HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on maanantaina 9.6. Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 0 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin.. Olkoon X = {0,, }. Ovatko seuraavat säännöt kuvauksia? (a) f : X X, f(n) = n + n( ) n+ (b) g : X X, x (c) h : R \ {} R, h(x) = + x x (d) ρ : R [0, [, x x x. (a) Huomataan, että f(0) = 0 X, f() = X ja f() = 4 = X. Näin ollen kaikki lähdön alkiot kuvautuvat yksikäsitteisesti maalijoukkoon, joten f on kuvaus. (b) Ei, sillä luku ei kuulu g:n maalijoukkoon. (c) Kyllä. Lauseke + x on hyvinmääritelty kaikilla x R\{} ja se on reaaliluku x eli kuuluu maalijoukkoon R. (d) Ei, sillä = / [0, [.. Perustele, miksi seuraavat säännöt eivät ole kuvauksia. (a) f : Q Q, f(m/n) = (m + n)/(n + ) kaikilla m/n Q. (b) g : [, ] ]0, [, g(t) = 5t + 5t + kaikilla t [, ]. (a) Ei, sillä 0 = 0/ = 0/, mutta f(0/) = (0 + )/( + ) = / ja f(0/) = (0 + )/( + ) = /5. Näin ollen f(0/) f(0/). (b) Ei, sillä g( /) = 5( /) + 5 ( /) + = 5/4 5/ + = /4 / ]0, [. Tarkastellaan kuvausta f : Z Z Z, f(n, m) = n m +. (a) Onko f injektio? Entä surjektio? (b) Olkoon A = {0, } {, }. Määritä kuva fa. (c) Olkoon B = {}. Luettele neljä eri alkiota alkukuvasta f B.
(a) Huomataan, että f(0, 0) = 0 0 + = = + = f(, ), joten f ei ole injektio. Oletetaan, että z Z. Tällöin (z, ) Z Z ja f(z, ) = z + = z. Näin ollen f on surjektio. (b) Huomataan, että A = {(0, ), (0, ), (, ), (, )}. Näin ollen fa = {f(n, m) (n, m) A} = {f(0, ), f(0, ), f(, ), f(, )} = {,, 0, } = {,, 0} (c) Huomataan, että f(0, 0) = f(, ) = f(, ) = f(, ) = B, joten (0, 0), (, ), (, ), (, ) f B. 4. Tarkastellaan kuvausta f : Z Z Z, f(n) = (n, n + ). (a) Onko f injektio? Entä surjektio? (b) Olkoon A = {0,, }. Määritä kuva fa. (c) Olkoon B = {0, } {,, }. Määritä alkukuva f B. (a) Oletetaan, että n, m Z ja f(n) = f(m). Näin ollen (n, n + ) = (m, m + ), joten n = m ja n + = m +. Erityisesti siis n = m. Näin ollen f on injektio. Huomataan, että kaikilla n Z pätee (n, n + ) (0, ). Näin ei ole olemassa n Z siten, että f(n) = (0, ), joten f ei ole surjektio. (b) fa = {f(0), f(), f()} = {(0, ), (, ), (, )}. (c) Huomataan, että B = {(0, ), (0, ), (0, ), (, ), (, ), (, )}. Näin ollen f B = {n Z f(n) B} = {n Z (n, n + ) B} = {0, }. Tehtäväsarja II Seuraavassa tehtävässä kerrataan induktiotodistusta 5. (Bernoullin epäyhtälö) Oletetaan, että x R ja x >. Osoita induktiolla, että tällöin ( + x) n + nx kaikilla n N. Missä tarvitset oletusta x >? Alkuaskel: olkoon n = 0. Tällöin ( + x) n = ( + x) 0 = + 0 = + nx joten väite pätee kun n = 0. Induktioaskel: oletetaan, että ( + x) k + kx jollakin k N. Tällöin (+x) k+ = (+x)(+x) k ( ) (+x)(+kx) = +kx+x+kx +kx+x = +(k+)x, joten väite pätee luvulle k +. Induktioperiaatteen nojalla väite pätee kaikilla n N. ( ): koska x >, niin + x > 0 joten induktio-oletuksen ( + x) k + kx nojalla myös ( + x)( + x) k ( + x)( + kx) pätee.
Tehtäväsarja III Seuraavat tehtävä liittyy käänteiskuvauksen käsitteeseen. Luentokalvoista 5 64 voi olla apua 6. Osoita, että kuvaus g on kuvauksen f käänteiskuvaus, jos f : R R ja g : R R on määritelty asettamalla f(x) = x 4 ja g(x) = 4x + kaikilla x R. Oletetaan, että x R. Tällöin ( ) x (g f)(x) = g(f(x)) = g 4 = 4 x 4 + = x + = x = id R (x). Näin ollen kuvaukset g f : R R ja id R : R R ovat sama kuvaus. Lisäksi (f g)(x) = f(g(x)) = f(4x + ) = (4x + ) 4 Siten kuvaukset f g : R R ja id R : R R ovat sama kuvaus. = 4x 4 = x = id R(x). Koska g f = id R ja f g = id R, niin kuvaus g on kuvauksen f käänteiskuvaus. 7. Määritä kuvauksen f käänteiskuvaus tai perustele, että sitä ei ole olemassa jos (a) f : N N on kuvaus, jolle f(n) = n. (b) f : [, [ [0, [ on kuvaus, jolle x x. (a) Huomataan, että f() = = = = f(), joten f ei ole injektio. Näin ollen f ei ole bijektio, joten sillä ei ole käänteiskuvausta. (b) Ratkaistaan yhtälö f(x) = y x:n suhteen: x = y x = y x = y + x = y + Määritellään kuvaus g : [0, [ [, [, g(y) = y +. Kuvaus on hyvinmääritelty, sillä y + 0+ = kaikilla y [0, [. Näin ollen g(y) = y + [, [ kaikilla y [0, [. Nyt (g f)(x) = g(f(x)) = g( x ) = ( x ) + = x = x = x +
kaikilla x [, [ ja (f g)(y) = f(g(y)) = f( y + ) = ( y + ) = y + = y = y kaikilla y [0, [. Näin ollen g f = id ja f g = id, joten g on f :n käänteiskuvaus. 8. Määritä kuvauksen f käänteiskuvaus tai perustele, että sitä ei ole olemassa, jos (a) f : R R on kuvaus, jolle x x 9. (b) f : Z Z on kuvaus, jolle z z 5. (a) Olkoon g : R R kuvaus, jolle x (x+9). Tarkistetaan, että näin määritelty g todella on kuvaus. Oletetaan, että x R. Tällöin kuva-alkio (x + 9) on määritelty kuva-alkio on yksikäsitteinen kuva-alkio kuuluu maaliin R. Osoitetaan sitten, että kuvaus g on kuvauksen f käänteiskuvaus. Olkoon x R. Tällöin ( ) (f g)(x) = f(g(x)) = f (x + 9) = (x + 9) 9 = x + 9 9 = x = id R(x). Näin ollen kuvaukset f g : R R ja id R : R R ovat sama kuvaus. Lisäksi (g f)(x) = g(f(x)) = g(x 9) = ((x 9) + 9) = x = x = id R(x). Siten kuvaukset g f : R R ja id R : R R ovat sama kuvaus. Koska g f = id R ja f g = id R, niin kuvaus g on kuvauksen f käänteiskuvaus. (b) Kuvaus f ei ole surjektio, sillä jokainen kuva-alkio on pariton luku. Näin ollen esimerkiksi f(z) 4 kaikilla z Z. Osoitetaan tämä vielä tarkasti: Vastaoletus: Oletetaan, että f on surjektio. Tällöin on olemassa z Z, jolla f(z) = 4 eli z 5 = 4. Tällöin z = 9, joten z = 4,5. Tämä on ristiriidassa oletuksen z Z kanssa. Näin ollen f ei ole bijektio. Tästä seuraa, että kuvauksella f ei ole käänteiskuvausta. 9. Määritä kuvauksen g käänteiskuvaus tai perustele, että sitä ei ole olemassa, jos (a) g : R R on kuvaus, jolle x 8x x. (b) g : [, [ [, [ on kuvaus, jolle x x +.
(a) Kuvaus g ei ole injektio, sillä esimerkiksi g(0) = 0 = g(/), mutta 0 /. Siten g ei ole bijektio. Tästä seuraa, että kuvauksella g ei ole käänteiskuvausta. (b) Määritellään f : [, [ [, [ asettamalla f(x) = (x ) +. Tarkistetaan, että näin määritelty f todella on kuvaus. Oletetaan, että x [, [. Tällöin Tehtäväsarja IV kuva-alkio (x ) + on määritelty kuva-alkio on yksikäsitteinen kuva-alkio kuuluu maaliin [, [. Jos nimittäin olisi f(x) <, niin (x ) + < eli (x ) < 0, mikä on mahdotonta. Osoitetaan sitten, että kuvaus f on kuvauksen g käänteiskuvaus. Oletetaan, että x [, [. Tällöin (f g)(x) = f(g(x)) = f( x + ) = ( x + ) + = x + = x = id(x). Näin ollen kuvaukset f g : [, [ [, [ ja id: [, [ [, [ ovat sama kuvaus. Oletetaan, että x [, [. Tällöin (g f)(x) = g(f(x)) = g((x ) + ) = = x + = x + = x = id(x). (x ) + + Näin ollen kuvaukset g f : [, [ [, [ ja id: [, [ [, [ ovat sama kuvaus. Koska f g = id [, [ ja g f = id [, [, niin kuvaus f on kuvauksen g käänteiskuvaus. Seuraavissa tehtävissä tutkitaan erilaisia relaatioita. Luentokalvoista 65 74 voi olla apua. 0. Olkoon A = {,,, 4} ja B = {, 5, 7}. Määritellään joukkojen A ja B välinen relaation R asettamalla R = { (a, b) A B a + b 9}. Esitä relaatio R luettamalla kaikki siihen kuuluvat järjestetyt parit. R = {(, 7), (, 7), (4, 5), (4, 7)}.. Merkitään K = { a, e, i, t, v } ja S = { tie, vie, iva }. Määritellään joukkojen K ja S välinen relaatio R asettamalla R = { (k, s) K S kirjain k esiintyy sanassa s }. Esitä relaatio R luettelemalla kaikki siihen kuuluvat järjestetyt parit. R = {(a, iva), (e, tie), (e, vie), (i, tie), (i, vie), (i, iva), (t, tie), (v, vie), (v, iva)}.
. Merkitään A = {avain, nyckel, key, Schlüssel }. Määritellään relaatio T asettamalla T = {(x, y) A A sama kirjain esiintyy sekä sanassa x että sanassa y}. Esitä relaatio T luettamalla kaikki siihen kuuluvat järjestetyt parit.. Onko T refleksiivinen? Entä symmetrinen? Entä transitiivinen? T = {(avain,avain),(avain, nyckel),(nyckel,avain),(nyckel,nyckel),(nyckel,key),(nyckel, Schlüssel),(key,nyckel),(key,key), (key, Schlüssel),(Schlüssel, nyckel),(schlüssel,key),(schlüssel,schlüssel) }. Relaatio on refleksiivinen ja symmetrinen, mutta ei refleksiivinen, sillä (avain, nyckel) T ja (nyckel, key) T, mutta (avain, key) / T. Kompleksiluvut. (a) Muodosta tulon nollasäännön avulla reaalilukukertoiminen toisen asteen yhtälö, jonka ratkaisut ovat (i) 0 ja (ii) i ja + i. (b) Määritä reaaliluvut a ja b, joilla yhtälön ax + bx + = 0 yksi ratkaisu on + i. (a) (i) Yhtälön x(x ) = 0 ratkaisut ovat 0 ja. Eli x x = 0. (ii) Yhtälön (x ( i))(x ( + i)) = 0 ratkaisut ovat i ja + i. Sievennetään: x ( i))(x ( + i)) = x ( + i)x ( i)x + ( i)( + i) Eli yhtälö on x x + = 0. (b) Sijoitetaan x:n paikalle +i: = x ( + i + i)x + i = x x + a( + i) + b( + i) + = 0 a( + 4i + 4i ) + b + bi + = 0 Saadaan ratkaisu a = /5 ja b = /5. 4. Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö Vihje Tutki lauseketta (a + b) kun a = x ja b = x + a( + 4i) + b + bi + = 0 a + b + + i(4a + b) = 0 a + b + = 0 ja 4a + b = 0 b = + a ja b = a x 4 + x + x + x + = 0.
Vihjettä käyttäen huomataan, että (x + x+) = x 4 + x + x + x+. Näin ollen x 4 + x + x + x + = 0 jos ja vain jos (x + x + ) = 0, eli jos ja vain jos x + x + = 0. Tämän yhtälön ratkaisut saadaan ratkaisukaavalla: Ratkaisut ovat siis + i ja i. x = ± i 4 = ± i 5. Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö (a) z 4 = 8i (b) ( i)z 5 = z ja merkitse löytämäsi ratkaisut kompleksitasoon. (a) Luvun 8i eksponenttiesitys on 8e π i, joten merkitsemällä z = re iϕ saadaan z 4 = (re iϕ ) 4 = r 4 e 4iϕ = 8e π i. Koska r 0, niin tämän yhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälöpari on r 4 = 8 4ϕ = π + k π r = 4 8 ϕ = π 4 + k π 4 missä k Z. Ratkaisuja saadaan neljä erilaista: e π 8 i, e 5π 8 i, e 9π 8 i ja e π 8 i. r = ϕ = π 8 + k π, (b) Yhtälön ( i)z 5 = z kanssa ekvivalentti yhtälö on ( i)z 5 z = 0 eli z (( i)z ) = 0. Tulon nollasäännön nojalla tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos z = 0 tai ( i)z = 0. Ratkaistaan vielä yhtälö ( i)z = 0. Sen kanssa ekvivalentti yhtälö on z = /( i). Luvun i eksponenttiesitys on e π 4 i, joten merkitsemällä z = re iϕ saadaan z = (re iϕ ) = ( e π 4 i ) r e iϕ = π e 4 i. i Tämän yhtälön kanssa ekvivalentti yhtälöpari on r = ϕ = π 4 + k π r = ( ) ϕ = π 4 + k π r = 6 ϕ = π + k π,
missä k Z. Ratkaisuja saadaan kolme erilaista: e π i, e π 4 i ja 6 e 7π i. Yhtälöllä ( i)z 5 = z on siis tasan neljä ratkaisua: 0, e π i, e π 4 i, e 7π i. 6. Ratkaise kompleksilukujen joukossa yhtälö (x x + 0)(x 4 8) = 0. Tulon nollasäännön nojalla yhtälö (x x+0)(x 4 8) = 0 pätee, jos ja vain jos x x+0 = 0 tai x 4 8 = 0. Ratkaistaan ensin yhtälö x x+0 = 0. Koska diskriminantti on < 0, niin yhtälön ratkaisut ovat x = ( ) ± i = ± i. Ratkaistaan sitten yhtälö x 4 8 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 4 = 8 kanssa. Luvun 8 eksponenttiesitys on 8e 0i, joten merkitsemällä x = re iϕ saadaan x 4 = (re iϕ ) 4 = r 4 e 4iϕ = 8e 0i. Koska r 0, niin tämän yhtälön kanssa yhtäpitävä yhtälöpari on { r 4 = 8 4ϕ = 0 + k π r = 4 8 ϕ = k π 4 r = ϕ = k π missä k Z. Ratkaisuja saadaan neljä erilaista:,, i ja i. Yhtälöllä (x x + 0)(x 4 8) = 0 on siis ratkaisut ±i, ± ja ±i. Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 7. Laske ja kirjoita perusteluksi vastaava jakoyhtälö: (i) 0 mod (ii) 40 mod (iii) 49 mod 48 (iv) 99 mod
8. Todista lauseen 40 ensimmäinen implikaatio. Oletetaan, että a, b Z ja n N {0} ja lisäksi, että a b (mod n). Osoitetaan, että n (a b). Nyt luvuilla a ja b on sama jakojäännös luvulla n jaettaessa eli ne voidaan kirjoittaa muodossa a = qn + r ja b = pn + r, missä q, p, r Z ja 0 r < n. Tutkimalla lukujen a ja b erotusta saamme a b = (qn + r) (pn + r) = qn + r pn r = qn pn = n(q p), missä q p Z, sillä kokonaislukujen erotus on kokonaisluku. Siis n jakaa luvun (a b) eli n (a b). 9. Todista lauseen 4 (b)-osa (vihje: lause 40). Oletetaan, että a, b, c, d Z ja n N {0} ja lisäksi että a b (mod n) ja c d (mod n). Osoitetaan, että ac bd (mod n). Nyt luvuilla a ja b on sama jakojäännös luvulla n jaettaessa eli ne voidaan kirjoittaa muodossa a = q n + r ja b = q n + r, missä q, q, r Z ja 0 r < n. Vastaavasti luvut c ja d voidaan kirjoittaa muodossa c = p n+s ja d = p n+s, missä p, p, s Z ja 0 s < n. Tästä seuraa, että ja Näiden erotus on ac = (q n + r)(p n + s) = (q p n + q s + p r)n + rs bd = (q n + r)(p n + s) = (q p n + q s + p r)n + rs. ac bd = (q p n + q s + p r q p n q s p r)n, missä q p n + q s + p r q p n q s p r Z, sillä kokonaislukujen tulot, summat ja erotukset ovat kokonaislukuja. Näin ollen luku n jakaa erotuksen ac bd, joten lauseen 40 mukaan ac bd (mod n). 0. (a) Laske 005 mod 0 (b) Laske 4 000 + 5 000 mod (c) Laske 6 05 mod (a) 005 mod 0 = 5, sillä 005 = 00 0 + 5 (b) 4 (mod ), joten 4 000 000 = (mod ). Vastaavasti 5 (mod ), joten 5 000 ( ) 000 = (mod ). Näin ollen 4 000 + 5 000 + = (mod ). Koska 0 <, niin 4 000 + 5 000 mod =. (c) Lauseen 4 avulla saadaan 6 05 = ( ) 05 = 05 05 = ( 5 ) 40 ( 5 ) 40 = 40 4 40 () ( ) 40 40 = = () 0 (mod ) Nyt 0 0 <, joten 6 05 mod = 0. Selityksiä: () (mod ), sillä ( ) = = ja 4 (mod ), sillä 4 = 4 = () 0 (mod ), sillä 0 = =