1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.205 Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko R n = R R R = {(x, x 2,..., x n ) x, x 2,..., x n R}. Sen pisteet voidaan mieltää myös (paikka)vektoreiksi, merkitään niitä pystyvektoreina: x x 2 x = x 3 R n.. x n / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut 2 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut.. Määritellään kaksi laskutoimitusta avaruudessa R n : i) yhteenlasku, x, y R n ; x + y R n ii) skalaarilla kertominen, α R, x R n ; αx R n Alkioittain, x, y R n, α R, Koordinaatisto muodostetaan kiinnittämällä origo ja kantavektorit. Kolmiulotteisessa avaruudessa siis esim. karteesinen koordinaatisto {o, i, j, k}, missä yksikkövektorit i, j ja k muodostavat ortonormeeratun positiivisesti suunnistetun kannan. x y x + y αx x 2 x =., y = y 2., x + y = x 2 + y 2., αx = αx 2. x n y n x n + y n αx n Vektori, jonka kaikki alkiot ovat nollia, on nollavektori. Kaikille x R n pätee x + ( x) = 0. i k o j 3 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut 4 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut

ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut.. Huom! Tasossa: Jos a kiertyy b:n päälle vastapäivään lyhintä reittiä, on pari {a, b} suunnistettu positiivisesti. Avaruudessa: Jos kolmikko {a, b, c} toimii oikean käden säännön {P, E, K} mukaisesti, se on positiivisesti suunnistettu. Tasossa kantavektorit i ja j, r = OP = x i + x 2 j = ( x x 2 ). Avaruudessa kantavektorit i, j ja k, r = x OP = x i + x 2 j + x 3 k = x 2. x 3 5 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut 6 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut.2.2 Olkoon {i, j, k} avaruuden ortonormeerattu kanta ja α a = α i + α 2 j + α 3 k = α 2, b = β i + β 2 j + β 3 k = β 2. α 3 β 3 β Lause 2 a b = { a b cos (a, b), jos a 0, b 0 0, jos a = 0 tai b = 0 Määritelmä Vektoreiden a ja b skalaaritulo (eli sisätulo eli pistetulo) on a b = α β + α 2 β 2 + α 3 β 3. ovat kohtisuorassa, jos a b = 0, merkitään a b. Esimerkki 3 (lasketaan luennolla) Olkoon a = 2i + 3j, b = i + j, c = i + 2j. Laske a b 2 c (a + b) 3 3a (4c 3b) 7 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut 8 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut

ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut.2.2 ulo voidaan muodostaa vain (kolmiulotteisessa) avaruudessa. Määritelmä 4 Olkoot a, b kolmiulotteisia vektoreita. Vektori- eli ristitulo on vektori a b, jolle pätee: a b = a b sin (a, b) 2 a b a, a b b 3 vektorit a, b, a b muodostavat oikeakätisen systeemin Jos a = 0 tai b = 0, on a b = 0. 9 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut Esimerkki 5 Vektorien i ja j vektoritulo i j = k, sillä i j = i j sin (i, j) = sin(π/2) =, k on kohtisuorassa kumpaakin vektoria vastaan, ja {i, j, k} muodostavat oikeakätisen systeemin. ulo ei ole vaihdannainen: a b = b a liitännäinen: (i j) j = k j = i i (j j) = i 0 = 0. Sille kuitenkin pätee a (b + c) = a b + a c (αa) b = a (αb) = α(a b). 0 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut.2.2 Kannassa {i, j, k} vetoritulo saa nasevan muodon: Olkoon a = α i + α 2 j + α 3 k, b = β i + β 2 j + β 3 k. Tällöin voidaan suoralla laskulla osoittaa, että a b = (α 2 β 3 α 3 β 2 )i + (α 3 β α β 3 )j + (α β 2 α 2 β )k. Myöhemmin tällä kurssilla opimme determinantin käsitteen ja näemme, että yo. voidaan kirjoittaa lyhyesti muodossa i j k a b = α α 2 α 3 β β 2 β 3. Esimerkki 6 (lasketaan luennolla) Olkoon a = i + j, b = i + 2j, c = 2j + k. Laske a b 2 b c 3 a c Ratkaisu: a b = (i + j) ( i + 2j) = i i + 2i j j i + 2j j = 0 + 2k ( k) + 0 = 3k 2 b c = 2i j i k + 4j j + 2j k = 2k + j + 2i 3 a c = 2i j + i k + 2j j + j k = 2k j + i / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut 2 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut

ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut.2.3 Lause 7 Vektoreiden a ja b virittämän suunnikkaan ala on a b. Todistus. a h = a sin ϕ ϕ ϕ b (x, x 2 ) r x 2 ϕ x r = x 2 + x 2 2 tan ϕ = x 2 x x = r cos ϕ x 2 = r sin ϕ Ala = kanta korkeus = a b sin ϕ = a b. 3 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut 4 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut.3.3 Jos x = (x, x 2 ) R 2, niin x = (r cos(ϕ), r sin(ϕ)) = r (cos(ϕ), sin(ϕ)), missä r = x = x 2 + x 2 2 on pisteen etäisyys origosta ja ϕ = arg(x) R on x:n argumentti eli kulma x:n paikkavektorin ja vaaka-akselin välillä. Luvut { r = x ovat x:n napakoordinaatit. ϕ = arg(x) [0, [, R 5 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut Huom. cos(ϕ) = cos(ϕ + 2π) ja sin(ϕ) = sin(ϕ + 2π), joten argumentti on monikäsitteinen (kulmaan voi lisätä 2π-monikertoja)! Usein halutaan, että arg(x) [0, 2π[ tai arg(x) ] π, π]. Jos x 0, niin tan (arg(x)) = x 2 x eli arg(x) = arctan ( x2 x ). Huomaa, että funktion arctan päähaara saa arvoja vain välillä ] π/2, π/2[, joten sen antamaan kulmaan joutuu joskus lisäämään/vähentämään luvun π (piirrä kuva!). Origon vaihekulma arg(0) on epämääräinen. 6 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut

ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut.3.4 Esimerkki 8 (lasketaan luennolla) Mitkä ovat karteesisissa koordinaateissa ilmoitetun pisteen x = ( 3, ) napakoordinaatit? Ratkaisu: 3 2 r = x = + 2 = 2, ϕ = arg(x) = arctan(/ 3) = π/6. Napakoordinaateissa siis x = (2, π/6). (Tarkistus: 2 cos(π/6) = 3, 2 sin(π/6) =.) Luonnolliset luvut N = {, 2, 3, 4, 5,...} ovat luonnollinen joukko aloittaa laskeminen. Jos halutaan ratkaista muotoa x + n = m, n, m N, olevat yhtälöt, kaipaa lukujen joukko kuitenkin laajennusta kokonaislukujen joukoksi: Z = {..., 3, 2,, 0,, 2, 3,...}. Tämäkään ei riitä muotoa nx = m, m, n Z, n 0, olevien yhtälöiden ratkaisemiseen, vaan tarvitaan laajennus rationaalilukuihin: { m } Q = n m, n Z, n 0. 7 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut 8 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut.4.4 Määritellään imaginääriyksikkö i olemaan luku, jolle pätee Rationaalilukujenkaan joukosta ei löydy ratkaisua yhtälölle x 2 = 2. Tätä varten tehdään vielä laajennus, otetaan mukaan myös irrationaaliluvut, jolloin saadaan reaalilukujen joukko R. Onko kaikki nyt hyvin? Mikä on yhtälön x 2 = ratkaisu? i 2 =. Imaginääriyksikköä i voitaisiin siis tavallaan kutsua myös :n neliöjuureksi. Määritelmä 9 Kompleksiluku on muotoa a + ib oleva esitys, jossa a ja b ovat reaalilukuja ja i imaginääriyksikkö. C = {a + ib a, b R} on kompleksilukujen joukko. 9 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut 20 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut

ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut.4.4 Samaistetaan vektori (x, y) R 2 ja kompleksiluku x + iy C, eli R 2 = {(x, y) : x, y R} = C = {x + iy : x, y R}. Esimerkki 0 (lasketaan luennolla) Piirrä kompleksiluvut + 2i, 2 i, i, 2 ja 3 2i koordinaatistoon. Tulkitsemalla kompleksiluvut tason vektoreiksi nähdään heti, miten niiden yhteenlasku pitää suorittaa. 2 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut Olkoot z = x + iy ja w = a + ib kompleksilukuja. Tällöin lukujen w ja z summa on erotus ja tulo w + z = (a + ib) + (x + iy) = (a + x) + i(b + y), w z = (a + ib) (x + iy) wz = (a + ib)(x + iy) = (a x) + i(b y), = ax + a iy + ibx + ib iy (Muista: i 2 =!) = (ax by) + i(ay + bx). 22 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut.4.4 Esimerkki (lasketaan luennolla) Olkoot w = 2 + 2i ja z = 2 i. Laske w + z, w z ja wz. Tarkista piirtämällä kuvat. Ratkaisu: w + z = (2 + 2) + i(2 ) = 4 + i, w z = (2 2) + i(2 ( )) = 3i, wz = ((2)(2) (2)( )) + i ((2)( ) + (2)(2)) = 6 + 2i. w z = 3i w = 2 + 2i w + z = 4 + i z = 2 i wz = 6 + 2i arg wz = arg w + arg z wz = w z 23 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut 24 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut

ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut.4.4 Määritelmä 2 Luvun z = z + i z 2 C reaaliosa on Re(z) := z R ja imaginaariosa on Im(z) := z 2 R. Luku z = z i z 2 = Re(z) i Im(z) on luvun z kompleksikonjugaatti. Määritelmä 3 (Itseisarvo ja argumentti) Jos z = z + iz 2 C, olkoon z := z 2 + z2 2 ja arg(z) := arg((z, z 2 )). Esimerkki 4 Nyt z = z ja arg( z) = arg(z), joten zz = z 2. Tarkistus: zz = (z iz 2 )(z + iz 2 ) = (z 2 + z2 2 ) + i(z z 2 z 2 z ) = z 2. Huom. Jos 0 z C, niin z = ( z z z + i z ) 2 z = z (cos(ϕ) + i sin(ϕ)) missä ϕ = arg(z). 25 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut 26 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut.4.4 Käänteisluku: Kompleksiluvun z = x + iy käänteisluvulle saadaan laskusääntöjen avulla muoto z = z z z = x iy x 2 + y 2 = x x 2 + y 2 i y x 2 + y 2, jos z 0. Yleisemmin kompleksiluku w/z voidaan sieventää muotoon a + ib laventamalla se nimittäjän liittoluvulla z: w z := w z = w z/ z 2. Siis w/z = w / z ja arg(w/z) = arg(w) arg(z). Esimerkki 5 Esimerkki 6 2 + 3i (2 + 3i)(4 + 5i) 7 + 22i = = = 7 4 5i (4 5i)(4 + 5i) 4 4 + 22 4 i. Jos n Z, niin z n = z n ja arg(z n ) = n arg(z). Tapauksessa z = cos(ϕ) + i sin(ϕ) saadaan de Moivren kaava: (cos(ϕ) + i sin(ϕ)) n = cos(nϕ) + i sin(nϕ). 27 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut 28 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut

ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut.4.4 Tekniikassa kompleksiluvut kirjoitetaan usein ns. polaarimuodossa re iϕ. Tämä tarkoittaa tason pistettä, jonka napakoordinaatit ovat (r, ϕ). e iϕ on yksinkertaisesti lyhyempi merkitätapa kompleksiluvulle cos ϕ + i sin ϕ. Siis re iϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ) = r cos ϕ + ir sin ϕ = x + iy. Fakta e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ voidaan osoittaa esim. sarjakehitelmien avulla, tämä tehdään kurssilla Differentiaali- ja integraalilaskenta. 29 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut Esimerkki 7 Mitkä kompleksiluvut toteuttavat yhtälön z 3 =? Vastaus: Ratkaise kirjoittamalla luvut polaarimuodossa z = re iϕ, = e in2π, n Z. Tällöin yhtälö saa muodon (re iϕ ) 3 = r 3 e i3ϕ = e in2π, josta r 3 = ja 3ϕ = n2π. Yhtälön toteuttavat siis pisteet, joille r = ja ϕ = n 2 3 π, n Z, eli z =, z = 2 + 3 2 i ja z = 2 3 2 i. Nämä kolme pistettä sijaitsevat tasavälein yksikköympyrällä. 30 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut.4.4 Seuraava tulos on seurauksiltaan järisyttävä (vaikkei ehkä heti uskoisi). Sen mukaan ei-vakiolla polynomilla on nollakohta: Lause 8 (Algebran peruslause) Olkoon p : C C polynomi eli p(z) = n a k z k, k=0 missä a k C ja a n 0. Jos n, niin p(w) = 0 jollakin w C. Seuraus: Jos polynomi p on kuten edellä, niin missä r, r 2,..., r n C. Esimerkki 9 p(z) = a n (z r )(z r 2 ) (z r n ), p(z) = z 2 + = (z i)(z + i) eli polynomin p juuret ovat i, i C (eivät reaalisia!). Esimerkki 20 (lasketaan luennolla) Etsi polynomi, jolla on sekä reaalisia että imaginäärisiä juuria. 3 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut 32 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut

ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut.4.4 Esimerkki 2 (lasketaan luennolla) Etsi polynomin p(z) = z 2 + ( 5i)z (4 + 4i) juuret. Ratkaisu: Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan z = ( 5i) ± ( 5i) 2 4( 4( + i)) 2 = 5i ± 0i 25 + 6i + 6 2 = 5i ± 8 + 6i 2 Neliöjuuri voidaan laskea seuraavasti: 8 + 6i = x + iy korotetaan puolittain neliöön, jolloin saadaan 8 + 6i = x 2 + 2ixy y 2. Ratkaistaan yhtälöryhmä { x 2 y 2 = 8 2xy = 6 (taululla) ja saadaan ratkaisuiksi x =, y = 3 ja x =, y = 3, eli 8 + 6i = ±( + 3i). Näin ollen polynomin nollakohdat ovat z = 5i (+3i) 2 = + i ja z = 5i +(+3i) 2 = 4i. 33 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut 34 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut.4 Huom. Neliöjuuri voitaisiin laskea myös samalla idealla kuin kompleksiluvun potenssi aiemmin, eli muuntamalla 8 + 6i polaarimuotoon, ottamalla sitten neliöjuuri ( re iϕ = r /2 e iϕ/2 ) ja muuntamalla lopuksi takaisin kompleksimuotoon. 35 / 35 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi. ja kompleksiluvut

2. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2 = 5. Matriisimuodossa ( ) tämä( kirjoitetaan ) Ax ( ) = b, missä 2 x A =, x = ja b =, eli x 2 5 ( ) ( ) ( ) 2 x =. 5 x 2 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 2 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 2. 2. Tulkinta : kumpikin yhtälöparin yhtälö kuvaa suoraa tasossa R 2, ja mahdollinen ratkaisu x = (x, x 2 ) on suorien leikkauspiste. Tulkinta 2: matriisi A määrittelee kuvauksen (= funktion) R 2 R 2, x Ax. Halutaan löytää piste x R 2, jolle Ax = (, 5). Yleisesti: Lineaarinen yhtälöryhmä Ax = b, missä annettuina ovat A = (a ij ) R m n ja b = (b,..., b m ) R m, ja halutaan ratkaista x = (x,..., x n ) R n : a x + a 2 x 2 +... + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2. a m x + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m. 3 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 4 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2.

2. Tulkinta : kukin rivi a k x +... + a kn x n = b k ( k m) on yhtälö hypertasolle avaruudessa R n. (Suora, kun n = 2; taso, kun n = 3.) Mahdollinen ratkaisu x R n on kaikille hypertasoille (m kpl) yhteinen piste. Tulkinta 2: Matriisi A määrittelee kuvauksen R n R m, x Ax. Etsitään pistettä x R n, joka kuvautuu pisteeksi b R m. 2. Esimerkki (lasketaan luennolla) 3 Olkoon A = 3 5. Määritellään kuvaus T : R 2 R 3 7 säännöllä T (x) = Ax, ts. T (x) = Ax = 3 3 5 7 ( x x 2 a) Etsi pisteen u = (2, ) kuva T (u). ) = b) Etsi x R 2 siten, että T (x) = (3, 2, 5). c) Löytyykö b-kohdassa useampia ratkaisuja? x 3x 2 3x + 5x 2 x + 7x 2 d) Löytyykö pistettä x R 2 siten, että T (x) = (3, 2, 5)?. 5 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 6 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 2. Tarkastellaan hieman laajempaa esimerkkiä. On annettu kolme R 3 :n vektoria: a = 2, 2 a 2 = 4, 3 a 3 = 8. 3 6 Etsitään vektorin b = 6 esitys vektoreiden {a, a 2, a 3 } avulla. 7 Tarkasteltavana on siis yhtälö a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b, missä x, x 2, x 3 R ovat tuntemattomia, jotka on tarkoitus ratkaista, jos mahdollista. 7 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 2. Kirjoitetaan tämä yhtälöryhmäksi: x + 2x 2 + 3x 3 = 2x + 4x 2 + 8x 3 = 6 3x + 6x 2 + x 3 = 7 Etsitään siis toisaalta kolmen tason leikkauspisteitä. Sama matriisimuodossa Ax = b: 2 3 x 2 4 8 x 2 = 6 } 3 6 {{ x 3 }}{{} 7 }{{} A x b 8 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2.

2. 2. Siis: 2 3 x 2 4 8 x 2 = 6 3 6 x 3 7 2 3 2 x + 4 x 2 + 8 x 3 = 6 3 6 7 x + 2x 2 + 3x 3 = 2x + 4x 2 + 8x 3 = 6 3x + 6x 2 + x 3 = 7 Mitä tiedämme ratkaisujen lukumäärästä? Ratkaisuja voi olla 0 kpl: Tasot eivät leikkaa, eli A ei kuvaa mitään vektoria b:lle. 2 kpl: Tasot leikkaavat yhdessä pisteessä, eli {a, a 2, a 3 } on kanta. 3 kpl: Tasot leikkaavat pitkin suoraa/tasoa, eli A:n ydin on ei-triviaali. Hyödyllinen käsite on A:n kuva-avaruus R(A), jonka alkiot ovat kaikki vektoreiden a, a 2, a 3 lineaarikombinaatiot. Jos ratkaisua ei ole olemassa, tulkitaan, että b / R(A). 9 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 0 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 2. 2.2 Perinteisesti yhtälöryhmät ratkaistaan lisäämällä ja vähentämällä yhtälöitä toisistaan, jollakin kertoimilla painotettuina. Matriisimuodossa vastaavat operaatiot voidaan tehdä yksinkertaisemmin merkinnöin. Kirjoitetaan matriisiyhtälö liittomatriisiksi a a 2... a n a 2 a 22... a 2n [A b] eli...... a m a m2... a mn Suoritetaan sitten ratkaisu Gaussin algoritmilla: b b 2.. b m x + 2x 2 + 3x 3 = 2x + 4x 2 + 8x 3 = 6 3x + 6x 2 + x 3 = 7 x + 2x 2 + 3x 3 = 8x 2 + 4x 3 = 8 2x 3 = 4 x + 2x 2 = 5 8x 2 = 20 x 3 = 2 eli eli eli 2 3 2 4 8 3 6 2 3 0 8 4 0 0 2 2 0 0 8 0 0 0 2 6 + 7 3 + 8 + 4 :2 4 5 20 :8 2 + 2 + 3 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 2 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2.

2.2 2.2 x = 0 x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli 0 0 0 0 0 0 Ratkaisu on siis x = (x, x 2, x 3 ) = (0, 5/2, 2). (Tarkista sijoittamalla!) 0 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste. Se on myös piste/vektori, jonka matriisi A kuvaa pisteeksi/vektoriksi b. Toisaalta, nämä kertoimet ovat vektorin b koordinaatit, kun se ilmoitetaan kannassa {a, a 2, a 3 }, eli 0 a 5 2 a 2 + 2a 3 = b. Esimerkki 2 (lasketaan luennolla) Etsi menetelmällä yhtälöryhmän x 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 8 4x + 5x 2 + 9x 3 = 9 ratkaisu. Vastaus: x 29 x 2 = 6 x 3 3 3 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 4 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 2.2 2.2 menetelmässä lineaarinen matriisiyhtälö Ax = b kirjoitetaan liittomatriisina [A b], jota muokataan rivioperaatioin: lisämällä (painotettu) rivi toiseen riviin vastaa (painotetun) yhtälön lisäämistä toiseen 2 vaihtamalla kahden rivin paikkaa keskenään vastaa yhtälöiden paikan vaihtoa 3 kertomalla yksittäinen rivi vakiolla c 0 vastaa yhden yhtälön kertomista vakiolla c 0 Jos lineaarisesta yhtälöstä Ax = b saadaan rivioperaatioin C x = d, merkitään [A b] [C d]. Esimerkki 3 (lasketaan luennolla) Etsi virrat I, I 2 ja jännite E. I + 60V 3 Ω Ω + 80V 3A 2 Ω 3 Ω I 2 + E 5 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 6 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2.

2.2 2.2 Ratkaisu: Kirchhoffin virtalain mukaan virtapiirissä tiettyyn pisteeseen tulevien ja siitä lähtevien virtojen summa on sama, joten piirin yläreunan keskellä olevassa risteyksessä täytyy päteä I + 3 = I 2 (A). Kirchhoffin jännitelain mukaan potentiaalierojen summan virtapiirin ympäri täytyy olla nolla, joten vasemman puoleisesta piiristä saadaan 60 = 3I + 80 + I (V ) ja oikeasta E = 2I 2 3I 2 + 80 (V ), kun muistetaan, että vastuksen aiheuttama potentiaalin muutos on U = RI. Saadaan siis yhtälöryhmä I I 2 = 3 4I = 20 5I 2 + E = 80. Matriisimuodossa 0 4 0 0 0 5 I 3 I 2 = 20. E 80 askeleilla tämä saadaan muotoon 0 0 I 5 0 0 I 2 = 8 0 0 E 40 (Huomaa, että kahden ylimmän rivin järjestystä on vaihdettu!). Vastaus on siis I = 5A, I 2 = 8A ja E = 40V. Olisikin näemmä kannattanut valita virran I suunta toisin päin. 7 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 8 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 2.2 2.2 Esimerkki 4 Etsi yhtälöryhmän kaikki ratkaisut, kun x + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 2x + 4x 2 + 8x 3 + 0x 4 = 6 3x + 6x 2 + x 3 + 4x 4 = 7 Ax = b Ratkaisu: Kirjoitetaan yhtälö matriisimuotoon Ax = b, eli x 2 3 4 2 4 8 0 x 2 x 3 6 4 3 = 6. 7 x 4 Ennen kuin sijoitamme liittomatriisiin oikealle puolelle vektorin b b = 6, suoritetaan eliminaatioaskeleet yleisellä b = b 2. 7 b 3 2 3 4 b 2 3 2 4 8 0 b 2 + 3 6 4 + 2 3 4 0 0 2 2 0 0 2 2 b 3 b b 2 2b b 3 3b + 9 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 20 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2.

2.2 2.2 2 3 4 0 0 2 2 0 0 0 0 b b 2 2b b 3 b 2 b Jotta viimeiselle riville ei syntyisi ristiriitaa, on pädettävä b 3 b 2 b = 0. Tämä on konsistenssiehto. Annetulla vektorilla 7 6 = 0, joten ristiriitaa ei synny. 2 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. Palataan sitten annettuun vektoriin b, jolloin saadaan 2 3 4 + 0 0 2 2 6 2 :2 3 0 0 0 0 7 6 2 0 0 0 0 0 0 0 5 2 0 Matriisi A on nyt saatettu redusoituun porrasmuotoon. Tämä tarkoittaa muotoa, jossa jokaisen rivin ensimmäinen nollasta poikkeava alkio on ja alemmalla rivillä on alussa nollia aina useampi kuin ylemmällä. 22 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 2.2 2.2 Jaetaan muuttujat a) kiinnitetyiksi (x, x 3 ) b) vapaiksi (x 2, x 4 ) Miksi nämä nimet? Vapaat voi korvata parametreilla ja ratkaista kiinnitetyt niiden avulla. Olkoon x 2 = σ, x 4 = τ, σ, τ R. Ratkaistavana on siis x 2 0 0 0 σ 5 x 0 0 0 0 3 = 2. 0 τ Helpoiten loppu onnistuu kirjoittamalla ongelma takaisin yhtälöryhmäksi { x + 2σ + τ = 5. x 3 + τ = 2 Tästä saadaan ratkaistua kiinnitetyt muuttujat x ja x 3 vapaiden avulla: { x = 5 2σ τ. x 3 = 2 τ Kun lisäksi muistetaan, että x 2 = σ ja x 4 = τ ovat mielivaltaisia reaalilukuja, nähdään, että yhtälöt ratkeavat millä tahansa lukunelikolla x, x 2, x 3, x 4, joka on muotoa 23 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 24 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2.

2.2 x = 5 2σ τ x 2 = σ x 3 = 2 τ x 4 = τ missä σ, τ R. Toisin sanoen, kaikki muotoa 5 2 x = 0 2 + σ 0 + τ 0, σ, τ R, 0 0 olevat vektorit toteuttavat siis alkuperäisen yhtälön Ax = b, eli ratkaisuita on ääretön määrä. 25 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2., 2.2 Huom. Vapaiden muuttujien kerroinvektorit 2 0 ja 0 0 ratkaisevat yhtälön Ax = 0, eli samaa matriisia vastaavan homogeenisen yhtälön. Myös kaikki niiden lineaarikombinaatiot ratkaisevat homogeenisen yhtälön. Sanotaankin, että matriisin A ydin on yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisuiden kantavektorien joukko, eli tässä tapauksessa 2 N (A) = 0, 0 ; dim N (A) = 2. 0 26 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 2.2 2.2 Esimerkki 5 (lasketaan luennolla) Etsi yhtälöryhmän x + x 2 x 3 + 3x 4 = 0 3x + x 2 x 3 x 4 = 0 2x x 2 2x 3 x 4 = 0 kaikki ratkaisut. Vastaus: x = α, α R. Lause 6 Lineaarinen yhtälöryhmä Ax = b, missä A on m n-matriisi, voidaan aina saattaa muotoon ( ) I F c, 0 0 c 2 missä I on r r-identiteettimatriisi, F on r (n r)-matriisi, c on r-vektori ja c 2 on (m r)-vektori. Ratkaisuiden lukumäärälle saadaan ehdot: Jos r < m ja c 2 0 lukumäärä on 0 (r = m tai c 2 = 0) ja r = n lukumäärä on (r = m tai c 2 = 0) ja r < n lukumäärä on 27 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 28 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2.

2.2 2.2 Esimerkki 7 (lasketaan luennolla) Eräs yksinkertainen talous koostuu hiili-, sähkö- ja terässektoreista. Sähkösektorin tuotannosta myydään 40% hiilisektorin käyttöön, 50% terässektorin käyttöön ja loput jää omaan käyttöön. Hiilisektorin tuotannosta sähköteollisuus ostaa 60% ja terästeollisuus 40%. Terässektorin tuotannosta puolestaan 60% myydään hiilisektorin käyttöön, 20% sähkösektorille ja loput omaan käyttöön. Merkitään sähkösektorin vuosituotannon arvoa p s, hiilisektorin p h ja terässektorin p t. Etsi tasapainotila, jossa kunkin sektorin tulot ja menot vastaavat toisiaan. Ratkaisu: Tasapainotilassa hiilisektorin vuosituotannon arvo p h on yhtä suuri kuin sen menot. Menot koostuvat siitä, että ostetaan 40% sähkösektorin tuotannosta ja 60% terässektorin tuotannosta. Siis: p h = 0.40p s + 0.60p t. Vastaavasti sähkö- ja terässektoreille: p s = 0.60p h + 0.20p t + 0.0p s ja p t = 0.50p s + 0.40p h + 0.20p t. (Huomaa, että näillä sektoreilla osa tuotannosta menee omaan käyttöön!) Saadaan siis yhtälöryhmä: p h 0.40p s 0.60p t = 0 0.60p h +0.90p s 0.20p t = 0 0.40p h 0.50p s +0.80p t = 0 29 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 30 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. 2.2 2.2 Kirjoitetaan tämä matriisimuodossa: 0.40 0.60 p h 0 0.60 0.90 0.20 p s = 0 0.40 0.50 0.80 p t 0 lla saadaan (pyöristettynä kahden luvun tarkkuudelle) 0.40 0.60 0 0 0.94 0 0.60 0.90 0.20 0 0 0.85 0, 0.40 0.50 0.80 0 0 0 0 0 joten yleinen ratkaisu on p h 0.94 p s p t 0.85, p t R. p t 3 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2. Esimerkki 8 (lisätehtävä) Fotosynteesissä kasvi muuttaa auringonvalosta saamallaan energialla hiilidioksidia CO 2 ja vettä H 2 O hapeksi O 2 ja glukoosiksi C 6 H 2 O 6. Reaktion kemiallinen yhtälö on siis x CO 2 + x 2 H 2 O x 3 O 2 + x 4 C 6 H 2 O 6 Etsi kertoimet x, x 2, x 3, x 4. Vastaus: Hiili-, vety- ja happiatomien lukumäärien täytyy pysyä vakioina, joten yhtälön kummallakin puolella niitä kutakin on sama määrä. Tästä saamme yhtälöryhmän, joka ratkaistaan esim. menetelmällä. Vastaukseksi saadaan x = x 2 = x 3 = 6τ, x 4 = τ, τ R. 32 / 32 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 2.

3. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 22.9.205 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita ratkotaan mm. sähkömagnetiikassa, mekaniikassa, tietotekniikassa, taloustieteissä, ekologiassa jne. Määritelmä Funktio T : R n R m on lineaarinen (eli lineaarikuvaus), jos (i) T (u + v) = T (u) + T (v) kaikille u, v R n (ii) T (cu) = ct (u) kaikille c R ja kaikille u R n. / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 2 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 3. 3. Huomioita Ehdot (i) ja (ii) voidaan lausua myös yhdessä: T (cu + dv) = ct (u) + dt (v) kaikille c, d R ja kaikille u, v R n. Edelleen (induktiolla) T (c u +... + c k u k ) = c T (u ) +... + c k T (u k ) kaikille k N, kaikille c,..., c k R ja kaikille u,..., u k R n. Lineaarikuvaus säilyttää lineaarikombinaatiot. Mielivaltaiselle u R n pätee T (0) = T (0u) = 0T (u) = 0. Lineaarikuvaus pitää origon paikallaan. Matriisin A R m n määräämä kuvaus T (u) = Au on lineaarinen (määritelmä toteutuu). Lineaarikuvaus R n R m voidaan aina esittää matriisikuvauksena (nähdään esimerkin jälkeen). 3 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. Esimerkki 2 (lasketaan luennolla) Määritellään lineaarikuvaus T : R 2 R 2, T (x) = Ax, missä A = ( 0 0 ). Määritä pisteiden u = (4, ), v = (2, 3) ja u + v = (6, 4) kuvapisteet. Totea, että T (u + v) = T (u) + T (v). 4 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3.

3. 3. Standardikantavektorit avaruudessa R n ovat e = (, 0,..., 0, 0), e 2 = (0,,..., 0, 0),. e n = (0, 0,..., 0, ). Identtinen matriisi I n on matriisi, jonka j:s sarake (yhtä lailla rivi) on j:s standardikantavektori: 0 0 0 I n = ( ) 0 0 0 e e n =........ 0 0 0 0 0 0 Lause 3 Jokainen lineaarikuvaus T : R n R m voidaan esittää matriisikuvauksena T (x) = Ax, missä matriisin A sarakkeet ovat kantavektorien e j kuvat: Esimerkki 4 A = ( T (e ) T (e n ) ). Olkoon T : R 2 R 3 lineaarikuvaus, jolle T (e ) = (5, 7, 2) ja T (e 2 ) = ( 3, 8, 0). Etsitään matriisi A R 3 2 siten, että T (x) = Ax kaikille x R 2. 5 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 6 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 3. 3. Esimerkki 5 (jatkuu) Koska mielivaltainen x = (x, x 2 ) R 2 voidaan esittää muodossa x = x e + x 2 e 2 ja koska T on lineaarinen, niin T (x) = T (x e + x 2 e 2 ) = x T (e ) + x 2 T (e 2 ) = x (5, 7, 2) + x 2 ( 3, 8, 0) = (5x 3x 2, 7x + 8x 2, 2x + 0x 2 ) eli sarakemuodossa 5x 3x 2 T (x) = 7x + 8x 2 = 2x + 0x 2 5 3 7 8 2 0 ( ) x x 2 = Ax. Avaruuden R n suora on joukko {u + tv t R} R n, missä u R n on eräs suoran piste ja v R n on suoran suuntavektori. Lause 6 Lineaarikuvaus kuvaa suoran suoraksi. Todistus. Luentoharjoitus. Matriisi A on lineaarikuvauksen T esitys standardikannassa. 7 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 8 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3.

3. 3. Kaikki tason lineaarikuvaukset (eli kuvaukset R 2 R 2 ovat) venytyksiä peilauksia kiertoja projektioita tai näiden yhdisteitä. Projektiomatriiseja [ ] 0 Projektio x-akselille: 0 0 [ ] 0 0 Projektio y-akselille: 0 Venytysmatriiseja Venytys x-suunnassa kertoimella k: Venytys y-suunnassa kertoimella k: [ k ] 0 0 [ ] 0 0 k 9 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 0 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 3. 3. Peilausten matriiseja [ ] 0 Peilaus x-akselin suhteen: 0 [ ] 0 Peilaus y-akselin suhteen: 0 [ ] 0 Peilaus suoran y = x suhteen: 0 [ ] 0 Peilaus suoran y = x suhteen: 0 [ ] 0 Peilaus origon suhteen: 0 Pyöritysmatriisi Matriisi [ cos(ϕ) ] sin(ϕ) sin(ϕ) cos(ϕ) pyörittää xy-tason pistettä kulman ϕ verran origon ympäri vastapäivään. Esimerkki 7 Matlab-esimerkki: Talon lineaarikuvaukset. / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 2 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3.

3.2 Idea: Lineaarikuvausten laskutoimitusten avulla määritellään vastaavat matriisien laskutoimitukset. Vakiolla kertominen ja summa. Olkoon t R ja A, B R n m. Silloin ta, A + B R n m ja määritellään ta ta 2... ta m ta 2 ta 22... ta 2m ta =......, ta n ta n2... ta nm A + B A 2 + B 2... A m + B m A 2 + B 2 A 22 + B 22... A 2m + B 2m A + B =...... A n + B n A n2 + B n2... A nm + B nm 3.2 Esimerkki 8 [ ] + 2 + 3 ( 2) 4 + 5 6 2 2 = 3 4 + 4 8 = 5 6 6 32 [ 2 + 4 ] 6 + 8 0 + 2 2 0 7 4. 2 26 Huom. Jotta A + B olisi määritelty, on matriisien A ja B oltava samankokoiset!, 3 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 4 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 3.2 3.2 Olkoon F : R m R n ja G : R n R p. Yhdistetty kuvaus on mielekäs vain muodossa G F : R m R p. Jos F ja G ovat lineaarikuvauksia, niin G F :kin on. Olkoon B kuvauksen F matriisi ja A kuvauksen G matriisi. Tällöin G F on AB on matriisitulo. (G F )(x) = G(F (x)) = A(B(x)) = ABx. 5 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. Määritelmä 9 Olkoot missä A }{{} p n Muistisääntö: = (α ij ) ja B }{{} n m C }{{} p m = (β ij ). Tällöin }{{} C = AB = (γ ij ), p m γ ij = = }{{} A }{{} B. p n n m n α ik β kj k= Huom! Matriisitulo ei ole vaihdannainen eli se ei kommutoi: yleisesti AB BA! Huom! Tulo voi olla nolla, vaikka kumpikaan matriisi ei olisi nollamatriisi! 6 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3.

3.2 3.2 Olkoot 9 8 B = 7 6 ja A = 5 4 [ ] 2 3 4 Nyt A + B, AB ja BB eivät ole mielekkäitä (vastaavilla lineaarikuvauksilla menisivät dimensiot solmuun tällaisista yhdistelmistä). Kuitenkin voidaan laskea BA = ja 9( ) + 8( 3) 7( ) + 6( 3) 5( ) + 4( 3) 9( 2) + 8( 4) 33 50 7( 2) + 6( 4) = 25 38 5( 2) + 4( 4) 7 26. A 2 := AA = = = [ ] [ ] 2 2 3 4 3 4 [ ] ( )( ) + ( 2)( 3) ( )( 2) + ( 2)( 4) ( 3)( ) + ( 4)( 3) ( 3)( 2) + ( 4)( 4) [ ] 7 0. 5 22 7 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 8 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 3.2 3.2 Esimerkki 0 (lasketaan luennolla) Olkoot A = [ ] 0 0, B = Laske AB, AC, BC ja CB. [ ] 2 3 ja C = Vastaus: AB = B, AC = C (vrt. x = x), [ ] [ ] 0 4 8 BC = ja CB = 5 3 2 4 [ 3 ] 2 2. Esimerkki Olkoon x = (, 2, 3) R 3 ja lineaarikuvauksen F : R 3 R 2 matriisi [ ] 2 3 4 A F =. 5 6 7 Silloin A F x = = [ ] 2 3 4 2 5 6 7 3 [ ] 2( ) + 3( 2) + 4( 3) 5( ) + 6( 2) + 7( 3) = [ ] 20 38, joten F (, 2, 3) = A F x = ( 20, 38). 9 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 20 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3.

3.2 3.2 Esimerkki 2 Tason suorakulmion sivut ovat koordinaattiakselien suuntaisia ja sen kulmat ovat vastapäivään lueteltuina a = (2, 0), b, c = (4, 4) ja d. Suorakulmiolle suoritetaan muunnos f, joka kuvaa sen peilatuksi neliöksi toiseen paikkaan tasossa. Suorakulmion kulmat kuvautuvat muunnoksessa siten, että f (a) = (0, 0) ja f (c) = (, ), sivut koordinaattiakelien suuntaiset ja kulmat ovat vastapäivään lueteltaessa f (a), f (d), f (c) ja f (b). Etsi matriisi, jolla voit esittää muunnoksen, ja selvitä mikä on pisteen (3, ) kuva muunnoksessa. Huom: Kyseessä ei ole lineaarikuvaus, mutta käyttämällä ns. homogeenisia koordinaatteja eli kirjoittamalla piste (x, y) muodossa (x, y, ) se voidaan esittää matriiseilla! 2 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. Ratkaisu: Piirretään ensin kuvat: d a = (2, 0) c = (4, 4) b f (b) f (c) = (, ) f (a) f (d) Muunnoksen voi toteuttaa siirtämällä kuvio ensin siten, että sen piste (2, 0) tulee origoon (matriisi M ), pienentämällä kuvio puolittamalla x-koordinaattiarvot ja jakamalla y-koordinaattiarvot luvulla 4 (matriisi M 2 ) ja lopulta peilaamalla suoran x = y suhteen (koordinaattiarvojen vaihto keskenään, matriisi M 3 ). 22 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 3.2 Jotta saisimme myös siirron (joka ei ole lineaarikuvaus tasossa!) esitettyä matriisilla, tarkastellaan pisteen (x, y) sijaan pistettä (x, y, ). Viimeinen koordinaatti on vain apuna mukana, kaksi ensimmäistä esittävät todellisuudessa tarkasteltavaa tason pistettä. Nyt siirto (x, y, ) (x 2, y, ) voidaan esittää matriisilla seuraavasti: 0 2 0 0 0 } 0 {{ } M x x 2 y = y. 3.2 Matriisi, joka kutistaa puoleen x-suunnassa ja neljännekseen y-suunnassa, eli tekee operaation (x, y, ) (x/2, y/4, ) on /2 0 0 0 /4 0 } 0 0 {{ } M 2 x x/2 y = y/4. Lopuksi vielä peilaus (x, y, ) (y, x, ): 0 0 x y 0 0 y = x. 0 } 0 {{ } M 2 23 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 24 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3.

3.2 3.2 Koko operaation suorittava matriisi saadaan tekemällä nämä peräjälkeen: 0 0 /2 0 0 0 2 M = M 3 M 2 M = 0 0 0 /4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 /4 0 = /2 0. 0 0 Piste (x, y) kuvautuu siis pisteeksi (y/4, x/2 ) ja erityisesti pisteen (3, ) kuva on (/4, /2). Matriiseille voidaan lisäksi määritellä laskutoimitus, joka tekee n m-matriisista m n-matriisin vaihtamalla rivit ja sarakkeet. Määritelmä 3 (Transpoosi) Olkoon }{{} A = (α ij ). Tällöin matriisin A transpoosi on matriisi n m A T = (γ ij ), missä γ ij = α ji Yhdistetylle kuvaukselle C = AB pätee C T = B T A T. 25 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 26 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 3.2 3.2 Määritelmä 4 Matriisi B on matriisin A käänteismatriisi, jos AB = I ja BA = I, missä I on sopivan kokoinen identiteettimatriisi. Käänteismatriisia merkitään A. Lause 5 Jos käänteismatriisi on olemassa, niin se on yksikäsitteinen. Huom. Jos matriisi A on kääntyvä, niin myös matriisi A on kääntyvä, ja (A ) = A. Jos A ja B ovat kääntyviä matriiseja, niin myös AB on kääntyvä, ja (AB) = B A. Jos A on kääntyvä, niin myös A T on kääntyvä, ja (A T ) = (A ) T. 27 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 28 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3.

3.2 Käänteismatriisin laskeminen: Olkoon A R n n kääntyvä. Miten lasketaan A R n n? Nyt AA = I n eli jos x j on matriisin A j:s sarake,niin saadaan n kpl lineaarisia yhtälöitä Ax j = e j (j =,..., n). Ratkotaan nämä n yhtälöä yhtä aikaa Gauss-eliminaatiolla: liittomatriisi A A 2... A n 0... 0 [ ] A 2 A 22... A 2n 0... 0 A In =............ A n A n2... A nn 0 0... muunnetaan liittomatriisiksi [ I n A ]. Siis [ A In ] [ I n A ] 3.2 Esimerkki 6 Lasketaan matriisin A = [ A I2 ] Siten A = = [ ] 2 5 3 käänteismatriisi: [ ] [ ] 2 0 2 0 5 3 0 0 2 5 2 [ ] 2 0 6 2 0 2 5 2 [ ] 0 3 0 5 2 [ 3 ] 5 2. (Tarkista kertolaskulla!) = [ I 2 A ] 29 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 30 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 3.2 Esimerkki 7 (lasketaan luennolla) Mikä on matriisin transpoosi? 3 4 2 A = 3 7 5 Esimerkki 8 (lasketaan luennolla) Etsi matriisien käänteismatriisit. A = ( ) 0 0 ja B = 3 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. ( ) 2 3 3.2 Terminologiaa: }{{} A on neliömatriisi; symmetrinen, jos A = A T. n n A on säännöllinen (sanotaan myös kääntyvä), jos käänteismatriisi on olemassa, muutoin singulaarinen. A = diag(α, α 2,..., α nn ) α 0 0... 0 0 α 2 0... 0 =... 0... 0 α (n )(n ) 0 0 0... 0 α nn on lävistäjä- eli diagonaalimatriisi. 32 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3.

3.2 3.3 Yläkolmiomatriisi: α jk = 0, kun j > k Alakolmiomatriisi: α jk = 0, kun j < k A on ortogonaalinen, jos A = A T. Esimerkki 9 (lasketaan luennolla) Laadi 3 3-esimerkkimatriisit näistä kaikista. Idea: Matriisin A R n n determinantti det(a) R ilmaisee miten paljon matriisia vastaava lineaarikuvaus skaalaa&peilaa avaruutta R n : Kuution [0, ] n := {x R n j : x j [0, ]} n-tilavuus on (-til.=pituus, 2-til.=pinta-ala, 3-til.=tavallinen tilavuus,...) ja A:n sarakkeiden virittämän särmiön A[0, ] n = {Ax R n x [0, ] n } n-tilavuus on det(a) (determinantin etumerkki kertoo peilautumisista). Determinantin laskemiseen tarvitaan neljä lakia: 33 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 34 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 3.3 3.3 Laki : det(i n ) =. Tulkinta : Identiteettikuvaus x I n (x) = x ei muuta n-tilavuutta tai suuntia. Laki 2: Matriisin sarake t kertaistuu determinantti t kertaistuu. Tulkinta 2: Särmiön n-tilavuus t-kertaistuu yhden särmän t-kertaistuessa. Esimerkki 20 [ ] [ ] 2 0 2 0 det = ( 2)(3) det 0 3 0 = 6. 6 0 0 0 0 det 0 5 0 = 2 (6)(5)(4) det 0 0 = 20. 0 0 4 0 0 0 2 0 2 det 0 3 4 = 2 (0) det 0 3 4 = 0. 0 5 6 0 5 6 35 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 36 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3.

3.3 3.3 Laki 3: Jos matriisissa A R n n on (ainakin) kaksi samaa saraketta, niin det(a) = 0. Tulkinta 3: Tällöin särmiö A[0, ] n R n on litistynyt ja sen n-tilavuus on 0. Esimerkki 2 Laki 4: Olkoon A j matriisin A R n n j:s sarake. Kun A k = B k + C k jollakin k {,..., n}, niin det [ A... A k B k + C k A k+... A n ] = det [ A... A k B k A k+... A n ] + det [ A... A k C k A k+... A n ]. 5 det 2 2 7 = 3 0, 3 3 9 5 det 2 7 2 = 3 0, 3 9 3 5 det 7 2 2 = 3 0. 9 3 3 Tulkinta 4: Särmiön yhden särmän summaus näkyy n-tilavuudessa summana. 37 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 38 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 3.3 3.3 Esimerkki 22 [ ] 3 0 = det [ ] 4 0 0 = det [ ] 3, 0 = det 0 joten det [ ] 0 0 [ ] 4 0 = det [ ] 0 + det 0 +, =. [ ] + det 0 [ ] 0 + det 0 39 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. + det [ ] 0 0 Esimerkki 23 (lasketaan luennolla) [ ] a b Laske matriisin determinantti lakien - 4 avulla. c d Ratkaisu: [ ] [ ] [ ] a b 4 a b 0 b det = det + det c d 0 d c d [ ] [ ] [ ] [ ] 4 a 0 a b 0 b 0 0 = det + det + det + det 0 d 0 0 c 0 c d [ ] [ ] [ ] 2 0 0 0 = addet(i ) + abdet + bcdet + cddet 0 0 0 & 3 = ad + 0 bc + 0, [ ] 0 sillä äsken laskettiin det =. 0 40 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3.

3.3 3.3 Lait, 2, 3, 4 ovat ristiriidattomat ja riittävät determinantin laskemiseen. Käytännössä determinantit kuitenkin lasketaan käsin muistamalla, että [ ] a b det c d = ad bc a merkitään myös lyhyesti pystyviivoilla: Esimerkki 24 M := det(m), kun M on matriisi. ja purkamalla matriisi 2 2-osiin alideterminanttisäännöllä det(a) = ( ) k i ( ) i A ki det(a ki ), missä k on jokin rivinumero ja A ki matriisi A, josta on poistettu rivi k ja sarake i. a b c d e f g h i = a e f h i b d f g i + c d e g h = a(ei fh) + b(fg di) + c(dh eg). 4 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 42 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 3.3 3.3 Huom. Myös 3 3-matriisin determinantille on muistisääntö: a b c d e f = aei + bfg + cdh afh bdi ceg. g h i alamäkeen positiivisina, ylämäkeen negatiivisina. Lause 26 Olkoon A R n n. Silloin A det(a) 0 ja det(a T ) = det(a). Esimerkki 25 (lasketaan luennolla) 2 3 Laske matriisin A = 4 2 6 3 8 Vastaus: det(a) = 42 determinantti. Lause 27 Todistukset kirjassa. det(ab) = det(a) det(b) 43 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3. 44 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3.

3.3 Esimerkki 28 (lasketaan luennolla) Millä[ kertoimia ] a, b, c, d R koskevalla ehdolla matriisilla a b A = on käänteismatriisi? c d Mikä silloin on käänteismatriisi A? Tarkista, että A A = I = AA. 45 / 45 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 3.

Ominaisarvot ja -vektorit Ominaisarvot ja -vektorit 4. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. Ominaisarvot ja -vektorit Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto.0.205 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin suunta ja pituus yleensä muuttuvat. Jotkin vektorit kuitenkin säilyttävät suuntansa. Näitä sanotaan matriisin ominaisvektoreiksi. Määritelmä Jos n n-matriisille A pätee Ax = λx jollakin vektorilla x C n \ {0} ja skalaarilla λ C, niin λ on matriisin A ominaisarvo ja x sitä vastaava ominaisvektori. / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit 2 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit Ominaisarvot ja -vektorit Ominaisarvot ja -vektorit 4. 4. Esimerkki 2 (lasketaan luennolla) [ ] [ ] [ 6 6 Olkoon A =, u = ja v = 5 2 5 matriisin A ominaisvektoreita? 3 2 ]. Ovatko u jav Vastaus: u on, sillä Au = 4u. v ei ole, sillä Av λv λ C. Esimerkki 3 (lasketaan luennolla) Osoita, että 7 on matriisin A = [ Ratkaisu: A ] [ = 7 ]. [ 6 5 2 ] ominaisarvo. Lause 4 Erisuuria ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Muistetaan, että vektorit {v, v 2,..., v n } ovat lineaarisesti riippumattomat, jos mitään niistä ei voida lausua lineaarikombinaationa toisista, eli yhtälön c v + c 2 v 2 +... + c n v n = 0 ainoa ratkaisu on c = c 2 =... = c n = 0. Todistus. Taululla, vastaoletuksesta johdetaan ristiriita. 3 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit 4 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit

Ominaisarvot ja -vektorit Ominaisarvot ja -vektorit 4. 4.2 Huomioita reaalisia ominaisvektoreita ei aina ole olemassa ominaisvektori on määritelmän mukaan nollasta eroava ominaisarvo voi olla nolla Ax = λx A(tx) = λ(tx) kaikilla t R, joten ominaisvektorin x sijaan voidaan puhua x:n suuntaisesta ominaissuorasta {tx t R}. (Kulkee origon kautta.) Jos matriisin A R n n ominaisarvo λ 0, niin vastaava ominaissuora kuvautuu itselleen ja ominaisarvo λ ilmoittaa ominaissuoran suuntaisen venytyksen. Jos λ < 0, niin suunnistus ominaissuoralla kääntyy, ts. venytyksen lisäksi lineaarikuvaus peilaa ominaissuoran normaalin suhteen. Jos λ = 0, niin kuvaus litistää ominaissuoran origoksi. 5 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit Ominaisyhtälö Ax = λx on yhtäpitävästi (A λi )x = 0, missä I on identtinen matriisi. Tälle löytyy nollasta eroava ratkaisu x täsmälleen silloin, kun det(a λi ) = 0 jollekin λ R. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarikuvausta ( ) 2 A =. 2 Muodostetaan lineaarikuvauksen karakteristinen polynomi p(λ) = det(a λi ): ( ( ) ( ) ) 2 0 p(λ) = det(a λi ) = det λ 2 0 6 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit Ominaisarvot ja -vektorit Ominaisarvot ja -vektorit 4.2 4.2 = det ( ( ) 2 2 = ( λ) 2 4. ( ) ) λ 0 0 λ Haluttiin det(a λi ) = 0 eli p(λ) = 0: ( λ) 2 4 = 0 ( λ) 2 = 4 ( λ) = ±2 λ = tai λ = 3. ( ) λ 2 = det 2 λ Nämä ovat A:n ominaisarvot. Etsitään niitä vastaavat ominaisvektorit ratkaisemalla x yhtälöstä (A λi )x = 0. 7 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit Kun λ =, niin yhtälö on (A + I )x = 0, ts. ( ( ) ( ) ) ( ) 2 0 x + = 2 0 ts. ( ) ( ) 2 2 x = 2 2 eli saadaan yhtälöpari x 2 { 2x + 2x 2 = 0 x 2 2x + 2x 2 = 0. ( ) 0 0 ( ) 0, 0 (Lineaarisesti riippuvat yhtälöt juuri kuten pitääkin, sillä halutaan ratkaisuksi ominaissuora.) 8 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit

Ominaisarvot ja -vektorit Ominaisarvot ja -vektorit 4.2 4.2 Yhtälöparin ratkaisujoukko on {(x, x 2 ) R 2 x 2 = x }. (Suora.) Vastaavasti kun λ = 3, niin ominaisyhtälö on (A 3I )x = 0 ja saadaan yhtälöpari { 2x + 2x 2 = 0 2x 2x 2 = 0. Jälleen lineaarisesti riippuvat yhtälöt; ratkaisujoukko on suora {(x, x 2 ) R 2 x 2 = x }. Yhteenveto: ominaisarvoa vastaava ominaissuora on {(x, x 2 ) R 2 x 2 = x } ja ominaisarvoa 3 vastaava ominaissuora on {(x, x 2 ) R 2 x 2 = x }. Ominaisvektoreita ovat näillä suorilla olevat vektorit, esim. (, ) ja ( ). Nämä tiedot kertovat lineaarikuvauksesta kaiken! x Ax Kuvassa skaalataan ominaissuorien suuntaisesti kertoimilla 3 ja. 9 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit 0 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit Ominaisarvot ja -vektorit Ominaisarvot ja -vektorit 4.2 4.2 Ominaisarvot ja -vektorit lasketaan siis seuraavasti: Muodosta karakteristinen polynomi p(λ) = det(a λi ). Etsi karakteristisen polynomin nollakohdat p(λ) = 0, nämä ovat ominaisarvot. Ratkaise kullakin ominaisarvolla λ i sitä vastaava ominaisvektori/suora yhtälöstä (A λ i I )x = 0. Esimerkki 5 (lasketaan luennolla) Määritä matriisin A = 9 5 2 4 8 4 0 7 5 ominaisarvot ja vastaavat ominaissuorat. Piirrä kuva. Vastaus: ominaisarvot ovat, 2, ja 3, ja vastaavat ominaissuorat ovat {t 2 : t R}, {t : t R} ja {t 2 : t R}. 2 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit 2 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit

Ominaisarvot ja -vektorit Ominaisarvot ja -vektorit 4.2 4.2 Esimerkki 6 Matriisin R = ( ) 0 0 ominaisarvot ovat ja, sillä sen määräämä lineaarikuvaus on peilaus suoran suhteen. Esimerkki 7 Matriisilla Q = ( ) 0 0 ei ole reaalisia ominaisvektoreita, sillä sen määräämä lineaarikuvaus on 90 asteen pyöritys. Ominaisarvot ovat i ja i. Kuten edellisessä esimerkissäkin nähtiin, reaaliselle matriisille kompleksiset ominaisarvot esiintyvät konjugaattiparina. Lause 8 Jos reaalisella matriisilla A on kompleksinen ominaisarvo λ = x + yi, jota vastaa ominaisvektori v, niin myös λ = x yi on ominaisarvo ja v on sitä vastaava ominaisvektori. Todistus. Av = λv Av = Av = (Av) = (λv) = λv. 3 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit 4 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit Ominaisarvot ja -vektorit Ominaisarvot ja -vektorit 4.2 Ominaisarvoille pätevät seuraavat tulokset: Matriisi A on kääntyvä, jos ja vain jos 0 ei ole sen ominaisarvo. Jos λ 0 on kääntyvän matriisin ominaisarvo, niin /λ on käänteismatriisin A ominaisarvo. Kolmiomatriisin ominaisarvot ovat sen diagonaalialkiot. Matriisin determinantti on yhtä kuin sen ominaisarvojen tulo: det(a) = λ λ 2... λ n Matriisin A = (a ij ) diagonaalialkioiden summa eli jälki (engl. trace) on yhtä kuin sen ominaisarvojen summa: a + a 22 +... + a nn = λ + λ 2 +... + λ n 4.2 Sovellus Markovin ketjuihin Markovin ketjuja käytetään matemaattisina malleina useissa erilaisissa biologian, talouden, kemian, fysiikan jne. tilanteissa. Malli sopii tilanteeseen, jossa samaa koetta tai mittausta toistetaan, tulos on yksi äärellisestä joukosta vaihtoehtoja ja kunkin toiston tulos riippuu vain edellisen toiston tuloksesta: Systeemin tilaa hetkellä k kuvaa vektori x k. Tiedetään, että tila seuraavalla hetkellä saadaan laskettua matriisin A avulla, eli x k+ = Ax k. Tyypillisesti matriisin A alkiot kuvaavat siirtymätodennäköisyyksiä, joten kunkin sen sarakkeen alkioiden summa on. 5 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit 6 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit

Ominaisarvot ja -vektorit Ominaisarvot ja -vektorit 4.2 4.2 Esimerkki 9 Systeemin tilaa hetkellä k kuvaa vektori x k. Tiedetään, ( että tila ).95.03 seuraavalla hetkellä saadaan laskettua matriisin A =.05.97 avulla: x k+ = Ax k. Jos alussa x 0 = [.6,.4] T, niin mihin tilaan systeemi päätyy lopulta? Ratkaisu: Lasketaan A:n ominaisarvot ja ominaisvektorit: λ =, λ 2 = 0.92, v = [3, 5] T, v 2 = [, ] T. Kirjoitetaan x 0 ominaisvektoreiden kombinaationa: x 0 = 0.25v + 0.225v 2. Tällöin x k = A k x 0 = 0.25 k v + 0.225 0.92 k v 2 0.25v, kun k. Systeemi päätyy siis tilaan 0.25v = [0.375, 0.625] T. Esimerkki 0 (lasketaan luennolla) Erään kaupungin säätilaa voidaan kuvata yksinkertaistetusti siten, että sadepäivän jälkeen seuraavanakin päivänä sataa todennäköisyydellä 0.5 ja poutapäivän jälkeen on seuraavanakin päivänä poutaa todennäköisyydellä 0.9. Olkoon vektori x k = [ sateettoman sään todennäköisyys päivänä k sateisen sään todennäköisyys päivänä k Muodosta matriisi A, jonka avulla saat laskettua säävektorin seuraavalle päivälle, eli x k+ = Ax k. Miten suurella todennäköisyydellä satunnaisena päivänä sataa? ]. 7 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit 8 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit Ominaisarvot ja -vektorit Ominaisarvot ja -vektorit 4.2 4.2 Ratkaisu: Sateen ja aurinkoisen sään todennäköisyys päivänä k + saadaan siis päivän k todennäköisyyksistä seuraavasti: [ ] 0.9 0.5 x k+ = x 0. 0.5 k Rajakäyttäytymisen k selvittämiseksi lasketaan A:n ominaisarvot ja -vektorit: λ = : [ 0. 0.5 0. 0.5 λ 2 = 0.4: [ 0.5 0.5 0. 0. ] 0 0 ] 0 0 [ 5 [ 0 0 0 0 ] 0 0 ] 0 0 v 2 = v = ( ) ( ) 5 λ + λ 2 = Tr(A) =.4 λ λ 2 = det(a) = 0.4 λ =, λ 2 = 0.4 Ominaisvektorit ovat riippumattomat, joten kirjoitetaan x 0 muodossa x 0 = w v + w 2 v 2, jolloin saadaan x k = A k x 0 = w k ( ) 5 +w 2 0.4 k ( ) ( ) 5 w, kun k. 9 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit 20 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit

Ominaisarvot ja -vektorit Ominaisarvot ja -vektorit 4.2 4.2 Vielä pitää selvittää w. Koska alkutilan x 0 alkioiden täytyy summautua ykköseen (tn:llä joka sataa tai paistaa), alkutilasta riippumatta saadaan ( ) w v + w 2 v 2 = x 0 = [x 0,, x 0,2 ] T 5w + w 2 = w w 2 6w = x 0, + x 0,2 = w = 6. Näin ollen ( 5 ) x k 6, kun k, 6 ( x0, x 0,2 ) Esimerkki (lasketaan luennolla) Etsi seuraavien dynaamisia systeemejä kuvaavien matriisien A ja A ominaisarvot ja ominaisvektorit. Mistä tiedetään, että matriisin A 00 esittämä lineaarikuvaus on jo hyvin lähellä matriisin A lineaarikuvausta? A = ( ).6.2, A =.4.8 ( /3 ) /3 2/3 2/3 joten satunnaisena päivänä paistaa todennäköisyydellä 5 6 on luvassa todennäköisyydellä 6. ja sadetta 2 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit 22 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit Ominaisarvot ja -vektorit Ominaisarvot ja -vektorit 4.3 4.3 Määritelmä 2 Polynomin det(a λi ) juuren kertaluku on kyseisen ominaisarvon λ algebrallinen kertaluku m a (λ). Ominaisarvon λ geometrinen kertaluku m g (λ) on sitä vastaavan ominaisavaruuden dimensio, eli lineaarisesti riippumattomien ominaisvektorien lukumäärä. Esimerkki ( 3 ) 2 Matriisin karakteristinen polynomi on ( λ) 0 2, joten ominaisarvon λ = algebrallinen kertaluku on m a () = 2. Sitä vastaavat ominaisvektorit toteuttavat x 2 = 0, joten on vain yksi ominaissuora {(x, 0) x R}, ja geometrinen kertaluku on siis m g () =. Piirretään kuva esimerkin tilanteesta: x Ax Vain x -akseli pysyy siis paikallaan, toista muuttumatonta suoraa ei ole. Tässä tapauksessa ominaisarvot ja -vektorit eivät kerro kaikkea kuvauksesta! 23 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit 24 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit

Ominaisarvot ja -vektorit Ominaisarvot ja -vektorit 4.3 4.3 Esimerkki 4 (lasketaan luennolla) Etsi matriisin A = 0 2 0 3 0 2 0 ominaisarvojen algebralliset ja geometriset kertaluvut. Ratkaisu: Lasketaan ominaisarvot karakteristisen polynomin nollakohtina: det(a λi ) =... = (3 λ) 2 (λ + ) = 0, joten ominaisarvon λ = 3 algebrallinen kertaluku on 2 ja ominaisarvon λ = on. Lasketaan sitten ominaisvektorit: Kun λ =, yhtälö on (A + I )x = 0, ja saadaan x 2 = 0 ja x 3 = x, eli ominaissuora {t(, 0, ) t R}. Näin ollen geometrinen kertaluku on m g ( ) = m a ( ) =. Arvolle λ = 3 saadaan yhtälöstä (A 3I )x = 0 ehdot x 2 R ja x 3 = x, joten tätä ominaisarvoa vastaten saadaankin ominaistaso {s(, 0, ) + t(0,, 0) s, t R}. (Lineaarisesti riippumattomat ominaisvektorit esim. (, 0, ) ja (0,, 0)). Geometrinen kertaluku on siis m g (3) = 2. 25 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit 26 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit Ominaisarvot ja -vektorit 4.3 Huom. Geometrinen kertaluku ei koskaan voi olla suurempi kuin algebrallinen kertaluku, m g (λ) m a (λ). Huom 2. Matriisit A ja B ovat similaariset, jos on olemassa sellainen kääntyvä matriisi S, että S AS = B. Similaaristen matriisien A ja B karakteristiset polynomit ovat samat, ja niillä on siis samat ominaisarvot. 27 / 27 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 4. Ominaisarvot ja -vektorit

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 5. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.0.205 Laskentaongelmissa käsiteltävät matriisit ovat tyypillisesti valtavia. Jotta laskut menisivät läpi edes jossain määrin järjellisessä ajassa, käytetään hyväksi mm. matriisihajotelmia. Ideana niissä on purkaa matriisi useamman, yksinkertaisemman matriisin tuloksi. Matriisihajotelmia on koko joukko, ne soveltuvat eri käyttötarkoituksiin ja erityyppisille matriiseille. Tällä kurssilla tarkastelemme varsinaisesti näistä kahta: diagonalisointia ja singulaariarvohajotelmaa (). Lisäksi harjoituksessa 4 esiintyi LU-hajotelma. / 3 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5. 2 / 3 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5. 5. 5. Esimerkki (Luentoharjoitus) R n n neliömatriisi A, joilla on n riippumatonta ominaisvektoria, voidaan diagonalisoida. Tämä tarkoittaa, että matriisi A R n n voidaan kirjoittaa muodossa A = SΛS, missä matriisin S sarakkeet ovat matriisin A ominaisvektorit, ja matriisi Λ on diagonaalimatriisi, jossa kussakin sarakkeessa on matriisissa S samassa sarakkeessa olevaan ominaisvektoriin liittyvä ominaisarvo. Aiemmin laskimme matriisille A = ( 2 2 ominaisarvot ja -vektorit, ( ) ja saimme ominaisarvoa vastaavaksi ( ) ominaisvektoriksi ja ominaisarvoa 3 vastaavaksi. Diagonalisoi A. Vastaus: A = SΛS = ( ) ) ( 0 0 3 ) ( /2 /2 /2 /2 ) 3 / 3 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5. 4 / 3 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5.

5. 5. Huom n n-matriisi diagonalisoituu, jos sillä on n lin. riippumatonta ominaisvektoria. Erityisesti tämä tapahtuu silloin, kun matriisilla on n erisuurta ominaisarvoa, mutta voi siis tapahtua muulloinkin! Esimerkki 2 Matriisi A = ( ei diagonalisoidu. Sen ainoa ominaisarvo on nimittäin 0, eli m a (0) = 2. Ominaisvektoreita laskettaessa kuitenkin havaitaan, että löytyy vain yksi ominaisvektori, eli m g (0) =, eikä A diagonalisoidu. ) Esimerkki 3 Matriisi A = 0 2 0 3 0 2 0 diagonalisoituu: Sen ominaisarvot ovat 3 ja, m a (3) = 2 ja m a ( ) =, mutta onneksi (kuten aiemmin laskettiin) ominaisarvoa 3 vastaten löytyy ominaistaso, eli saadaan kaksi lin. riippumatonta ominaisvektoria om. arvolle 3. Saadaan hajotelma A = 0 0 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 5 / 3 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5. 6 / 3 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5. 5. 5. Huom. Jos matriisi on diagonalisoituva, sen potensseja on hyvin näppärä laskea: A 2 = SΛ S} {{ S} ΛS = SΛ 2 S =I A 3 = SΛ } S {{ S} Λ } S {{ S} ΛS = SΛ 3 S =I =I A k = SΛ k S Diagonaalimatriisin potenssithan ovat helppoja: Λ k = λ 0 0 0... 0 0 0 λ n k = λ k 0 0 0... 0 0 0 λ k n. Esimerkki 4 (Luentoharjoitus) Laske A 204, kun Vastaus: A = SΛS = A 204 = = A = ( 0 ( 5 0 4 ) ) ( 5 0 0 4 ( ) ( 5 204 0 0 0 4 204 ( 5 204 5 204 4 204 ) 0 4 204 ) ( 0 ), ) ( 0 ) 7 / 3 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5. 8 / 3 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5.

5. 5.2 Huom. Käänteismatriisin löytäminenkin on diagonalisoidulle matriisille helppoa: Diagonaalimatriisillehan A = (SΛS ) = SΛ S. λ 0 0 Λ =. 0.. 0 0 0 λ n λ 0 0 =. 0.. 0. 0 0 λ n Joissakin tapauksissa diagonalisointi onnistuu erityisen mukavasti: tästä on kyse normaalin matriisin unitaarisessa diagonalisoinnissa. Ensin hieman terminologiaa: Matriisi A C n m on matriisin A C m n konjugaattitranspoosi, jos (A ) kj = A jk. Matriisi A C n n on symmetrinen, jos A = A. Matriisi A C n n on normaali, jos A A = AA. Matriisi U C n n on unitaarinen, jos U = U. 9 / 3 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5. 0 / 3 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5. 5.2 5.2 Lause 5 (Normaalin matriisin unitaaridiagonalisointi) Matriisille A C n n seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: A on normaali. 2 A = UΛU, missä U C n n on unitaarinen ja Λ C n n diagonaalinen. Esimerkki 6 Jos A on symmetrinen, eli A = A, niin A on normaali: A A = A 2 = AA. Symmetrinen matriisi on siis aina unitaarisesti diagonalisoituva. Esimerkki 7 (lasketaan luennolla) ( ) 0 Osoita, että matriisi A = ei ole normaali. 0 0 Lause 8 (Erikoistapaus unitaaridiagonalisoinnista) Jos A C n n on symmetrinen ja sen ominaisarvot ovat erisuuret, niin A = UΛU, missä U C n n on unitaarinen ja Λ C n n diagonaalinen. Todistus. Taululla, jos ehditään. / 3 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5. 2 / 3 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5.

5.2 5.2 Huom. Kompleksisille vektoreille u, v C n pistetulo on u v = n u i v i. Kompleksiset vektorit ovat ortogonaaliset, kun pistetulo on 0. Huom. Normaalin matriisin eri ominaisarvoja vastaavat normeeratut ominaisvektorit ovat ortonormaaleja. Samaa ominaisarvoa vastaavat ominaisvektorit voidaan valita siten, että ne ovat ortonormaaleita. i= Matriisi U saadaan siis normeeratuista, ortonormaaleista ominaisvektoreista. Esimerkki 9 (lasketaan luennolla) ( ) 0 Osoita, että matriisi A = on normaali ja diagonalisoi 0 se unitaarisesti. Ratkaisu: Lasketaan ( A 0 A = 0 ja AA = ( 0 0 ) ( 0 0 ) ( 0 0 ) = ) = ( 0 0 ( 0 0 ) ), joten A on normaali ja se voidaan diagonalisoida unitaarisesti. 3 / 3 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5. 4 / 3 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5. 5.2 5.2 Etsitään ominaisarvot: det(a λi ) = λ λ = λ2 +, joten λ = i, λ 2 = i. Etsitään ominaisvektorit: yhtälöstä (A ii )x = 0 saadaan ( ) ( ) i i i 0 0 eli ehto ix + x 2 = 0. Valitaan ominaisvektoriksi v = (/ 2, i/ 2) T. (Tällöin sen pituus on!) Vastaavasti ominaisarvolle λ 2 = i saadaan ominaisvektori v 2 = (/ 2, i/ 2) T. Matriisille A saadaan siis unitaarinen diagonalisointi A = = ( ) 0 0 ( / 2 / 2 i/ 2 i/ 2 = UΛU. (Tarkista kertolaskulla!) ) ( i 0 0 i ) ( / 2 i/ 2 / 2 i/ 2 ) 5 / 3 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5. 6 / 3 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5.

5.3 5.3 (a) Alkuperäinen kuva, 20 KB 7 / 3 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5. (b) :llä pakattu kuva, 82 KB Kuten edellä huomattiin, vain neliömatriisin voi diagonalisoida olettaen, että sillä on täysi määrä riippumattomia ominaisvektoreita. Kaikille matriiseille voidaan kuitenkin tehdä singulaariarvohajotelma (Singular Value Decomposition). :n ideana on purkaa lineaarikuvaus kolmeen osaan: unitaariseen kuvaukseen, venytykseen ja toiseen unitaariseen kuvaukseen. (Unitaariset kuvaukset voi usein tulkita kierroiksi.) :tä käytetään mm. signaalinkäsittelyssä ja statistiikassa. Siihen perustuvat esimerkiksi jotkin kuvanpakkausmenetelmä ja Googlen hakukoneen toiminta. liittyy läheisesti ns. pääkomponenttianalyysiin, jossa tavoitteena on löytää monidimensioisesta datasta ne komponentit, joilla sen keskeisimmät piirteet voidaan esittää menettämättä oleellista informaatiota. 8 / 3 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5. 5.3 5.3 Lause 0 () Matriisille A R m n on olemassa hajotelma A A = UΣV T, missä U on m m-ulotteinen ortogonaalinen matriisi, V on n n-ulotteinen ortogonaalinen matriisi ja Σ on m n-ulotteinen diagonaalimatriisi, joka sisältää matriisin A singulaariarvot. Muistutus: Matriisin on ortogonaalinen, jos käänteismatriisi on sen transpoosi: U = U T. Tällöin sen sarakevektorit ovat ortonormaaleja. (Huomaa, että reaaliselle matriisille ortogonaalisuus ja unitaarisuus ovat sama asia.) V^T U Sigma Figure: A = kierto + venytys + kierto 9 / 3 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5. 20 / 3 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5.

5.3 5.3 Huom. Vain matriisi Σ on yksikäsitteinen (kun singulaariarvot asetetaan diagonaalille suurimmasta pienimpään), muita voi löytyä useita. Luku σ > 0 on matriisin A singulaariarvo, jos on olemassa vektorit u ja v siten, että Av = σu ja A T u = σv. Jos σ on matriisin A singulaariarvo, niin σ 2 on matriisin A T A ominaisarvo. on olemassa myös kompleksisille matriiseille, silloin transpoosin V T sijaan tarvitaan adjungaatti V (kompleksikonjugaatin transpoosi) ja U ja V ovat unitaarisia, eli V = V, U = U. voidaan laskea seuraavien tietojen perusteella: Matriisin Σ diagonaalialkiot σ j ovat matriisin A T A ominaisarvojen positiiviset neliöjuuret. Matriisin V sarakevektorit v j (eli V T :n rivit) ovat matriisin A T A yksikköpituiset ominaisvektorit. Matriisin U sarakevektorit u j ovat matriisin AA T yksikköpituiset ominaisvektorit. Jos σ j 0, niin sarakevektori u j = Av j /σ j. Huom. Matriisit AA T R m m ja A T A R n n ovat aina symmetrisiä, joten niillä on täysi määrä ortogonaalisia ominaisvektoreita. Koko :n idea perustuu tähän. 2 / 3 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5. 22 / 3 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5. 5.3 Esimerkki (Luentoharjoitus) Etsi matriisin A = ( 2 3 6 singulaariarvohajotelma. ( ) 0 20 Ratkaisu: Matriisin A T A = ominaisarvot ovat 50 ja 20 40 0, joten singulaariarvot ovat σ = 50, σ 2 ( = 0. Matriisin ) A T A / 5 yksikköpituiset ominaisvektorit ovat v = 2/ ja 5 ( ) 2/ 5 v 2 = /. 5 ) 5.3 ( ) ( ) 5/ 5 Nyt u = Av /σ = 5/ / 0 5 50 = 3/. Koska σ 2 = 0, 0 vektoria u 2 ei saada samalla tavalla, vaan se täytyy ( laskea matriisin ) 5 5 AA T yksikköpituisena ominaisvektorina: AA T =, ja 5 45 sen ominaisarvoa ( ) 0 vastaava yksikköpituinen ominaisvektori on 3/ 0 u 2 = /. Näin ollen hajotelma on 0 A = UΣV ( T / 0 3/ 0 = 3/ 0 / 0 (Tarkista kertolaskulla!) ) ( 50 0 0 0 ) ( / 5 2/ 5 2/ 5 / 5 ). 23 / 3 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5. 24 / 3 N. Hyvönen, c R. Kangaslampi 5.

5.3 5.3 Esimerkki 2 Alkupera ista n n matriisia voidaan approksimoida :n avulla ottamalla k ensimma ista saraketta matriisista U, k k osa diagonaalimatriisin Σ vasemmasta yla kulmasta ja k ensimma ista rivia matriisista V T, eli ensimma ista k:ta singulaariarvoa vastaava osuus. Huom: Singulaariarvot oli valittu suuruusja rjestykseen, suurimmasta pienimpa a n. Na in saadaan alkupera ista matriisia approksimoiva matriisi, jonka rangi on k. 25 / 3 N. Hyvo nen, c R. Kangaslampi 5. A skeisen esimerkin matriisille saadaan approksimaatio 2 3 6 / 0 3/ 0 / 5 2/ 5 50 0 = 0 0 3/ 0 / 0 2/ 5 / 5 / 0 50 / 5 2/ 5 3/ 0 / 0 = 0 2 0 3/ 0 2 = 3 6 N. Hyvo nen, c R. Kangaslampi 26 / 3 5.3 5. 5.3 Esimerkki 3 Testikuvassa on 52 52 pikselia, eli se voidaan esitta a 52 52-matriisilla, pikselin va ri antaa arvon ko. alkiolle matriisissa. Ta lle matriisille voidaan tehda singulaariarvohajotelma, ja approksimoida sitten kuvaa ottamalla hajotelmasta k:ta ensimma ista singulaariarvoa vastaava osuus. Huomataan, etta va hempikin ma a ra dataa riitta a kuvan esitta miseen tunnistattavasti ja jopa silma ma a ra isesti riitta va n tarkasti. (a) k = (b) k = 0 (c) k = 20 (d) k = 50 Seuraavalla sivulla kuvat, kun k =, 0, 20, 50, 00 ja 200 seka alkupera inen kuva. (e) k = 00 27 / 3 N. Hyvo nen, c R. Kangaslampi 5. 28 / 3 (f) k = 200 N. Hyvo nen, c R. Kangaslampi (g) k = 52 5.