeiden avulla. Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta http://jussityni.wordpress.com/!
Ratkaisut: A1: Ratkaisu a) a b 2 2 ( 4) 3 25 5 2 ( 2) ( 1) 9 3 b) c 5( 4 j 3 k) 2(2i 2 j k) 20 j 15k 4i 4 j 2k 4i 16 j 17k c) Koska vektori a:n pituus oli 5, niin a:ta pitää kertoa 1/5 :lla, jotta se lyhenee yhden mittaiseksi. 1 1 4 3 0 => a ( 4 j 3 k) j k a 5 5 5 5 A2: Ratkaisu a) d e25 ( 4) 6 ( 7) ( 2) 10 24 14 0 b) Pistetulo on nolla, joten vektoreiden välinen tulo on 90 astetta. A3: Ratkaisu a) a ( 1) 2 ( 2) 9 3 Koska vektori a:n pituus on 3, sitä pitää kertoa 9:llä, jotta saadaan vektori jonka pituus on 27 ja joka on a:n suuntainen (vektoria pidennetään). Lisäksi jotta saadaan vastakkaissuuntainen vektori, pitää kertoa -9:llä => b 9( i 2 j 2 k) 9i 18 j 18k b) Pisteestä (-104, 49, 14) kuljetaan vektorin b ajo-ohjeiden mukaisesti 9 yksikköä x-akselilla, joten x=-104+9=-95-18 yksikköä y-akselilla, joten y=49-18=31 18 yksikköä z-akselilla, joten z=14+18=32 Päätepiste on siis (-95, 31, 32) B1: Ratkaisu Merkitään kysytty piste X (x, y, z) PX = PA + t v ( x 8) i ( y 6) j ( z 9) k = 7i 4 j 12k + 4t i 3t j t k x 8 = 7 + 4 t x = 4 t + 1 y 6 = 4 + 3 t y = 3 t + 2
z + 9 = 12 t z = t + 3 PX v 4 (x 8) + 3 (y 6) (z + 9) = 0 4 x + 3 y z = 59 4 (4 t + 1) + 3 (3 t + 2) + t 3 = 59 26 t = 52 : 26 t = 2 Sijoitetaan t :n pisteen X koordinaattien lausekkeisiin x = 4 t + 1 = 9 y = 3 t + 2 = 8 z = t + 3 = 1 PX = (9 8) (8 6) (1 9) = 105 Vastaus: X = (9, 8, 1) PX = 105 B2: Ratkaisu Ratkaisu Kuvion merkinnöillä AE = u + 5 8 v ja FD = 4 5 u v FG = FB + BA + AG = 1 5 u v + s AE = 1 5 u v + s 5 u v 8 = 1 s 5 u + 5s 1 8 v toisaalta 4 FG = t FD = t 5 u v = 4 t u t v 5 Komponenttien kerroinlausekkeista saadaan yhtälöpari, josta ratkaistaan s ja t 1 s = 4 t 5 5 s 4 t = 1 5 5 5 s 1 = 8 t 8 5 s + 8 t = 8 Kun vähennetään edellinen yhtälö jälkimmäisestä, saadaan 12 t = 7 : 12 t = 7 12 Sijoitetaan t :n arvo ensimmäiseen yhtälöön: 5 s 7 3 = 1 5 s = 10 3 : 5 s = 2 3 Vastaus: Piste G jakaa janan AE suhteessa 2 :1 ja janan FD suhteessa 7 : 5 B3: Ratkaisu Merkitään pisteitä, esim. A (0, 0, 3), B (0, 4, 0) ja C (6, 0, 0) Merkitään a = CA = 6i 3k, b = CB = 6i 4 j ja kysytty kohtisuora yksikkövektori v = ai b j c k Pistetulo on 0, jos vektorit kohtisuoria, joten: a v = 6 a + 3 c = 0 c = 2 a
b v = 6 a 4 b = 0 b = 3 2 a Lisäksi tiedetään, että vektori v on yhden mittainen: a 2 + b 2 + c 2 = 1 a 2 + 9 a 2 + 4 a 2 = 1 4 4 a 2 + 9 a 2 + 16 a 2 = 29 a 2 = 4 : 29 4 a 2 = 4 a = ± 2. Kohtisuora vektori voi lähteä kohtisuoraan tason alle tai päälle, 29 29 siksi kaksi ratkaisua. Valitaan vaikka tuo + ratkaisu ja muodostetaan siitä vektori v:n komponenttimuotoinen esitys: 2 3 4 Vastaus: v = ± i j k 29 29 29 B4: Ratkaisu Jos piste B=(8, -11, 12) on tasossa, niin silloin voidaan vektori AB kulkea myös toista kautta tason suuntavektorien avulla, suuntavektoreita v ja u pidentämällä tai lyhentämällä tuntemattomilla kertoimilla. AB tv su AB 5i 10 j 11k 5i 10 j 11 k t(2i j 2 k) s( i j k) 5i 10 j 11k 2ti t j 2tk si s j sk 5i 10 j 11 k (2 t s) i ( t s) j (2 t s) k Nyt vektoreiden yhtäsuuruuden takia komponenttien i, j jak määrien on täsmättävä molemmin puolin yhtälöä: 52ts 10 t s Ratkaistaan ekasta yhtälöstä mitä s on: s2t 5 11 2ts 10 t (2t 5) Sijoitetaan s tokaan yhtälöön ja ratkaistaan mitä t on: 10 t 2t 5 15 3t t 5 Nyt s2t5joten s 255 5 Nyt alin yhtälö tuottaa tuloksen: 11 255 11 15 Mikä ei voi pitää paikkaansa, piste ei siis ole tasossa, koska sopivia kertoimia t ja s ei voi löytää jotta olisi AB tv su! B5: Ratkaisu Lentokoneen nousun suuntavektori on v 6i 5 j 3k. Tämän kanssa linjassa maata, eli xy-tasoa vasten kohtisuorassa oleva projektio on u 6i 5j. Käytännössä sama vektori, ilman korkeutta, eli k-komponenttia. Lasketaan vektoreiden v ja u välinen kulma:
v u 6 ( 5) 3 70 2 2 6 ( 5) 61 uv 66 ( 5) ( 5) 30 61 uv 61 cos cos cos v u 70 61 21 1 Koneen nousu alkoi xy-tasosta, jolloin z-koordinaatti on nolla, eli kone oli pisteessä B=(x,y,0). Jos kone havaittiin pisteessä A=(94,-75,51) ja koneen liikkumisella on suuntavektori v, niin silloinhan suuntavektoria v pidentämällä tuntemattomalla kertoimella t täytyy olla AB=tv. AB ( x 94) i ( y ( 75)) j (0 51) k ( x 94) i ( y 75) j 51k ja nyt: AB tv ( x 94) i ( y 75) j 51 k t(6i 5 j 3 k) ( x 94) i ( y 75) j 51k 6ti 5t j 3tk Vektoreiden yhdensuuruuden takia komponenttien määrän on täsmättävä yhtälön molemmin puolin, joten: x94 6t y 75 5t 51 3t t 17 x 94 6 ( 17) x 102 94 x 8 y 75 5 ( 17) y 85 75 y 10 Koneen lähtöpiste on siis (-8,10,0) Bonuspähkinän ratkaisu: Määritellään tuntemattomat vektorit: a xi y j b zi koska b yhdensuuntainen vektori i : n kanssa Lisäksi tiedetään, että pistetulo näiden vektoreiden välillä on 4, joten: x z y0 4 x z 4 Ja vielä viimeisenä niittinä xi y j zi 4i j ( x z) i y j 4i j Joten y = 1 tiedetään jo. Komponenteista x ja z jää kaksi yhtälöä jäljelle, xz 4 y 1
xz 4 x z 4 x 4 z joista voidaan muodostaa yhtälöpari: 2 2 (4 z) z 4 4z z 4 z 4z 4 0 2. asteen yht. ratkaisukaavalla : z 2 x 4 z x 4 2 2 a xi y j 2i 1j Joten haetut vektorit ovat: b zi 2i