MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt Kesä 00 Risto Silvennoinen TAVALLISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Peruskäsitteitä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö Se on yleisessä muodossaan yhtälö, jossa esiintyy tuntemattomia funktioita ja niiden derivaattoja Jos derivaatoissa on osittaisderivaattoja, kyseessä on osittaisdifferentiaaliyhtälö, jos vain tavallisia derivaattoja, tavallinen differentiaaliyhtälö Tällä kurssilla käsittelemme vain jälkimmäisiä Differentiaaliyhtälön kertaluku on siinä esiintyvän korkeimman derivaatan kertaluku n+ Jos D, F: D, niin yhtälö ( n) () F( x, y, y,, y ) = 0 määrittelee kertalukua n olevan implisiittisen differentiaaliyhtälön n+ Jos G, f : G, niin yhtälö ( n) ( n ) () y = f( x, y, y,, y ) on kertalukua n oleva eksplisiittinen differentiaaliyhtälö eli normaalimuotoinen differentiaaliyhtälö
Olkoon I on avoin väli Silloin n kertaa derivoituva funktio y: I on yhtälön () tai () eksplisiittinen ratkaisu välillä I, jos kaikille x I on voimassa ( n) ( n (3) ( xyx, ( ), y ( x),, y ( x)) Dja Fxyx (, ( ), y ( x),, y ) ( x) ) = 0 tai vastaavasti ( ) ( ) ( (4) ( xyx, ( ), y ( x),, y n ( x)) Gja y n = f( xyx, ( ), y ( x),, y n ) ( x) ) Olkoon B ja H : B jatkuvasti differentioituva funktio, joka määrittelee yhtälöllä H( xy, ) = 0 implisiittisesti välillä I funktion y Jos y on yhtälön () tai () eksplisiittinen ratkaisu, niin yhtälöä H ( xy, ) = 0 sanotaan silloin yhtälöiden () tai () implisiittiseksi ratkaisuksi Esim Yhtälö y = xy on eksplisiittinen kertaluvun yhtälö, jonka eräs eksplisiittinen ratkaisu on yx ( ) = + x 3 Esim Yhtälö ( yy ) + xy + lny = 0 on toisen kertaluvun implisiittinen yhtälö, jonka eräs eksplisiittinen ratkaisu välillä on yx= ( ) Esim 3 Implisiittisellä ensimmäisen kertaluvun yhtälöllä yy + x = 0 on mm implisiittinen ratkaisu x + y = Differentiaaliyhtälön yleiseen ratkaisuun sisältyy kertaluvun ilmoittama määrä toisistaan riippumattomia vakioita eli parametreja Jos parametreille annetaan jokin tietty arvo, saadaan yhtälön yksityisratkaisu eli partikulaarinen ratkaisu Sellainen ratkaisu, jota ei saada yleisestä ratkaisusta parametrien kiinnittämisellä, on erikoisratkaisu tai singulaarinen ratkaisu Jos yleinen ratkaisu sisältää kaikki yhtälön ratkaisut, se on täydellinen ratkaisu Usein ratkaisua haetaan jollakin avoimella välillä I Joskus pyritään siihen, että tämä väli on laajin mahdollinen
3 Esim 4 Eksplisiittisellä differentiaaliyhtälöllä y = y on välillä I = (, ) x yleinen ratkaisu yx ( ) = ce, joka eksponenttifunktion ominaisuuksien nojalla on täydellinen ratkaisu Esim 5 Implisiittisellä kertaluvun yhtälöllä ( y ) 4xy + 4y= 0 on yleinen ratkaisu yx ( ) = cx c, c, joka ei ole täydellinen, koska yhtälöllä on myös erikoisratkaisu yx ( ) = x Differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos tuntematon funktio ja sen yhtälössä esiintyvät derivaatat esiintyvät siinä lineaarisesti eli asteluvulla Jos silloin tuntemattoman funktion ja derivaattojen kertoimet ovat vakioita, kyseessä on vakiokertoiminen lineaarinen differentiaaliyhtälö Tuntematon funktio ja sen derivaatat laitetaan pääsääntöisesti yhtälön vasemmalle puolelle Jos silloin oikealle puolelle jää 0, kyseessä on homogeeninen yhtälö, muuten yhtälö on epähomogeeninen Esim 6 Tarkastellaan seuraavia differentiaaliyhtälöitä: a) y '''( x) + x y''( x) + y( x) = sin x (4) b) ( y ( x)) + y( x) = x c) x''( t) + x'( t) + 4 x( t) = 0 Näistä a ja c ovat lineaarisia, b on epälineaarinen Yhtälön a kertaluku on 3, yhtälön b kertaluku on 4 ja c on toisen kertaluvun vakiokertoiminen lineaarinen homogeeninen yhtälö Yhtälöt a ja b ovat epähomogeenisia Yhtälö b on lisäksi implisiittinen
4 Yleisen ratkaisun parametrit tai osa niistä voidaan kiinnittää alkuehdoilla tai reunaehdoilla, jolloin kyseessä on alkuarvoprobleema tai reunaarvoprobleema Koska yleisessä ratkaisussa on kertaluvun n ilmaisema määrä vakioita, tarvitaan kaikkien määrittämiseksi yleensä n ehtoa Alkuehdot annetaan aina yhdessä pisteessä, jos ehtopisteitä on kaksi tai useampia, kyseessä on reuna-arvoprobleema Kertaluvun n alkuarvoprobleema on siis muotoa (5) ( n) ( n ) y = f( x, y, y,, y ) ( n ) y( x0) = y0, y ( x0) = y,, y ( x0) = yn, ( x0, y0, y,, yn ) G Esim 7 Yhtälön y''( x) + y( x) = 0 yleinen ratkaisu on y( x) = csinx+ ccosx, missä c, c ovat parametreja Tämä ratkaisu on myös täydellinen Alkuarvoprobleeman y''( x) + y( x) = 0, y(0) = 0, y'(0) = ratkaisu (yksikäsitteinen) on yx ( ) = sinx Reuna-arvoprobleeman y''( x) + y( x) = 0, y(0) = 0, y( π ) = 0 ratkaisuja ovat kaikki funktiot yx ( ) = csin x, c Reuna-arvoprobleemalla y''( x) + y( x) = 0, y(0) = 0, y( π ) = taas ei ole ratkaisua lainkaan Kuten esimerkistä näkyy, differentiaaliyhtälöllä ei välttämättä tarvitse olla olemassa ratkaisua, ja jos sellaisia on, niiden ei tarvitse olla yksikäsitteisiä Käsittelemme tätä kysymystä seuraavassa luvussa ja tarkemmin sitten differentiaalisysteemien kohdalla Alkuarvoprobleemalla on lokaali ratkaisu, jos sillä on ratkaisu pisteen x 0 jossakin ympäristössä I = ( x0 ε, x0+ ε), ε > 0
5 Kun differentiaaliyhtälöitä sovelletaan käytäntöön ja lasketaan ratkaisujen arvoja, seuraava Hadamard'in vaatimuslista on hyödyksi: Alkuarvoprobleema on oikein asetettu (properly posed, sachmässig gestellt), jos ratkaisu on olemassa lokaalisti ratkaisu on yksikäsitteinen 3 ratkaisu riippuu alkuehdoista jatkuvasti Kolmas ehto takaa sen, että ratkaisu on stabiili, se muuttuu pienistä alkuarvon häiriöistä hallitun vähän
6 Ratkaisujen olemassaolo ja yksikäsitteisyys Tarkastelemme ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön alkuarvoprobleemaa () y = f( xy, ), yx ( 0) = y0 Tällä ei välttämättä ole ratkaisua olemassa y Esim Yhtälön y = yleinen ratkaisu on x x yx ( ) =, kun x, c 0 cx c Siis jos alkuehdoksi asetetaan y (0) =, ratkaisua ei ole Toisaalta jos ratkaisuja on, niitä voi olla useampia, jopa äärettömän monta Esim Tarkastellaan alkuarvoprobleemaa /3 y ( x) = 3 y( x), y(0) = 0 Todetaan, että probleemalla on kaksi ratkaisua: vakiofunktio y ( x) 0, x ja 0, kun x < 0 derivoituva funktio y( x) = 3 x, kun x 0 Osoittautuu, että sopiva säännöllisyysominaisuus yhtälön (6) oikean puolen funktiolle yhtälön ratkaisujen olemassaolon ja yksikäsitteisyyden takaamiseksi on seuraava tavallista ankarampi jatkuvuuden muoto: n+ Funktio f : G, G, on Lipschitz-jatkuva muuttujan y suhteen joukossa G, jos f( x, y ) f( x, y ) L y y, kaikilla ( x, y),( x, y) G () Kerroin L epäyhtälössä (8) on Lipschitz-vakio Jatkossa oletamme usein ilman eri mainintaa, että Lipschitz-jatkuvuus on muuttujan y suhteen
7 Esim 3 Funktio f ( xy, ) = y on Lipschitz-jatkuva jokaisessa kompaktissa osajoukossa S, koska silloin f( x, y) f( x, y) = y+ y max y+ y = : L y y S Funktio ei ole kuitenkaan Lipschitz-jatkuva rajoittamattomassa kaistaleessa T = ( x, y) a x b, koska y+ y ei ole ylhäältä rajoitettu siellä { } :n Tavallisin tilanne, jossa Lipschitz-jatkuvuus on voimassa, on seuraava: Lause Oletetaan, että funktiolla f ( xy, ) on joukossa G olemassa f f osittaisderivaatta, joka on G:ssä rajoitettu: ( x, y) M ( x, y) G y x jollakin positiivisella vakiolla M Silloin f on G:ssä Lipschitz-jatkuva Todistus: Väliarvolauseen nojalla on jokaisella kiinteällä x olemassa sellainen η, että f f ( xy, ) f( xy, ) = ( x, η)( y y) My y y Lause (Olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause) n+ Olkoon f : G avoimessa joukossa G jatkuva ja muuttujan y suhteen Lipschitz-jatkuva ja ( x0, y0) G Silloin alkuarvoprobleemalla (3) y = f( xy, ), yx ( 0) = y0 on olemassa täsmälleen yksi lokaali ratkaisu Tämä lause todistetaan myöhemmin yleisemmässä muodossaan Esim 4 Yhtälöllä y = y on alkuarvon y(0) = y0, y0 > 0 toteuttava y0 yksikäsitteinen ratkaisu yx ( ) =, kun x < y x y 0 0
8 3 Ensimmäisen kertaluvun separoituvat yhtälöt Merkitsemme jatkossa usein tuntematonta funktiota x:llä ja muuttujaa t:llä Tällä ennakoimme differentiaalisysteemien teoriaa, jossa tuntemattomana on tilavektori x ( t) ja muuttujana aika t Tarkastellaan yhtälöä x = f( x, t), jossa oikealla puolella on erityisrakenne: () x'( t) = h( t) g( x( t)) Tämä on siis muoto, missä oikealla puolella muuttujat t ja x ovat "separoituneet" Silloin yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon (vasemmalle separoituneet x, oikealle pelkästään t:stä riippuvat) () x'( t) / g( x( t)) = h( t), josta puolittain integroituna (3) x'( t) / g( x( t)) dt = h( t) dt Tämä integrointi onnistuessaan antaa yhtälön yleisen ratkaisun (yleensä implisiittisen, mutta joskus eksplisiittisenkin) Esim x '( t) t x( t) = t (epälineaarinen, epähomogeeninen) x'( t) x'( t) x '( t) = t ( + x( t) ) = t dt = t dt + xt ( ) + xt ( ) Sijoitetaan vasempaan integraaliin u = x(), t du = x'() t dt, jolloin saadaan du 3 tdt arctan u 3 t c + u = = + 3 x( t) = tan( t + c) Siis yleinen ratkaisu on 3
9 Esim x '( t) = x( t)(- sin( t)) x'( t) x'( t) = sin( t) dt = ( sin( t)) dt xt () xt () puolille yhtälöä) (eli x ja t separoitiin eri ln xt ( ) t cos( t) d xt ( ) e ee xt () ce + t+ cos( t) + d d t+ cos( t) = + + = =, merk t cos( t) =, c on mielivaltainen vakio c d =± e : Klassinen merkintätapa yhtälölle () on dx (4) htgx () ( ) dt =, joka separoituna esitetään muodossa dx (5) htdt () gx ( ) = Tämä integroituna on dx (6) htdt () gx ( ) =, joka on sama kuin yhtälö (), missä vasemmanpuoleisessa integraalissa on tehty sijoitus x = xt ( ) Alkuehto x( t0) = x0 voidaan ottaa suoraan huomioon käyttämällä määrättyjä integraaleja: (7) x dx gx ( ) = x0 t0 t htdt ()
0 4 Eksaktit differentiaaliyhtälöt Olkoot P, Q alueessa G jatkuvia funktioita Silloin differentiaaliyhtälö () Pxy (, ) + Qxyy (, ) = 0 on eksakti, jos on olemassa sellainen jatkuvasti differentioituva funktio u, että u u () = Pxy (, ) ja = Qxy (, ) x y Tällöin yhtälöllä () on implisiittinen yleinen ratkaisu (3) uxy (, ) = c, mikä nähdään ketjusäännöllä: dc u u (4) 0= = + y = P ( x, y ) + Q ( x, y ) y dx x y Lause (Eksaktiustesti) Yhtälö () on eksakti täsmälleen silloin, kun (5) P Q = y x Todistus: Jos () on eksakti, niin ehtojen () nojalla saadaan P u u Q = = = y y x x y x Jos ehto (5) on voimassa, niin yhtälöllä x (6) uxy (, ) = Ptbdt (, ) + Qxsds (, ), ( ab, ) G a y määritelty funktio toteuttaa ehdot (): y u Q P = Pxb (, ) + ( xsds, ) = Pxb (, ) + ( xsds, ) x x y b b y Pxb (, ) + / b Pxs (, ) = Pxb (, ) + Pxy (, ) Pxb (, ) = Pxy (, ), u vastaavasti = Qxy (, ) y y b
Esim Yhtälö y y e + ( xe ) y = 0 on eksakti, koska y y ( e ) = ( xe ) y x Yleinen ratkaisu on siis uxy (, ) u y u y = e ja = xe x y Integroimalla ensimmäinen ehto saadaan y y u e = dx+ h( y) = e x+ h( y), joka derivoituna y:n suhteen antaa ehdon h:lle: u y y = xe + h ( y) = xe h ( y) = h( y) = y y Siis yhtälön yleinen implisiittinen ratkaisu on y uxy (, ) = xe + y= c = c, missä u määräytyy ehdoista Jos yhtälö () ei ole eksakti, se voidaan joissain tapauksissa muuntaa sellaiseksi kertomalla yhtälö integroivalla tekijällä μ ( x, y) : (7) μ( x, ypxy ) (, ) + μ( xyqxyy, ) (, ) = 0 Eksaktisuusehto (5) saa muodon (8) ( μp) ( μq) =, y x josta osittaisderivoimalla saadaan funktiota μ koskeva osittaisdifferentiaaliyhtälö (9) u u P Q ( Q = μ P ) y x x y Tämä on yleensä vaikeampi ratkaista kuin alkuperäinen yhtälö (), paitsi tietyissä erityistapauksissa
Lause (Integroivan tekijän menetelmä) P Q Jos funktio ϕ = riippuu vain muuttujasta x, niin funktio Q y x ( x) dx μ( x) = e ϕ on yhtälön () integroiva tekijä Vastaavasti, jos funktio P Q ψ = riippuu vain muuttujasta y, niin funktio P y x ( ydy ) e ψ μ( x) = on yhtälön () integroiva tekijä μ Todistus: Oletetaan, että μ riippuu vain muuttujasta x Silloin = 0, y Q P joten (9) saa muodon μ ( xq ) = μ( x) Siis μ on separoituvan x y differentiaaliyhtälön μ ( x) = μ( x) ϕ( x) ratkaisu, jolloin voidaan valita ( x) dx μ( x) = e ϕ Toinen tapaus menee vastaavasti Esim Differentiaaliyhtälö ( ) ( ) ( x+ y )cos x+ sin x + ysin x y = 0 ei ole eksakti: ( ( x + y ) cos x+ sin x) = 4 ycos x, ( ysin x) = ycos x, y x P Q cos = x Q y x = = ysinx sinx muuttujasta x Siis integroivaksi tekijäksi käy mutta ϕ ( 4ycosx ycosx) cos x ϕ ( x) dx dx sin x lnsin x μ( x) = e = e = e = sinx Saatu eksakti yhtälö on ( x+ y ) cos xsin x+ sin x + ysin x y = 0, ( ) ( ) riippuu vain Haettaessa ratkaisufunktiota u aloitetaan yhtälöstä u = y sin x, y joka on kahdesta mahdollisuudesta helpompi integroida Saadaan uxy (, ) = ysin x+ hx ( ), josta edelleen u = y sin xcos x+ h ( x) = ( x+ y )cos xsin x+ sin x x Tästä saadaan funktiolle h yhtälö h ( x) = xsin xcos x+ sin x,
3 joka integroituna antaa hx ( ) = xsin x Siis yhtälön implisiittinen ratkaisu on ( ) x y sin x c + =
4 5 Ensimmäisen kertaluvun lineaariset yhtälöt Käymme seuraavassa läpi yksinkertaisimmat mahdolliset differentiaaliyhtälöt, eli lineaariset ensimmäisen kertaluvun yhtälöt Osoittautuu, että ne voidaan aina ratkaista, kun hyväksytään, että ratkaisuun voi jäädä integraaleja, joita ei voida suljetussa muodossa pitemmälle integroida Todetaan ensin lineaarisuuden seurauksena homogeenisen ja epähomogeenisen yhtälön ratkaisujen yhteys: Olkoon Lx= b epähomogeeninen yhtälö ja Lx = 0 vastaava homogeeninen yhtälö, missä L on lineaarinen differentiaalioperaattori Jos x h on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu ja xp epähomogeenisen jokin yksityisratkaisu, niin xh + xp on epähomogeenisen yhtälön yksityisratkaisu Silloin nimittäin lineaarisuuden ansiosta L( xh+ xp) = Lxh+ Lxp = 0 + b = b Jos xp, x p ovat kaksi epähomogeenisen yhtälön yksityisratkaisua, niin niiden erotus toteuttaa homogeenisen yhtälön: L( xp x p) = Lxp Lx p = b b = 0, joten erotus saadaan homogeenisen yhtälön yleisestä ratkaisusta joillakin kertoimien arvoilla Kohdissa 5-53 lineaarisena operaattorina on Lx= x ax
5 5 Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen homogeeninen vakiokertoiminen yhtälö: () x'( t) ax( t) = 0 eli x'( t) = ax( t), joka voidaan esittää separoituna muodossa ( x( t) 0 ) () x'( t) = a xt () Kun tämä integroidaan puolittain, saadaan ln x( t) = at + d, missä d on integroimisvakio Ottamalla tästä edelleen eksponenttifunktio exp puolittain tullaan muotoon at d at d x( t) = exp( at+ d) = e + = e e Koska jokainen nollasta eroava luku c on esitettävissä lausekkeena ±e d jollakin d, saadaan itseisarvomerkit poistettua Koska funktio x( t) 0 selvästi on myös yhtälön () ratkaisu, on yleinen ratkaisu at (3) x( t) = e c missä c on mielivaltainen vakio Alkuehdon x(0)=x 0 toteuttavassa ratkaisussa on silloin c=x 0 : (4) x() t = e at x0
6 5 Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen epähomogeeninen vakiokertoiminen yhtälö: (5) x'( t) ax( t) = b( t) eli x'( t) = ax( t) + b( t) Yhtälön x'(t)=ax(t) eli homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on edellisen nojalla (6) x h (t)=e at c Epähomogeenisen yhtälön x'(t)=ax(t)+b(t) yksityisratkaisu saadaan ns vakion varioinnilla eli etsimällä ratkaisua muodossa (7) x(t)=e at c(t) Silloin saadaan derivoimalla ja sijoittamalla epähomogeeniseen yhtälöön: josta sievenee yhtälö ae at c(t)+e at c'(t)=ae at c(t) + b(t) c'(t)=e -at b(t), eli eräs yksityisratkaisu on at at (8) x () t = e e b() t dt p Silloin yleinen ratkaisu epähomogeeniselle yhtälölle on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu plus epähomogeenisen yksityisratkaisu: at at at (9) x() t = e c+ e e b() t dt at Todetaan, että ratkaisussa esiintyvä määräämätön integraali e b( t) dt voidaan esittää myös määrättynä integraalina ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon t t0 e as b() s ds Silloin (0) t t0 e at ( s) at x() t = e c + b() s ds, ( t 0 mielivaltainen)
7 Alkuehdon x(0)=x 0 toteuttava ratkaisu on silloin () x(t)=e at at ( s) x 0 + e b() s ds t 0
8 53 Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen homogeeninen yhtälö: () x'( t) a( t) x( t) = 0 eli x'( t) = a( t) x( t) Kyseessä on separoituva yhtälö Siis kuten kohdassa 5, yhtälö voidaan esittää muodossa ( ( ) 0 x t ) (3) x'( t) = at () xt () Kun tämä integroidaan puolittain, saadaan ln x( t) = a( t) dt + d, missä d on integroimisvakio Ottamalla tästä edelleen eksponenttifunktio exp puolittain tullaan muotoon ( ) exp( ( ) ) + d a() t dt a() t dt x t = a t dt+ d = e = e e Tästä saadaan yleinen ratkaisu atdt () (4) x() t = e c missä c on mielivaltainen vakio Alkuehdon x(0)=x 0 toteuttavassa ratkaisussa on silloin c=x 0 : t asds () xt () e x (5) = 0 0 d
9 54 Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen epähomogeeninen yhtälö: (6) x'( t) a( t) x( t) = b( t) eli x'( t) = a( t) x( t) + b( t) Ratkaisun johto menee vakioiden varioinnilla lähes samalla tavalla, kuin kohdassa 5, kun termi at korvataan integraalilla atdt () Mutta johdetaan ratkaisu vaihteeksi toisella tavalla, integroivan tekijän menetelmällä Kun yhtälö (6) kirjoitetaan muotoon atx () bt () + x = 0, (7) ( ) nähdään, ettei yhtälö ole eksakti: x () () = (), = 0 t ( atx bt) at ( ) Funktio ϕ = ( at () 0 ) = at () on pelkästään t:n funktio, joten atdt () integroivaksi tekijäksi käy μ() t = e Kun tällä kerrotaan yhtälö (7), saadaan siis eksakti differentiaaliyhtälö atdt () atdt () atx () bt () e + e x = 0 (8) ( ) Haetaan funktiota utx (, ), jolle u atdt u = ( at ( ) bt ( )) e, = e t x Jälkimmäisestä yhtälöstä saadaan atdt () e utx (, ) = x, josta edelleen osittaisderivoimalla () atdt () u t e atdt () atdt () x( a( t)) h( t) = ( a( t) b( t)) e = + atdt () Siis h () t = b() t e, joten ratkaisu on ht () = bte () atdt () dt Implisiittinen
0 atdt () atdt () x = utx (, ) = e bte () dt c, josta ratkaisemalla x saadaan yleiseksi ratkaisuksi (9) atdt () atdt () atdt () x() t = e c+ e e b() t dt Tälle saadaan ekvivalentti esitysmuoto määrättyinä integraaleina t t s asds ( ) asds ( ) t audu ( ) t0 t0 to (0) x() t = e c+ e e b() s ds t0 Silloin alkuarvon x( t0) = x0 toteuttava ratkaisu saadaan vakion arvolla c= x 0 π π Esim 3 x '( t) + (tan t) x( t) = cos t, < t < sin t Koska atdt ( ) = ( tan tdt ) = dt= ln(cos t) cost kaavan (9) mukainen yleinen ratkaisu on, niin e a() t dt = cost, joten x( t) = (cos t) c+ cost cos tdt = (cos t) c+ costsin t cost Jos tehtävä ratkaistaan suoraan integroivan tekijän menetelmällä (nojautumatta kaavaan (9)), todetaan, että integroiva tekijä on sin t atdt () ( tan t) dt dt cost ln cost e = e = e = e = /cost Siis eksakti differentiaaliyhtälö on sin t cost x x 0 cos t) + = cost Haettavana on funktio utx (, ), jolle u sin t u = x cos t, = t cos t x cost x Ensimmäisestä ehdosta saadaan utx (, ) = + sin t+ hx ( ), josta osittaisderivoinnilla cost u = + h ( x) = ja edelleen hx ( ) = c Siis implisiittinen ratkaisu on x cost cost x utx (, ) = sint= c, josta x( t) = ccos t+ cos tsin t cost
6 Separoituvaksi palautuvia differentiaaliyhtälöitä Laajennamme vähitellen käsiteltävien differentiaaliyhtälöiden kokoelmaa Ensiksi käsittelemme sellaisia, jotka sopivalla muunnoksella saadaan separoituviksi 6 Yhtälöt muotoa y = f( ax+ by+ c) Tekemällä sijoitus vx ( ) = ax+ byx ( ) + csaadaan derivoimalla v = a+ by, josta sijoittamalla y seuraa separoituva yhtälö v:lle v = a+ bf( v) Jos tästä saadaan v, niin yx ( ) = ( vx ( ) ax c), kun b 0 b Esim Tarkastellaan yhtälöä y = ( x+ y+ 3) Valitsemalla v = x+ y+ 3 ja dv v = + y, saadaan yhtälö = + v Se on separoituna dx dv = dx + v, josta x = arctan v+ c, joten v = tan( x c) Siis y = tan( x c) x 3
6 Homogeenit yhtälöt Jos yhtälön y = f( x, y) oikean puolen funktio riippuu vain suhteesta y, yhtälöä sanotaan homogeeniksi (Termiä ei pidä sekoittaa lineaaristen x yhtälöiden yhteydessä esiintyviin homogeenisiin yhtälöihin Ly = 0) Yhtälö voidaan silloin kirjoittaa muotoon y () y = F( ) x Homogeenit yhtälöt voidaan palauttaa separoituviksi seuraavasti: yx ( ) Sijoitetaan zx ( ) =, jolloin yx ( ) = xzx ( ) Yhtälö () muuntuu silloin x muotoon () zx ( ) + xz ( x) = Fzx ( ( )) eli (3) z = ( F( z) z), x joka on separoituva y + x + y Esim Yhtälö y = on homogeeni, koska se on muotoa y = x x y y x y + z + z Sijoituksella z = saadaan uusi yhtälö z = z = x, joka x z x z separoituna antaa z dz dx = + z eli arctan( z) ln( + z ) + ln c = ln x x Tästä saadaan yhtälön implisiittinen ratkaisu arctan y ln x y = x c+
3 7 Lineaarisiin palautuvia kertaluvun yhtälöitä Joitakin epälineaarisia ensimmäisen kertaluvun yhtälöitä voidaan sopivalla sijoituksella muuntaa lineaarisiksi Tarkastelemme ohessa paria klassista tapausta 7 Bernoullin differentiaaliyhtälö () y + P( x) y= Q( x) y r Oletetaan, että r, r 0, r (Tapauksissa r = 0 tai r = yhtälö on r lineaarinen) Valitsemalla uudeksi muuttujaksi v= y saadaan v r y=, josta r y = v rv r Kun tämä sijoitetaan yhtälöön (), saadaan r r v v + P ( x ) v r r r r = Qxv ( ) josta edelleen sieventämällä v + ( r) P( x) v= rqx () ( ) ( ), joka on lineaarinen, 4 Esim Tehdään yhtälöön xy + 6y = 3xy sijoitus jolloin yhtälö muuttuu muotoon v v = x Tämän ratkaisu on dx dx dx x x x vx ( ) = e c+ e e ( ) dx= cx + x yx ( ) = 3 ( x + cx ) 3 3 3 4 v y, y v, y 3v v = = =,, josta saadaan lopulta
4 7 Riccatin yhtälö (3) y = A( x) + B( x) y+ C( x) y Jos yhtälön (3) jokin yksityisratkaisu y 0 tunnetaan, niin yhtälö saadaan ensin palautettua Bernoullin yhtälöksi ja sitä kautta lineaariseksi Tarvittava sijoitus on y= y0 + z, jolloin y = y 0 + z ja yhtälö (3) saa muodon y 0 + z = A( x) + B( x)( y0+ z) + C( x)( y0 + y0z+ z ) Koska y 0 on yhtälön (3) yksityisratkaisu, tämä sievenee muotoon z = B( x) z+ C( x) y0z+ C( x) z, joka on Bernoullin yhtälö
5 8 Ensimmäisen kertaluvun yhtälöiden geometriaa ja grafiikkaa Joukko C on (taso)käyrä, jos on olemassa sellainen jatkuva funktio u : I, että C = u ( I), jollakin välillä I Funktio u on silloin käyrän parametriesitys Jos u on differentioituva ja x () t () u = 0, y () t niin u ( t) on käyrän tangentti Käyrä C on säännöllinen, jos parametriesityksen määrittelyväli I on avoin, parametriesitys on jatkuvasti differentioituva ja u () t 0, t I Funktiota u sanotaan silloin säännölliseksi parametriesitykseksi Esimerkkinä käyrästä on reaalifunktion kuvaaja Olkoon g: I reaaliarvoinen reaalimuuttujan jatkuvasti derivoituva funktio avoimella välillä I Silloin sen kuvaaja () C = {( x, g( x)) x I} on säännöllinen käyrä, jonka parametriesitys on (3) u: I, u( x) = ( x, g( x)) Tangenttivektori on silloin (4) u ( x) = g ( x) ja pisteen ( x, gx ( )) kautta kulkevan tangenttisuoran kulmakerroin on siis g ( x), kuten derivaatan määritelmästä jo tiedetään
6 Käyrä voidaan määritellä myös implisiittisesti, esimerkiksi funktion tasaarvokäyränä: hxy (, ) = a, missä a on vakio Tällöin pisteessä ( x, y ) oleva normaalivektori on hx( x, y) hxy (, ) =, hy( x, y) mikäli h on differentioituva Tangenttivektori on tälle kohtisuorassa, joten hy( x, y) sen suunta on hx( x, y) Tarkastellaan nyt eksplisiittistä differentiaaliyhtälöä (5) y = f( x, y) ja oletetaan, että Luvun Olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen oletukset ovat voimassa Silloin kun funktio ϕ on yhtälön (5) jokin ratkaisufunktio välillä I, sanotaan käyrää C = {( x, ϕ( x)) x I} yhtälön (erääksi) integraalikäyräksi eli ratkaisukäyräksi Tällöin käyrän C pisteessä ( x, y), y= ϕ( x), käyrän tangenttivektori on ja tangenttisuoran kulmakerroin f ( xy, ) f ( xy, ) Pisteeseen ( x, y ) piirretty lyhyt vektorin suuntainen jana on f ( xy, ) suuntaelementti (viivaelementti) ja niistä syntyy funktion f määrittelyalueeseen suuntaelementtikenttä (suuntakenttä, slope field) Kun samansuuntaiset suuntaelementit yhdistetään, saadaan isokliini Isokliinit ovat siis käyriä f ( xy, ) = keli funktion f tasa-arvokäyriä, joiden kaikissa pisteissä suuntaelementit ovat vektorin suuntaisia k Kun suuntaelementtikenttä on visualisoitu, integraalikäyrät saadaan sovittamalla ne suuntaelementtien väliin niin, että suuntaelementtijanat ovat käyrien tangentteja (Tämä ole ennen tietokoneiden aikaa käytetty graafinen ratkaisukeino)
7 Differentiaaliyhtälöä (5) voidaan ajatella myös systeeminä, jolloin tuntematonta tilaa merkitään tavallisesti x( t ) :llä, missä t on aika Silloin yhtälö (5) kirjoitetaan muotoon (6) x = f( t, x) Systeemin tasapainopisteitä ovat ne tilat, joissa x ( t) 0 Jos systeemi on autonominen eli muotoa (7) x = f( x), niin tasapainopisteet löytyvät yhtälön (8) f ( x ) = 0 ratkaisuista Tilat x( t ) ovat faasiavaruuden pisteitä Systeemi (6) on yksiulotteinen, joten faasiavaruus on yksiulotteinen faasisuora Graafisessa esityksessä faasikuvaan merkitään tasapainopisteet lihavoituina pisteinä, ja nuolet kuvaavat systeemin etenemistä tasapainopisteeseen päin tai siitä pois Oheisessa kuvassa on ylempänä differentiaaliyhtälön y = x y suuntaelementtikenttä ja alkuarvon y( 4) = 4 toteuttavan yksityisratkaisun integraalikäyrä Alempana on systeemin x = x( x) suuntaelementtikenttä, sitten 8 yksityisratkaisun integraalikäyrät ja viimeisenä faasikuva